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2026年高考数学8+3+3+1强化训练(18)【解析】
一、单选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若函数 ，则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解不等式 ，可求得函数 的定义域，进而利用复合函数的定义域的求法可求 的定义域.
【解析】由 ，得 ，所以 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
由 ，解得 ，
所以 的定义域为 .
故选：A.
2.设数列 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【解析】数列 中， ，且 ，则 ，
，因此数列 是周期为4的数列，
所以 .
故选：C
3.若函数 的图象在点 处的切线也是函数 的图象的切线，则实数 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】对 求导，即可求解 的图象在点 处的切线方程，进而对 求导，即可得解.
【解析】由题意得 ，则 ，所以 的图象在点 处的切线方程为 ，即
．设直线 与 的图象相切于点 ，
又 ，则 ，解得 ，
所以 ，即 ，则 ．
故选：C．
4．已知函数 ，则下列说法错误的是（ ）
A． 的定义域为 B． 为偶函数
C． 的最大值是0 D． 在 上单调递增
【答案】D
【解析】由 且 ，解得 ，则 的定义域为 ，故A正确；
∵ ，则 为偶函数，故B正确；
∵ ， ，令 ，当 时， 单调递减，
而 在 上单调递增，则 在 上单调递减，故D错误；
∵ ， ，令 ，
当 时， ，则 的最大值是 ，故C正确.
故选：D.
5．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意及诱导公式化简可得， ，
，
，
故选：B.
6.某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学
相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（ ）
A．36种 B．72种 C．144种 D．288种
【答案】C
【解析】第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有 种站法；
第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有 种站法.
根据分步乘法计数原理，不同的站法共有 种.
故选：C7. 已知 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上，若 ，
的面积为 ，则 的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】先根据双曲线的定义求出 ，在 中，利用正弦定理求出 ，再根据三角形的面积
公式求出 ，利用勾股定理可求得 ，进而可求出答案.
【解析】因为 ，所以 ，
又因为点 在 上，所以 ，
即 ，所以 ，
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，故 ，
则 ，所以 ，
则 ，所以 ，
所以 ，
所以 的方程为 .
故选：B.
8.已知正三棱柱 的底面边长为6，高为 ，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面 的距
离为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，利用向量法计算球心 到该平面的距离.
【解析】正三棱柱外接球的球心是上下底面正三角形中心连线的中点 ，
以点 为原点， ， 为 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则球心 的坐标为 ：
因为底面边长为 ，所以底面正三角形外接圆半径 ；
故 ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，则由 ，即 ，
令 ，则 ，则 是平面 的一个法向量.
又 ，因此球心 到平面 的距离
.
二、多项选择题：
9.有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有2个绿球、3个红
球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事
件 表示“取到 号箱 ”，事件 表示“摸到绿球”，事件 表示“摸到红球”，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据条件概率公式计算判断A，B，应用全概率计算判断C，应用贝叶斯公式计算判断D.【解析】由题意可知 ，A正确，B错误；
，C正确；
，D正确；
故选：ACD.
10．已知 ，则下列正确的是（ ）
A．直线 为 的切线
B．若 ，则
C．若 在 上单调递增，则
D．设 为曲线 在 处的两条切线，若 ，则
【答案】ACD
【分析】根据导数的几何意义可求得 处切线为 得到A正确；通过举反例证明B错误；根据导数的代数
意义结合分离参数求范围即可求出C正确；根据导数的几何意义求出切线方程，结合两切线平行，找到相应等式
即可求得D正确.
【解析】已知 ，求导得
选项A：当 时， ，且 ，因此 处切线斜率为0，切线方程为 ，
故直线 一定是 的切线，故A正确；
选项B：当 时， ，故 B错误；
选项C：若 在 单调递增，则 在 恒成立，当 时， ，
因此需要 对所有 恒成立，即 ，解得 ，即 ，故C正确；
选项D：求导得： ，切线 等价于 ，
整理得： ，
因为 ，两边除以 得 ，
即 ，故D正确.
故选：ACD.
11.已知⊙O： ，则下列说法正确的是（ ）
A．⊙O上一点到直线l： 距离的最小值是
B．⊙O和圆 ： 的相交弦长是4C．⊙O和圆 ： 有且只有两条公切线
D．⊙O和曲线C： 交于A，B两点，则△OAB的面积为
【答案】BD
【分析】对于A，先根据点到直线的距离判断直线与圆的位置关系，进而求出最小距离；对于B，先判断⊙O和圆
的位置关系，然后联立两圆方程求出两圆的相交弦的直线方程，进而根据点到直线的距离求出结果；对于C，
先判断⊙O和圆 的位置关系，进而判断公切线条数；对于D，联立圆与曲线的方程，求出 的坐标，进而求
得三角形面积.
【解析】对于A，圆心 的坐标为 ，半径为2，
圆心 到直线 的距离为 ，所以直线 与圆 是相离的，
所以⊙O上一点到直线l： 距离的最小值是 ，所以A错误；
对于B，圆 的标准方程为 ，所以 ，半径为3，
所以 ，因为 ，所以两圆相交，
两圆方程相减得 ，化简得 .
所以两圆的相交弦的直线方程为 ，圆心 到直线 的距离为 ，
所以⊙O和圆 ： 的相交弦长是4，B正确；
对于C，圆 的标准方程为 ，所以 ，半径为3，
所以 ，所以两圆外切，
所以⊙O和圆 ： 有三条公切线，C错误；
对于D，联立 ，得 ，解得 （舍去）或 .
所以 ，所以 ，D正确.
故选：BD.
三、填空题：
12.设 为各项均为正数的等比数列 的前 项和，若 ，则 __________.
【答案】
【分析】设等比数列 的公比为 ，由 求得 ，利用等比数列前 项和公式求 .
【解析】设等比数列 的公比为 ，由数列各项均为正数，有 ，由 ，有 ，
则 ，解得 ，
为 的前 项和， ， ，
则 .
13. 的展开式中 的系数为 .
【答案】-13
【解析】因为 ，
由二项展开式通项公式可得 ，
令 解得 ，此时 ，令 解得 ，此时 ，
所以 的展开式中 的系数为 ，
故答案为： .
14.平行于x轴的直线交抛物线 ： 于点 ，交抛物线 ： 于点 ，记抛物线 和 的焦点分别为
和 ，若 ，则四边形 的面积为__________.
【答案】3
【分析】设平行于x轴的直线方程为 ，然后求出 的坐标，进而判断四边形 的形状，进而求出面
积.
【详解】由题意可得， ，设平行于x轴的直线方程为 .
则 ，因为 ，
所以 ，化简解得 .
根据对称性，不妨取 ，所以四边形 为矩形，
所以四边形 的面积为 .故答案为：3.
四、解答题
15.某种比赛采用“ 局 胜” 制（即累计先赢 局者获得本场比赛胜利）．在该比赛中，选手甲
对阵选手乙，假设每一局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 （每局比赛结果相互独立，不受之前战局
影响，且无平局）．
(1)当 时，若 ，结束比赛时，比赛的局数为 ，求 的分布列与数学期望；
(2)如果选择以下方案中的一种：
方案一：若采用“5局3胜”制，甲累计先赢3局比赛结束的概率为 ．
方案二：设甲乙赛满5局比赛，甲至少赢3局比赛的概率为 ．
比较 和 的大小；
【解析】（1）由题意， ， ，即采用3局2胜制， 所有可能值为2，3，
则 .
则 的分布列如下，
2 3
所以 .
（2）由题意，采用“5局3胜”制，甲只要取得3局比赛的胜利，比赛结束且甲获胜，
则 ；
在甲乙比赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利，
设甲赢的局数为 ，那么 服从二项分布，即 ，
则 ，
所以 .
