文档文本内容
2026年高考数学8+3+3+1强化训练(16)【解析】
一、单选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ， ，则 中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由题意， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
由集合中元素满足互异性，所以 .
故选：B.
2．定义新运算： ，设 ，命题 ，则（ ）
A． ，且 为假 B． ，且 为假
C． ，且 为真 D． ，且 为真
【答案】D
【解析】因为 ，且 ，
则 ， ，
可得 ，即命题 为假命题，
所以 ，且 为真命题.
故选：D.
3．已知函数 的定义域为 ，函数 是奇函数，则 （ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】A
【解析】由 的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得函数 的图象，
因为函数 是奇函数，
即该函数图象关于 中心对称，
所以函数 的图象关于 中心对称，
所以 ，
因此 ， ， ，所以 ，
故选：A.
4.已知 是夹角为 的两个单位向量，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量数量积的定义求得 ，再根据投影向量的概念计算即可.
【解析】依题意， ，
则 ，
于是，向量 在向量 上的投影向量为 .
故选：D.
5．已知二次不等式 的解集为 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ，所以 ，
所以 ，即 ，解得： 或 ．
因为 有两个不等根 ，所以 ，
解得： 或 ，则 的取值范围是 ．
故选：B
6．已知数列 满足 ，则 的最小值为（ A ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由数列 满足 ，
则
，所以 ，
又由函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ，当 时，可得 ；当 时，可得 ，
因为 ，所以 的最小值为 .
故选：A.
7．已知函数 ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先判断函数的奇偶性，然后利用导数判断单调性，根据单调性比较大小即可.
【解析】当 时， ，
所以 是为偶函数．
又 ，
当 时，令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上单调递增，
，
又 ， ，
所以 ，
故选：A
8.在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 且 ，则边c的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得 ，进而得到 ， ，再利用正弦定理得，再利用三角形恒等变形化简结合二次函数求最值即可．
【解析】 ，且 ，
，
， ，
由正弦定理得 ，
，
则当 时，边c取得最小值 ．
二、多项选择题：
9．给出下列命题中，其中正确的选项有（ ）
A．若非零向量 ， 满足： ，则 与 共线且同向
B．若非零向量 ， 满足： ，则 与 的夹角为
C．若 ， ， 与 向量夹角为钝角，则 取值范围为
D．在 中，若 ，则 为等腰三角形
【答案】AD
【解析】选项A，对非零向量 ，
，
若使 成立，即使 成立，
则 ，即 ，所以 与 共线且同向，选项A正确；
选项B：非零向量 满足 ，
则以 为三边的三角形为等边三角形，故 与 的夹角为30°，选项B错误；选项C：因为 与 向量夹角为钝角，故 且 不共线反向，
故 且 ，故 且 ，故C错误；
选项D：因为 都为单位向量，所以向量 所在的直线为角 的角平分线，
又因为 ，即 ，
所以 ，即 为等腰三角形,所以选项D正确.
故选：AD.
10．已知 ，则下列描述正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】应用赋值法计算判断A，C，由通项公式计算判断B，应用导函数结合赋值法判断D.
【解析】对于A，将 代入 ， ，故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于C，将 代入 ， ，
，故C不正确；
对于D，对 求导， ，
将 代入 得到 ，故D正确.
故选：ABD.
11.欧拉公式 是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学
中的天桥”.依据欧拉公式，若 ，则（ ）
A． 的虚部为1 B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】A选项，因为 ，所以 ，故 虚部为 ，A错误；
B选项， ，故 ，B正确；C选项， ，
，
故 ， ，C正确；
D选项， ， ，
，
，
故 的一个周期为6，
且
，
故
，D正确.
故选：BCD
三、填空题：
12．若命题“ ， ”为真命题，则实数k的最大值为 .
【答案】
【解析】命题“ ， ”为真命题，
所以 ，又 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
所以实数k的最大值为 .
故答案为： .
13.某中学高二年级学生有 人，在某次数学考试中，数学成绩 近似服从正态分布 ．已知
，则本次考试数学成绩大于 分的人数约为______．
【答案】
【解析】已知数学成绩 ，则分布关于 对称，
，又 ，
则 ，
，根据正态分布的对称性可知： ，
正态分布是连续分布，
，故 ，
已知总人数为 ，
数学成绩为 分以上的人数为： ．
故答案为： ．
14.设双曲线 的右焦点为F,左,右顶点分别为 , ,M为C上一点,且 轴,点N在线
段 上,直线 交y轴于H点,直线 交y轴于G点,O为坐标原点,若 ,则C的离心率为
.
【答案】3
【解析】因为 轴, 轴,则 ,所以 ,
则 ,同理 .因为 ,则 ,
即 ,得 ,所以 .
故答案：3.
四、解答题
15.根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位： ）：
立定跳远单项等级 高三男生 高三女生
优秀 260及以上 194及以上
良好 245～259 180～193
及格 205～244 150～179
不及格 204及以下 149及以下
从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到 ）：
20 25
男生 180 213 220 235 245 258 261 270 275 280
5 0
16 19
女生 148 162 169 172 184 196 196 197 208 220
0 5假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立.
（1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；
（2）从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设 为这3人中立定跳远单项等级为
优秀的人数，估计 的数学期望 ；
（3）从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件 ，“这3
人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件 .判断 与 是否相互独立.
【答案】（1） ， ;（2） ; （3） 与 相互独立
【分析】（1）根据用样本频率估计总体概率的方法求解；
（2）利用独立事件、互斥事件的概率公式以及组合知识求出分布列，再结合期望公式求解；
（3）判断 是否相等即可.
【解析】（1）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4，获得优秀的女生人数为6，
所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为 ；
估计高三女生立定跳远单项的优秀率为 .
（2）由题设， 的所有可能取值为0，1，2，3，
， .
(3)
，
则 ，所以 与B相互独立.
