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2026年高考数学8+3+3+1强化训练(17)【解析】
一、单选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，且注意到 ，从而 .
故选：A
2.记 为等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A．144 B．120 C．100 D．80
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，又 ，所以 ，则 ，
所以
故选：B
3．已知函数 在区间 上的值域为 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】依题意构造函数 ，利用函数的奇偶性定义判断其为奇函数，即得函数 的图象关于点
对称，结合题意即可求得答案.
【解析】由题意， ， ,
令函数 ，
则 ，
所以 为奇函数，图象关于 对称，故 的图象关于点 对称，
因函数 在对称区间 上的值域为 ，故 ．
故选：B
4．在复平面内，等腰直角三角形 的直角顶点 为坐标原点，点 和点 分别在第一象限和第二象限，点 对
应的复数为 ，则点 对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由等腰直角三角形 的直角顶点 为坐标原点，点 和点 分别在第一象限和第二象限，
则点 可以看作点 绕点 逆时针方向旋转90度而得到，
因为 点对应的复数为 ，设 点对应的复数为 ，其中 ，
则满足 ，解得 ，所以点 所对应的复数为 .
故选：C．
5.已知三棱锥 中，且 AB = CD = ，BC = AD = ，AC = BD = ，则该三棱锥外接球的表面
积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线与三棱锥外接球直径的关系，求出外接球半径，进而求出
外接球的表面积.
【解析】将三棱锥 补成长方体，如图，
设长方体的长、宽、高分别为 ，
由于三棱锥 的棱长满足 ， ， ，
根据长方体面对角线的性质，可得 ，即 ，
所以长方体的体对角线长为 ，因此三棱锥的外接球直径 ，所以 ，
所以外接球的表面积 .
故选：A
6.函数 ，若对任意 ，都有 ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先推得 的单调性和 ，进而将目标转化为 在 上恒成立，求一元
二次函数的最大值即得.
【解析】因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，又因 ，
所以 等价于 ，
则 在 上恒成立，也即 在 上恒成立，
因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ，所以 ，则 ，
故a的取值范围是 .
7.已知实数 ，若对任意的 ， 恒成立，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式恒成立的条件得出 关系，然后再利用导数即可求解.
【解析】由题意可知 整理得 ，
又因为 ，所以 要想最大，则有 ，并且 ，即 ，所以 ，
设函数 ，令 ，解得 或 （舍去）.
当 时， ， 当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 的最大值为 .
故选：B
8.已知实数 ， 满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得 ，
设 ，则 ，
故 ，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 在 单调递增；当 ， ， 在 单调递减.
所以 ，所以 ，
令 ，则 ，
当 ， ， 在 单调递增；当 ， ， 在 单调递减.
故 ，所以 .
由题意可知若 ，则 ，故 ， ，
此时 且 ，解得 ，故 .
故选：A.
二、多项选择题：
9．若复数 满足 （ 是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A． 的虚部为
B． 的模为
C． 的共轭复数为
D． 在复平面内对应的点位于第三象限
【答案】BC
【解析】由 ，所以 ，
所以 的虚部为2，故A错误； ，故 正确；
的共轭复数为 ，故 正确；
在复平面内对应的点为 ，位于第一象限，故D错误.
故选：BC.
10.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做
了广泛的研究．则下列结论正确的是（ ）
A．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
B．
C．第2020行的第1010个数最大
D．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为【答案】ABD
【解析】对于A：第 行，第 行，第 行的第 个数字分别为： ， ， ，其和为 ；
而第 行第 个数字就是 ，故A正确；
对于B：因为 ， ，所以 ，故B正
确；
对于C：由图可知：第 行的第 个数最大，故C错误；
对于D：依题意：第 行从左到右第 个数为 ，第 行从左到右第 个数为 ，
所以第 行中从左到右第 个数与第 个数之比为 ，故D正确；
故选：ABD.
11．数列 的前n项和为 ，且 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 为等差数列，则 的公差为1
B．若 为等差数列，则 的首项为1
C．
D．
【答案】AD
【解析】因为 ，所以 ，两式相减得 ．
若数列 为等差数列，则 的公差 ．
又 ，所以 ，解得 ，所以A正确，B错误；
，
所以 ，所以C错误．
因为 ，所以 恒成立，
即 成立，所以D正确，
故选：AD．
三、填空题：
12．已知平面向量 ，若 ，则 ．
【答案】-2
【解析】 ，因为 ，所以 ，即 ，解得 .
故答案：-2.
13. 在直三棱柱 中，已知 ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为________．
【答案】 .
【分析】结合题意进而建立空间直角坐标系，进而利用异面直线夹角的向量求法求解即可.
【解析】作 ，因为 ，所以 是 的中点，
过 作 ，由直三棱柱性质得 面 ，
如图，作出符合题意的图形，以 为原点建立空间直角坐标系，
因为 ，所以 ，由勾股定理得 ，
则 ， ， ， ，
可得 ， ，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 .
故答案： .
14.已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个
球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记 为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则 的
数学期望 ______．
【答案】 .
【解析】由题设，每次抽取 的概率为 ，抽取 的概率为 ，抽取 的概率为 .
所有可能的取值为： ，
当 时，4次中 有两个元素各出现两次，或者4次中三个都出现，其中有一个元素出现两次，其余
两个元素各出现一次，故 ，
当 时，4次中 有一个元素抽到4次，故 ，
故 ，
故 的分布列如下：
故 .
四、解答题
15．已知椭圆 的焦距为 ，点 在椭圆 上，动直线l与椭圆 相交于不同两点
，且直线 的斜率之积为1．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若 为直角三角形，求直线 的斜率；
(3)试问：动直线l是否过定点？若过定点，求出其坐标；若不过定点，请说明理由．
【解析】（1）设椭圆 的半焦距为 ，
则依题意有 ，解得 ，所以椭圆 的标准方程为 ；
（2）设直线 的方程为 ，
由 消去 ，得 ，解得 .
因为直线 的斜率之积为1，所以直线 的方程为 ，
同理可得 ，
故直线 的斜率当 为直角三角形时，只有 或 ，
于是 或 .
若 ，由 ，可得 ，从而 ；
若 ，由 ，可得 ，从而 .
所以存在，直线 的斜率为 ．
（3）由（2）可知 ，直线l的斜率 ，
所以直线l的方程为 ，
即 ，
所以动直线l恒过定点 ．
