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2026年高考数学8+3+3+1强化训练(20)【解析】
一、单选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合 ， ，若 含有4个元素，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据集合元素的互异性及并集的概念求解即可.
【解析】根据集合元素的互异性可知， ， .
因为 含有4个元素，所以 仅含有1个元素，
若 ，则 或 ，所以 或 .
若 ，则 .
结合集合元素的互异性可知 或 .
当 时， ， ， ，符合题意.
当 时， ， ， ，不符合题意.
综上， .
故选：B.
2.已知直线 ，圆 ，则“ ”是“直线 与圆 相交”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
因为方程表示圆，所以 ，解得 .
所以圆 的圆心为 ，半径为 ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，
若直线 与圆 相交可得 ，则可得 ，解得 .
所以“ ”是“直线 与圆 相交”的充分不必要条件.
故选：B.
3.若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先应用指数和对数转化，再应用对数运算律计算判断各个选项.
【解析】因为 ， ，所以 ， ，所以 ，A选项错误；
，B选项错误；
，C选项错误；
，D选项正确.
故选：D.
4.已知在 的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取2项，其中抽到有理项
的个数为1，这个事件记为事件A，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二项式系数的性质可知 ，再由二项展开式的通项求出有理项的个数，即可求解.
【解析】在 的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则 ，
可得 的二项展开式的通项 ，
当 为整数时，该项为有理项，因为 且 ，
所以当 时， 分别为 是整数，即有理项有3项，可得 .
故选：A.
5.在 中，内角 的对边分别为 ，则 一定为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，所以
考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角之间的关系，
进而判断三角形的形状.
【解析】在 中， ,
则 ，即 ，
则 ，即得 ,
由于 ，故 ，结合 ，可得 ，
即 一定为直角三角形，故选：A.
6．已知一组数据 的方差为 ，甲同学将这组数据错看成 ，并求得错误数据的方差为
，则正确数据的方差 （ ）
A．80 B．60 C．40 D．20
【答案】C
【分析】利用方差公式，将正确数据和错误数据的方差的表达式相减，即可求得答案.
【解析】由于 ，故正确数据和错误数据的平均数相等，记为 ，
则 ，
，
则 ，
则 ．
故选：C.
7．已知椭圆 : 的右焦点为 ，上顶点为 ，直线 交 于另一点 ．若 ，
则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量关系得到点 坐标，代入椭圆方程化简求解即可.
【解析】椭圆右焦点为 ，上顶点为 ，设 .
由 得 ，
所以 ， ，即 .
代入椭圆方程得 ，整理得 ，即 .
又 ，所以 .
故选：C.
8.已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】构造函数 ，求出 ，构造函数 ，利用导数法得到 的单
调性，由 结合单调性得到 在 上单调递减，从而得到 ，继而得到
，从而得到 ．
【解析】令 ，则 ．
令 ，易知 在 上单调递减，
且 ，
所以 在 上恒成立，
则 在 上单调递减，
则 ，
即 ，所以 ，
所以 ，即 ．
故选：D.
二、多项选择题：
9.已知复数 ，下列说法正确的是（ ）
A． B．若 ，则
C． D．若 ，则 为纯虚数
【答案】ACD
【分析】利用共轭复数的定义判断选项A；举反例即可判断选项B；由复数模的运算性质判断选项C；由复数的乘
方运算即可判断选项D.
【解析】设 ，
对于A，由 ，则 ，
而 ，则 ，故A正确；
对于B，举例 ，满足 ，但 ， 无法比较大小，故B错误；
对于C，由复数模的运算性质可知， ，故C正确；
对于D，由 ，则 ，而 ，
可得 ，则 ，则 为纯虚数，故D正确．故选：ACD
10．已知函数 ， ，则下列结论正确的有（ ）
A．曲线 与曲线 存在相同的对称中心
B．曲线 与曲线 存在相同的对称轴
C．曲线 向左平移 个单位得到曲线
D．曲线 与曲线 关于 轴对称
【答案】AC
【解析】选项A，因为 ，
令 ， 得 ，所以 的对称中心为 .
因为 ，令 ，得 ，
所以 的对称中心为 .
假设存在相同对称中心，则 ，
化简得 ，当 时， ，所以存在相同对称中心 ，A正确.
选项B， ：令 ，得 ，对称轴为 .
：令 ，得 ，对称轴为 .
假设存在相同对称轴，则 ，化简得 ，
左边为偶数，右边为奇数，无整数解，所以曲线无相同对称轴，B错误.
选项C， ，平移 个单位，得：
，C正确.
选项D，若 与 关于 轴对称，则需满足 .
因为 ，而 ，
显然 与 不能恒相等，所以两曲线不关于 轴对称，D错误.
故选：AC.11.已知直线 与抛物线 交于 两点， 为抛物线的焦点，过点 作 的垂线交直线
于点 ，则（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BCD
【分析】设 ，联立方程组求得 ， ，结合向量的数量
积的运算公式，可得判定A错误，B正确；由抛物线的定义和 ，得到 ，代入求得 的坐标，
结合斜率公式，可判定C正确；求得 ，列出方程，求得 的值，可判定D正确.
【解析】对于A，设 ，可得
联立方程组 ，整理得 ，
可得 ，且 ，
则 ，
所以 ，所以A错误；
对于B，由抛物线 的焦点为 ，直线 的斜率为 ，
则过 且垂直于 的直线的斜率为 ，其方程为 ，
令 ，可得 ，所以 ，则 ，
所以 ，
又由 ，
所以 ，所以B正确；
对于C，由抛物线的定义，可得 ，
因为 ，可得 ，即 ，
因为 ，代入可得 ，即 ，
解得 或 （舍去），则 ，
将 代入抛物线的方程，可得 或 （舍去），所以 ，此时直线 的斜率为 ，所以C正确；
对于D，由抛物线 的焦点为 且 ，
可得 ，
因为 ，可得 ，整理得 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题：
12.在 中，角 的对边分别是 ，若 ，则 __________．
【答案】2
【分析】借助正弦定理将边化为角后，利用三角形内角和及两角和的正弦公式可得 ，再由正弦定理
可得 ，即可得解.
【解析】因为 ，由正弦定理，可得 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，又由正弦定理，可得 ，即 ，
因为 ，所以 ．
故答案：2
13.已知函数 是偶函数，则 ___________．
【答案】2
【分析】由偶函数的定义 恒成立，化简得到 恒成立，即可求解.
【解析】因为 为偶函数，所以 ，
，
即 ，
化简可得 对于任意 恒成立，
所以 ，所以 ．故答案：2
14.若 恒成立，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【分析】利用换元法，结合余弦函数的最值性质、任意性的定义，通过构造函数，利用导数研究函数的最值即可．
【解析】易知 ，
令 ，则 ，
所以 ．当 时， ，
当 或 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
由 ，得函数 的最小值为 ，
因为 ，所以 ．
所以实数a的取值范围为 .
故答案： .
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知数列 中， ，满足 ．
(1)证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式：
(2)设 为数列 的前 项和，求 ．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）利用构造法将 转化为 ，利用等比数列的通项公式求解.
（2）求出 ，求出 ，利用裂项相消法求出 .
【解析】（1）由题意， ，
则 ，
，所以 是以 为首项，3为公比的等比数列.
所以 ，则 .
（2）由 ，
则 ，
所以
即 .
