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2026 年高考数学·百分卷（二）
百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的
解析几何或导数大题
一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知复数z满足 ，则z＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ．
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解不等式 ，即 解得 或 ，即 ，则
.
3．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 .
4．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）A．13 B．15 C．17 D．19
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，解得 ，
故 .
5．如图，平行四边形 中， ，作如下图所示网格，使得每个小平行四边形都是菱形，
若 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设与 方向相同的单位向量分别为 ，则 ，故 ，由于
，故 .
6. 曲线 在点 处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，又 ， ，则所求
切线方程为 .
7．在陕西汉中某明清古民居的修缮中，发现了一个用于梁架承重的木制方斗，其形状可被视为正四棱台.
经实测，该方斗的上口边长为 ，下口边长为 ，侧棱长为 ，若忽略该方斗的厚度，则这
个方斗的容积为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】画出该正四棱台的直观图，如图所示，
易得 ， ，过 作 ，垂足为 ，则 即为该正四棱台的高，
， ，
则这个方斗的容积 .
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
8．圆 与圆 的公切线的交点坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】如图，作出符合题意的图形，
由题意得 ，圆心 ，半径 .
将 整理得 ，圆心 ，半径 .圆心距 ，两圆外切，所以共有三条公切线，两两相交可得三个交点.
外公切线交点在连心线延长线上，由位似性质得交点为 ，由图可得一条外公切线为 ，
设另一条外公切线方程为 ，由圆心到切线距离等于半径得 ，
解得 ，所以 ；两圆联立且内公切线的切点在连心线 上，
所以切点坐标为 ，内公切线斜率为 ，方程为 ；
此时两两交点 ，对应选项A；
，对应选项B； ，对应选项C；
故选项D不是公切线交点.
9．在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ， ，则（ ）
A．
B．若 ，则
C．若三角形ABC为锐角三角形，则 的取值范围是
D．若 ，则三角形ABC为直角三角形
【答案】ABD
【解析】对于A：因为 ，所以 或 ，又 ，
故 ，若 ，又 ，则 ，与 矛盾，所以 ，故A正确；
对于B：因为 ，所以 ，由正弦定理将上述等式化简为 ，
根据余弦定理 代入可得 ，将 代入得 ，解得
或 （舍），故B正确；对于C：由选项A可知 ，所以 ，
又 ，因为 为锐角三角形，
所以 ，
即 ，解得 ，
因为 在 上单调递减，所以 ，故C错误；
对于D：因为 ，由正弦定理及 得 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
即 ，又 ，所以 为锐角，可得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，故D正确．
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．
10．已知函数 为奇函数，当 时， ，则 _________.
【答案】
【解析】由函数 为奇函数，得： ，令 ，得： ，
，又因为当 时， ，得 ，因此 .
11. 过抛物线 的焦点 ，且斜率为1的直线交 于 两点，则 _________.
【答案】
【解析】抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ，
所以直线 的方程为 ，与抛物线方程联立，得 ，
，设 ， ，
.四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12．2026年马年春晚是 大模型与节目结合最多的一场春晚，其中大模型“豆包”贯穿整场晚会．为了
了解人们对大模型“豆包”应用的关注程度，现随机抽取不同年龄段的1000人进行调查统计，得到如下
列联表：
“豆包”应用
年龄 合计
不关注 关注
不超过50岁 400 600
超过50岁 300
合计 1000
（1）完成 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，判断人们对大模型“豆包”应用的关注
程度是否与年龄有关联；
（2）从不超过50岁的调查者中按比例分配的分层随机抽样抽取6人，从这6人中随机抽取2人做进一步
的访谈，记抽到的2人中关注“豆包”应用的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附： ，其中 ．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解析】（1）（1）补全的 列联表如下：
“豆包”应用
年龄 合计
不关注 关注
不超过50岁 200 400 600
超过50岁 300 100 400
合计 500 500 1000
零假设为 ：人们对大模型“豆包”应用的关注程度与年龄无关.
根据表中数据，计算得到 ．
根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 成立，即认为人们对大模型“豆包”应用的关注程度与年龄有关，该推断犯错误的概率不超过0.001．
（2）从不超过50岁的调查者中按比例分配的分层随机抽样抽取6人，
则关注“豆包”应用的有 人，不关注“豆包”应用的有 人，
则 的所有可能取值为0，1，2，
的分布列为
0 1 2
的数学期望 .
13 已知 与 为公差相同的等差数列，且 ， .
（1）求 与 的通项公式；
（2）设 为数列 的前 项和，证明： .
【解析】（1）设 ，则 ， ， ，
由题意可得 ，解得 ，
则 的首项为3，公差为2， 的首项为1，公差为2，
故 ， .
（2）由（1）得 ， ，
故 ，
则 ，故 .
14. 如图所示，正四棱锥 的底面边长为 ，延长CD到点 ，使 ，
连接 .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 为等边三角形，点 是线段 上的动点，记 与平面 所成的角为 ，求 的
最大值.
【解析】（1）由题意得，点 是正方形 的中心，所以 平面 .
∵ 平面 ，∴ .∵正方形 中， ，
平面 ，∴ 平面PAC.
∵四边形 中， ∥ ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ∥ ， .∴ 平面 .
（2）∵ 平面 ， 平面 ，∴ .
∵ ，∴ 两两垂直，
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，建立如图空间直角坐标系.
由题意知， ，
∴ ， .∴ ，
∴ .
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，
∴平面 的一个法向量为 .
设 ，则 .
记 与平面 所成的角为 ，则 .
由 ，得 ，所以 ，∴ ，
∴ 的最大值为 ，此时 ，点 与 的中点重合.
