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2026 高考数学·百分卷（三）
百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的
解析几何或导数大题
一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．某科研数据库包含5000个海水样本，其中一半来自中层海域，若按分层抽样抽取200个样本进行分析，
则应抽取中层海域的样本数为（ ）
A．50 B．100 C．200 D．250
【答案】B
【解析】由题意，样本中应抽取中层海域的样本数为 个.
2. 已知i是虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
A. B. 3 C. D. 9
【答案】B
【解析】因为 ，所以
所以 .
3．设集合 , ,则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由 .
4．数列 是公差为正数的等差数列，其前 项和为 ，则 （ ）
A．0 B．4 C．6 D．8
【答案】C【解析】由题可得 ，解得 或 （舍去），
，解得 ， ， ．
5. 已知 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ，
而 ，
所以 在 上的投影向量为 .
6. 已知 是奇函数，则实数 的值为（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】C
【解析】要使 有意义，则 ，即 ，解得 或 .
所以函数 的定义域为 ，关于原点对称.
.
因为 ，所以 ，
即 ，也即 ，
因为 ，所以 .
7. 已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 到焦点 的距离为3，则 的面积为（
）
A. B. C. 2 D.【答案】B
【解析】由 可得焦点 坐标为 ，所以 ，所以代入抛物线可得 ，
因此 的面积为 .
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
8．2026年是“十四五”环境治理规划的关键验收年.某市生态环境局为评估AI辅助预测模型的准确性，
记录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差＝实际浓度－预测浓度，单位： ）.如下表：
日期 1 2 3 4 5 6 7
预测误差
1 0 3 3
下列关于这7天预测误差 的描述中，正确的有（ ）
A．这组数据的众数是3
B．这组数据的60%分位数是0.5
C．这组数据的方差大于5
D．若第8天该模型预测误差为 ，则加入第8天数据后，新数据组的平均数将变小
【答案】ACD
【解析】将数据从小到大排序得： ， ， ，0，1，3，3.
对于A，3出现两次，其余一次，众数为3，故A正确；
对于B， ，不是整数，故取第5个数，第5个数为1，故60%分位数为1，故B错误；
对于C，平均数 ，方差 ，故C正确；
对于D，原平均数为0，新数据 小于0，加入后平均数变为 ，确实变小，故D正确.
9．已知函数 ，则（ ）
A．曲线 在点 处的切线方程为B． 在 上单调递增
C． 在 上有极大值
D． ，使得
【答案】AC
【解析】函数定义域为 ， ，
对于A， ， ，
所以在点 处的切线方程为 ， ，故A正确；
对于B，当 时， ， ， ，
因此 ，即函数在 上单调递减，故B错误；
对于C，当 时， ，函数单调递增，当 时， ，函数单调递减；
故 ，函数取得极大值 ，故C正确；
对于D，当 时， ，函数单调递减，当 时， ，函数单调递增；
因此 是 上的极小值点，也是最小值点， ，
故不存在 使得 ，故D错误．
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．
10．若双曲线C的一条渐近线方程为 ，则双曲线C的离心率为________.
【答案】 或
【解析】渐近线变形为 ，若焦点在x轴，则 ，则离心率 ；
若焦点在y轴，则 ，则 .11. 若函数 在区间 上有且仅有3个零点，则 的最小值为______．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，由函数 在区间 上有
且仅有3个零点，所以 ，所以 的最小值为 .
四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12. 已知数列 的前 项和为 .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求 的最大值.
【解析】（1）由条件有 时， ，又 ，所以 ， ，
则 ，经检验， 满足 ，所以 的通项公式 .
（2）由（1）得数列
则
，
因为 ，所以 ，
又 ，故 的最大值为 .13．如图， 内接于圆 ， 为圆 的直径， 平面 ， 为线段 的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ， ， ，求平面 与平面 所成角的余弦值．
【解析】（1）证明 因为 内接于圆 ， 为圆 的直径，所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 ．又 ， 平面 ， ，
所以 平面 ．因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）因为 平面 ， ， 平面 ，
所以 ， ．
以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 ， ，所以 ，则 ， ， ， ，
所以 ， ．
设平面 的法向量 ，由 得
不妨设 ，则 ，所以平面 的一个法向量 ．又 ， ，
设平面 的法向量 ，由 得
不妨设 ，则 ， ，
所以平面 的一个法向量 ．
所以 ，
即平面 与平面 所成角的余弦值为 ．
14．已知双曲线 的离心率为 ，且经过点 .
（1）求 的标准方程；
（2）若过点 的直线 与 交于 两点，求线段 的中点 的轨迹方程.
【解析】（1）设双曲线 的焦距为 ，由离心率 ，得 ，
又 ，所以 ，即 .
将点 代入方程，得 ，即 ，所以 ， .
故双曲线 的标准方程为 .
（2）解法一：设点 、 、 ，
若直线 的斜率不存在，则点 、 关于 轴对称，此时线段 的中点在 轴上，不符合题意，
故直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ，即 .
联立方程 ，代入消去 ，整理得 .则 ，
即 ，且 ，所以 .
于是，中点 的横坐标 ，则 .
又点 在直线 上，所以 ，即 .
因为 ， 且 ，
当 时， ，可得 ，则 ，
当 时， ，可得 ，则 ，
故线段 的中点 的轨迹方程为 或 .
解法二：设点 、 、 ，
若直线 的斜率不存在，则点 、 关于 轴对称，此时线段 的中点在 轴上，不符合题意，
故直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ，即 .
联立方程 代入消去 ，整理得 .
则 即 ，且 ，由 、 两点在双曲线上得 ，作差得 ，①
当 时，易知 ；
当 时，①式可化为 ，即 .
故 （由题意可得 且 ），
可得 ，
因为 ，所以 .
当 时， 也在直线 上.
又 ，可得 ， 且 ，
当 时， ，可得 ，则 ，
当 时， ，可得 ，则 ，
综上，线段 的中点 的轨迹方程为 或 .
