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2026 高考数学·百分卷（十）
百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的
解析几何或导数大题
一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知全集 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】全集 ，
则
2. 复数 满足 ，则 （ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】由已知等式 ，变形得： ， ，因此
3．函数 的图象在 处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将 代入函数 ，得 ，因此切点为 ，
又因为 ，将 代入， ，即 ，所以 ，即 ．
4．某公司50名员工的月工资统计表如下：
工资/元 3600 4000 4400 5000 6000 7000
人数/名 5 10 20 7 5 3
记这50名员工月工资的平均数为 元，中位数为 元，众数为 元，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】这50名员工月工资的平均数为
元；
从小到大排列后第25和第26个数均为4400，所以中位数为 元；
显然4400出现次数最多为20次，所以众数为 元故 .
5．已知等差数列 的前n项和为 ，若 和 的等差中项为6，则 （ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，由题意得， ，
则 .
6．已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 （ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
即 .所以 是周期为4的周期函数.所以 .
在 中，令 ，则 ，所以 .因此 .
7．一个圆锥的底面直径为2，体积为 ，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，当该球为圆锥的外接球时，球的表面积最小，圆锥的底面半径为 ，体积为
高 ，设球的半径为 ，由图可得 ，解得 ，
故球的表面积的最小值为
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
8.函数 的部分图象如图所示，其中 ， ，则下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
C． 在区间 恰有一个零点
D．将 图象向左移 个单位后关于 轴对称
【答案】ACD
【解析】因为 ，又 ，所以 ，故B错误；因为 ，
由图可知， ，所以 ，故A正确；
所以 ，当 时， ，所以方程 在 上只有
即 一个解，即函数 在区间 恰有一个零点，故C正确；
将 图象向左移 个单位后可得 ，为偶函数，其
图象关于 轴对称，故D正确.
9．已知双曲线 的右焦点为F，直线 是C的一条渐近线，P是l上一点，则
（ ）
A．C的虚轴长为 B．C的离心率为
C． 的最小值为2 D．直线PF的斜率不等于
【答案】AD
【解析】双曲线 的渐近线方程为 ，依题意， ，解得 ，
对于A， 的虚轴长 ，A正确；
对于B， 的离心率 ，B错误；
对于C，点 到直线 的距离 ，即 的最小值为 ，C错误；
对于D，直线 的斜率为 ，而点 不在 上，点 在 上，则直线PF的斜率不等于 ，
D正确.
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．
10．已知两个单位向量 ， 满足 ，则向量 与 的夹角为________．【答案】】
【解析】由 ，则 ，故 ，
则
，因 ，故向量 与 的夹角为 .
11．曲线 在 处的切线也是曲线 的切线，则实数 ________．
【答案】
【解析】对于 ，当 时, ，
又 ，所以 ，切线斜率为 ，切点为 ；
则曲线 在 处的切线为 ，
令 ，则 ，设切点 ，由 ，
解得 ，则 ．
四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12．如图，在四棱锥 中， 平面ABCD，AD BC， ， ， ．
（1）证明： ．
（2）若 ，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
【解析】（1）连接AC，因为 ， ， ， ，
所以在梯形ABCD中，可得 ， ，
所以 ，可得 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面PAC， 平面PAC，
所以 平面PAC，因为 平面PAC，所以 ．
（2）因为 平面ABCD， ，
所以以 为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，则 ， ，所以平面PCD的一个法向量为 ，
显然 是平面PAB的一个法向量，
设平面PAB与平面PCD的夹角为 ，
则 ，
所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为 .13.已知椭圆 ：x2 y2 的离心率为√ 3，且过点 √ 3 ．
E + =1(a>b>0) (1, )
a2 b2 2 2
（1）求椭圆E的方程；
1
（2）已知点P(2,-1)，斜率为- 的直线l与椭圆E交于A，B两点.当△PAB的面积最大时，求直线l的
2
方程．
c √ b2 √ 3 x2 y2
【解析】（1）因为椭圆E的离心率e= = 1- = ，所以a=2b，则E： + =1，
a a2 2 4b2 b2
√ 3
√ 3 ( )
2
因为点(1, )在椭圆上，所以 12 2 ，解得b=1，a=2．
2 + =1
4b2 b2
x2
所以椭圆E的方程为 + y2=1．
4
1
（2）设直线l：y=- x+m，A(x ,y )，B(x ,y )，
2 1 1 2 2
{
x2
+ y2=1
4
联立 ，化简得x2-2mx+2m2-2=0，
1
y=- x+m
2
Δ=4m2-4(2m2-2)=8-4m2>0，解得-√ 2<m<√ 2．
由韦达定理得x +x =2m，x x =2m2-2，
1 2 1 2则|x -x |=√ (x +x ) 2-4x x =√ 8-4m2=2√ 2-m2，
1 2 1 2 1 2
1
|- ×2+1+m|
所以|AB|= √ 1+(- 1 2 ) 2|x 1 -x 2 |=√ 5⋅√ 2-m2，又因为d P-AB = √ 2 1 = √ 2 5 |m| ，
1+(- ) 2
2
1
所以S = |AB|⋅d =|m|⋅√ 2-m2=√ m2 (2-m2 )=√ -(m2-1) 2+1．
△PAB 2 P-AB
当m2=1时，即m=±1时，△PAB的面积取到最大值，
1 1
此时，直线l：y=- x+1或y=- x-1．
2 2
14．已知函数 ．
（1）讨论 在其定义域上的单调性；
（2）当 时，若 ，求实数 的取值范围．
【解析】（1） 的定义域为 求导有 ，
令 ，则 ，
当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减，
所以 ，则有 ，所以 在 单调递减；
（2）当 时， 等价于 ，即 ，
令 ，则 ，
①若 ，即 ，则 ， 在 上单调递减，所以 ，满足题意；②若 ，即 ，令 ，得 ，
当 时， ， 在 单调递增，
当 时， 在 单调递减，
所以 ，
令 ， 是减函数，
又 ，所以 ，与条件矛盾，
综上，所以 ．
