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2026 高考数学·百分卷（二十二）
百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的
解析几何或导数大题.[本套百分卷均选自2026年3月、4月湖北模考、调研试题]
一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. （2026·湖北武汉市教育科学研究院四月供题）若集合 ， ，
则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ， ，
故 .
2. （2026·湖北新八校二模） 已知 ， ，则 （ ）
A. 25 B. 16 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】 ，则 ，故选D.
3. （2026·湖北随州市考前模拟）已知 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由 ， ， ，令 ， ， 得 ，则 不成立，
所以“ ”是“ ”的不充分条件；因为 ， ， ，即 ，得 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以“ ”是“ ”的必要条件；
综上，“ ”是“ ”的必要不充分条件.
4. （2026·湖北黄冈市3月模拟）若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】利用诱导公式，得 ，
故利用二倍角公式，得 .
5. （2026·湖北宜昌市3月调研）若椭圆 的长轴长是短轴长的 倍，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，
由于椭圆 的长轴长是短轴长的 倍，故 ，即 ，
故椭圆 的离心率为 .
6. （2026·湖北十堰市3月调研）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设 的公差为 ，
由 ， ，得 ，解方程组，得 ，
所以 ．
7. （2026·湖北随州市二模）已知函数 ，其中 ，3为 的极大值点．若
在 内有最小值，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ，由于 ，则 ，
所以由 或 ；由 .
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
故 是 的极大值点，故 ， 是 的极小值点.
若 在 内有最小值，只需 即可，解得 ，因此选D．
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
8. （2026·湖北新八校二模）已知复数 、 是方程 的两根，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D. 若 ，则
【答案】AD
【解析】实系数一元二次方程的虚根共轭成对，因此 ，A正确
由韦达定理可知 ， ，所以B错误；
，C错误，
，可得 ，由韦达定理可知 ，所以 ， D正确.
9. （2026·湖北鄂州4月调研）在四面体 中， 是边长为2的等边三角形， ，
均为等腰直角三角形，则该四面体的体积可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】若 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， 均为等腰直角三角形， ，所以 ，
所以该四面体的体积为 ；
若 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， 均为等腰直角三角形， ，
所以 ，则 ，则 ，
所以该四面体的体积为 ；
若 ，因为 ， 均为等腰直角三角形， ，
所以 ，
取线段 的中点 ，连接 ，则 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， ，所以点 到直线 的距离为 ，
则 ，
所以该四面体的体积为 .
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．
10. （2026·湖北黄冈市适应性测试）在 的展开式中常数项为80，则 ____________．
【答案】
【解析】 的展开式的通项为 ，
令 ，得 ，所以展开式中常数项为 ，解得 .
11 .（2026·湖北恩施州第二次质量监测）双曲线 的左右焦点分别为 ，双曲线右支
上一点 满足 ，则直线 的斜率为______．
【答案】 或2【解析】设 ， ，由双曲线的定义及勾股定理得 ，可得 ，
，设 ，则 ， .
又 ，即 ，解得 或 （舍去），
的
所以直线 的斜率为 ，结合双曲线对称性可知，直线 斜率为 或2．
四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12. （2026·湖北鄂州4月调研）各棱长均相等的正三棱柱 中， 为 中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
【解析】（1）证明：连接 ，交 于点 ，连接 ．因为正三棱柱各棱长均相等，所以侧面 为正方形，所以 为 中点，
又 为 中点，所以 .又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）因为 为正三角形， 为 中点，所以 .
以 为原点， ， 分别为 轴， 轴建立如图所示空间直角坐标系，
设正三棱柱各棱长为2，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， .
设平面 的法向量为 ，
所以 ，即 ，令 ，则 ， ，所以 .
设平面 的法向量为 ，所以 ，即 ，令 ，则 ， ，所以 .
设平面 与平面 夹角为 ，
则 .
故平面 与平面 夹角的余弦值 ．
13.（2026·湖北恩施州第二次质量监测）某景区为回馈游客设计了一项抽奖活动，每轮抽奖规则是：从
装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中一次抽取3个球，每一个红球积1分，每一个黑球积0分；每
位游客只能参加一轮抽奖活动，若所得积分大于或等于2，即可获得景区门票一张．
（1）求游客甲在一轮抽奖中所得积分 的分布列；
（2）若某旅行团共5位游客，每位游客获奖的概率稳定且相互独立，求该旅行团获得景区门票人数的众
数．
【解析】（1）由题知 的所有可能取值为0，1，2，3，
则 ，
，
故 的分布列为
0 1 2 3
（2）在一轮抽奖中所得积分大于或等于2的概率为 ，
5位游客在5轮抽奖中，记成功的人数为 ，则 ，
故 ，法一：
.
且 ，
故5位游客在5轮抽奖中，该旅行团获得景区门票人数的众数是3人或4人．
法二：假设当 时，对应概率取值最大，
则 且 ，
解得 ，
且 ，
故5位游客在5轮抽奖中，该旅行团获得景区门票人数的众数是3人或4人．
14. （2026·湖北随州市考前模拟）已知椭圆 （ ）的离心率为 ，下顶点为
，右顶点为 ， .
（1）求 的方程；
（2） 是 的右焦点，过点 的直线 与 交于 ， 两点（异于点 ），若 平分 ，
求 的方程.【解析】（1）由题意可得 ，解得 ，故 的方程为 .
（2）由题可得 ， ，
易知直线l的斜率不为0，设 ， 、 ，
联立 ，消去 可得 ， 恒成立，
， ，
， ，
由 平分 ，则点 到直线 与到直线 的距离相等，
即有 ，即 ，
由 、 ， ， ，
故 ，即 ，
由 ， 两点异于点 ，故 ，
则 ，故 ，
整理得 ，由题意可得 ，故 ，
即 ，故 ，
即 的方程为 ，即 .
