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2026年高考数学8+3+3+1强化训练(5)【解析】
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知命题 ，则 的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，所以 ，其中 ，
函数 在 上单调递减，
故当 时， ，
所以 ，又集合 是集合 的真子集，
所以 是 的一个必要不充分条件，
故选：B.
2.若函数 在 上恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ， ， ，
可转化为 ，
又 开口向上，且对称轴为 ，
在 上单调递增， ，
函数 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
也就是
，解得 .
实数 的取值范围为 .
故选：C.
3.已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A， ，定义域为 ，
又 ，所以 为偶函数，故A错误；
对于B，当 时 ，
易知 ， ，所以 ，不满足，故B错误；
对于D，当 时， ，
由反比例函数的性质可知， 在 上单调递减，故D错误；
检验选项C， 满足图中性质。
故选：C
4.已知函数 的图象关于点 对称，则 （ ）
A． B．10 C．2 D．
【答案】C
【解析】函数 ，
则 ，
由函数 的图象关于点 对称，得 恒成立，
即 恒成立，
因此 ，解得 ，所以 .
故选：C5.设正数 ，随机变量 的分布列，若随机变量 的期望为1，则 最小值为（ ）
X 0
P
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】根据离散型随机变量分布列的性质：所有概率之和为 ，即 .解得 .
已知随机变量 的期望为 ，可得 .
化简可得： ，进一步变形为 .
将 进行变形，给式子乘以 得到 .
展开式子：
根据基本不等式，有 .
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
故选：C.
6.已知双曲线 与椭圆 的焦点重合，离心率互为倒数，设 分别为双曲线
的左，右焦点， 为右支上任意一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为椭圆 的焦点为 ，离心率为 ，
所以可知双曲线 ，解得 .
因为 为双曲线右支上任意一点，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 ．
故选：C
7. 若数列 满足 ，且对于 都有 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为对于 都有 ，
，令 ，所以 ，
所以数列 是以 为首项，2为公差的等差数列.
所以 ，所以 ，
所以 ， ，……， ，
将这 项累加，则 ，
所以 ，
则 ，
故选：D
8.已知函数 ，若 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知 ，
令 ，
且 的定义域为 关于原点对称，所以 是奇函数，因为 为 上的减函数， 为 上的减函数，
所以函数 在 上单调递减，故函数 在 上单调递减，
又由 ，得 ，
所以 ，
所以 任意 恒成立，即 对任意 恒成立，
若 ，可得 ，此时恒成立，满足要求；
若 ，则需 ，解得 ，
综上所述， 的取值范围是 ，
故选：B.
二、多项选择题：
9．已知变量x，y之间的线性回归方程为 ，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说
法正确的是（ ）．
x 6 8 10 12
y 6 m 3 2
A.
B．变量x，y之间呈现负相关关系
C．可以预测，当 时，y约为2.6
D．由表格数据知，该回归直线必过点
【答案】BCD
【解析】对于A， ， ，
，解得 ，故A错误；
对于B，由 ，得 ，故 呈负相关关系，故B正确；
对于C，当 时， ，故C正确；
对于D，由 得 ，回归直线必过点 ，即必过点 ，故D正确.
故选：BCD.10.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个
球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第 层有 个球，从上往下 层球的总数为 ，则（ ）
A. B.
C. ， D.
【答案】ACD
【解析】因为 ， ， ，……， ，
以上 个式子累加可得： ，
所以 ，故选项A正确；
由递推关系可知： ，故选项B不正确；当 ， ，故选项C正
确；
因为 ，
所以 ，故选项D正
确；
故选：ACD.
11.已知函数 （ ）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C．将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数
D．当 时，曲线 与 有4个交点
【答案】ABD【解析】观察函数 的图象，得 ，最小正周期 ，解得 ，
由 ，得 ，而 ，则 ，
对于A， ，故A正确；
对于B，由 ，得 ，
则 或 ，
解得 或 ，
又 ，则 ，故B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D，在同一坐标系内作出函数 与 在 上的图象，
如图，作出符合题意的图形，
观察图象得，两个函数图象有4个交点，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：
12.甲、乙两名运动员进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为p，乙胜的概率为 ，且各局比赛结果相互
独立．当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为 ．现甲、乙进行6局比赛，则甲胜的局数X的数
学期望为 ．
【答案】4
【解析】因为比赛采用5局3胜制时甲用4局赢得比赛的概率为 ，每局比赛甲胜的概率为p，
所以 ，解得 ，
从而每局比赛甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ．
由题意可知，随机变量X服从二项分布 ，所以 ，
故甲胜的局数X的数学期望为4．
故答案为：4.
13.已知函数 ，则使不等式 成立的x的取值范围是
【答案】：
【解析】：由 得 定义域为 ，
，故 为偶函数，
而 ， 在 上单调递增，故 在 上单调递增，
则 可化为 ，得 解得 .
故答案：
14.已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， ，则球 的表面
积为 .
【答案】
【解析】如图，将三棱锥 补成长方体 ，
设 ，又 ，
则 ， ， ，将三式相加得 ，
因为三棱锥 的顶点全在长方体的顶点上，所以长方体的外接球也是三棱锥 的外接球，
由长方体的性质知，长方体的外接球球心在体对角线的中点处，且体对角线长为 ，
所以三棱锥 的外接球 的半径为 ，
则球 的表面积为 .
故答案： .四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：
投资股市：
投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20%
概率
购买基金：
投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10%
概率
（1）当 时，求 的值；
（2）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率
大于 ，求 的取值范围；
（3）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知
， ，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？结合结果并说明理由．
【解析】：（1）因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独
立，
所以 ，又因为 ，所以 .
(2)记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少
有一人
投资获利”，则 ，且 独立．
由上表可知， ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，又因为 ， ，所以 ，所以 .
(3)假设丙选择“投资股市”方案进行投资，且记X为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，
所以随机变量X的分布列为：
X 4 0 －2
P
则 .
假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额(单位：万元)，
所以随机变量Y的分布列为：Y 2 0 －1
P
则 .
因为 ，
所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．
