文档文本内容
2026 年高考考前信心增强卷
数学（全国Ⅰ卷）
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．试卷难度：本试卷以基础题为主，考前增强学生信心，心有底气，笔下生辉，加油！
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题得 或 ，
所以 ，所以
2．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的乘法法则及复数相等的定义可得.
【详解】由 ，得 ．所以 ，
解得 ，所以 ．
3．已知向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，列出方程，求得 的值，结合充分条件、必要条件的判定方法，
即可求解.
【详解】由向量 ，若 ，可得 ，
解 ，解得 或 ，
所以 是 的充分不必要条件.
4．已知 ，则 （ ）
A． B．7 C． D．
【答案】D
【分析】利用二倍角公式和降幂公式进行化简，利用商数关系转化为 求值即可，注意“1”可以转化为
进行计算．
【详解】
5．等差数列 的前n项和为 ，已知 ，则数列 的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用等差数列的通项公式与前 项和公式求解首项和公差，得到 的表达式后对 裂项，通过裂项相消法计算前10项和
【详解】设等差数列 的公差为 ，
由等差数列通项公式 ，结合 可得： ，即 ，
由等差数列前 项和公式 ，结合 可得： ，即 .
将 代入上式，解得 ， ，
因此 ，故 .
设 的前10项和为 ，则：
6．用红、黄、蓝、绿4种不同颜色在如图所示的 ， ， ， ， 的5个区域涂上颜色，要求每个区域只涂1
种颜色，且相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的不同涂色方案种数为（ ）
A．24 B．36 C．48 D．72
【答案】D
【分析】由分步计数原理结合分类讨论即可.
【详解】依顺序， 区域可涂 种颜色， 区域可涂 种颜色， 区域可涂 种颜色，
① 区域若与 区域同色，则E有两种颜色可选；
② 区域若不与 区域同色，则只有 种颜色可选， 也只有 种颜色可选，
所以符合条件的方案有 种方案．
7．已知函数 在定义域内有最大值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】当 时， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
由对勾函数的性质可得， 在 上单调递增，在 上单调递减.
当 时，函数 单调递减， .
函数 在定义域内有最大值，则 ，即实数 的取值范围是 .
8．已知双曲线 的一条渐近线过点 ， 的右顶点为 ，直线 与 交于
两点，则直线 与 的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题可得 ，将直线 与 联立求解可得 ，利用斜率公式求解即可.
【详解】将点 代入 ，得 ．
联立 ，得 ，
不妨取 ，
又 ，所以 .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知m，n是两条直线， ， 是两个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】AC
【分析】根据空间线、面位置关系依次判断即可.【详解】对于A，若 ， ，则 ，故A正确；
对于B，若 ， ，则 或m与n为异面直线或相交直线，故B错误；
对于C，若 ， ，则 ，故C正确；
对于D，若 ， ，当 时， 不成立，故D错误.
10．已知事件A，B均为随机事件，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若事件A，B相互独立， ， ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】ABD
【详解】选项A， ，若 ，则 ，A正确.
选项B，若 相互独立，则 ，根据和事件概率公式
，B正确.
选项C， ， .若 ，可得
，
当 时，则 互斥， 时，此时等式两边都为0，等式成立但 ，推不出
，C错误.
选项D， ， .已知 ，
代入得 ，消去 后得 ，D正确
11．如图，在等边三角形ABC中， ，点 是靠近 的三等分点，过 的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N， ，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D． 的最小值是
【答案】ACD
【分析】根据平面向量基本定理、向量共线的定义、余弦定理、向量的模的计算、基本不等式的性质逐项计算判
断即可.
【详解】对于A，
，故A正确；
对于B，由A选项知 ，
则
，
在 中，利用余弦定理得
，故B错误；
对于C，因为点 三点共线，所以存在实数 使得 ，因为 ，由A知 ，
所以 ，所以 ，即 ，故C正确；
对于D，由C可知 ，结合题意可知 ，
所以
当且仅当 ，即 时，等号成立，
此时 取最小值为 ，故D正确.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知圆台的上底面和下底面的半径分别为1，2，母线长为 ，则该圆台的体积为___________．
【答案】
【详解】因为圆台上、下底面半径分别为 ，母线长 ，
可得圆台的高 ，
所以 ．
13．设函数 ， ， 是直线 与曲线 的两个交点，且 最
小值为 .若 ，则 ________.
【答案】
【分析】由 最小值可得 的最小正周期，从而可得 ，再将 代入计算即可得 .
【详解】由 最小值为 ，则 的最小正周期为 ，即 ，则 ， ，
解得 ，又 ，故 .
14．若函数 有且仅有2个零点，则 ______.
【答案】3
【分析】参变分离可得 ，令 ， ，利用导数判断 的单调性和图象，结合函数图象
分析求解.
【详解】因为 ，则 ，可知0不为 的零点，
令 ，且 ，可得 ，
令 ， ，可知 与 有且仅有2个交点，
因为 ，
当 时， ，可知 在 内单调递增，
且当 趋近于 时， 趋近于 ，当 趋近于0时， 趋近于 ；
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，则 ，
当 趋近于0或 时， 趋近于 ；
综上所述：可得 的图象，如图所示：若 与 有且仅有2个交点，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知函数 ，将曲线 向左平移 个单位长度，得到曲线 ．
(1)求 的单调递增区间；
(2)在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，锐角 满足 ， 的面积为 ，求 的
最小值．
【答案】(1) ；
(2)2
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数 ，再利用正弦函数性质求出单调递增区间.
（2）由（1）求出 ，进而求出锐角 ，再利用三角形面积公式、余弦定理及基本不等式求出最小值.
【详解】（1）函数 ，
由 ， ，解得 ， ，
所以函数 的单调递增区间为 .
（2）由（1）得 ，由 ，得 ，
由 ，得 ，则 ，解得 ，
由 的面积为 ，得 ，解得 ，
由余弦定理得 ，当且仅当 时取等号，
因此 ，所以a的最小值为2.
16．如图，在多面体 中，底面四边形 为直角梯形， ， ， ，
， 平面 ， 平面 ．(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 和平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理和线面垂直的性质，进而证明面面垂直；
（2）建立直角坐标系，分别求平面 和平面 的法向量，利用两个法向量夹角的余弦公式计算平面夹角的
余弦值
【详解】（1）如图，取 的中点 ，连接 ．
因为 ， ， ， ，
所以 ， ，所以四边形 是正方形，
所以 ， ．在 中， ，
则在 中， ，所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）因为 平面 ， ， 平面 ，所以 ， ．
又因为 ，所以 ， ， 两两垂直．
以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，所以 ， ， ．
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以 ．
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以 ．
因为 ，
所以平面 和平面 夹角的余弦值为 ．
17．已知函数
(1)设 ，分别讨论函数 与 在 上的单调性；
(2)证明：当 时， .
【答案】(1) 在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减.
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，根据导数计算即可；
（2）分 ， 两种情况，利用 结合函数单调性计算即可证明.【详解】（1）由题意得 ，
令 ，得 ；令 ，得 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
由 ，得 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）因为 ，所以 ，
①当 时， ，由（1）知 在 上单调递增，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ；
②当 时，令 ，
则 ， ，
由（1）知 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
即当 时， .
综上，当 时， .
18．已知定直线l： ，点M在l右侧，且M到 的距离与到l的距离之比为2，记其轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)过F与x轴垂直的直线 交 于A，C两点，过F的直线 交 于B，D两点.若四边形ABCD的面积为 ，求
的方程.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ，根据题意可得 ，化简可得曲线 的方程；
（2）设直线 的方程为 ， ，与双曲线方程联立，结合根与系数的关系可得
，进而可得 ，结合题意求解即可.
【详解】（1）设 ，
因为M到 的距离与到l的距离之比为2，所以 ，
两边平方可得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 的方程为 ；
（2）由题意可知 的方程为 ，代入 的方程可得 ，
由题意 的斜率存在，所以设直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，设 ，所以 ，
所以 或 ，
所以
，
因为 为 的中点，所以 ，所以 ，
所以 ，整理得 ，解得 （舍去）或 ，
所以 ，所以 的方程 .
19．某次投篮游戏，规定每名同学投篮 次 ，投篮位置有 ， 两处，第一次在 处投，从第二次开
始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次投篮位置不变.在 处每次投进得
2分，否则得0分；在 处每次投进得3分，否则得0分.已知甲在 ， 两处每次投进的概率分别为 ， ，且每
次投篮相互独立.记甲第 次在 处投篮的概率为 ，第 次投篮后累计得分为 .
(1)求 ；(2)求 的分布列及数学期望；
(3)求 的通项公式；
【答案】(1) ；
(2)分布列见解析，
(3) （ ）
【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式即可求解；
（2）通过相互独立事件概率公式计算分布列，再求期望；
（3）当 时，甲第 次在 处投篮分两种情形：①第 次在 处投篮且投进；
②第 次在 处投篮且未投进.分别确定概率，结合数列的递推关系得等比数列 ，根据等比数列的通项
公式求解 的通项公式即可；
【详解】（1）甲第 次在 处投篮的概率为 ，说明第 次投中，即 ，
甲第 次在 处投篮的概率为 ，说明第 次，第 次投中或第 次，第 次没投中，
即 .
（2）第 次投篮后累计得分记为 ，则 的可能取值为0，2，3，4，
设“甲第 次在 处投进”为事件 ，“甲第 次在 处投进”为事件 ，
，2，依题意， 的可能取值为0，2，3，4.
，
，
，，
所以 的概率分布为
0 2 3 4
.
（3）当 时，甲第 次在 处投篮分两种情形：
①第 次在 处投篮且投进，这种情形概率为 ；
②第 次在 处投篮且未投进，这种情形概率为 .
所以 ，故 ，
因为 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列.
所以 ，即 ， .
