文档文本内容
2026 年高考考前信心增强卷
数学（全国Ⅱ卷）
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．试卷难度：本试卷以基础题为主，考前增强学生信心，心有底气，笔下生辉，加油！
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，
所以 或 ，
所以 .
2．已知命题 ，则命题p的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【详解】由全称命题的否定知，命题p的否定为： ， .
3．在 中，点D在边BC上，且 ，设 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据线段的比例关系转化为向量等量关系，通过向量线性运算将 用 ， 表示后匹配选项.
【详解】 ，因此 。
又因为 ， ，
所以 .
化简可得 ，即 .
又 ， ，
因此 .
4．下列函数为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A选项， ，定义域关于原点对称， ， 为偶函数，故A选项错误；
对于B选项， ， ， 为非奇非偶函数，故B选项错误；
对于C选项， 为偶函数，故C选项错误；
对于D选项， 为奇函数，故D选项正确.
5．已知 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】由已知结合同角三角函数的基本关系求出 ， ，然后结合诱导公式以及和差角公式进行化简即可
求解.
【详解】因为在 中， ， ，
所以 ， ，
因为 ， 为锐角，所以 ，
若 ，则 为钝角，又 可知， ，此时 ，矛盾，
故 ，则 .
6．已知等差数列 满足 ，则 （ ）
A． B．14 C． D．21
【答案】B
【详解】由等差数列 满足 ，得 ，
所以 ，所以 .
7．某科技公司使用AI质检系统对生产的芯片进行初筛（分为合格芯片和瑕疵芯片）．已知芯片被标记为合格的
概率为 ，被标记为瑕疵的概率为 ．被标记为合格的芯片中有 实际为瑕疵芯片，被标记为瑕疵的芯片中有
实际为合格芯片．在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】记“芯片为瑕疵芯片”为事件 ，“芯片被标记为合格”为事件 ，“芯片被标记为瑕疵”为事件 .
则 ， ， ， .
所以 .
即在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为 .8．已知 是椭圆 上一点， ， 是椭圆的两个焦点， ， ，
则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析可知 ， ，结合椭圆定义求离心率即可.
【详解】因为 ， ，则 ，
则 ， ，
所以椭圆 的离心率为 .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B． 的图象关于点 对称
C．将 的图象向右平移 个单位长度后，再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍（纵坐标不
变），得到函数 的图象
D． 的图象与 的图象在 内有4个交点
【答案】BD
【分析】利用辅助角公式得 ，对A和B，利用正弦函数的性质，代入检验，即可求解；对C，利
用图象的平移变换，即可求解；对D，在同坐标系中作出两函数的图象，数形结合，即可求解.【详解】对于A，由题意知 ，
因为 ，故 不是 的对称轴，所以A错误，
对于B，因为 ，故 的图象关于点 对称，所以B正确，
对于C，将 的图象向右平移 个单位长度后，得到 ，
再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 ，故C错误，
对于D，在同坐标系中，作出 与 在 内的图象，
由图可知 的图象与 的图象在 内有4个交点，故D正确．
10．在正四棱台 中，E，F分别为 ， 的中点，则（ ）
A． B．
C． 平面 D． 平面
【答案】ACD
【分析】将正四棱台补成正四棱锥，根据空间线面的位置关系逐一判断.
【详解】如图，将正四棱台补成正四棱锥，点 是正四棱锥的顶点， 是正方形 的中心，
连接 ，
对于A，因为 分别是 的中点，所以 ，又 ，所以 ，故A正确；
对于B，因为 与 所成角为 ，又 ，所以 与 所成角为 ，
因为 ，所以 与 所成角为 ，故B错误；对于C，因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故C正确；
对于D，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，
又 是平面 内两条相交直线，所以 平面 ，即 平面 ，故D正确.
11．下列命题中，真命题的是（ ）
A．一个样本的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变大
B．数据 组成一个样本，其回归直线方程为 ，其中 ，去除一个异常点
后，得到新的回归直线必过点
C．若随机变量 服从正态分布 ， ，则
D．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23；
【答案】BD
【分析】选项A：利用平均数公式计算新样本平均数，再利用方差公式分析方差变化；选项B：结合回归直线必过
样本中心点，先计算原样本的中心点，再去除异常点后计算新的样本中心点，验证是否为给定的点；选项C：结
合正态分布关于均值对称，利用对称性求出 和 ，再计算 ；选项D：将数据排序，再
根据百分位数的计算规则确定位置，进而找到对应数值.
【详解】选项A，设原样本有 个数据，原平均数 ，总和为 ；
添加数据 后，新总和为 ，新平均数 ，平均数不变.
当原方差为0时，每个数据为3，由新增数据也为3，
可知新方差 ；当原方差不为0时，原方差 ，
新方差 ，方差变小，错误.
选项B，原回归直线 必过原样本中心点 ，代入 ，
得原 .
原10个点总 ，总 ；去掉异常点 后，
新样本中心点： ， ，即新中心点为 ，
回归直线必过样本中心点，正确.
选项C， ，正态曲线对称轴为 ， ，
则 ，由对称性得 ，
因此：
，错误.
选项D，将数据从小到大排序： ，共 个数据，
计算 ， 不是整数，根据百分位数计算规则，
向上取整得第 个数据为第70百分位数，第6个数据 ，正确.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知复数 满足 ，则 ______.
【答案】
【详解】设 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，故 .13．若斜率为1的直线，被圆 截得的弦长为 ，则该直线方程为____________．
【答案】 或
【分析】由点到直线距离公式及垂径定理列出方程即可求解．
【详解】设直线方程为 ，圆 的圆心 ，半径 ，
圆心到直线的距离 ，
由垂径定理得 或 ，
所以直线方程为 或 ．
14．函数 的零点个数为______.
【答案】1
【分析】先判断函数 在 上单调递增，再根据零点存在定理，可得函数 在 上的零点只有1
个.
【详解】设 ，则 ，
所以 在 上单调递增， ，
所以 在 上单调递减，则 在 上单调递增，
因为 在 上单调递增，所以函数 在 上单调递增，
因为 ， ，根据零点存在定理，可得函数 在 上的零点只有1个.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知函数 .
(1)曲线 在点 处的切线方程为 ，求实数a，b的值；
(2)当 时，对于任意 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据切线方程为 可得斜率为 ，以及经过点 ，即可求导得解，
（2）将问题转化为 ，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解.
【详解】（1） ，曲线 在点 处的切线方程为 ，
则 ，则
（2）当 时，依题意有 对于任意 恒成立，则 ，
设 ，
设 ，
由 得： ，则 在 上单调递减，
且 ，则 在 上恒成立，即 在 上单调递减，
，则 ，则 .
16．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .
(1)求C；
(2)若a，b，c成等差数列，且 ，设数列 满足 ，求 的前n项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题设，结合两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）由（1）可得 ，由a，b，c成等差数列可得 ，进而求出 ，可得 ，再根
据等比数列的求和公式及分组求和法求解即可.
【详解】（1）在 中， ，
由 ，则 ，
所以 ，
化简得 ，
由于A， ，故 ， ，则 ，
所以 ，因为 ，故 .
（2）由（1）知 ，则 ，即 ，
因为a，b，c成等差数列，所以 ，
而 ，则 ，则 ，即 ，
因为 ，所以 ，从而 ，
由此可得 ， .
所以 ，
则
.
17．某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件，其中不合格的零件占 ，从中随机抽
取3个零件，设抽到的不合格的零件数为X．
(1)求随机变量X的分布列和期望；
(2)对抽取的3个零件进行检测，若每个零件的检测费用为10元，每发现1个不合格品，需额外支出25元的处理费
用．本次检测的总费用为Y元，求随机变量Y和X的关系式，并利用它求出Y的数学期望．
【答案】(1)X的分布列为：
X 0 1 2 3P
期望 ；
(2) ， 元.
【分析】（1）结合题意可得 服从参数为 的二项分布，进而利用二项分布的概率公式计算概率，列出
分布列，再通过二项分布期望公式计算期望；
（2）根据题目给出的费用规则，建立 与 的线性关系式，利用数学期望的线性性质，代入 的期望计算 的期
望.
【详解】（1）由题意，这批零件数量足够大，抽取3个可看作独立重复试验，随机变量 ， 的所有
可能取值为 ，可得对应概率为：
， ，
， ，
因此 的分布列为：
X 0 1 2 3
P
由二项分布期望公式得：
（2）3个零件的基础检测费用为 元，每发现1个不合格品额外支出25元，
因此总费用满足关系式： ,
由期望的线性性质： ,
即 的数学期望为 元.
18．已知A，B是抛物线 上异于坐标原点O的两点．
(1)若C的焦点恰好是 的垂心，求 ；
(2)若直线OA与直线OB的斜率之积为 ．（ⅰ）求证：直线AB恒过定点；
（ⅱ）已知点G是线段AB的中点，点 关于直线AB的对称点N在C上，求 的面积．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） ．
【分析】（1）根据题意，结合图形可得 ， ，设 ，由 求出 的值，即得
；
（2）（ⅰ）依题设直线AB的方程为 ，与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用直线OA与直线OB的斜
率之积为 ，列方程求得 ，即可得证；
（ii）由（ⅰ）结合条件可得 ，求得点 的坐标，写出直线MN的方程，与直线直线AB的方程联立，
求得点 的坐标，进而得到点 的坐标，利用三角形的面积公式即可求得答案.
【详解】（1）记C的焦点为F，因为C的焦点恰好是 的垂心，所以 ， ，
设 ，则 ，又 ，由 可得 ，
解得 或 ，所以 ．
（2）（ⅰ）显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为 ， ， ，
由 ，得 ，所以 ， ， ，
又直线OA与直线OB的斜率之积为 ，所以 ，解得 ，
所以直线AB的方程为 ，故直线AB过定点 ．（ⅱ）由题意知 ，可得 ，即 ，所以 或 ，
当 时，MN的中点为 ，直线MN的斜率为 ，方程为 ．
此时直线AB的方程为 ，由 ，得 ，解得 或 ，
即 ， 或 ， ，
故 ，又 ，点 到直线MN的距离为 ，
所以 ；
当 时，同理可得 ．
综上， 的面积为 ．
19．如图，在直三棱柱 中， ， ， ， ， 分别为 ， ，
的中点．(1)求异面直线 与 所成角的余弦值；
(2)求三棱锥 的体积；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出向量 ， ，即可用空间向量法求解；
（2）由向量得出点 到平面 的距离，再由锥体的体积公式即可求解；
（3）分别求出平面 与平面 的法向量，然后用空间向量法求解.
【详解】（1）由题意可知 、 、 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
即 ， ，
设异面直线 与 所成角为 ，则 为锐角，
所以 ，
即异面直线 与 所成角的余弦值为 ．（2）由（1）易知 ， ， ，
设面 的一个法向量为 ，则有 ，
取 ， ，即 ，
所以点 到平面 的距离为 ；
， ， ，
所以三棱锥 的体积为 ．
（3）由（1）可知 ， ，
设面 的一个法向量为 ，则有 ，
取 ， ，即 ，
设平面 与平面 夹角为 ，则 为锐角，
则 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
