文档文本内容
2026 年高考考前信心增强卷
数学（全国Ⅰ卷）
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．试卷难度：本试卷以基础题为主，考前增强学生信心，心有底气，笔下生辉，加油！
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可知：集合 ，
且集合 ，
所以 .
2．设等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．27 B．3 C．24 D．48
【答案】A
【详解】设等比数列 的公比为 ， ，
若 ，则 ，与 的题设矛盾，故 ；根据等比数列前 项和公式可得 ① ， ② ；
将②除以①，化简得 ，解得 ；
又 .
3．设 向量 ，且 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【详解】向量 ，且 ，
所以 ， ，得 ，则 .
4．已知 ，则 的值是（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
【答案】B
【分析】先根据二项式展开式的通项公式求出 的值，再通过对 进行赋值，结合已知等式求出
的值，进而求出 的值.
【详解】 ，故 ，
令 ，则 ，
.
5．若函数 是奇函数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用奇函数 求解参数 ，化简函数后通过奇偶性定义验证，再代入自变量计算函数值.【详解】由 为定义在 上的奇函数，得 ，
即 ， ， .
结合 ，得 .
所以 .
验证奇偶性： ，满足奇函数定义.
因此， .
6．已知曲线 在 处的切线与曲线 相切，则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】先求 在 处的切线方程为 ；利用导数相等求出 的切点横坐标 ；代入切线
方程解得 .
【详解】对 求导得 ，当 时， ， ，
曲线 在 处的切线方程为 .
设切线与 相切于点 ，对 求导得 ，
由切线斜率为 得 ，解得 ，
将切点 代入切线方程得 ，解得 .
7．在平面直角坐标系 中，已知圆 ： 和圆 ： 交于 两点，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】联立方程组求出公共直线 的方程，计算原点到直线的距离，根据圆心角与弦心距、半径的关系求出
的大小.【详解】
联立方程组 ，可得直线 的方程 ，
原点到直线 的距离为 ，
在 中，过 作 的垂线，垂足为 ，则 为 的中点，
，
在 中， ，
所以 ，
所以 .
8．如图，正三棱台 的上、下底面边长分别为1和3，平面 将棱台分成两部分，则三棱锥
和四棱锥 的体积比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据正三角形面积比等于边长比的平方求出上下底面积比，再利用棱台体积公式求出棱台体积，最后通过三棱锥体积公式求出两部分体积并计算体积比.
【详解】已知正三角形面积比为边长比的平方，
又因为正三棱台上、下底面边长为 和 ，
因此上下底面积比 ，
设上底面积 ，则下底面积 ，
设棱台的高，即上下底面的距离为 ，
根据棱台体积公式 可得：
，
又因为 在上底面， 到下底面 的距离就是棱台的高 ，
因此： ，
，
因此体积比： .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的是（ ）
A．若 为第一象限角，则 B．若 ，则
C． D．
【答案】BC
【详解】对于A，虽然 是第一象限角，但 ，故A错误；
对于B，由 ，得 ，所以 ，所以 ，故B正确；
对于C，由 ，得 ，所以 ，即 ，故C正确；
对于D，因为 ，故D错误．
10．数列 的前 项和记为 ，且 ，则（ ）
A．
B． 为等差数列
C． 中既有最大项也有最小项
D． 中有最大项但无最小项
【答案】ABC
【分析】利用 、 求出 可判断A；利用等差数列的定义可判断B；利用 求出 判断
出单调性可判断CD.
【详解】对于A，当 时， ，
当 时， ，
所以 ，故A正确；
对于B，由已知 ，所以 ，
当 时， ，且 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，故B正确；
对于C， 当 时， ，
所以 ，
所以当 时 开始单调递增且为负数，且当 时， 为最大项，
为最小项，可得 中有最大项也有最小项，故C正确D错误.
11．已知 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式可判断AD选项；将代数式 与 相乘，展开后利用基本不等式可判断B选项；
将 代入 ，结合二次函数的基本性质可判断C选项.
【详解】因为 ， ， ，
对于A选项，由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，A对；
对于B选项， ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，B对；
对于C选项， ，
当且仅当 时，等号成立，C错；对于D选项， ，
故 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，D对.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知 ，则 ______．
【答案】
【分析】对函数求导，再将自变量代入导函数整理求值即可.
【详解】对 求导，
可得 ，
所以 ，解得 .
13．2025年天津市南开中学斩获天津市首届市直属中学篮球联赛冠军，2026年又卫冕成功，第二次夺得冠军．已
知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为 ，则该队员每次罚球的
命中率为____________，若该队员罚球10次，则平均命中次数为____________．
【答案】 /0.75 7.5/ /
【分析】根据对立事件的概率公式计算即可得该队员每次罚球的命中率；根据二项分布的均值公式即可求解平均
命中次数．
【详解】设该队员每次罚球的命中率为 ，
则有 ，故 （负值舍去）．
设该队员罚球10次，命中次数为 ，则 ，
因为 ，
所以该队员罚球10次，则平均命中次数为7.5．14．已知一个正三棱台的上、下底面的边长分别为 ， ，高为 ，则该三棱台的侧棱与底面所成角的正切值
为________.
【答案】
【详解】设该三棱台为正三棱台 ，且 ， ，
设该三棱台的上、下底面的中心分别为 ， ，则 ．
在平面 中，过 作 ，垂足为 ，则 平面 ，
且 ，且该三棱台的侧棱与底面所成的角为 ．
因为 ， ，
所以 ，
故 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据和差的正弦、余弦公式化简等式即可求出结果.
（2）根据正弦定理和三角形面积公式计算即可.【详解】（1）
．
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ．
因为 ，所以 ．
（2）由（1）得 ．
因为 ， ，所以 ，所以 ．
由正弦定理，得 ．
因为 ，
所以 的面积 ．
由题意，得 ，解得 ．
16．甲、乙两人进行射箭游戏，规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭．两
位同学每次射箭相互独立，甲的命中率为 ，乙的命中率为 ，第1次射箭是甲．
(1)求第3次射箭的人是甲的概率；
(2)甲、乙一共射箭4次，用随机变量X表示乙射箭的次数，求X的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，结合加法概率公式进行求解即可；（2）根据独立事件的乘法公式，结合数学期望的公式进行求解即可.
【详解】（1）记“第3次射箭的人是甲”为事件A，所以 ，即第3次射箭的人
是甲的概率为 ．
（2）由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，
所以 ，
，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以 ．
17．在正方体 中， 为 的中点， 与平面 交于点 ．
(1)求三棱锥 的体积；
(2)求三棱锥 外接球的表面积；
(3)证明： ， ， 三点共线．
【答案】(1)
(2)(3)证明见解析
【分析】（1）根据 计算可得；
（2）棱锥 的外接球即为正方体 的外接球，求出正方体的体对角线即为外接球的直径，
从而求出外接球的表面积；
（3）连接 ， 根据点、面的位置关系证明即可.
【详解】（1）三棱锥 的体积为 ．
（2）三棱锥 的外接球即为正方体 的外接球，
又正方体 外接球的直径 ，
所以三棱锥 外接球的半径为 ，
所以三棱锥 外接球的表面积为 ．
（3）连接 ， ，易得 ，所以 四点共面．
由 为 的中点，得 为 的中点，则 ．
因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
因为 与平面 交于点 ，所以 平面 ， ．
因为 平面 ，所以 平面 ，则 为平面 与平面 的公共点，
所以 ，所以 三点共线．18．在平面直角坐标系 中，已知点 ， 、动点 满足 ， ，记点 的
轨迹为曲线 ．
(1)求 的方程：
(2)已知点 ， ，过点 作斜率为 的直线 交 于 ， 两点，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，
若 ， ， 成等差数列，求 ．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用双曲线定义求出点 的轨迹方程，再利用坐标代换法求出曲线 的方程.
（2）设出直线 的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率公式列式求解.
【详解】（1）由 ，得点 的轨迹是以 为左右焦点，实轴长为2的双曲线，
实半轴长 ，半焦距 ，虚半轴长 ，
因此点 的轨迹方程为 ，设 ，由 ，得 ，
于是 ，即 ，所以曲线 的方程为 .
（2）依题意，直线 的斜率存在且不为0，设其方程为 ， ，
由 消去 得 ， ，
则 ， ， ，由 ， ， 成等差数列，得 ，即 ，
则 ，即 ，所以 .
19．已知函数 （ ）， .
(1)若 不存在零点，求实数 的取值范围；
(2)若 恒成立，求 的值；
(3)已知数列 ，满足 ，记 ，若对任意的正整数 ，不等式 成立，其中 为整数，
求 最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)3
【分析】（1）求导，然后令 即可；
（2）构造新函数 ，对 分类讨论，结合 即可得解；
（3）利用（2）的结论，写出新数列 的表达式，找到新数列的取值范围，代入 即可得到结果.
【详解】（1）由题意函数 （ ），求导可得 ， ，
当 时，令 ，得 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增， 上单调递减，所以 ，不存在零点，只需 ，解得 ，所以实数a的取值范围是 .
（2）因为 ，所以 ，其中 ，
令 ，其中 ，则 恒成立，求导得： ，且 ，
当 时，令 ，解得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
若 ，则 在 上单调递增，所以 时， ，与题设矛盾；
若 ，则 在 上单调递减，所以 时， ，与题设矛盾；
若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，满足题意；综上所述 .
（3）因为 ，所以 ，
由（2）可知当 时 ，即 ，
所以 当且仅当 时取等号，所以 ， .
，
所以 ，
即：对于任意正整数 ， 恒成立，
且因为 为整数，且对于任意正整数 ， 成立，
当 时， ，所以 不能恒成立，
所以m的最小值为3.
