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2026 年高考数学 8+3+3+1 强化训练(9)【解析】
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ， ， 且 ，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，所以 或 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选： .
2.设 ，则在复平面内 的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】复数 ，所以 的共轭复数 ，
所以在复平面内 的共轭复数对应的点位于第四象限.
故选：D.
3.已知命题 ： ， 是假命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 得 ，
当 为真时，对 ，不等式 恒成立，则 ，
而 ，当且仅当 时取等号，满足题意，所以 ，
所以 为假时， ．
故选：A．
4.已知直线 与圆 交于A，B两点，则“ ”是“ ”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由直线 与圆 交于A，B两点可得 ，
即弦心距 ，又因 ，解得 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
5.设函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 在 上单调递减，
则 在 上恒成立，
所以 ，在 上恒成立，设函数 ，
则 ，
所以 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，
则实数 的取值范围是 .
故选：D.
6.在 中， 为边 上一点，且满足 ，设 ， ，若存在实数 ，使
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以 为基底，
，又 ，所以由平面向量基本定理可知 ， ，
则 ，又 ，所以 ．
故选：C
7.已知双曲线 ，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满足
，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】设P在渐近线 上，直线FP的方程为 ，
由 ，得 即 ,由 ，得 ，
因为 在双曲线上，所以
化简得：
故选：B.
8.已知随机变量 ，且 ，则当 时， 的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【解析】由随机变量 ，且 ，得 ，解得 ，
由 ，得
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以所求最小值为 .
故选：D
二、多项选择题：
9.已知正数 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最大值为1B． 的最小值为4
C． 的最大值为
D． 的最小值为1
【答案】ACD
【解析】对于A，由正数 满足 ，可得 ，解得 ，
则 ，当且仅当 ，即 时等号成立，即 的最大值为1，故A正确；
对于B，由正数 满足 ，可得 ，
解得 或 （舍去），当且仅当 时等号成立，
即 的最小值为2，故B错误；
对于C，因 ，则 ，
当且仅当 时等号成立，即 的最大值为 ，故C正确；
对于D，由 可得 ，则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，即 的最小值为1，故D正确.
故选：ACD.
10.在一个袋中装有质地大小一样的 6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球
中白球的个数为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．随机变量 服从二项分布 B．
服从超几何分布 D．
C．随机变量
【答案】BCD
【解析】由题意知随机变量 服从超几何分布，故A错误，C正确；
随机变量 的所有可能为 ， ， ， ， ，
， ，， ， ，B正确．
故 ，故D正确．
故选:BCD．
11．已知 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B．
D．
C．
【答案】ACD
【解析】令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，故A正确；
由 ，
所以 ，故B错误；
令 ，得 ，
所以 ，又 ，所以 ，故C正确；
设 ，
则 ，
令 ，得 ，故D正确．
故选ACD．
三、填空题：
12.在菱形 中， 分别是边BC,CD的中点，则 .
【答案】
【解析】由题意，得 ，
在菱形 中， ，所以 ，
所以 ．
故答案: .
13.已知 三个内角 所对的边分别为 ，点 是线段 上一点，且 平分
，若 ，则 .
【答案】
【解析】因为 平分 ，所以 ，
又 ，所以 ，
即 .
故答案为: ．
14.已知数列 满足 ，给出定义：使数列 的前k项和为正整数的k（ ）叫做好
数，则在 内的所有“好数”的和为 ．
【答案】2026
【解析】由题意，
．
所以， ．
因为 为正整数，所以 ，即 ．
令 ，则 ．因为 ，所以 ．
因为 为增函数，且 ，所以 ．所以所有“好数”的和为 ．
故答案为：2026．
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列 的前 项和为 ，若对任意 ，向量 ， ，有
．数列 满足 ，其前 项和为 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）因为 ，即： ．①
当 时， ，
又 ，所以 ．
当 时， ，②
由①－②整理得： ．
整理得 ，
由累乘法得： ，
代入比值： ，
当 时， ，符合上式，
所以数列 的通项公式为 ．
（2）当 为偶数时，
，所以 ， 为偶数 ，
由 恒成立，得 ，
是偶数，当 时， 有最小值 ，所以 ；
当 为奇数时， 为偶数，
，
所以 ， 为奇数，
由 恒成立，得 ，
又 上单调递增，
在
所以当 时， 有最小值1，所以 ．
综上，实数 的取值范围是
