文档文本内容
2026 年高考考前信心增强卷
数学（全国Ⅱ卷）
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．试卷难度：本试卷以基础题为主，考前增强学生信心，心有底气，笔下生辉，加油！
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】集合 ，即 ，解得 ，
集合 ，即 ，
因此 .
2．已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 ，得 ，
整理得 ，故 ，解得 ，
，．
3．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由 且 在 上单调递增， ，
若 ，则 ，
由 且 在 上单调递减， ，
若 ，则 ，
显然 可推出 ，反之不一定成立，
综上，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
4．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】A
【详解】因为 ，
所以只需将函数 的图象向左平移 个单位长度即可得到 ，
即得到函数 的图象.
5．下列说法正确的是（ ）
A．设 且 ，则
B．残差平方和越小的模型，拟合效果越好
C．若 ， ， 三个事件两两独立，则D．一组数据 ， ， ， ， ， ， ， 的第 百分位数为
【答案】B
【详解】对于A，因为 ，且 ，故 ，
则 ，A错误；
对于B，残差平方和越小，说明模型对数据的拟合程度越高，拟合效果越好，B正确；
对于C，举例，抛两次硬币，设 “第一次正面向上”， “第二次正面向上”， “两次向上结果相同”，
则 ， ,
满足 ,
即 ， ， 三个事件两两独立，而 ，即C错误；
对于D，将原数据从小到大排序：2，3，3，4，7，8，10，18，
因为 ，因此第50百分位数为第4个数和第5个数的平均数，即 ，D错误.
6．已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，若 ， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】利用等差、等比数列的项的对称性性质，先求出 、 的值，再代入待求式计算即可.
【详解】已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，
则 ， ，
解得 ，进而 ，因此 .
7．已知函数 有两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】函数 有两个零点，则方程 有两个实根，
即 有两个实根，即直线 与函数 的图象有两个交点.
结合函数 的图象，可得 ，
所以 的取值范围是 .
8．在三棱锥 中， 平面 ， ， ，则直线 与 所成角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过中位线得到异面直线 与 所成角的平面角，根据题意结合余弦定理即可求解；或者将三棱锥
扩充为正方体 ，得到异面直线 与 所成角的平面角，根据正方体的性质即可求解.
【详解】解法一：如图，分别取 ， ， 的中点 ， ， ，分别连结 ， ， ， ，则
，
，所以 （或其补角）即为直线 与 所成角，
设 ，可得 ， ， ，
，
在 中，由余弦定理可得， ，由于直线 与 所成角为锐角，故直线 与 所成角的余弦值为 ，故D正确.
解法二：如图，把三棱锥 扩充为正方体 ，直线 与 所成角即为直线 与 所成
角，
因为 为等边三角形，所以直线 与 所成角为 ，
即直线 与 所成角的余弦值为 ，故D正确.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．复数 的实部和虚部之和为3 B．复数 的共轭复数为
C． D．复数 为纯虚数
【答案】BCD
【详解】由题知 ，所以复数 的实部与虚部之和为1+1=2，A错误；
复数 的共轭复数 ，B正确；
，C正确；
，为纯虚数，D正确.
10．已知 ，若关于 的方程 有两个不相等的实数根 ， ，且 ，则下列说
法正确的是（ ）
A．B．若 ，则 的最小值为4
C．关于 的不等式 的解集为
D． 是关于 的不等式 的一个解
【答案】ACD
【详解】选项A，因为方程有两不等实根，所以
，解得 ，
因为 ，所以 ，即取 ，A正确；
选项B，由韦达定理 ，则 ，由A选项可知 ，且
，所以 ，
，当 时， 单调递增，因此 ，则 ，无法取到最小值4，B
错误；
C选项，令 ，代入原方程得 ，即若 为原方程两根，
则 为 的两根，又因为 ，
所以 ，已知 ，所以不等式解集为 ，C正确；
D选项，将 代入得 ，因为 ，因此
，
即 是不等式的一个解，D正确.11．已知数列 满足 ， ， ， 是 的前 项和，则（ ）
A． 是等比数列 B． 是等比数列
C． 是等比数列 D． 的前 项和小于1
【答案】AD
【分析】根据递推关系可得 是首项为 ，公比为 的等比数列，再结合等比数列的定义以及前 项和公
式依次判断选项即可.
【详解】 对于A，由题可得 ，且 ，
故 是首项为 ，公比为 的等比数列，故A正确；
对于B，由A易得 ，于是 ，
又因为 ，所以 ，所以 不是等比数列，故B错误；
对于C，由B可知 ，所以 ， 显然不是等比数列，故C错误；
对于D，易知当 时， ，所以 ，
设 ，则 ，故D正确.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若直线 ： 与曲线 有两个交点，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】先求出直线所过定点 ，再将曲线转化为 ，可知其为半圆，结合图象，即可求出的取值范围.
【详解】由题意得，直线 的方程可化为 ，所以直线 恒过定点 ，
又曲线 可化为 ，
其表示以 为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图.
当直线 与该曲线相切时，点 到直线 的距离 ，
解得 ，设 ，则 ，
由图可得，若要使直线 与曲线 有两个交点，则实数 ，
即实数 的取值范围是 .
13．已知函数 的定义域为 ，且满足 ．若 ，则 的值为______．
【答案】
【详解】由 ，得 .
所以 ，
所以函数 为周期函数， 为函数 的一个周期，
又
所以 .14．如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等， 为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF
为底面圆 的一条直径，若球的半径 则球与圆柱的体积之比为_______；四面体 的体积的取值范围为
_______.
【答案】 2:3/
【分析】根据球、圆柱的体积公式以及 建立函数关系求解即可.
【详解】已知球的半径 ，则球的体积为 .
根据题意得， ，则圆柱体积 ，则 .
设 为点 到平面 的距离，则 ，而平面 经过线段 的中点 ，
四面体 的体积： .
所以四面体 的体积的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．设函数 （ ）满足 恒成立.
(1)求 的值；
(2)求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由于 ， 恒成立即 恒成立， ，从而得到 (必要条件)，然后再验证当 时，通过导数求得函数 最小值，再证明 （充分条件）；
（2）利用第一问可知 ，把不等式转化为证明不等式 .
【详解】（1）由于 ，所以， 恒成立即 恒成立， 处取最小值，
，故由 （必要条件）；
验证充分性：当 时， ；令 ，得 ，
令 ，得 ，令 ，得 ；
故 在 上单调递减， 在 上单调递增，
故 ，即 恒成立.
综上所述，
（2）由（1）知 恒成立，故 ；
又 ，
所以， ，
故 ，即 .
16．在 中，内角 的对边分别为 ，且满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形，且外接圆的半径为 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得 ，进而分析求解；（2）利用余弦定理整理可得 ，利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，再根据
正弦函数有界性运算求解.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
则 ，即 ，
又因为 ，
则 ，
即 ，
且 ，则 ，即 ，可得 ，
又因为 ，则 ，
可得 ，所以 .
（2）由正弦定理得 ，则 ，
由余弦定理 得 ，即 ，
可得 ，
又因为
，
因为 为锐角三角形，则 ，解得 ，则 ，可得 ，
则 ，可得 ，即 ，
所以 的取值范围为 .
17．如图，在四棱锥 中，底面 为菱形，侧面 底面 ，且 ，
(1)证明： ；
(2)若直线 与平面 所成角为 ，且三棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 的夹角．
【答案】(1)证明见解析
(2) ．
【分析】（1）通过线面垂直证明线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解平面与平面的夹角.
【详解】（1）取 的中点M，连接 ， ．
∵ ， ．则 为正三角形， ．
又 , 平面 ,
平面 ，又, 平面 ,
（2）以 为原点，以 ， ， 为x，y，z轴建立空间直角坐标系,由题可知 ．设 ，则 ． ．
， ． ， ，
设平面 的法向量是 ，则 ，
令 ，则平面 的一个法向量是 ，
又平面 的一个法向量是
，
所以平面 与平面 的夹角为 ．
18．已知双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，实轴长为 ，点 到双曲线 的
渐近线的距离为1，过 的直线 与 交右支于 ， 两点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)证明：存在 轴上的一点 ，使得 为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出双曲线的基本量后可得双曲线的方程；
（2）设 ， ，联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理化 ，根据该值为定
值可求 的坐标；
【详解】（1）解：因为实轴长为 ，故 ，而点 到双曲线C的渐近线的距离为1，故 ，
故双曲线的方程为： .
（2）证明：设 为半焦距，则 ，故 ，
因为 与双曲线的右支相交于两个不同的点，故可设 ， ，
由 可得 即 ，
故 且 ，
所以 ，又 .
设 ，则 ， ，
故
为定值当且仅当 ，故 ，
故存在 轴上的一点 ，使得 为定值且定值为 .
19．班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长 （单位:小时）总体上服从正态分布 .
(1)小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模
型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位
同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少?（结果用最简分数表示）
参考数据:若 ，则 .
(2)小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹每周手
机使用时长 与该周数学练习得分 （每周练习的难度相同且满分均为150分），制成表1.以这5组数据建立回归
方程 .请求出实数 的值
表1
第1周 第2周 第3周 第4周 第5周
手机使用
20 18 22 16 14
时长
练习得分
80 88 73 92 m
(3)受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计划表中
若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第 天也能“高效复习”的概率为 ;若第 天不能
“高效复习”，则第 天还能“高效复习”的概率为 .设 （ ， 为正整数）表示第 天能“高效复
习”的概率， ，若 表示复习计划表第 天有效.求证:数列 是等比数列，并说明小虹的该复习
计划表是否在寒假每一天均有效.
【答案】(1)
(2)100
(3)答案见解析
【分析】（1）根据正态分布的性质和概率相关知识计算即可.
（2）先求出 的平均值，然后代入回归方程即可求出结果.（3）先根据题意列出递推式，然后证明数列 是以 为公比的等比数列，进而可根据等比数列的通项公
式求出 ，并根据 的范围证明结论即可.
【详解】（1）由题意知，因为 .
所以任取1人使用手机超过16小时的概率为 ，
50名同学中有 位超过16小时，
那么至少2位同学使用手机超过16小时的概率为 .
（2）由题意得 ， .
代入回归方程有 ，解得 .
（3）证明：由题意知 ，
所以
所以 是以 为公比的等比数列.
所以 .
因为 时， 恒成立，所以 .
所以小虹的该复习计划表在寒假每一天均有效.
