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2026 年高考数学真题完全解读（上海卷）
本套上海市高考数学试卷共有 21 道题，分为填空题、选择题和解答题三大部分，满分 150 分，考试时
长 120 分钟。整体结构上，试卷包含 12 道填空题（前 6 题每题 4 分，后 6 题每题 5 分）、4 道选择题（每
题 4 或 5 分不等）及 5 道综合解答题。与往年上海卷相比，本卷在题型和题量上保持相对稳定，但在命题思
路与情境设置上更加灵活，进一步体现了上海高考“基础与创新并重”“注重思维品质”的命题趋势。
从《普通高中数学课程标准》对高考命题的要求来看，本套试卷在知识覆盖面上较为全面，涵盖函数与
导数、不等式、数列、解析几何、立体几何、向量、概率统计以及复数等内容，基本包含高中阶段必修与选修
的核心知识。值得注意的是，第 17 题借助环保数据的情境，将统计与概率知识相结合，同时融入社会热点，
引导考生关注实际问题；第 11 题和第 16 题对数形结合、运动与变化的考查力度较大，突出“过程与方法”
的考查；后续解答题常常涉及向量与空间位置关系、多元函数方程求解及概率统计综合，能够锻炼学生多角度
运用数学思维的能力。
本卷难度梯度较为合理，前半部分填空题和选择题所需的计算量与逻辑推理量适中，难度由易到中，以
考查考生对基础知识点的熟练掌握及简单运算能力；后续解答题部分则模拟真实情境，命题思路更注重综合探
索与创新意识，体现了高考评价体系要求的“必备知识、关键能力、学科素养和核心价值”，并向具有一定区
分度的综合问题倾斜。其中，第 20 题和第 21 题对多种知识板块作整合与提升，涉及双曲线焦点、渐近线以
及排列与函数的组合分析，用以考查考生对高层次数学思想方法（如拆分、对应、反证、极值分析等）的理解
与应用。
在地区和考情方面，上海在高中数学教学中强化了对学生数学思维、数学应用及探究能力的系统培养。
本卷的命制正契合这一导向：试卷中的情境素材具备真实感，同时兼顾上海地区数学教学大纲中的必修与选修
要求；难度设置兼顾了不同层次考生的实际水平。学生需在牢固掌握基础公式、定理的前提下，注重数学思考
的深度与广度，才能在较短时间内应对综合性与灵活性兼具的考题。
综上，本套 2026 年上海高考数学试卷在强调学科主干知识的同时，也注重考查运算与推理、建模与应
用、创新与表达等关键能力，较好地体现了《课程标准》对多层次、多维度评价的要求，对于上海地区及全国
其他地区的高中数学教学都具有一定的导向性和参考价值。学生若能有效适应此类跨知识点、善用数形结合与
综合分析的试题形式，必将在高考中取得更理想的成绩。
题型整体结构：
1. 根据最新的上海高考数学试卷样卷可见，其整体仍维持以下三大题型：o 填空题（共 12 题，前 6 题每题 4 分、后 6 题每题 5 分）；
o 选择题（共 4 题，前 2 题每题 4 分、后 2 题每题 5 分）；
o 解答题（共 5 题，总分 78 分）。
2. 与往年相比，题量和分值布局变化不大，但对于综合性试题的数量和深度均有提高，尤其在解答题部分更
凸显多知识点的综合运用。
题型新变化：
1. 情境化与数据分析
o 第17题以环境监测为载体，结合真实的颗粒物密度与二氧化硫密度数据，考核学生对数据的处理、统计图
表选择及相关系数判断等综合能力，体现了对现实情境中统计与分析能力的关注。
2. 几何与函数深度融合
o 几何题（如第16、第18题）强调三维立体构建与空间想象能力，并结合向量运算或坐标系方法解决空间角
度、体积等问题，融合了解析几何、立体几何和向量知识。
3. 概率与随机变量的综合运用
o 填空及解答题中多次出现概率、分布列及期望的综合考查（如第4、第8题），要求学生能够灵活运用基本
概率模型、事件独立性、互斥性、期望值计算等知识，展现对随机变量分布及统计方法的熟练掌握。
4. 高阶代数与函数灵活考查
o 不仅涉及传统的数列、不等式、三角函数，还引入伴随复数、函数切线与单调性研究、大范围参数讨论等
（如第15、第19、第21题），对学生的代数思维深度提出更高要求。
1. 多学科融合与综合思维
o 试题将统计、函数、几何、随机变量等多模块知识交叉融合，需要考生在较短时间内实现知识点的迅速转
换与整合。
2. 注重真实应用与数据处理
o 通过真实数据或生活背景（如环境保护、几何模型构造）设置问题，要求学生不仅要掌握课本知识，还需
具备阅读理解、数据分析和应用实践能力。
3. 高阶逻辑推理与模型建构
o 各题型由浅入深，特别是后半部分解答题集中于学科综合与高阶推理，强调坐标化和向量化的思维方式，
要求学生能够利用恰当的数学模型（如回归方程、复数伴随、空间体积公式等）深入解决复杂问题。
以上变化要求考生更加重视对概念与方法的深度掌握，并提升综合分析与应用创新的能力。结合这些新
特点复习备考，可着重在真实情境分析、三维思维构建、概率统计融合、函数曲线研究等方面进行深入训练和
思考。一、考情细目表
题号 分值 题型 考查内容 难易分析
1 4 填空题 集合、不等式与集合运算 中等
2 4 填空题 等比数列的基本性质与求解 较易
3 4 填空题 三角函数的简单运算与性质 较易
4 4 填空题 互斥事件与基本概率计算 较易
5 4 填空题 偶函数的定义与性质 较易
6 4 填空题 二项式展开及通项公式 中等
7 5 填空题 基本不等式求最大值（代数运算） 中等
8 5 填空题 离散型随机变量分布及数学期望 中等
9 5 填空题 等差数列前 n 项和与范围分析 中等
10 5 填空题 平面向量的运算及线性组合 中等
11 5 填空题 三角函数建模、导数应用 中等
12 5 填空题 椭圆的焦点与离心率 中等
13 4 选择题 指数与对数运算 较易
14 4 选择题 相互独立事件与对立事件 较易
15 5 选择题 复数伴随的定义及应用 中等
16 5 选择题 空间几何与旋转运动、坐标几何基础 中等
17 14 解答题 概率与统计综合（抽样、相关与回归分析） 中等
18 14 解答题 四棱锥三维几何、体积与二面角 中等
19 14 解答题 函数、不等式、切线与几何性质综合 中等
20 18 解答题 双曲线、焦点性质、几何综合 较难
21 18 解答题 排列与函数不等式综合、灵活应用 较难
二、整体难度及题目难度分布7
易：约占 ≈33
21
包含题号：2,3,4,5,13,14（以及将 1 视为容易或中等之间略有争议，本表暂定 1 为中等）。这些试
题主要考查基础知识、基本技能，运算量不大，能够快速得分。
o 典型例子：第 2 题（等比数列基本性质）的考点直接明了，熟悉数列通项及通项求和即可解
决，较易上手。
12
中：约占 ≈57
21
包含题号：1,6,7,8,9,10,11,12,15,16,17,18,19。此类题型一般需要一定的分析和推理，涉及多步运算，
考查学生对基础知识的综合运用能力。
o 典型例子：第 8 题（离散型随机变量的分布与期望计算），需要对分布列进行正确的理解与
计算，并运用基础概率知识和期望公式，综合程度中等。
2
难：约占 ≈10
21
包含题号：20,21。此类题目多为综合性较强、对思维要求更高的题目，需要对多个知识章节交叉运
用并具备较强的推理和建模能力。
o 典型例子：第 21 题（排列与函数不等式综合），涉及排列、函数单调性、不等式的配合，
还需较强的逻辑思维和综合应用能力，对学生的拔高思考要求相对更高。
试卷整体难度评估：
从本套试卷的整体设计来看，命题难易比例较为合理，约 33 的试题为简单题，57 的试题为中等难度
题，10 的试题比较困难。这样的难度分布与上海高考一贯的命题思路相符，既侧重考查学生对基础知识与基
本方法的掌握，也强调对高阶思维能力和综合分析能力的要求。
整卷覆盖面广，知识点多，注重多样化考查；同时，在数列、三角函数、向量、概率统计、解析几何、
函数与不等式以及立体几何等全方位考核学生的综合素质。对于考生而言，需重点在夯实基础的同时，熟练运
用多种方法（方程、向量、数列、概率、解析几何、函数与不等式等）进行综合推理与解题。难题多集中在解
答题后两题（第 20、21 题），内容综合度和逻辑思维要求较高，建议考生在备考时进行针对性训练，确保在
基础题、常规中档题上稳健得分的同时，也要积累相应的技巧和思路，以在难题上有所突破。
1. 夯实基础，精准记忆公式
开始阶段，需将常用基本结论和公式进行分类记忆与熟练运用，例如：指数、对数与三角函数的常用互化公式，排列与组合的基础运算、向量数量积与夹角公式、常见立体几何体的体积与面积公式，以及椭圆、
双曲线等方程标准形式和重点性质等。每天安排一定的时间进行公式回顾与记忆巩固。
2. 强化综合应用题目的练习
数学试卷重在考查综合能力。对于解答题，请同学们继续强化对常见题型的思路和解法训练，如数列与函
数结合、立体几何与向量证明、概率统计计算与思想的运用，以及数形结合的技巧。做题时需注重规范书
写，条理清晰，避免因表达不清导致的失分。
3. 注重错题归纳，分模块突破
针对自身薄弱环节（如函数奇偶性分析、二面角求法、数列求和及渐近线相关内容），建议通过错题回顾
的方式查漏补缺。可将相似考点的错题集中整理，通过加深思考与再次练习，找到思路漏洞并及时改正，
确保不再犯相似错误。
4. 提升应试技巧与时间分配
o 选择题与填空题：注意优先观察选项特点，学会估算和排除，有时逆向检验更快速。适当应用数形结合、
特殊值代入法以及选项排除法，以提高准确率。
o 解答题：要把答题步骤写清楚，关键过程如 “设未知量—列出方程—化简—求解—检验” 等，一定逐行
展开；几何题最好画出清晰示意图，不要忽视辅助线与向量坐标法的运用。
1. 集合与不等式
o 重点掌握集合的运算（并、交、补）及集合元素的判断方法；熟悉区间与不等式的相互连接，切实区分集
合与区间的表示法。
o 易错点：在分析集合之间的包含、相等或子集关系时，易忽视对元素的精确筛选；处理不等式组合易忽略
边界情况，尤其是值域与定义域的交集问题。
2. 数列与函数
o 重点关注等差数列、等比数列求和公式，以及数列与函数的性质（如偶函数、奇函数的定义与特征）。注
意数列与函数混合考查时，要求对基本运算熟练掌握。
o 易混点：在处理等比数列时，同学可能在求公比或通项公式时出错，须熟悉常见数列的通项及其和的形式；
判断函数奇偶性要综合运用 f(-x) 与 f(x) 的关系。
3. 立体几何与向量
o 重点关注三维几何中的空间位置关系、点到平面的距离、二面角的求法等；熟练使用向量的投影与夹角公
式。
o 易错点：在立体几何题中，常常忽视对几何结构的整体把握；对于“判断向量共面”与“两向量垂直”的
运用不熟练；对二面角的计算易忽视所求角度是锐角或钝角，需要通过附加信息来判断。
4. 三角函数与微积分o 重点掌握三角函数的周期性、单调区间以及各种重要的恒等变换；对导数的含义与应用要熟练掌握（如利
用导数求最值、单调性、切线方程等）。
o 易错点：三角函数在解方程时须留意周期与诱导公式；涉及导数为 0 的条件时，需兼顾到临界点与区间端
点对函数值的影响；三角函数与数形结合要灵活运用。
5. 概率与统计
o 需掌握随机事件的独立、互斥等基本概念；熟悉古典概型、几何概型及条件概率的基本应用；注意理解方
差与期望等统计量的计算与应用。
o 易混点：互斥与独立的概念区分不够明确，从而在求并事件或对立事件的概率时混淆；对极大似然估计与
区间估计的基本思想理解尚浅；常数与概率分布结合时的方程求解易陷入套路。
6. 解析几何
o 需熟练掌握椭圆、双曲线等常见锥曲线的标准方程与几何性质；熟悉焦点、渐近线及离心率等常考要点。
o 易错点：判定椭圆顶点和焦点位置时易弄混；计算渐近线方程与点到直线距离时，要严格区分正负值与距
离性质；运用坐标法解题时可能坐标取值不当或方程列错。
1. 保持积极心态
面对紧张的复习与备考，放松心态非常关键。可以通过适度运动、音乐、与同学老师交流等方式排解心理
压力。
2. 适度训练，形成自信
在把握核心知识和题型方法后，通过少量高质量的模拟演练，保持手感与思维灵活度。要在训练中暴露问
题并及时查漏补缺，而非大量刷题导致身心疲惫。
3. 合理作息，重视健康
考前注意保证足够睡眠，避免疲劳影响思考效率；考试过程中若紧张时可做深呼吸或短暂放松，让大脑保
持专注与清醒。
回顾近年来上海高考数学命题，注重通性通法与思维过程，聚焦对核心素养的全面检验。对于2026年的
后续复习，可重点关注以下可能趋势：
1. 函数与数列交汇：如以不等式、三角函数或指数对数函数等内容奇偶性、单调性、最值或解方程思路进行
综合考查。
2. 向量与立体几何融合：可能会增加三维空间中综合问题的考核，需熟谙空间向量运算、平面与平面/线的二
面角、空间中垂直与平行的判定等。
3. 统计与概率建模：大数据背景下的实验统计分析与问题建模是常考热点，比如期望、方差、独立事件与相
互独立、互斥等概念的综合运用。4. 解析几何新视角：对椭圆、双曲线等考点依然保持高热度，尤其是与参数方程、离心率、渐近线及焦点性
质相关的综合题，需熟悉基本理论，也要善用辅助线或坐标法处理。
2026年高考上海卷数学高考真题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合 ， ，则 __________．
【答案】
【详解】由题意得 ，解得 ，经验证此时集合 满足题意.
2．已知 为等比数列， ， ，则 __________．
【答案】
【详解】设数列 的公比为 ，则 ，则 .
3．已知 ，则 __________．
【答案】
【详解】 ．
4．已知事件 ， 互斥， ， ，则 __________．
【答案】 /
【详解】因为 互斥，所以 .
5．已知函数 是偶函数，当 时， ，若 ，则 __________．
【答案】
【分析】根据偶函数的性质求解.
【详解】因为函数 是偶函数，当 时， ，
所以 ，解得 .6．已知 ，则展开式中 的系数为__________．
【答案】
【分析】写出二项式的通项，令 的次数为 ，即可求出展开式中 的系数.
【详解】由题意，
在 中，通项 ，
当 即 时， ，
∴展开式中 的系数为 .
7．已知 ，则 的最大值为__________．
【答案】 /
【分析】根据基本不等式可得 ，结合条件即可求结论.
【详解】因为 ，当且仅当 时等号成立，
结合 可得， ，
当且仅当 ， 或 ， 时等号成立，
所以当 ， 或 ， 时， 取最大值，最大值为 .
8．已知随机变量 的分布为 ，且 ，则 __________．
【答案】 /
【分析】根据分布列性质及数学期望公式计算求解.
【详解】因为随机变量 的分布为 ，且 ，
所以 ，且 ，
解得 .
9．已知等差数列 中， ，公差为 ，其前 项和 在区间 内至少有两项，则公差 的取值范围
是__________．
【答案】【分析】根据等差数列求和公式列式计算求解.
【详解】根据已知前 项和 在区间 内至少有两项，则得出 ，
且 ， 是单调递增的，所以必须满足 ，
所以 ，所以 .
10．已知向量 ， ， 是两两不平行的向量，且 ， ，则 的值为__________．
【答案】
【分析】方法一：由条件可得 ， ，消去 ，根据平面向量基本定理列方程求
结论；
方法二：先证明 共面，设 ，由条件结合平面向量基本定理列方程求结论.
【详解】方法一：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 不平行，所以 ，
所以 ，
方法二：因为 ， ， 两两不平行，
所以， ，
若 不共面，所以 ，矛盾，
所以 共面，可设 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，可设 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以 .11．已知三角函数 （ ， ， ， ），若 ，当 或
时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则 __________．
【答案】
【分析】利用已知条件结合三角函数的性质构造方程组求出 ，结合初速度为0，求出 ，结合第一次达到
最大值的时间构造方程求出 ，进而求出 解析式．
【详解】由题意知， 和 时，导数为0，即 的最小值为0，最大值为4，
又 ，
所以 ，解得 ，故 ；
已知初速度为0，则 ，解得 ，
已知 ，则 ，
速度第一次达到4时用时 秒，则 ，
即 ，则 ，
解得 ，
解得 ，当 时取得最小正数 ， ，
此时 ．
12．在 中， ， ， ．已知点 ， ， 分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个
焦点中的三点，求椭圆的离心率__________．
【答案】
【分析】根据椭圆对称性分析各点的可能性情况，分情况讨论求 的值，即可得离心率.
【详解】因为 ，
根据对称性可知：点 其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点.
①当点 中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1则 或 ，解得 或无解；
②当点 中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2，
则 或 ，方程组均无解；
综上所述： ， ， ，所以离心率 .
二、单选题
13． 为不为1的任意实数，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，则 .
14．事件 和事件 相互独立，“ 和 至少一个发生”的对立事件是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据事件的独立性及对立定义求解.【详解】根据已知 至少有一个发生，
则对立事件为 都不发生，所以 的对立事件为 .
15．已知 ， 为复数，当 为实数或 的共轭复数为实数时，称 和 互相伴随．则当 和 互相伴
随时， 和 互相伴随的充要条件是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设 ， ，由条件结合 和 互相伴随的定义可得 ，根据充要条件判断结论.
【详解】设 ， ， ， ，
则 ， ， ， ，
， ，
， ，
因为 和 互相伴随，所以 ，
若 ，则 为实数，所以 和 互相伴随，
若 和 互相伴随，则 ，
所以 和 互相伴随的充要条件为 .
16．已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与 轴、 轴、 轴重合，顶点 与坐标原点重合，点
是正方体底面中与 相对的对角顶点，点 在点 的正上方．将正方体绕直线 旋转一周，试问点 的运
动轨迹会经过几个空间卦限（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A【分析】不妨设正方体的棱长为3，分析可知点 的轨迹是以点 为圆心，半径 的圆，解法一：
设 ，列方程分析点 的轨迹与各坐标面的交点即可判断；解法二：利用补形法，可知点 的轨迹即
为 的内切圆，即可判断结果.
【详解】不妨设正方体的棱长为3，
则 ， ， ，
可得 ， ，
设点 在体对角线 上的投影为 ， ， ，
则 ，
可得 ，解得 ，
则 ，即 ，且 ，
可知点 的轨迹是以点 为圆心，半径 的圆，
解法一：在点 的轨迹任取一点 ，则 ，
则 ，整理可得 ，
令 可得 ，解得 ，可知点 的轨迹与平面 相切，
令 可得 ，解得 ，可知点 的轨迹与平面 相切，
令 可得 ，解得 ，可知点 的轨迹与平面 相切，
所以点 的轨迹经过空间中的1个卦限；
解法二：将正方体补成边长为6的正方体，如图所示：则 ， ， ，
可知 为边长为 的正三角形，且其中心为 ，且内切圆半径 ，
即可知点 的轨迹即为 的内切圆，所以点 的轨迹经过空间中的1个卦限.
三、解答题
17．某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，
数据如下：
颗粒
物密 101.02 87.02 57.47 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86
度
二氧
化硫 119.47 81.94 53.20 9.16 6.60 4.40 3.31 3.35 3.86
密度
(1)为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？
(2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，
并请你判断相关系数在 ， ， 哪个区间内？（直接写结论）
(3)2023年前9年的年份( )的平均数为 2018， (颗粒物密度) 关于 (年份) 的回归方程拟采用
，或 . 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于
2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？
参考数据：
【答案】(1) ；
(2)散点图；(3) 的预测值与实际值之差的绝对值更小.
【分析】（1）结合古典概型概率公式求解即可；
（2）根据图表数据可以判断用散点图分析；结合相关系数的性质判断区间；
（3）根据题意分别求解两种方程下的预测值与实际值的差值绝对值即可.
【详解】（1）9年间共有7年颗粒物密度大于二氧化硫密度，故概率为 .
（2）统计图表需要呈现出随着二氧化硫密度变化时，颗粒物密度的变化趋势，故需要散点图进行呈现.
随着二氧化硫密度增加，颗粒物密度呈现增加趋势，故二者正相关，相关系数为正，
又因为相关系数 ，故相关系数在 区间上.
（3）采用方程 时，2023年预测值为 ，
预测值与实际值差值绝对值为 ；
因为
，
所以 ，可得 .
故采用方程 时，
2023年预测值为 ，
预测值与实际值差值绝对值为 ；
因为 ，故方程 对于2023 年的预测值与实际值的差值绝对值更小.
18．已知四棱锥 ，底面 为矩形， 底面 ，垂足 在 边上，且 ， ，
．
(1)求证： ；
(2)若四棱锥 的体积为 ，求二面角 的大小．
【答案】(1)根据已知四棱锥的性质，结合已知条件，以 为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，则 ，设点 ，
则 ，
，
．
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量坐标，利用向量的数量积为0，推出向量垂直；
（2）利用棱锥体积公式求出 ，进而求出点 ，得出相关向量坐标，求出平面的法向量，进而利用向量夹角
余弦公式求解．
【详解】（1）略
（2）四棱锥体积 ，解得 ，
，则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
设二面角 为 ，则 ，
由图可知，二面角 为锐角，则二面角 大小为 ．
19．已知 ，函数 ， ．(1)已知 ，求 的解集；
(2)已知 ， 是 在点 处的切线， 是过点 且垂直于 的直线， 与 、 在第一象限内
均无公共点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出参数 ，解不等式即可求出 的范围；
（2）求出直线 与 的方程，利用 与 、 在第一象限内均无公共点，得出 与
无正实数解，分离参数，转化为直线 与 与曲线 在
内均无交点，对 求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数 的取值范围.
【详解】（1）由题意， ，
在 与 中，
，解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 或 或
∴不等式的解集为 .
（2）由题意及（1）得， ，
在 中， ，
∴
∵直线 为 在点 的切线，
∴直线 的方程为： ，即 ，
∵ 是过点 且垂直于 的直线，∴直线 的方程为： ，即 ，
在 中， ， 与 、 在第一象限内均无公共点，
∴ 与 无正实数解，
分离参数得， ， ，
∴直线 与 与曲线 在 内均无交点，
而 ，
当 时，解得 （舍）或 ，
∴当 即 时，函数单调递减，
当 即 时，函数单调递增，
∴ 在 处取最小值， ，
当 时， ，当 时， ，
∴ 且 ，即 或 ，
∴实数 的取值范围为 .
20．已知双曲线 ，点 在 上， ， 分别为双曲线的左、右焦点．
(1)求点 到双曲线渐近线的距离；
(2)若 ，求 ；
(3)记 为双曲线 满足 和 的部分；直线 ， 均过右焦点 ， 与 交于 ， 两点（分别在
第一、第四象限）， 与 交于 ， 两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数 ，使得对任意直
线 ，都存在唯一一对应的直线 满足 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)(3)存在实数 符合题意，此时 的取值范围为
【分析】（1）根据双曲线方程求 ，即可得渐近线方程以及点到直线的距离；
（2）解法一：根据余弦定理可得 ，结合定义可得 ， ，即可得面
积；解法二：设 ，根据数量积可得 ，即可得面积；解法三：根据极化恒等式和中线长性质可得
， ，结合面积公式运算求解；
（3）根据题意结合双曲线性质可得直线斜率取值范围，设直线方程结合弦长公式可得 ，
，进而分析取值范围即可得解.
【详解】（1）由题意可知： ， ，
则 ， ，渐近线方程为 ，即 ，
所以点 到双曲线渐近线的距离为 .
（2）解法一：因为 ，
由余弦定理可得 ，
整理得： ，
因点 是双曲线上一点，则 ，可得 ，
代入可得 ， ，则 ，
所以 的面积为 ；
解法二：设 ，则 ，即 ，
可得 ， ，
因为 ，即 ，解得 ，
所以 的面积为 ；解法三：因为 ，即 ，
由中线长定理可知： ，
因为 ，可得 ，
代入可得 ， ，可得 ，
解得 ，则 ， ，
所以 的面积为 .
（3）不妨取 ， ，则直线 的斜率 ，
依题意，设直线 ： ，则 ，设直线 ： ，则 ， ，
，
联立方程 ，消去x可得 ，
则 ， ，
可得 ，
可知函数 在 内单调递增，则 ，
且当 趋近于1时， 趋近于 ，即 在 内的值域为 ，故 ，因 ，所以 ；
同理可得：
可知 在 内单调递减，则 ，
且当 趋近于1时， 趋近于 ，即 在 内的值域为 ，故 ；
由题意可知： ，可得 ，解得 ，
所以存在实数 符合题意，此时 的取值范围为 .
21．已知 是 ， ， 的一个排列，若函数 ， ， ，对任意 ，都有 且
，则称 是关于 ， ， 的一个 排列，则关于 ， ，
的 排列总数记为 ．
(1)已知 ， ， ， ，判断 是否为 排列；
(2)对 ， ， ， 满足条件的 ，求 的取值范围；
(3)对 ，且对任意 ， ，令 ， ，
， ，证明：若 严格减，则存在 ，使 ；若 严
格增，则存在 ， ．
【答案】(1)是 排列；
(2) ；
(3)首先证明第1个结论，
观察（2）问的6个情况，若 和 在 上同时成立，
那么排列 都将是 排列，此时 至少为4．
当 时，即 ，
因为 是定义在 上的函数，且严格单调递减，实数 ，
则 恒成立，又因为函数 在 上单调递增，
则在区间 上， ， .
若 恒成立，则 ，
则只需 ，即 ，因为对任意的 ， ，
则 ，则 ，则解得 ，
当 时，即 ，
因为 严格递减，所以 且 ，
，
只要 ，就有 ，
则可取 即可满足题意．
即存在 ，使得 .
再证明第2个结论.
假设对于任意的 ，都有 ，
因为（2）中①排列 始终满足条件，
则在剩下的5种排列中，只有唯一的一个是 排列．
首先，我们证明 不可能恒成立：
假设对于某个 ，在 上恒有 ．
即 ，
即 ，
取 ．由于 严格递增，
令 ，
则 ，
于是对任意正整数 ：
，
当 时， ，这与 矛盾！因此， 不可能恒成立．则排列③排列 和④排列 永远不可能是 排列．
接下来只剩②排列 ，其需满足 ，
⑤排列 ，其需满足 ，
⑥排列 ，其需满足 ，
下面证明：对于任意 在 上恒成立＂与＂ 在 上恒成立＂这两个命题，必
须有且只有一个为真．
（i）若对任意 ，都有 ，即都有 ，
对于任意 和 ，
则 ，
当且仅当 时等号成立，又因为 ，故等号无法取到，
所以 恒成立，
则 对所有的 恒成立.
则此时②排列 ，⑤排列 ，⑥排列 均成立，
则 ，与假设 矛盾！
（ii）并非对于所有 都有 ，即 ，
则必定存在 ，使得 ，
设 ，
因为 是严格单调递增的连续函数，
则对于已知的 ，总可以找到 ，使得 ，
即 ，即 ，
同时，因为 严格递增且 ，必有 ．
即 ，
即 ，即 ，
则可取充分小的 使得 ，即存在 ，使得 ，
所以＂ 恒成立＂这个命题是假的．
既然 为假，那么＂ 恒成立＂必须为真．即除①排列外剩余的5个排列中，只有②排列 成立，此时满足 ，
则对于 ，在 时都有：
，
即 ，
取 ，则对于任意 ：
，
因为 严格递增，则 ．
则
又因为 ，
则
即 ，对任意 都成立．
取 ，因为 ，则 ，
则对于 内的任意 ，都满足 ，
因为 ，故有 ，
但是，之前我们得到 ，
即 ，则 ，
则有： ， 这与我们的假设相矛盾．
综上，原命题成立，必然存在 ，使得 ．
【分析】（1）根据 排列的定义判断即可；
（2）分析得 ， ， 的全排列均符合题意，则得到不等式组，解出即可；
（3）第一个结论分 和 讨论即可证明，第二个结论利用反证法即可证明.
【详解】（1）由题意得 ，
则当 ， ，
则 恒成立，
，则 恒成立，
故 是为 排列.
（2）若 ，则1，2，3的全排列均满足题意，
① ，则有： ，此时两个不等式显然成立．
② ，则有： ，即 .
③ ，则有： ，即 .
④ ，则有： ，即 .
⑤ ，则有： ．
⑥ ，则有： ，即 .
则上述不等式均要成立，取它们的交集有 ，
即 ，即 对 恒成立，
分离参数得 ，因为当 时， ，
所以 .
（3）略.
