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为什么要对得分点精雕细刻？这要从高考阅卷评分标准的底层逻辑谈起，核心评分原则评分细则将题
目拆解为若干关键“得分点”，阅卷老师对照步骤给分。重过程轻结果，关键步骤正确即可得分。分数并
非由最终答案决定，而是由解题过程中的关键步骤构成。规范书写过程=创造得分机会。
高考中13分大题得分可拆解如下几个得分点：审题转化(1分)+核心公式(2分)+关键推导(3分)+中间
结果(3分)+结论(2分)+答案(2分)，过程完整即可锁定8分+。
解答题规范解题主要分为书写、逻辑、计算三个层面，这是我们突破解答题的三个原则，也是构建规
范答题的基础，如何突破这三个方面，可从以下入手：
1.关于书写：把阅卷老师当“外行”
高考阅卷速度极快，阅卷老师是在“找得分点”，而不是“找错误”。所以书写的核心原则是降低老
师的阅读成本。步骤要分步写，拒绝“大肚皮”：千万不要把一堆算式挤在一起。每一步推导单独成行，
重要的中间结论（比如求出了某个函数的导数、求出了某个点的坐标）要清晰醒目。
必要的文字说明不能省：
* 设未知数要写“设……”；
* 使用定理要写“由……定理得”；
* 分类讨论要写“当……时”；
* 最后一定要写“综上所述”或“故……”。
* 这些连接词就是阅卷老师眼中的“路标”，有了路标，老师才会顺着你的思路给分。
* 卷面整洁，字迹不求美但求清，结论要“突出”：最终答案最好单独一行，让老师一眼就能看到。
2.关于逻辑：步步有据，环环相扣
逻辑分通常是“踩点给分”，中间断了，后面的分可能就没了。
* 条件翻译要到位：把题目中的文字语言（比如“相切”、“单调递增”、“存在实数解”）迅速、
准确地翻译成数学符号语言（ ）。这是逻辑链条的第一步。
* 注意“等价性”与“定义域”：
* 做变形时，时刻问自己：这一步是可逆的吗？（比如两边平方、去分母）。
* 涉及对数、根号、分母时，优先写出定义域。这是逻辑严密性的基础，也是常见的扣分坑。
* 分类讨论要“不重不漏”：* 确定分类的标准（比如 与 0 的关系，参数 a 与 0 的关系）。
* 每一类讨论完后，记得看是否需要取交集或并集。
* 逆向思维找思路，顺向思维写过程：草稿纸上可以倒推（为了求A，我需要B；为了求B，我需要
C），但在答题卡上必须正着写（因为C，所以B；因为B，所以A）
3.关于计算：草稿纸管理与“回头看”
计算错误是最可惜的，通常是因为“眼高手低”或者草稿太乱。
* 草稿纸分区使用：
* 千万不要在草稿纸上乱画！把草稿纸折成4格或8格。
* 按题号顺序在草稿纸上运算，步骤写清楚。
* 好处： 一旦最后结果不对劲，你可以迅速定位到草稿纸的某一格检查，而不是重新算一遍。
* 每天坚持“纯计算”训练：
* 每天抽出15-20分钟，专门找几道解析几何（联立方程、韦达定理）或导数求导、解不等式的题
目，只练算，不算完不罢休。
* 算出结果后，一定要和答案比对，错了要分析是看错了、符号搞反了，还是公式记错了。
* 掌握“检验”技巧：
特殊值法：算出通解后，代入一个简单的数（如0, 1）看看成不成立。
范围判断：算出概率大于1了？算出时间是负数了？算出长度是虚数了？这肯定错了，必须回头
查。
* 硬算与巧算结合：高考数学通常不会设计特别繁琐的“死算”。如果你发现计算量大到离谱（比
如解一个极其复杂的三次方程），先停笔，大概率是你前面的方法选错了，或者漏掉了某种几何性质/对
称性。
实用小技巧：
在接下来的复习中，拿历年真题的解答题来练手。做完后，不要只对答案，要拿着标准答案的评分细
则（如果有）或者标准步骤，对比自己的卷面：
* 哪一步老师给了分但我没写？（补逻辑）
* 哪一步我写了一堆但老师没给分？（去废话）
* 哪一步我算错了？（练计算）
坚持下去，这三方面的提升会直接反映在你的总分上！加油！
1.三角与数列:公式先行，步骤完整
（1）三角函数与解三角形模板
01.写已知:列出题目给定的所有条件；
02.选定理:明确使用正弦定理或余弦定理；
03.代公式:准确代入数值进行计算；
04.求边角:写出结果并标注角的范围；
05.求面积:套用面积公式求解.
【典例1】（2026·安徽滁州·二模）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，．
(1)若 ，求 ；
(2)若 是边 上一点，且满足 ，求 的面积．
【详解】（1） ，
由正弦定理得： ，………………………………………………3分
，即 ，………………………………………………4分
， ，………………………………………………5分
在 中，由正弦定理得： ， ；
………………………………………………6分
（2）记 ，则 ，
， ．………………………………………………7分
在 和 中，由余弦定理得： ，……………9分
解得： ， 是边长为6的正三角形，故 ，……………………………11分
的面积 ．………………………………………………13分
（2）数列答题模板
01.判类型:判断是等差数列还是等比数列
02.写基本量:写出首项、公差/公比
03.列公式:写出通项公式和前n项和公式
04.求问题:结合公式求解具体问题
05.标范围:务必标注n N*
【典例2】（2026·浙江嘉兴·二模）已知数列 ， ， ．
(1)求证：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；(2)求数列 的前n项和 ．
【详解】（1）
………………………………………………2分
且
因此， 是以 为首项， 为公比的等比数列………………………………………………4分
………………………………………………5分
（2）由（1）： ，因此
………………………………………………7分
令
两式相减得： ………………………………………………9分
………………………………11分
所以， .………………………………………………13分
2. 立体几何:定理条件要写全
（1）几何法模板
01复述条件:将题目条件准确转化为数学语言。
02使用定理:判定定理的条件必须写全(如线面垂直三要素)。
03得出结论:明确写出线面、面面的位置关系。04求体积:先写出体积公式，再代入数值计算。
（2）向量法模板
01建系说明:必须说明“以...为原点”，建系必须说明原点，X，Y，Z轴中的三个。
02写出坐标:准确写出关键顶点的空间坐标。
03求向量:计算所需的方向向量和平面法向量。
04求夹角:利用向量夹角公式计算，注意锐角钝角。
【典例2】（2026年广东模拟）如图，四棱锥 的底面是矩形， 是等边三
角形，平面 平面 分别是 的中点， 与 交于点 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)平面 与直线 交于点 ，求直线 与平面 所成角 的大小．
【解析】（1）因为 为正三角形， 是 中点，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，……………………………………………………………………………………3分
又 平面 ，所以 ，
， …………………………………………………………………………5分
又 在平面 内且相交，故 平面 ……………………………………7分
（2） 分别为 的中点， ，
又平面 过 且不过 ， 平面 ．
又平面 交平面 于 ，故 ，进而 ，……………………………………8分
因为 是 中点，所以 是 的中点．
以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，………………………………9分
则 ，
， ，……………………………………10分
设平面 法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，得 ，……………………………………12分
则 ，……………………………………13分
因为 ，所以 .……………………………………15分
3. 概率统计:定义事件，公式先行
概率统计题虽题干长、数据多，但得分关键在于"程序性”规范。切勿急于罗列数字，必须严格遵循
“先定义事件，再写出公式，最后代入计算”的流程。这不仅是逻辑的体现，更是阅卷给分的硬性标准。
【典例3】（2026·山东东营·模拟预测）甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球（分3次发，每次发
1个球），若某次发球成功，则该次发球者得2分，对方得0分，发球者继续发下一次球；若某次发球不
成功，则该次发球者得0分，对方得2分，对方发下一次球.已知甲每次发球成功的概率为 ，乙每次发球成功的概率为 ，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立.
(1)在前两个球发完后，求甲共得2分的概率；
(2)设甲这次发球练习的总得分为 ，求 的分布列与数学期望.
【详解】（1）设 “第 （ 1，2，3）个球甲发球成功”，
“第 （ 1，2，3）个球乙发球成功”， “在前两个球发完后，甲共得2分”，
则 ，且 与 相互独立，
与 相互独立， 与 互斥，………………………………………2分
所以 .
………………………………………5分
（2）X的可能取值为0，2，4，6.………………………………………………6分
，…………………………………………7分
，………8分
，………9分
.………10分
的分布列为：
0 2 4 6
P…………………………………………11分
故 .…………………………………………13分
4. 解析几何:联立方程与韦达定理是“必拿分”
解析几何题计算量大，很多同学容易望而却步。但实际上，只要完成了以下步骤，就能拿到这道题的
不少分:
①联立方程(消元得到一元二次方程)
②写出判别式4(确保直线与曲线相交)
③韦达定理(写出x+x 和xx)这是解析几何的“保底分”和“抢分点”!
1 2 1 2
【典例4】（2026年山东聊城二模） 已知双曲线 的渐近线方程为
，过点 且与 轴不重合的动直线 交 于 、 两点，当 与 轴垂直时， ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）在 轴上是否存在一定点 ，使 为定值，若存在，求出 的坐标及 的值；若不
存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，点 ，定值为
【解析】
【分析】（1）根据已知条件可得出关于 、 的方程组，解出 、 的值，即可得出双曲线 的方程；
（2）根据题意设直线 的方程为 ，设点 、 ，将该直线方程与双曲线 的方
程联立，列出韦达定理，化简 的表达式，根据 为定值可得出关于 的等式，解出 的
值，即可得出结果.【小问1详解】
由 的渐近线方程为 ，得 ①，……………………………………2分
由 ，根据双曲线的对称性，不妨设 ，则 ②，………………………………4分
由①②得 ， ，所以双曲线 的方程为 ．……………………………………5分
【小问2详解】
根据题意设直线 的方程为 ，……………………………………6分
将 的方程代入双曲线方程 ，得 ，………………………………7
分
Δ=(24m) 2−4(3m2−4)×36=144m2+576>0 且 ，……………………………………8分
设点 、 ，由韦达定理得 ， ，
……………………………………9分
假设存在 满足题意，
则⃗MA⋅⃗MB=(x −n)(x −n)+ y y
1 2 1 2
=(m y +4−n)(m y +4−n)+ y y
1 2 1 2
=(m2+1)y y +(4−n)m(y + y )+(4−n) 2
1 2 1 2
36 −24m
=(m2+1)× +(4−n)m× +(4−n) 2
3m2−4 3m2−4
(24n−60)m2+36
= +(4−n) 2, ……………………………………12分
3m2−4
要使 为定值，则上式需与 无关，则 ，解得 ，………………………13分此时 ．……………………………………14分
所以存在点 使得 为定值，定值为 ．……………………………………15分
5. 函数与导数:定义域与分类讨论是关键
01写定义域:函数的定义域必写，这是严谨性的第一步。
02求导数:求导并整理 ，确保表达式简洁。
03找零点:令 =0，求解可能的极值点或临界点。
04判单调:根据导数符号判断函数的单调性区间。
05求极值/最值:结合单调性得出极值或最值。
06分类讨论:根据参数范围分开说明，体现逻辑完整性。
【典例5】（2026广东揭阳质检）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，
（i）过点 可以作函数 的两条切线，求b的取值范围；
（ii）设A，B是 图象上两个不同的点，且A，B两点到 的距离相等，判断线段AB的中点
在第几象限，并证明.
【小问1详解】
，……………………………………1分
①当 时， ，则 在 上单调递增；……………………………………2分
② 时，令 ，得 ，则 在 上单调递增；令 ，得 ，则 在 上单调递减；……………………………………4分
【小问2详解】
（i） ，设切点为 ，则切线方程为 ，……………………………5分
代入点 坐标，得 ，……………………………………6分
由题，上述关于 的方程有两个不同的解，
令 ，则 ，
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减；所以 的极大值为 ，
当 时， ；当 时， ，
则 的取值范围为 .……………………………………9分
（ii）线段 的中点在第四象限，证明如下：
设 , 两点的坐标分别为 ，
由 ，可得 ，……………………………………10分
令 ，则 ，
当 时， ，则 ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 ，则 在 上单调递增；
由 ，不妨设 ．令
∴当 时， ，则 ，……………………………………12分
又 ，
而 在 上单调递增，从而有 ，可得 ；……………………………………14分
∴线段 的中点的纵坐标 ，横坐标 ，
故其位置在第四象限．……………………………………15分
题组一
1．（2026·河南开封·模拟预测）在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，
．
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 ，利用正弦的二倍角公式结合正弦定理求得 ，进而求得
角 .（2）首先根据面积公式求得 ，然后再利用余弦定理求得 ，进而求得 ，即可
求解三角形的周长.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 是锐角三角形，所以 ，
所以 ，则 ，因为 为锐角，所以 ．
（2）因为 的面积为 ，
所以 ，即 ，
由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，即 ，
故 的周长为 ．
2．（2026·山西吕梁·二模）设各项均为正数的等比数列 的前n项和为 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用基本量法可求首项与公比，故可求通项公式；
（2）求出 的通项，利用裂项相消法结合不等式的性质可证题设中的不等式.
【详解】（1）设公比为 ，则 ，故 ，
故 .（2） ，故 ，
所以 .
3．（2026·湖南浙江·模拟预测）如图，在三棱锥 中，侧面 、 是全等的直角三角形，
是公共的斜边，且 ，另一个侧面 是正三角形．
(1)求证： ；
(2)求二面角 的平面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线线垂直可证明 平面 ，即可求证，
（2）作 于 ，作 交 于 ，根据二面角的定义可得 是二面角 的
平面角，即可根据余弦定理求解.
【详解】（1）取 的中点为 ，连接 ，
由 ，所以 ，
又 为正三角形，所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ；（2）作 于 ，作 交 于 ，
所以 是二面角 的平面角，
因为 ， 是以 为斜边的直角三角形，，
所以 ，又 为正三角形，
所以 ，所以 为 的中点，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 为 的中点，
所以 ，又 是以 为斜边的直角三角形，
所以 ，
在 中，由余弦定理有：
，
所以 .
4．（2026·上海长宁·二模）双曲线 经过点 ，不垂直 轴的直线与 交于不同于的 、 两点，直线 、 分别与 轴交于点 、 .
(1)求 的离心率；
(2)设直线 与 轴交于点 ，且 ，求点 的横坐标；
(3)若 、 关于原点对称，证明：直线 经过定点.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程求得 ，进而利用公式可得离心率；
（2）设出点的坐标，利用坐标运算，结合向量关系，联立求解即可；
（3）先求得 ，设直线 ，与双曲线方程联立 ，由韦达定理得 ，
即可求解定点.
【详解】（1）将 代入双曲线方程 可得： ，
因为双曲线中 ，所以 ，
即离心率： ；
（2）
设 ，直线 方程为 ，令 ，得 ，即可知 ，
令 ，得 ，即可知 ，
由 ，可得： ，
则由纵坐标对应相等可得 ，
由（1）知双曲线化简为 ，代入得 ，
解得 或 （因为此时与点 重合故舍去），即 ；
（3）设 ，由 关于原点对称得 ，
计算得直线 的斜率可得
所以有 ，
设直线 ，联立 ，
可得： ，
设 ，
由韦达定理得 ，
由 可得： ，
整理得： ，
所以 ，
所以 ，代入韦达定理可得： ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，则 或 ，
当 时，直线 恒过点 ，不符合题意，
故 ，此时直线 恒过点 .
5．（2026·福建宁德·模拟预测）已知函数 ．
(1)已知曲线 在 处的切线方程为 ，求 和 的值；
(2)求证： 不是函数 的极值点；
(3)设 ， ，是否存在 ，使得函数 的最小值为2？若存在，求出 的值；若不存在，
说明理由．
【答案】(1) ，
(2)证明见详解
(3)存在，
【分析】（1）根据导数即可求解；
（2）根据 、 两种情况分析 即可证明；
（3）根据 、 、 三种情况分析 的导数，并据此求出最值，并根据题干求出对应a
的值，判断是否符合情况即可．
【详解】（1） ，由题意 ，解得 ， ，解得 ．
（2） ，且 ，
①当 时， ，令 ，求导得 ，
时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增；
故 在 处取得最小值 ，即 恒成立，
因此 不是极值点；
②当 时， ，不可能是极值点；
综上， 不是函数 的极值点．
（3） ， ，求导 ，
① ，此时 恒成立， 在 上单调递减，
最小值在 处，即 ，
令 ，得 ，与 矛盾，舍去；
② ，即 ，此时 在 上为负， 单调递减；
在 上为正， 单调递增，
最小值在 处，即 ，
令 ，得 ，满足 ，成立；
③ ，即 此时 在 上恒成立， 单调递减，
最小值在 处，即 ，令 ，得 ，与 矛盾，舍去；
综上，存在 ，使得 在 上的最小值为2．
题组二
1．（2026·云南昆明·二模）低空经济是区域经济发展的新引擎，某无人机物流枢纽中心计划在甲､乙两条
航线中选定一条作为常态化航线.为评估航线性能，该中心进行了多次模拟测试.经统计分析，甲航线在连
续12次测试中，单次测试成功率为 ，各次测试相互独立，记其成功次数为
；乙航线在 次测试中成功次数为 ，且 .
(1)求 的值；
(2)为量化两条航线的综合表现，该中心引入“稳定性系数”的评估指标：稳定性系数 越小，
表示稳定性越好，综合表现越优.当 时，分别计算甲､乙两航线的稳定性系数，并以此判断哪条航线
的综合表现更优；
(3)若每次任务执行成功能盈利200元，执行失败则亏损80元.根据（2）的结论，选择综合表现更优的航线，
根据测试数据估计该航线执行 次任务的利润的期望.
【答案】(1) ；
(2) ， ，甲航线综合表现更优；
(3) 元.
【分析】（1）应用已知结合二项分布概率公式计算求解；
（2）应用已知定义结合二项分布的数学期望公式及方差公式计算比较求解；
（3）应用二项分布的数学期望公式结合数学期望性质计算求解.
【详解】（1）由题意， ，解得 ；（2）因为 ，所以 .
当 时， ，
故 ， ，
因为 ，所以甲航线综合表现更优；
（3）设 次派送任务中成功的次数为 ，则 ， ，
设盈利为 元，则 元.
2．（2026·福建厦门·二模）如图，在四棱锥 中，底面ABCD为菱形，
．
(1)证明： 平面PAC；
(2)已知 ，点 满足 平面PEC．
（i）求 ；
（ii）求平面PBD与平面PEC夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见详解
(2) ；
【分析】（1）设AC，BD交于点 ，通过证明 即可证明 平面PAC；
（2）（i）取PC中点 ，通过证明 及 可得OFEB是平行四边形，即可求得 ；
（ii）以 为原点，建立空间直角坐标系，求出平面PBD、PEC的法向量，通过法向量求解余弦值即可．
【详解】（1）因为ABCD为菱形，所以 ，设AC，BD交于点 ，则 ，
又因为 ，所以 ，因为 ，AC， 平面PAC，所以 平面PAC．（2）（i）取PC中点 ，则 且 ，由 知 ，
所以 ，即 四点共面，
因为 平面PEC， 平面OBEF，平面 平面 ，所以 ，
因此OFEB是平行四边形，故 ，即 ．
（ii）由（1）可知， 平面PAC，因为 平面ABCD，所以平面 平面PAC，
因为平面 平面 ，所以在平面PAC内作Oz垂直于AC，如图，
以 为原点，建立空间直角坐标系 ，
由题意可知 ， ， ， ，
因为 ，且 ，所以 ， ，
因此 ， ， ，
， ，
由此可知 ，设平面PBD的一个法向量 ，
则 ，也即 ，
令 ，得 ，设平面PEC的一个法向量 ，则 ，也即 ，
令 ，得 ，所以 ，
所以平面PBD与平面PEC夹角的余弦值为 ．
3．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数 的表达式为 .
(1)若将函数 的图像向右平移 个单位长度，得到函数 的图像关于直线 对称，
求 的最小值；
(2)若函数 在区间 上恰有2个极值点和2个零点，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用辅助角公式，结合平移变换和三角函数的对称性即可求解；
（2）利用相位整体思想，分析正弦函数的极值点和零点情况，即可确定动区间的范围，从而可求得参数
范围.
【详解】（1）由 ，
当函数 右移 个单位得 ，则 ，由 关于 对称，可得： ，
整理得： ，又 ，取 得最小正数 ，
即 的最小值为 ；
（2）由（1）可得： ，
当 ，令 ，
再由 的零点满足： 或 ， ，
不妨取 ，可得两个正数零点是 或 ，依次增大的第三个正数零点是 ，
再由 的极值点满足： ， ，
同理可得两个正数极值点是 ，依次增大的第三个正数极值点是 ，
所以函数 在区间 上恰有2个极值点和2个零点，
即满足在 内取到 ， ， ， ，不能取到 和 ，
则 ，
即所求实数m的取值范围 .
4．（2026·广东佛山·二模）椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光
线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆 （ ）的左顶点为 ，点 在E上，且在x轴
的上方，从E的左焦点 发出的光线 ，经过E反射后，交E于点 .按照如下方式依次构造点和 （ ）：光线 经过E反射后，交E于点 ；光线 经过E反射后，交E于点 .
(1)求E的方程；
(2)设直线 的斜率为 ，求证：数列 是等比数列，并求出其公比；
(3)求证：直线 恒过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)
(2)数列 是等比数列，公比为
(3)直线 恒过定点
【分析】（1）根据 的关系即可求出；
（2）设 ，直线 的方程为 ，联立得到 ，再求直线
的斜率之积，设直线 的斜率为 ，求出 即可证明；
（3）直线 的方程为 ，根据（2）的结论求出 即可证明.
【详解】（1）由题意得 ， ，
故E的方程为 .
（2）设 ，直线 的方程为 ，
由 ，消去 ，整理得 ，
，直线 的斜率之积为
，
设直线 的斜率为 ，依题意可知 均存在且不为零，
由 经过E的右焦点 ，知 ①，
由 经过E的左焦点 ，知 ②，
② ①得 ，故数列 是等比数列，公比为 .
（3）直线 的方程为 ，由（2）知 ，
故 ，解得 ，
故直线 恒过定点 .
5．（2026·广东东莞·二模）设a为非负实数，函数 .(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 恒成立，求 的最小值.
【答案】(1)减区间为 ，增区间为 ；
(2) .
【分析】（1）对函数求导并结合余弦函数单调性解不等式即可求得单调区间；
（2）根据不等式恒成立构造函数 ，结合（1）中单调性对参数 进行分类讨论求出
可求得结论.
【详解】（1）当 时， ，
所以 ，
当 时， ，令 ，得 ，
令 ，得 ，
故 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（2）由 恒成立，可得 ，
令 ，则
因为 ，
当 时，由（1）知， 在 上单调递增，在 单调递减，
故此时 ，所以 的最小值为 ；
当 时， ，
当 时，易得 为减函数，
又 时， ，
由零点存在性定理得，存在 ，使得 ，
在 上单调递增，在 单调递减，
故此时 ，
此时 ，
综上可知当 时， 的最小值为 .
题组三
1．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数 的解集为 ．在数列 中
有 ，当 时，记
(1)求数列 的通项公式．
(2)设数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析【分析】（1）由韦达定理求出 的值，即可写出答案；
（2）根据题意写出数列 的通项公式，利用裂项相消求出 ，即可得证.
【详解】（1）由题意可知： 是函数 的两个零点.
由韦达定理可知：
所以
当 时，
所以 ;
（2）已知 ，由（1）可得 ，
当 时， .
当 时， .
则 ，
去括号可得
当 时， ，满足 .
当 时， ，因为 ，所以 ，则 ，即 .
综上， .2．（2026·海南海口·模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ，
，点 是线段 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若二面角 的正弦值为 ，求四棱锥 外接球的表面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，由面面角向量法可得 ，进而计算可解.
【详解】（1）因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为底面 为矩形，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ，点 是线段 的中点，
所以 ，
因为 且 平面 ，
所以 平面 ；
（2）以点 为坐标原点， 为 轴建立如图所示空间直角坐标系，设 ，则 ， ， ， ，
， ， ，
由题意可得， 平面 ，
所以平面 的一个法向量可以为 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量可以为 ，
由题意可得 ，解得 ，
将四棱锥补充成完整正方体，可知 为四棱锥外接球的直径，即 ，
所以四棱锥 外接球的表面积为 .
3．（2026·湖北·二模）某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球.
(1)若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率：
(2)现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略：
若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，
求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大.
【答案】(1)
(2)该运动员第一次选择2分球可以使得两次投篮总得分的期望最大
【分析】（1）记选择2分球为事件 ，选择3分球为事件 ，投一次篮命中为事件 ，结合全概率公式，
即可求解；
（2）当该运动员第一次选择2分球时，得到变量 可取值有 ，求得相应的概率，列出分布列，求
得期望值；当该运动员第一次选择3分球时，得到变量 可取值有 ，求得相应的概率，列出分布列，
求得期望值，结合 ，即可求解.
【详解】（1）解：记选择2分球为事件 ，选择3分球为事件 ，投一次篮命中为事件 ，
则
所以 .
（2）解：当该运动员第一次选择2分球时，记他两次投篮的得分为 ， 可取值有 ，
可得 ， ，
， ，
所以随机变量 的分布列为：
0 2 3 4
0.1 0.16 0.1 0.64
所以
当该运动员第一次选择3分球时，记他两次投篮的得分为 ， 可取值有 ，
可得 ，， ，
所以随机变量 的分布列为：
0 2 3 6
0.1 0.4 0.25 0.25
所以 ，
因为 ，即 ，
所以该运动员第一次选择2分球可以使得两次投篮总得分的期望最大.
4．（2026·山东德州·二模）在平面直角坐标系 中，点 到点 的距离是它到直线 距离的
倍，记点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)设点 为 的下顶点，直线 过点 且垂直于 轴（ 位于原点与上顶点之间），过 的直线交
于 两点，直线 分别交 于 两点.
（i）证明： 为定值；
（ii）是否存在实数 使得 四点共圆？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）存在，
【分析】（1）设 ，将题设中的几何性质代数化后可求 的方程；
（2）（i）设 ，联立直线方程后可用 的坐标表示 ，再
设 的直线方程，并联立双曲线方程，消元后结合韦达定理化简 可得定值；（ii）根据四点共圆可得对角互补，从而 ，结合（2）中结果化简前者可求 .
【详解】（1）设 ，由题意可知 ，
化简整理得： ，
故 的方程为 .
（2）（i）由题意可知 ，设 ，
则直线 ，直线 ，
因为 在直线 上，所以 ，代入直线 方程，可知 ，
故点 的坐标为 ，同理可得点 的坐标为 .
当直线 斜率不存在时，显然不符合题意，
故设直线 ，代入双曲线方程 中，
可得 ，
所以 ，
又
，
所以 .（ii）由 四点共圆可知， ，
又 ，即 ，
故 ，
即 ，所以 .
所以 ，又 ，由 ，
则 ，整理可得 ，
所以 ，
故 ，即 ，所以点 坐标为 .
5．（2026·山东德州·二模）已知函数 .
(1)求 在 上的最大值；
(2)证明： .
【答案】(1)0
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据导数的符号判断函数的单调性，从而可求 在 上的最大值；（2）根据（1）中结果可得 ，根据这个不等式可证题设中的不等式.
【详解】（1）由已知， ，
因为 ， ，
所以 恒成立，
所以 在 单调递增，所以 ，
所以 在 最大值为0.
（2）由（1）知 ，即 .
令 ，其中 ，则 ，
所以
.
