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2026 年上海高考数学真题完全解读
试卷总评 · 考情分析 · 复习策略 · 真题解读
试题分析
2026年上海高考数学试卷延续上海卷独特的题型结构：填空题12道（每题4分，共48分）、选择题
4道（每题5分，共20分）、解答题5道（共82分），总分150分。与全国新高考卷相比，上海卷无多选
题，填空题占比高达32%，对基础运算的准确性和速度要求更高。试卷整体难度层次分明，填空题前8题
侧重基础概念与常规运算，第9题等差数列前n项和区间问题、第10题空间向量共面问题、第11题三角
函数物理情境建模、第12题椭圆顶点与焦点分类讨论体现较强的区分度。选择题第13-14题为基础概念
题，第15题引入复数互相伴随的新定义，第16题正方体绕体对角线旋转的轨迹卦限判断具有较强的空间
创新性。解答题第17题以工厂环保监测数据为情境，将统计图表与回归分析结合；第18题立体几何向量
法证明与二面角计算；第19题函数切线与参数范围；第20题双曲线综合探究；第21题以排列为载体的函
数新定义压轴题，层层递进，从具体判断到范围求解再到存在性证明，体现了上海卷压轴题一贯的抽象性
与探究性特色。整卷对数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养覆盖全面，新定义题型和环保数据情境
体现上海卷的本土特色。
试题亮点
1. 新定义题型贯穿全卷，抽象性与创新性并重：第15题引入复数互相伴随的新定义，要求学生理解当
z1+z2为实数或z1-z2的共轭为实数时两复数互相伴随，进而推导互相伴随的充要条件；第21题以排列为
背景定义函数排列，从判断具体排列到求参数范围再到证明存在性，三问层层递进。这种新定义题型是上
海卷的特色，要求学生具备快速理解抽象定义并灵活运用的能力。
2. 空间几何动态问题创新设问，卦限判断体现空间想象力：第16题以正方体绕体对角线旋转为背景，要
求判断顶点运动轨迹经过几个空间卦限。题目提供两种解法：解法一通过建立轨迹方程分析轨迹与各坐标
面的交点；解法二利用补形法将轨迹转化为正三角形的内切圆。这种动态空间几何问题是上海卷的特色，
与全国卷静态的线面关系判断形成鲜明差异。
3. 环保数据与城市特色情境深度融合，体现本土命题导向：第17题以上海工厂对空气中颗粒物密度和二
氧化硫密度的九年监测数据为背景，考查古典概型、统计图表选择、相关系数判断和回归方程预测。题目
将环保监测、数据分析与数学建模有机结合，体现了上海作为国际大都市对环境保护的重视，也反映了数
学学科在城市治理中的实际应用价值。命题趋势
一、新定义题型持续创新，函数与排列组合综合成为新方向：近三年上海卷压轴题均以新定义为特色，
2024年函数新定义、2025年数列新定义、2026年排列新定义，呈现持续创新态势。第21题将排列组合与
函数单调性、存在性证明综合，第(3)问需要利用反证法和严格单调函数的性质进行推导，对数学抽象素养
要求极高。未来上海卷将继续以新定义为突破口，考查学生快速理解抽象概念并建立数学模型的能力。
二、空间几何动态化与物理化趋势明显，体对角线旋转与轨迹分析成为热点：第16题正方体绕体对角线旋
转、第11题三角函数速度建模（导数为0对应速度极值，初始速度为0，速度第一次达到最大值的时间）
均体现了几何问题的动态化和物理化趋势。上海卷近年来注重将空间几何与物理运动结合，通过建立坐标
系或利用几何变换分析动态过程，预计未来这一方向将继续深化。
三、统计与数据分析融入城市治理情境，环保与公共卫生主题常态化：第17题以工厂环保监测数据为载
体，考查概率、统计图表、相关系数和回归方程的综合应用。与上海卷近年命题风格一致，2024年、2025
年也出现过公共卫生、环境监测等城市治理相关情境。随着上海城市数字化转型和智慧城市建设，基于真
实数据的统计分析与预测能力将成为命题的持续重点。
四、填空题题量大、覆盖面广，基础运算准确性要求持续提升：上海卷填空题12道共48分，占总分近三
分之一，且涵盖集合、数列、三角函数、概率、函数、二项式定理、不等式、向量、椭圆等多个模块。与
全国卷相比，上海卷无多选题的容错机制，填空题答案唯一，对基础概念的理解深度和运算准确性要求更
高。未来上海卷将继续保持这一结构特色，通过填空的广覆盖和解答题的深探究形成完整的考查链条。
考点细目表
分
题号 题型 具体考点 关键能力
值
1 填空 4 集合与常用逻辑用语→集合运算→集合的交集运算 数学运算
2 填空 4 数列→等比数列→等比数列的通项公式 数学运算
三角函数与解三角形→三角恒等变换→三角函数的诱导公
3 填空 4 数学运算
式
4 填空 4 概率与统计→随机事件→互斥事件的概率加法公式 数学运算
5 填空 4 函数与导数→函数性质→偶函数的性质 数学运算
6 填空 4 函数与导数→二项式定理→二项展开式的通项与系数 数学运算
7 填空 4 函数与导数→基本不等式→利用基本不等式求最值 数学运算
8 填空 4 概率与统计→离散型随机变量→分布列的性质与数学期望 数学运算
逻辑推理、数学
9 填空 4 数列→等差数列→等差数列前n项和与区间问题
运算
平面向量与复数→空间向量→向量共面与平面向量基本定 逻辑推理、数学
10 填空 4
理 运算三角函数与解三角形→三角函数图像与性质→三角函数在 数学建模、数学
11 填空 4
物理情境中的应用 运算
数学运算、逻辑
12 填空 4 解析几何→椭圆→椭圆的顶点、焦点与离心率
推理
13 选择 5 函数与导数→指数与对数→指数式与对数式的互化 数学运算
14 选择 5 概率与统计→随机事件→独立事件与对立事件 逻辑推理
数学抽象、逻辑
15 选择 5 平面向量与复数→复数→复数新定义（互相伴随）
推理
直观想象、数学
16 选择 5 立体几何→空间位置关系→正方体旋转轨迹与空间卦限
运算
概率与统计→统计图表与回归分析→古典概型、散点图、 数据分析、数学
17 解答 14
回归方程 建模
直观想象、数学
18 解答 14 立体几何→空间向量→线线垂直的证明与二面角计算
运算
逻辑推理、数学
19 解答 14 函数与导数→导数应用→切线方程、不等式与参数范围
运算
数学运算、逻辑
20 解答 18 解析几何→双曲线→双曲线的几何性质与存在性探究
推理
数学抽象、逻辑
21 解答 22 函数与导数→函数性质→新定义（排列）与存在性证明
推理
考点模块占比分析
基础知识模块（约16%，24分）：重点考查集合运算、互斥事件概率、指数对数互化、独立事件与对立事
件等基础概念，对应第1、4、13、14题。上海卷填空题前4题和选择题前2题均为基础概念的直接应用，
难度较低但覆盖范围广。
函数与导数模块（约28%，42分）：重点考查函数性质、二项式定理、基本不等式、指数对数、切线方程
及新定义排列，对应第5、6、7、13、19、21题。第21题作为压轴题，以排列为背景定义函数新定义，第
(3)问需要利用反证法和严格单调函数性质进行存在性证明，体现了极强的抽象性。
平面解析几何与立体几何模块（约22%，33分）：重点考查椭圆、双曲线、空间向量、正方体旋转轨迹
等，对应第12、16、18、20题。第16题正方体绕体对角线旋转的轨迹卦限判断是上海卷空间几何创新设
问的典型代表；第20题双曲线第(3)问的存在性探究需要结合弦长公式和函数单调性分析。
数列与三角函数模块（约22%，33分）：重点考查等比数列、等差数列、三角函数诱导公式、物理情境建
模，对应第2、3、9、11题。第9题等差数列前n项和在区间内至少有两项，需要分析数列单调性；第11
题将三角函数与物理速度问题结合，体现数学建模导向。
概率与统计模块（约12%，18分）：重点考查互斥事件概率、分布列与期望、古典概型、统计图表与回归
分析，对应第4、8、17题。第17题以环保监测数据为载体，将概率、统计图表、相关系数和回归方程融
为一题，体现上海卷的本土特色。
核心复习策略1. 夯实基础，提高填空题运算准确性和速度
（1）上海卷填空题12道共48分，占总分近三分之一，且无多选题容错机制，答案唯一。需系统梳理集
合、数列、三角函数、概率、向量等基础概念，确保前8题基础填空零失误。
（2）加强限时训练，提高基础运算速度和准确率。填空题每题控制在2-3分钟内完成，为后面的解答题预
留充足时间。
2. 突破新定义与动态空间几何
（1）新定义题型是上海卷的特色，复习中注重培养快速理解抽象定义的能力。如第15题复数互相伴随、
第21题排列新定义，需要在理解定义的基础上建立数学模型。
（2）空间几何注重动态问题训练，如正方体旋转、点轨迹分析等。掌握建立空间直角坐标系和几何变换
两种方法，提升空间想象能力。
3. 提升解答题综合能力和规范表达
（1）解答题第19-21题难度递增，需系统掌握导数应用、解析几何和存在性证明的方法。压轴题新定义问
题注重从特殊到一般的归纳思维和反证法的运用。
（2）注重答题规范，解答题步骤清晰、逻辑严密。特别是分类讨论时要不重不漏，存在性问题要说明存
在理由或构造反例。
避坑提醒（考试最易踩的雷）
填空题答案格式不规范失分：上海卷填空题答案需精确表达，如第4题概率需化简为最简分数，第7题最
值需注明取等条件，第12题离心率需化简到最简形式。
新定义题型理解偏差：如第15题复数互相伴随的定义有双重条件（和为实数或差为实数），第21题排列
的定义涉及两个不等式同时成立，理解偏差会导致后续推导全错。
分类讨论不完整：如第12题椭圆顶点与焦点的分类讨论、第20题双曲线直线斜率范围的讨论，容易遗漏
某种情况导致答案不全。
×表达不规范：步骤、依据、单位或答语缺失都会造成失分。
一、填空题
1．已知集合 ， ，则 __________．
命题透视►核心考点：集合的交集运算
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，考查集合的基本运算。
（2）问题设计：给出两个集合，要求求交集。属于集合运算的基础题，需要准确理解交集的定
义并求解。
（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重集合运算基本概念的理解和应用。
答案与解析
【答案】
【详解】由题意得 ，解得 ，经验证此时集合 满足题意.
知识总结
①核心概念：集合的交集是由同时属于两个集合的所有元素组成的集合。②解题要点：先化简或确定
两个集合的元素，再找出公共元素。③拓展关联：集合运算常与不等式、函数定义域等结合考查。
2．已知 为等比数列， ， ，则 __________．
命题透视
►核心考点：等比数列的通项公式
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，考查等比数列的基本公式。
（2）问题设计：已知等比数列两项的值，要求求另一项。直接利用通项公式列方程求解。
（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重等比数列通项公式的熟练运用。
答案与解析
【答案】
【详解】设数列 的公比为 ，则 ，则 .
知识总结①核心概念：等比数列通项公式an=a1*q^(n-1)。②解题要点：由已知条件列方程求公比q，再求目标
项。③拓展关联：等比数列与等差数列是数列的基础模型。
3．已知 ，则 __________．
命题透视
►核心考点：三角函数的诱导公式
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，考查三角函数的诱导公式。
（2）问题设计：给出三角函数值，要求利用诱导公式求另一三角函数值。
（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重诱导公式的灵活运用。
答案与解析
【答案】
【详解】 ．
知识总结
①核心概念：诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，如sin(π+α)=-sinα，cos(2π-α)=cosα
等。②解题要点：根据角的象限和诱导公式确定符号和函数名。③拓展关联：诱导公式与和差角公式、二
倍角公式共同构成三角恒等变换的基础。
4．已知事件 ， 互斥， ， ，则 __________．
命题透视
►核心考点：互斥事件的概率加法公式
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，考查互斥事件的概率计算。
（2）问题设计：已知互斥事件的概率，要求求某事件的概率。直接利用互斥事件的加法公式。
（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重互斥事件概率加法公式的理解。答案与解析
【答案】 /
【详解】因为 互斥，所以 .
知识总结
①核心概念：互斥事件不能同时发生，P(A∪B)=P(A)+P(B)。②解题要点：确认事件互斥后，直接相加
概率。③拓展关联：对立事件是特殊的互斥事件，P(A)+P(A的补)=1。
5．已知函数 是偶函数，当 时， ，若 ，则 __________．
命题透视
►核心考点：偶函数的性质
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，考查偶函数的性质。
（2）问题设计：已知函数为偶函数，给出部分解析式和函数值关系，要求求参数值。利用偶函
数f(-x)=f(x)的性质。
（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重偶函数性质的灵活运用。
答案与解析
【答案】
【分析】根据偶函数的性质求解.
【详解】因为函数 是偶函数，当 时， ，
所以 ，解得 .
知识总结
①核心概念：偶函数满足f(-x)=f(x)，图象关于y轴对称。②解题要点：利用偶函数性质将未知点的函
数值转化到已知区间。③拓展关联：奇偶性是函数的重要性质，常与周期性、对称性综合考查。6．已知 ，则展开式中 的系数为__________．
命题透视
►核心考点：二项展开式的通项与系数
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，考查二项式定理的应用。
（2）问题设计：已知二项式，要求求展开式中某项的系数。利用通项公式确定项数。
（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重二项展开式通项公式的运用。
答案与解析
【答案】
【分析】写出二项式的通项，令 的次数为 ，即可求出展开式中 的系数.
【详解】由题意，
在 中，通项 ，
当 即 时， ，
∴展开式中 的系数为 .
知识总结
①核心概念：二项式(a+b)^n展开式的通项为T_{r+1}=C(n,r)*a^(n-r)*b^r。②解题要点：写出通项，令
未知数的指数等于目标值，解出r，再计算系数。③拓展关联：二项式系数性质、赋值法是二项式定理的
重要应用。
7．已知 ，则 的最大值为__________．
命题透视
►核心考点：利用基本不等式求最值
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，考查基本不等式的应用。（2）问题设计：已知条件，要求利用基本不等式求最大值。需要注意取等条件。
（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重基本不等式的灵活运用和取等条件的验证。
答案与解析
【答案】 /
【分析】根据基本不等式可得 ，结合条件即可求结论.
【详解】因为 ，当且仅当 时等号成立，
结合 可得， ，
当且仅当 ， 或 ， 时等号成立，
所以当 ， 或 ， 时， 取最大值，最大值为 .
知识总结
①核心概念：基本不等式a+b≥2√ab（a,b>0），当且仅当a=b时取等号。②解题要点：将目标式变形为
基本不等式的形式，注意验证取等条件是否满足已知约束。③拓展关联：基本不等式常与约束条件结合，
注意等号能否取到。
8．已知随机变量 的分布为 ，且 ，则 __________．
命题透视
►核心考点：分布列的性质与数学期望
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，考查离散型随机变量的分布列和期望。
（2）问题设计：给出随机变量的分布列和期望条件，要求求参数值。利用分布列概率和为1及期
望公式列方程组。
（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重分布列性质和期望公式的综合应用。答案与解析
【答案】 /
【分析】根据分布列性质及数学期望公式计算求解.
【详解】因为随机变量 的分布为 ，且 ，
所以 ，且 ，
解得 .
知识总结
①核心概念：分布列中所有概率之和为1；期望E(X)=Σxi*Pi。②解题要点：利用概率和为1和期望条
件列方程组求解参数。③拓展关联：方差D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2，是描述随机变量离散程度的量。
9．已知等差数列 中， ，公差为 ，其前 项和 在区间 内至少有两项，则公差 的取值范
围是__________．
命题透视
►核心考点：等差数列前n项和与区间问题
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，考查等差数列前n项和的性质。
（2）问题设计：已知等差数列前n项和在区间内至少有两项，要求公差的取值范围。需要分析前
n项和的单调性和区间覆盖。
（3）考查目标：考查逻辑推理和数学运算素养，侧重数列单调性分析和不等式求解。
答案与解析
【答案】
【分析】根据等差数列求和公式列式计算求解.
【详解】根据已知前 项和 在区间 内至少有两项，则得出 ，且 ， 是单调递增的，所以必须满足 ，
所以 ，所以 .
知识总结
①核心概念：等差数列前n项和Sn=na1+n(n-1)d/2，是关于n的二次函数（d≠0时）。②解题要点：分
析Sn的单调性，确定Sn进入和离开区间的条件，确保至少有两项在区间内。③拓展关联：等差数列前n
项和的最值问题可通过分析二次函数的顶点来解决。
10．已知向量 ， ， 是两两不平行的向量，且 ， ，则 的值为__________．
命题透视
►核心考点：向量共面与平面向量基本定理
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，以空间向量为背景，考查向量共面条件。
（2）问题设计：已知三个两两不平行的向量满足线性关系，要求求参数值。方法一消元后利用
平面向量基本定理；方法二先证明共面再设线性组合。
（3）考查目标：考查逻辑推理和数学运算素养，侧重向量共面条件的理解和运用。
答案与解析
【答案】
【分析】方法一：由条件可得 ， ，消去 ，根据平面向量基本定理列方
程求结论；
方法二：先证明 共面，设 ，由条件结合平面向量基本定理列方程求结论.
【详解】方法一：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，因为 不平行，所以 ，
所以 ，
方法二：因为 ， ， 两两不平行，
所以， ，
若 不共面，所以 ，矛盾，
所以 共面，可设 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，可设 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以 .
知识总结
①核心概念：若三个向量共面，则其中一个可由另两个线性表示；平面向量基本定理指出不共线向量
可作为基底。②解题要点：方法一消去一个向量，利用不平行向量的系数对应相等；方法二先证共面再设
线性组合。③拓展关联：向量共面是立体几何中判断四点共面的重要工具。
11．已知三角函数 （ ， ， ， ），若 ，当 或
时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则 __________．
命题透视►核心考点：三角函数在物理情境中的应用
►命题分析：
（1）情境创设：以物理速度问题为情境，考查三角函数的性质和参数确定。
（2）问题设计：已知三角函数形式，给出导数为0的条件（速度极值）、初始速度为0、速度第
一次达到最大值的时间，要求确定解析式中的参数。
（3）考查目标：考查数学建模和数学运算素养，侧重从物理情境中提取数学模型、利用三角函
数性质求解参数的能力。
答案与解析
【答案】
【分析】利用已知条件结合三角函数的性质构造方程组求出 ，结合初速度为0，求出 ，结合第一次
达到最大值的时间构造方程求出 ，进而求出 解析式．
【详解】由题意知， 和 时，导数为0，即 的最小值为0，最大值为4，
又 ，
所以 ，解得 ，故 ；
已知初速度为0，则 ，解得 ，
已知 ，则 ，
速度第一次达到4时用时 秒，则 ，
即 ，则 ，
解得 ，
解得 ，当 时取得最小正数 ， ，此时 ．
知识总结
①核心概念：三角函数s=Asin(ωt+φ)+B中，A为振幅，ω为角频率，φ为初相位；导数为0对应极值
点。②解题要点：由导数为0确定振幅A和垂直位移B，由初始条件确定初相位φ，由达到最大值的时间
确定ω。③拓展关联：三角函数在简谐振动、交流电、波动等物理问题中有广泛应用。
12．在 中， ， ， ．已知点 ， ， 分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两
个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________．
命题透视
►核心考点：椭圆的顶点、焦点与离心率
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，考查椭圆的几何性质和分类讨论。
（2）问题设计：三角形三个顶点分别是椭圆的上、下、右顶点以及两个焦点中的三点，要求求
离心率。需要对三点的身份进行分类讨论。
（3）考查目标：考查数学运算和逻辑推理素养，侧重椭圆几何性质的理解和分类讨论思想。
答案与解析
【答案】
【分析】根据椭圆对称性分析各点的可能性情况，分情况讨论求 的值，即可得离心率.
【详解】因为 ，
根据对称性可知：点 其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点.
①当点 中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1则 或 ，解得 或无解；
②当点 中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2，
则 或 ，方程组均无解；
综上所述： ， ， ，所以离心率 .
知识总结
①核心概念：椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的顶点为(±a,0)和(0,±b)，焦点为(±c,0)，离心率e=c/a。②解题要
点：根据对称性分析点的可能身份，分情况列方程求解a、b、c的关系。③拓展关联：椭圆的几何性质
（定义、标准方程、离心率）是解析几何的核心内容。
二、单选题
13． 为不为1的任意实数，则 （ ）．
A． B． C． D．
命题透视
►核心考点：指数式与对数式的互化
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，考查指数与对数的关系。
（2）问题设计：已知a为不为1的任意实数，判断指数式与对数式的等价关系。利用对数定义直
接判断。（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重指数与对数互化的基本概念。
答案与解析
【答案】B
【详解】由 ，则 .
知识总结
①核心概念：a^b=N等价于b=log_aN（a>0且a≠1，N>0）。②解题要点：利用对数的定义将指数式转
化为对数式进行判断。③拓展关联：指数函数与对数函数互为反函数，图象关于y=x对称。
14．事件 和事件 相互独立，“ 和 至少一个发生”的对立事件是（ ）．
A． B． C． D．
命题透视
►核心考点：独立事件与对立事件
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，考查事件的独立性和对立事件。
（2）问题设计：已知事件A和B相互独立，判断A和B至少一个发生的对立事件。利用对立事
件的定义和德摩根定律。
（3）考查目标：考查逻辑推理素养，侧重对立事件概念和德摩根定律的理解。
答案与解析
【答案】C
【分析】根据事件的独立性及对立定义求解.
【详解】根据已知 至少有一个发生，
则对立事件为 都不发生，所以 的对立事件为 .
知识总结
①核心概念：A和B至少一个发生的对立事件是A和B都不发生，即A的补∩B的补；德摩根定律：
(A∪B)的补=A的补∩B的补。②解题要点：直接利用对立事件的定义写出结果。③拓展关联：独立事件P(AB)=P(A)P(B)，对立事件与互斥事件是不同的概念。
15．已知 ， 为复数，当 为实数或 的共轭复数为实数时，称 和 互相伴随．则当 和 互相
伴随时， 和 互相伴随的充要条件是（ ）．
A． B．
C． D．
命题透视
►核心考点：复数新定义（互相伴随）
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，引入复数互相伴随的新定义，考查抽象概念理解和逻辑推理。
（2）问题设计：定义当z1+z2为实数或z1-z2的共轭为实数时，两复数互相伴随。已知z1和z2
互相伴随，求z1和z2互相伴随的充要条件。
（3）考查目标：考查数学抽象和逻辑推理素养，侧重新定义的理解和充要条件的推导。
答案与解析
【答案】D
【分析】设 ， ，由条件结合 和 互相伴随的定义可得 ，根据充要条件判断结论.
【详解】设 ， ， ， ，
则 ， ， ， ，
， ，
， ，
因为 和 互相伴随，所以 ，
若 ，则 为实数，所以 和 互相伴随，
若 和 互相伴随，则 ，
所以 和 互相伴随的充要条件为 .
知识总结
①核心概念：复数z=a+bi为实数当且仅当b=0；共轭复数zB=a-bi。②解题要点：设复数的代数形式，利用新定义条件列方程，推导充要条件。③拓展关联：新定义题型是上海卷的特色，需要快速理解定义并
建立数学模型。
16．已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与 轴、 轴、 轴重合，顶点 与坐标原点重合，
点 是正方体底面中与 相对的对角顶点，点 在点 的正上方．将正方体绕直线 旋转一周，试问点
的运动轨迹会经过几个空间卦限（ ）．
A． B． C． D．
命题透视
►核心考点：正方体旋转轨迹与空间卦限
►命题分析：
（1）情境创设：以正方体绕体对角线旋转为情境，考查空间几何中的轨迹分析和卦限判断。
（2）问题设计：正方体绕体对角线旋转一周，判断顶点运动轨迹经过几个空间卦限。提供坐标
系法和补形法两种解法。
（3）考查目标：考查直观想象和数学运算素养，侧重空间轨迹的建立和分析能力。
答案与解析
【答案】A
【分析】不妨设正方体的棱长为3，分析可知点 的轨迹是以点 为圆心，半径 的圆，解法
一：设 ，列方程分析点 的轨迹与各坐标面的交点即可判断；解法二：利用补形法，可知点 的
轨迹即为 的内切圆，即可判断结果.【详解】不妨设正方体的棱长为3，
则 ， ， ，
可得 ， ，
设点 在体对角线 上的投影为 ， ， ，
则 ，
可得 ，解得 ，
则 ，即 ，且 ，
可知点 的轨迹是以点 为圆心，半径 的圆，
解法一：在点 的轨迹任取一点 ，则 ，
则 ，整理可得 ，
令 可得 ，解得 ，可知点 的轨迹与平面 相切，
令 可得 ，解得 ，可知点 的轨迹与平面 相切，
令 可得 ，解得 ，可知点 的轨迹与平面 相切，
所以点 的轨迹经过空间中的1个卦限；
解法二：将正方体补成边长为6的正方体，如图所示：则 ， ， ，
可知 为边长为 的正三角形，且其中心为 ，且内切圆半径 ，
即可知点 的轨迹即为 的内切圆，所以点 的轨迹经过空间中的1个卦限.
知识总结
①核心概念：空间直角坐标系中，卦限由坐标符号的正负决定；点到平面的距离公式。②解题要点：
解法一建立轨迹方程，分析与各坐标面的交点；解法二补形为正三角形，利用内切圆性质。③拓展关联：
空间旋转问题常通过建立坐标系或利用几何对称性来简化分析。
三、解答题
17．某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记
录，数据如下：
颗粒
物密 101.02 87.02 57.47 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86
度
二氧
化硫 119.47 81.94 53.20 9.16 6.60 4.40 3.31 3.35 3.86
密度
(1)为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？
(2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分
析，并请你判断相关系数在 ， ， 哪个区间内？（直接写结论）
(3)2023年前9年的年份( )的平均数为 2018， (颗粒物密度) 关于 (年份) 的回归方程拟采用，或 . 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程
对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？
参考数据：
命题透视
►核心考点：古典概型、散点图、回归方程
►命题分析：
（1）情境创设：以工厂环保监测数据为实际情境，考查统计与概率的综合应用。
（2）问题设计：第(1)问利用古典概型求概率；第(2)问选择统计图表并判断相关系数区间；第(3)
问比较两种回归方程的预测精度。
（3）考查目标：考查数据分析和数学建模素养，侧重从真实数据中提取信息、选择合适统计方
法和评估模型精度的能力。
答案与解析
【答案】(1) ；
(2)散点图；
(3) 的预测值与实际值之差的绝对值更小.
【分析】（1）结合古典概型概率公式求解即可；
（2）根据图表数据可以判断用散点图分析；结合相关系数的性质判断区间；
（3）根据题意分别求解两种方程下的预测值与实际值的差值绝对值即可.
【详解】（1）9年间共有7年颗粒物密度大于二氧化硫密度，故概率为 .
（2）统计图表需要呈现出随着二氧化硫密度变化时，颗粒物密度的变化趋势，故需要散点图进行呈现.
随着二氧化硫密度增加，颗粒物密度呈现增加趋势，故二者正相关，相关系数为正，
又因为相关系数 ，故相关系数在 区间上.
（3）采用方程 时，2023年预测值为 ，
预测值与实际值差值绝对值为 ；因为
，
所以 ，可得 .
故采用方程 时，
2023年预测值为 ，
预测值与实际值差值绝对值为 ；
因为 ，故方程 对于2023 年的预测值与实际值的差值绝对值更小.
知识总结
①核心概念：古典概型P(A)=m/n；散点图用于展示两个变量的相关关系；回归方程用于预测。②解题
要点：统计图表选择需考虑数据特点；相关系数r∈[-1,1]，正相关r>0；比较预测值与实际值的差值绝对值。
③拓展关联：线性回归方程ŷ=bx+a中，b为回归系数，a为截距。
18．已知四棱锥 ，底面 为矩形， 底面 ，垂足 在 边上，且 ，
， ．
(1)求证： ；
(2)若四棱锥 的体积为 ，求二面角 的大小．
命题透视
►核心考点：线线垂直的证明与二面角计算
►命题分析：
（1）情境创设：以四棱锥为几何体背景，考查空间几何中的垂直证明和二面角计算。（2）问题设计：第(1)问证明线线垂直，通过建立空间直角坐标系，利用向量数量积为0证明；
第(2)求二面角大小，利用法向量夹角求解。
（3）考查目标：考查直观想象和数学运算素养，侧重空间向量法解决立体几何问题的能力。
答案与解析
【答案】(1)根据已知四棱锥的性质，结合已知条件，以 为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，
则 ，设点 ，
则 ，
，
．
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量坐标，利用向量的数量积为0，推出向量垂直；
（2）利用棱锥体积公式求出 ，进而求出点 ，得出相关向量坐标，求出平面的法向量，进而利用向量夹
角余弦公式求解．
【详解】（1）略
（2）四棱锥体积 ，解得 ，
，则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
设二面角 为 ，则 ，
由图可知，二面角 为锐角，则二面角 大小为 ．
知识总结
①核心概念：向量a·b=0等价于a⊥b；二面角可用两个平面法向量的夹角表示。②解题要点：建立坐
标系，写出各点坐标，求相关向量，利用数量积为0证明垂直；求法向量，用法向量夹角求二面角。③拓
展关联：空间向量法是解决立体几何问题的通用方法，将几何关系代数化。
19．已知 ，函数 ， ．
(1)已知 ，求 的解集；
(2)已知 ， 是 在点 处的切线， 是过点 且垂直于 的直线， 与 、 在第一象限
内均无公共点，求 的取值范围．
命题透视
►核心考点：切线方程、不等式与参数范围
►命题分析：
（1）情境创设：以函数导数为载体，考查切线方程、不等式求解和参数范围。
（2）问题设计：第(1)问已知不等式解集求参数；第(2)求切线方程和过定点垂直于切线的直线与
曲线无交点时参数的范围。
（3）考查目标：考查逻辑推理和数学运算素养，侧重导数的几何意义、不等式恒成立和参数分
离方法。答案与解析
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出参数 ，解不等式即可求出 的范围；
（2）求出直线 与 的方程，利用 与 、 在第一象限内均无公共点，得出 与
无正实数解，分离参数，转化为直线 与 与曲线 在
内均无交点，对 求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数 的取值范
围.
【详解】（1）由题意， ，
在 与 中，
，解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 或 或
∴不等式的解集为 .
（2）由题意及（1）得， ，
在 中， ，
∴∵直线 为 在点 的切线，
∴直线 的方程为： ，即 ，
∵ 是过点 且垂直于 的直线，
∴直线 的方程为： ，即 ，
在 中， ， 与 、 在第一象限内均无公共点，
∴ 与 无正实数解，
分离参数得， ， ，
∴直线 与 与曲线 在 内均无交点，
而 ，
当 时，解得 （舍）或 ，
∴当 即 时，函数单调递减，
当 即 时，函数单调递增，
∴ 在 处取最小值， ，
当 时， ，当 时， ，
∴ 且 ，即 或 ，
∴实数 的取值范围为 .
知识总结
①核心概念：函数在某点处的导数等于切线斜率；不等式恒成立可转化为函数最值问题。②解题要点：
先求参数和解析式；求切线方程；分离参数转化为函数最值问题。③拓展关联：参数分离法是解决恒成立问题的常用技巧，需分析函数的单调性和极值。
20．已知双曲线 ，点 在 上， ， 分别为双曲线的左、右焦点．
(1)求点 到双曲线渐近线的距离；
(2)若 ，求 ；
(3)记 为双曲线 满足 和 的部分；直线 ， 均过右焦点 ， 与 交于 ， 两点（分别
在第一、第四象限）， 与 交于 ， 两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数 ，使得对
任意直线 ，都存在唯一一对应的直线 满足 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
命题透视
►核心考点：双曲线的几何性质与存在性探究
►命题分析：
（1）情境创设：以双曲线为载体，考查双曲线的几何性质、面积计算和存在性探究。
（2）问题设计：第(1)求点到渐近线的距离；第(2)已知向量条件求三角形面积；第(3)探究是否存
在常数使两直线弦长满足特定关系。
（3）考查目标：考查数学运算和逻辑推理素养，侧重双曲线性质、弦长公式和存在性问题的分
析方法。
答案与解析
【答案】(1)
(2)
(3)存在实数 符合题意，此时 的取值范围为
【分析】（1）根据双曲线方程求 ，即可得渐近线方程以及点到直线的距离；
（2）解法一：根据余弦定理可得 ，结合定义可得 ， ，即可得面积；解法二：设 ，根据数量积可得 ，即可得面积；解法三：根据极化恒等式和中线长性
质可得 ， ，结合面积公式运算求解；
（3）根据题意结合双曲线性质可得直线斜率取值范围，设直线方程结合弦长公式可得 ，
，进而分析取值范围即可得解.
【详解】（1）由题意可知： ， ，
则 ， ，渐近线方程为 ，即 ，
所以点 到双曲线渐近线的距离为 .
（2）解法一：因为 ，
由余弦定理可得 ，
整理得： ，
因点 是双曲线上一点，则 ，可得 ，
代入可得 ， ，则 ，
所以 的面积为 ；
解法二：设 ，则 ，即 ，
可得 ， ，
因为 ，即 ，解得 ，所以 的面积为 ；
解法三：因为 ，即 ，
由中线长定理可知： ，
因为 ，可得 ，
代入可得 ， ，可得 ，
解得 ，则 ， ，
所以 的面积为 .
（3）不妨取 ， ，则直线 的斜率 ，
依题意，设直线 ： ，则 ，设直线 ： ，则 ， ，
，
联立方程 ，消去x可得 ，
则 ， ，可得 ，
可知函数 在 内单调递增，则 ，
且当 趋近于1时， 趋近于 ，即 在 内的值域为 ，故 ，
因 ，所以 ；
同理可得：
可知 在 内单调递减，则 ，
且当 趋近于1时， 趋近于 ，即 在 内的值域为 ，故 ；
由题意可知： ，可得 ，解得 ，
所以存在实数 符合题意，此时 的取值范围为 .
知识总结
①核心概念：双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的渐近线为y=±(b/a)x；弦长公式|AB|=√(1+k^2)|x1-x2|。②解题
要点：利用点到直线距离公式求距离；利用余弦定理或向量数量积求面积；设直线方程联立，用弦长公式
表示，分析取值范围。③拓展关联：存在性问题通常假设存在，推导必要条件，再验证充分性。
21．已知 是 ， ， 的一个排列，若函数 ， ， ，对任意 ，都有
且 ，则称 是关于 ， ， 的一个 排列，则关于 ，
， 的 排列总数记为 ．
(1)已知 ， ， ， ，判断 是否为 排列；(2)对 ， ， ， 满足条件的 ，求 的取值范围；
(3)对 ，且对任意 ， ，令 ， ，
， ，证明：若 严格减，则存在 ，使 ；若
严格增，则存在 ， ．
命题透视
►核心考点：新定义（排列）与存在性证明
►命题分析：
（1）情境创设：以排列为背景引入函数新定义，考查抽象概念理解和严格的数学证明能力。
（2）问题设计：第(1)判断给定排列是否满足新定义；第(2)对全排列求参数范围；第(3)证明严格
单调函数条件下存在性结论。
（3）考查目标：考查数学抽象和逻辑推理素养，侧重新定义的理解、分类讨论、反证法和严格
证明能力。
答案与解析
【答案】(1)是 排列；
(2) ；
(3)首先证明第1个结论，
观察（2）问的6个情况，若 和 在 上同时成立，
那么排列 都将是 排列，此时 至少为4．
当 时，即 ，
因为 是定义在 上的函数，且严格单调递减，实数 ，
则 恒成立，又因为函数 在 上单调递增，
则在区间 上， ， .
若 恒成立，则 ，
则只需 ，即 ，因为对任意的 ， ，
则 ，则 ，则解得 ，
当 时，即 ，
因为 严格递减，所以 且 ，
，
只要 ，就有 ，
则可取 即可满足题意．
即存在 ，使得 .
再证明第2个结论.
假设对于任意的 ，都有 ，
因为（2）中①排列 始终满足条件，
则在剩下的5种排列中，只有唯一的一个是 排列．
首先，我们证明 不可能恒成立：
假设对于某个 ，在 上恒有 ．
即 ，
即 ，
取 ．由于 严格递增，
令 ，则 ，
于是对任意正整数 ：
，
当 时， ，这与 矛盾！
因此， 不可能恒成立．则排列③排列 和④排列 永远不可能是 排列．
接下来只剩②排列 ，其需满足 ，
⑤排列 ，其需满足 ，
⑥排列 ，其需满足 ，
下面证明：对于任意 在 上恒成立＂与＂ 在 上恒成立＂这两个命题，
必须有且只有一个为真．
（i）若对任意 ，都有 ，即都有 ，
对于任意 和 ，
则 ，
当且仅当 时等号成立，又因为 ，故等号无法取到，
所以 恒成立，
则 对所有的 恒成立.
则此时②排列 ，⑤排列 ，⑥排列 均成立，
则 ，与假设 矛盾！
（ii）并非对于所有 都有 ，即 ，
则必定存在 ，使得 ，设 ，
因为 是严格单调递增的连续函数，
则对于已知的 ，总可以找到 ，使得 ，
即 ，即 ，
同时，因为 严格递增且 ，必有 ．
即 ，
即 ，即 ，
则可取充分小的 使得 ，即存在 ，使得 ，
所以＂ 恒成立＂这个命题是假的．
既然 为假，那么＂ 恒成立＂必须为真．
即除①排列外剩余的5个排列中，只有②排列 成立，此时满足 ，
则对于 ，在 时都有：
，
即 ，
取 ，则对于任意 ：
，
因为 严格递增，则 ．
则
又因为 ，则
即 ，对任意 都成立．
取 ，因为 ，则 ，
则对于 内的任意 ，都满足 ，
因为 ，故有 ，
但是，之前我们得到 ，
即 ，则 ，
则有： ， 这与我们的假设相矛盾．
综上，原命题成立，必然存在 ，使得 ．
【分析】（1）根据 排列的定义判断即可；
（2）分析得 ， ， 的全排列均符合题意，则得到不等式组，解出即可；
（3）第一个结论分 和 讨论即可证明，第二个结论利用反证法即可证明.
【详解】（1）由题意得 ，
则当 ， ，
则 恒成立，
，
则 恒成立，
故 是为 排列.
（2）若 ，则1，2，3的全排列均满足题意，
① ，则有： ，此时两个不等式显然成立．② ，则有： ，即 .
③ ，则有： ，即 .
④ ，则有： ，即 .
⑤ ，则有： ．
⑥ ，则有： ，即 .
则上述不等式均要成立，取它们的交集有 ，
即 ，即 对 恒成立，
分离参数得 ，因为当 时， ，
所以 .
（3）略.
知识总结
①核心概念：新定义需仔细阅读题设条件；反证法先假设结论不成立，推出矛盾；严格单调函数的取
值具有单调性。②解题要点：理解排列定义中的两个不等式条件；分类讨论全排列情况；利用反证法证明
存在性，注意严格单调函数的性质运用。③拓展关联：新定义压轴题是上海卷的特色，需要具备从特殊到
一般的归纳思维和严密的逻辑推理能力。
