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7.2 空间几何中的垂直（精练）（基础版）
题组一 线线垂直
1．（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图， 是边长为 的等边三角形，E，F分别是
的中点，G是 的重心，将 沿 折起，使点A到达点P的位置，点P在平面 的射影为点
G．证明：
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形，且平面 底面
， ， ＝ ＝ ，证明：3．（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥 中， 底面
．证明：
4．（2022·上海松江·二模）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，
， ， 是 的中点，点 在棱 上．
(1)求四棱锥 的全面积；
(2)求证： ．5．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在斜三棱柱 中，底面是等腰三角形， ，
侧面 底面ABC．
(1)若D是BC的中点，求证： ；
(2)过侧面 的对角线 的平面交侧棱于M，若 ，求证：截面 侧面 ．
6．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知四棱锥 中，平面 平面 ，底面
为矩形，点E在AD上，且 ， ， 为 的中点， ， ．
(1)证明： ；
(2)求点 到平面 的距离．7．（2022·河南安阳）如图，在三棱锥 中，底面ABC是直角三角形， ， ，D
为AB的中点．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求点A到平面PDC的距离．
8．（2022·四川成都）如图，四棱锥 中，四边形 为直角梯形， 在底面 内的
射影分别为 ， ．
(1)求证： ；
(2)求 到平面 的距离．题组二 线面垂直
1．（2022·广东珠海）如图，在三棱柱 中， ，点 是 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若侧面 为菱形，求证： 平面 .
2．（2022·山东省莱西市第一中学）如图， 和 都垂直于平面 ，且 ， ， 是
的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 ．
3．（2022·山东菏泽）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是梯形， ，且 ，， .
(1)若F为PA的中点，求证 平面PCD
(2)求证 平面PCD.
4．（2022·北京平谷）如图，在三棱锥 中， 底面 ， ， 分别为 ， 的
中点.设平面 与平面 交于直线
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： ∥ .
5．（2022·北京通州）如图，在三棱维 中， ，平面 平面 .(1)求证： ；
(2)求证： 平面 .
6．（2022·广西钦州）如图，在三棱锥V—ABC中，M，N分别为的棱VA，VB的中点， ，
，△ABC和△ACV都是等腰直角三角形，平面VAC⊥平面ABC．
(1)求证：AB//平面CMN；
(2)求证：AB⊥平面VBC．
7．（2022·广东江门）如图，四棱锥 的底面是矩形，E为侧棱 的中点，侧面 是正三角形，
且侧面 底面 ．(1)求证： 平面 ；
(2)当 为何值时，使得 ？
8．（2022·湖北·鄂州市教学研究室）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面
PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点， .证明：
(1) 平面PDC；
(2)PB⊥平面DEF.
9．（2022·河南·新蔡县第一高级中学）如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直，M是
上异于C，D的点.(1)证明： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在点P，使得 平面 ？说明理由.
10．（2022·北京丰台）如图，在直角梯形 中， ， ， ，并将直角梯形
绕AB边旋转至ABEF．
(1)求证：直线 平面ADF；
(2)求证：直线 平面ADF；
(3)当平面 平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面
ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： ．
题组三 面面垂直
1．（2022·四川省内江市第六中学）如图，底面 是边长为2的菱形， 平面 ，， 与平面 所成的角为 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求几何体 的体积
2．（2022·湖北武汉·高三开学考试）在直三棱柱 中，已知侧面 为正方形，
，D，E，F分别为AC，BC， 的中点， ，证明：平面 ⊥平面 ；
3（2022·全国·高三专题练习（文））如图，四面体 中， ，E为AC的中点．
(1)证明：平面 平面ACD；
(2)设 ，点F在BD上，当 的面积最小时，求三棱锥 的体积．
4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱 中， ，
．
(1)证明：平面 平面 ．
(2)设P是棱 上一点，且 ，求三棱锥 体积．5．（2022·福建龙岩）如图，平行四边形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ，
的点， 为线段 的中点， ， ， .
(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面 .
6．（2022·辽宁）如图，在直四棱柱 中，四边形 为菱形，且 为棱
上的一个动点.已知 .
(1)当 点为 的中点时，证明： 平面 ；
(2)若平面 平面 ，求 的长.
