文档文本内容
专题三 立体几何
微专题3 最值、翻折与探索问题
一、考点透析
考点1 最值
1.(2025·广东省东莞市·模拟)如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形ABCD，点E
在下底面圆周上，且CE =
√3 BE，点F在母线AB上，点G是线段AC上靠近点A的四等分
点，则EF + FG的最小值为( )
A. 9
√2
4
B. 4
C. 6
D. 9
2
2.(2025·山西省·模拟)圆锥顶点为P，底面中心为O，体积为
√6
4
的正四面体O−ABC的底
面ABC与该圆锥的底面平行，且点A ,B ,C都在圆锥的侧面上，则该圆锥体积的最小值
是 ．
3.(2025· 湖北省武汉市· 模拟) 如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD =CD，
∠ADB =∠CDB，E为AC的中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB = BD =2，∠ACB =60°，点F在BD上且DF⃗= λ DB⃗
，λ∈[0,1]，记CF与平面
ABD所成角为α，求sinα的最大值．
考点2 翻折
1.(2025·重庆市·模拟)如图，矩形ABCD中，AB =2
√3,BC =2
√6，将▵ABD沿BD翻折，
得到三棱锥A
′−BCD(点A
′是点A在翻折后的对应点)，则三棱锥A
′−BCD体积的最大值
为( )
A. 4
√2
B. 6
√2
C. 8
D. 16
2.(2025·山东省济南市·模拟)如图，在梯形BCEF中，EF // BC，FB⊥BC，EF =1，
BC =3，CE = 4，AD是梯形BCEF的中位线，将梯形BCEF沿AD翻折得到五面体
ABCDEF，点G为BC上靠近点B的三等分点，DG⊥CF．
(1)证明：AB⊥DE；
(2)求平面ACF与平面CDE夹角的余弦值．
3.(2025·辽宁省沈阳市·模拟)在矩形ABCD中，E , F为CD上两个不同的三等分点，如图1.
将▵AFD和▵BEC分别沿AF ,BE向上翻折，使得点C , D重合，记重合后的点为P，如图
2.已知AB =6，四棱锥P−ABEF的体积为8
√3
3
．
(1)求AD；
(2)求平面PAF与平面PBE所成角的正弦值．
考点3 探索
1.（多选题）(2025·安徽合肥·模拟)如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1 D1的底面是梯形，
AB//CD，AD⊥DC，BC =CD =2，D D1= AB =1，P是棱C C1的中点，Q是棱
C1 D1上一动点(不包含端点)，则( )
A. AC与平面BPQ有可能平行
B. B1 D1与平面BPQ有可能平行
C. 三角形BPQ周长的最小值为
√17+
√29
2
D. 三棱锥A −BPQ的体积为定值
2.(2025·福建省泉州市·模拟)如图，在多面体ABCDEF中，AE⊥平面ABCD，平面
CDF ⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，▵CDF是正三角形，AB =2，AE =2
√3．
(1)证明：DF //平面ABE；
(2)若直线EF与底面ABCD的交点为G，直线AG上是否存在点N，使得平面EBN与平面
ECD的夹角为60°?若存在，求AN的长；若不存在，请说明理由．
二、跟踪练习
1.（多选题）(2025·湖北省宜昌市·模拟)已知正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为1，点P
满足AP⃗= x AB⃗+ y AD⃗+ z A A1⃗
，其中x，y，z∈[0,1]，下列正确的是( )
A. 当x = y =1时，则异面直线AP与CD所成角的正切值范围是[1,
√2]
B. 当x + z =1，y =0时，则AP+ P D1的最小值为
√6+
√2
2
C. 当x + y + z =1时，线段AP的长度最小值为
√3
3
D. 当x + y + z =k(0<k <3)时，记点P的轨迹为平面α，则α截此正方体所得截面面积的最
大值为3
√3
4
2.（多选题）(2025·山西省吕梁市·模拟)如图，飘带函数f ( x)= x−1
x 的图象类似于飘带，
已知图象上两个点A，C关于原点对称(点A的横坐标x0>0)，过点A，C分别作两坐标轴
的垂线得到矩形ABCD，矩形与坐标轴的交点分别记为A1，A2，C1，C2.将图象沿x轴折
叠，得到一个60°的二面角A −A1C1−C，此时| AC |
2的最小值记作mx；将图象沿y轴折
叠，得到一个60°的二面角A −A2C2−C，此时| AC |
2的最小值记作m y.则下列结论正确
的是( )
A. mx =2
√5+2
B. 若x0=
√2，当图象沿x轴折叠时，| AC |
2= 17
2
C. m y = 4
√5−8
D. 若x0=
√2，当图象沿y轴折叠时，| AC |
2= 4
3.(2025·陕西省西安市·模拟)在空间直角坐标系O−xyz中，任何一个平面的方程都能表示
成ax +by +cz +d =0(其中a，b，c，d均为常数，a
2+b
2+c
2≠0)，⃗n=(a,b,c)为该平面
的一个法向量.已知球O的半径为4，点A，B，C均在球O的球面上，以OA，OB，OC所
在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O−xyz，如图所示.平面OBC内的点E在球
面上，点E在y轴上的投影在y轴的正半轴上，CE = 4，过直线CE作球O的截面α，使得平
面α ⊥平面OBC，设截面α与球O球面的交线为圆M ( M为线段CE的中点)．
(1)求点E的坐标．
(2)若平面β :2 x +
√3 y −z =1，证明：平面α ⊥平面β．
(3)已知点B在平面γ : λx + μy +tz = 4内，设线段ME在平面α内绕着点M逆时针旋转θ弧度
至MH，点H在圆M上，且θ∈[0,2π )，过H作HP⊥平面AOB，垂足为点P．
①用θ表示点H的坐标;
②若 √3 λ =−t =
√3，求点H到平面γ距离的最大值;
③若λ =0，t =−19
4
，G(0,
√3−1,4)，当直线GP与平面γ所成的角最小时，求cosθ的值．
4.(2025·贵州省·模拟)在平面四边形ABCD中，AD⊥AC，AC ⊥BC，如图1所示.现将
图1中的▵ABC沿AC折起，使点B到达点P的位置，且平面PAC ⊥平面PAD，如图2所示．
(1)求证：AD⊥PC；
(2)若PC = AC，二面角A −PD−C的大小为60
∘，求AD
AC
的值．
5.(2025·辽宁省沈阳市·模拟)如图，在矩形ABCE中，AB =2，BC =1，D为EC中点，将
△EAD沿AD翻折至△PAD，使得PB = PC．
(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD;
(2)线段PB上是否存在一点T，使得AT与平面PAD所成角的正弦值为
√6
6
，若存在，求出
PT
TB
的值;若不存在，请说明理由．
