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2025二轮复习专项训练19
空间向量与空间角
[考情分析] 高考必考内容，常以空间几何体为载体考查空间角，是高考命题的重点，常
与空间线、面关系的证明相结合，热点为平面与平面的夹角的求解，均以解答题的形式进
行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上．题目难度为中档题．
【练前疑难讲解】
一、异面直线所成的角
(1)设直线l，m的方向向量分别为a＝(a ，b ，c)，b＝(a ，b ，c)，设l，m的夹角为θ，
1 1 1 2 2 2
则cos θ＝＝.
(2)异面直线所成的角的范围为.
二、直线与平面所成的角
(1)设直线l的方向向量为a＝(a ，b ，c)，平面α的法向量为μ＝(a ，b ，c)，设直线l与
1 1 1 2 2 2
平面α的夹角为θ，则sin θ＝|cos〈a，μ〉|＝.
(2)线面角的范围为.
三、平面与平面的夹角
(1)设平面α，β的法向量分别为μ＝(a，b，c)，v＝(a，b，c)，且平面α与平面β的夹
3 3 3 4 4 4
角为θ，
则cos θ＝|cos〈μ，v〉|＝.
(2)平面与平面的夹角的取值范围为.
一、单选题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知菱形 ， ，将 沿对角线 折
起，使以 四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线 与 所成角的余弦值
为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南·模拟预测）为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭
建城市共建共享平台，彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市
民赠送的休闲长椅.其中观景草坪上一架长椅因其造型简单别致，颇受人们喜欢（如图1）.
已知 和 是圆 的两条互相垂直的直径，将平面 沿 翻折至平面 ，使得
平面 平面 （如图2）此时直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
二、多选题
3．（2023·广东深圳·二模）如图，在矩形AEFC中， ，EF=4，B为EF中点，现分
别沿AB、BC将 ABE、 BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-
ABC，则（ ）△ △
A．三棱锥 的体积为 B．直线PA与直线BC所成角的余弦值为
C．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 D．三棱锥 外接球的半径为
4．（22-23高二上·山东德州·期中）如图，已知正方体 的棱长为 ，点
分别为棱 的中点， ，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．无论 取何值，三棱锥 的体积始终为
B．若 ，则
C．点 到平面 的距离为
D．若异面直线 与 所成的角的余弦值为 ．则
三、填空题
5．（2024·上海·高考真题）已知四棱柱 底面ABCD为平行四边形，
且 ，则异面直线 与BD的夹角余弦值为 .
6．（2024·全国·模拟预测）在棱长为2的正方体 中，动点 ， 分别在
棱 ， 上，且满足 ，当 的体积最小时， 与平面 所成角的
正弦值是 ．
学科网（北京）股份有限公司四、解答题
7．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，
， ， ， ，点 ， 分别为 和 的中点．
(1)证明： ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
8．（2021·全国·高考真题）在四棱锥 中，底面 是正方形，若
．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．
【基础保分训练】
一、解答题
1．（23-24高三上·山东枣庄·期末）如图，直四棱柱 的底面为平行四边形，
学科网（北京）股份有限公司分别为 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若底面 为矩形， ，异面直线 与 所成角的余弦值为 ，求
到平面 的距离.
2．（2024·天津·二模）如图， 平面 ， ， ， ，
， 为 的中点．
(1)证明： ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)设 是棱 上的点，若 与 所成角的余弦值为 ，求 的长．
3．（2024·安徽合肥·二模）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形，
是侧棱 的中点，侧面 为正三角形，侧面 底面 ．
学科网（北京）股份有限公司(1)求三棱锥 的体积；
(2)求 与平面 所成角的正弦值．
4．（2024·天津河东·一模）在正方体 中（如图所示），边长为2，连接
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)底面正方形 的内切圆上是否存在点 使得 与平面 所成角的正弦值为 ，
若存在求 长度，若不存在说明理由．
5．（2024·天津·二模）如图，在直三棱柱 中，
为 的中点，点 分别在棱 和棱 上，且
．
学科网（北京）股份有限公司(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
6．（2024·江苏·一模）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，
， ， ，点 在棱 上，且 .
(1)证明： 平面 ；
(2)当二面角 为 时，求 .
7．（2024·天津河西·一模）已知三棱锥 中， 平面 ， ，
， 为 上一点且满足 ， ， 分别为 ， 的中点．
学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)求直线 与平面 所成角的大小；
(3)求点 到平面 的距离．
8．（2024·重庆·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形
是矩形， ，过棱 的中点E作 于点 ，连接 ．
(1)证明： ；
(2)若 ，求平面 与平面 所成角的正弦值．
【能力提升训练】
一、解答题
1．（22-23高三上·湖北·阶段练习）如图，在几何体 中，底面 为以 为斜边
的等腰直角三角形.已知平面 平面 ，平面 平面 平面
.
学科网（北京）股份有限公司(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，设 为棱 的中点，求当几何体 的体积取最大值时 与
所成角的正切值.
2．（2024·天津蓟州·模拟预测）如图，在四棱锥 中，已知棱 两两垂
直，长度分别为1，2，2，若 ，且向量 与 夹角的余弦值为 .
(1)求实数 值；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值.
3．（2024·山东青岛·一模）如图，在三棱柱 中， 与 的距离为 ，
， ．
(1)证明：平面 平面ABC；
(2)若点N在棱 上，求直线AN与平面 所成角的正弦值的最大值．
4．（2024·山东济南·二模）如图，在四棱锥 中，四边形ABCD 为直角梯形，
学科网（北京）股份有限公司AB∥CD， ，平面 平面ABCD，F为线
段BC的中点，E为线段PF上一点.
(1)证明： ；
(2)当EF为何值时，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为 .
5．（2021·全国·高考真题）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，
， 为 的中点，且 ．
（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值．
6．（2024·辽宁葫芦岛·一模）如图， 为圆锥顶点， 是圆锥底面圆的圆心， ， 是
长度为 的底面圆的两条直径， ，且 ， 为母线 上一点．
学科网（北京）股份有限公司(1)求证：当 为 中点时， 平面 ；
(2)若 ，二面角 的余弦值为 ，试确定P点的位置．
7．（23-24高三上·江苏淮安·期中）如图， 是半球 的直径， 是底面半圆
弧 上的两个三等分点， 是半球面上一点，且 ．
(1)证明： 平面 ：
(2)若点 在底面圆内的射影恰在 上，求直线 与平面 所成角的正弦值．
8．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在三棱锥 中， 分别是侧棱
的中点， ， 平面 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)如果 ，且三棱锥 的体积为 ，求二面角 的
余弦值.
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