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母题突破 4 探索性问题
母题 (2022·菏泽模拟)已知椭圆E：＋y2＝1，过点(1,0)的直线l与曲线E交于M，N两点，
则在x轴上是否存在定点Q，使得QM·QN的值为定值？若存在，求出点Q的坐标和该定值；
若不存在，请说明理由．
思路分析
❶设直线方程联立椭圆方程
↓
❷求QM·QN
↓
❸化简整理QM·QN
↓
❹由QM·QN不含变量，得出结论
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[子题1] (2022·济南模拟)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F，F，过点F 的直线
1 2 2
l与椭圆C交于A，B两点，是否存在定点M使得k ＋k 为定值，若存在，求出点M的坐
MA MB
标，若不存在，请说明理由．
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[子题2] (2022·南昌模拟)已知抛物线C: x2＝2y的焦点为F, P为C上的动点，Q为P在动直
线y＝t(t＜0)上的投影，O为原点，过点P的直线l与C相切，且与椭圆＋＝1交于A，B两
点，直线OQ与线段AB交于点M.试问：是否存在t，使得△QMA和△QMB的面积相等恒成
立？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
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规律方法 探索性问题的求解策略
(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并能证明所得规律的正确性，通常要对
已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律．(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定
的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论．
1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，且过点(2,3)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设点B，F分别为双曲线C的右顶点、左焦点，点A为C上位于第二象限的动点，是否存
在常数λ，使得∠AFB＝λ∠ABF？如果存在，请求出λ的值；如果不存在，请说明理由．
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2．已知椭圆C：＋＝1，不平行于坐标轴的直线l过右焦点F 与椭圆C相交于A，B两点，
2
在y轴上是否存在点D，使得△ABD为正三角形，若存在，求出点D的坐标，若不存在，
请说明理由．
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