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母题突破 4 探索性问题
母题 (2022·菏泽模拟)已知椭圆E：＋y2＝1，过点(1,0)的直线l与曲线E交于M，N两点，
则在x轴上是否存在定点Q，使得QM·QN的值为定值？若存在，求出点Q的坐标和该定值；
若不存在，请说明理由．
思路分析
❶设直线方程联立椭圆方程
↓
❷求QM·QN
↓
❸化简整理QM·QN
↓
❹由QM·QN不含变量，得出结论
解 当直线l的斜率不为0时，
设直线l的方程为x＝my＋1，设定点Q(t，0)，
联立方程组
消去x可得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，
设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
可得y＋y＝－，yy＝－，
1 2 1 2
所以QM·QN＝(x－t)(x－t)＋yy
1 2 1 2
＝(my＋1－t)(my＋1－t)＋yy
1 2 1 2
＝(m2＋1)＋m(1－t)＋(1－t)2
＝＋(1－t)2.
要使上式为定值，则2t－3＝－，
解得t＝，
此时QM·QN＝－＋2＝－，
当直线l的斜率为0时，M(－，0)，N(，0)，
此时QM·QN＝－也符合．
所以存在点Q，使得QM·QN为定值－.
[子题1] (2022·济南模拟)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F，F，过点F 的直线
1 2 2
l与椭圆C交于A，B两点，是否存在定点M使得k ＋k 为定值，若存在，求出点M的坐
MA MB
标，若不存在，请说明理由．
解 如果存在点M，由于椭圆的对称性可知点M一定在x轴上，
设其坐标为(x，0)，
0因为椭圆右焦点F(1,0)，当直线斜率存在时，
设l的方程为y＝k(x－1)，
A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则x<，x<，
1 2
将y＝k(x－1)代入＋y2＝1，
得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
所以x＋x＝，
1 2
xx＝，
1 2
又k ＋k ＝＋，
MA MB
由y＝kx－k，y＝kx－k得，
1 1 2 2
k ＋k ＝，
MA MB
则2kxx－k(x＋x)(x＋1)＋2xk
1 2 1 2 0 0
＝.
当x＝2时，k ＋k ＝0，
0 MA MB
当直线斜率不存在时，存在定点M(2,0)使得k ＋k 为定值0.
MA MB
综上，存在定点M(2,0)使得k ＋k 为定值0.
MA MB
[子题2] (2022·南昌模拟)已知抛物线C: x2＝2y的焦点为F， P为C上的动点，Q为P在动
直线y＝t(t＜0)上的投影，O为原点，过点P的直线l与C相切，且与椭圆＋＝1交于A，B
两点，直线OQ与线段AB交于点M.试问：是否存在t，使得△QMA和△QMB的面积相等恒
成立？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
解 设P(x，y)(x≠0)，
0 0 0
A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则x＝2y，Q(x，t)，
0 0
∵y＝x2，∴y′＝x，
∴切线y－y＝x(x－x)，即l：y＝xx－y，
0 0 0 0 0
联立方程
消去y得(1＋2x)x2－4xyx＋2y－4＝0，
0 0
∴x＋x＝
1 2
∵Q(x，t)．
0
∴l ：y＝x，
OQ
⇒x ＝，
M
∵△QMA和△QMB的面积相等，且A，M，B在同一条直线上，则点M为AB的中点，
∴2x ＝x＋x，即＝，则t＝－，
M 1 2
所以存在t＝－，使得△QMA和△QMB的面积相等恒成立．规律方法 探索性问题的求解策略
(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并能证明所得规律的正确性，通常要对
已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律．
(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定
的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论．
1．已知椭圆C：＋＝1，不平行于坐标轴的直线l过右焦点F 与椭圆C相交于A，B两点，
2
在y轴上是否存在点D，使得△ABD为正三角形，若存在，求出点D的坐标，若不存在，
请说明理由．
解 设直线l：y＝k(x－1)，A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
联立
得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
∴x＋x＝，
1 2
xx＝，
1 2
∴y＋y＝k(x－1)＋k(x－1)＝k(x＋x)－2k
1 2 1 2 1 2
＝k·－2k＝－，
设AB的中点为M，
则M，
假设存在点D，则MD的直线方程为
y＋＝－，
∴D，
∴|AB|＝|x－x|
1 2
＝
＝，
|MD|＝
＝，
若△ABD为等边三角形，则|MD|＝|AB|，
·＝，
即23k2＋27＝0，方程无实数解，
∴不存在这样的点D.
2．已知双曲线Ω：－＝1(a>0，b>0)，A(2,0)，B，C，D(－1,0)，E(4,0)五点中恰有三点在Ω
上．
(1)求双曲线Ω的方程；
(2)设P是Ω上位于第一象限内的动点，则是否存在定点 Q(m，0)(m<0)，使得∠PQA＋∠PAE＝？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)若A(2,0)，D(－1,0)，E(4,0)在双曲线Ω上，则A(2,0)，D(－1,0)，E(4,0)只能是双曲
线Ω的顶点，
∵A(2,0)，D(－1,0)，E(4,0)三点中只能有一点是顶点，∴B，C都在双曲线Ω上，
∵B，C，
∴B，C两点关于点(0,0)对称，
由双曲线顶点的位置特征分析可知，D(－1,0)在Ω上，
将D(－1,0)，B代入双曲线Ω：－＝1中，
则解得a2＝1，b2＝3，
故双曲线Ω的方程为x2－＝1.
(2)假设存在定点Q满足题意，
∵∠PQA＋∠PAE＝，
∴2∠PQA＋∠PAE＝π，
∴2∠PQA＝π－∠PAE，∴2∠PQA＝∠PAQ.
①当PA⊥x轴时，如图，∵A(2,0)，∴P(2,3)，∠PQA＝，
在Rt△PQA中，|QA|＝|PA|，
∴3＝2－m，∴m＝－1，此时Q(－1,0)．
②当PA不与x轴垂直时，假设Q(－1,0)满足2∠PQA＝∠PAQ.
设P(x，y)，则3x－y＝3，tan∠PQA＝，
0 0
∴tan 2∠PQA＝＝＝＝，
又tan∠PAQ＝，
∴tan 2∠PQA＝tan∠PAQ，
即2∠PQA＝∠PAQ，所以假设成立．
故存在定点Q(－1,0)，使得∠PQA＋∠PAE＝.
专题强化练
1．(2022·衡水中学模拟)已知F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过点F的动直线交抛物线
C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，|AB|＝4.(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线
PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．
解 (1)因为F，在抛物线方程y2＝2px中，
令x＝，可得y＝±p.
当直线与x轴垂直时，|AB|＝2p＝4，解得p＝2.
所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)由题意知直线AB的方程为y＝x－1，
因为抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
所以M(－1，－2)．
联立消去x得y2－4y－4＝0.
设A(x，y)，B(x，y)，P(x，y)，
1 1 2 2 0 0
则y＋y＝4，yy＝－4.
1 2 1 2
若点P满足条件，
则2k ＝k ＋k ，
PM PA PB
即2·＝＋，
因为点P，A，B均在抛物线上，
所以x＝，x＝，x＝.
0 1 2
代入化简可得＝，
将y＋y＝4，yy＝－4代入，解得y＝±2.
1 2 1 2 0
将y＝±2代入抛物线方程，可得x＝1.
0 0
则点P(1，±2)为满足题意的点．
2．(2022·聊城质检)已知P为圆M：x2＋y2－2x－15＝0上一动点，点N(－1,0)，线段PN的
垂直平分线交线段PM于点Q.
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)设点Q的轨迹为曲线C，过点N作曲线C的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为
E，F，过点N作直线EF的垂线，垂足为点H，是否存在定点G，使得|GH|为定值？若存在，
求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意可知圆M：x2＋y2－2x－15＝0的圆心为(1,0)，半径为4，
因为线段PN的垂直平分线交线段PM于点Q，
所以|QP|＝|QN|，
所以|QN|＋|QM|＝|QP|＋|QM|＝4，
又因为|MN|＝2<4，
所以Q轨迹是以N，M为焦点的椭圆，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
则a＝2，c＝1，b＝，
所以点Q的轨迹方程为＋＝1.
(2)①若两条直线斜率均存在，
设过点N的弦所在直线l 的方程为
1
x＝ty－1(t≠0)，
代入椭圆方程联立得(3t2＋4)y2－6ty－9＝0，
设l 与椭圆两交点的坐标分别为(x，y)，(x，y)，
1 1 1 2 2
所以y＋y＝，
1 2
所以y ＝，
E
则x ＝t·－1＝，
E
同理x ＝，y ＝，
F F
由对称性可知EF所过定点必在x轴上，
设为T(x，0)，
0
显然ET∥TF，
所以·
＝·，
化简得－4(1＋t2)＝7x(1＋t2)，即x＝－；
0 0
②若其中一条直线斜率不存在，则直线EF为x轴，
综上直线EF必过定点T，
取点N与点T的中点为G，则G，
因为NH⊥EF，所以NH·TH＝0，
所以点H在以G为圆心，|GT|＝|GH|＝为半径的圆上运动，
所以存在定点G，使得|GH|为定值．
