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2025二轮复习大题规范练（三）
一、基础保分练
1．（2024·江苏南京·二模）已知函数 ，f'(x)为 的导函
数.
(1)若 ，求证： ；
(2)若对任意 ， ，求 的取值范围.
2．（2024·四川攀枝花·三模）为弘扬中华民族优秀传统文化，某校举行“阅读经典名著，
传承优秀文化”闯关活动．参赛者需要回答三个问题，其中前2个问题回答正确各得5分，
回答不正确得0分；第三个问题回答正确得10分，回答不正确得-5分，得分不少于15分
即为过关．如果甲同学回答前两个问题正确的概率都是 ，回答第三个问题正确的概率为
(1)求甲同学过关的概率；
(2)求甲同学回答这三个问题的总得分X的分布列及数学期望．
3．（2024·云南大理·模拟预测）在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 为 边上的一点， ，且______，求 的周长.
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）
① 是 的平分线；
② 为线段 的中点
4．（22-23高三上·浙江丽水·期中）如图所示，已知双曲线 与抛物线 有相同
的焦点F，它们在第一象限内的交点为M.(1)写出抛物线 的焦点坐标和准线方程；
(2)若双曲线 的焦距为其实轴长的2倍，求点M到双曲线 两个焦点的距离之和.
5．（2024·吉林·模拟预测）已知数列 满足： ， ，数列 为
单调递增等比数列， ，且 ， ， 成等差数列.
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
6．（23-24高三下·广西·阶段练习）在 中， ， ，D为边
上一点， ，E为 上一点， ，将 沿 翻折，使A到 处，
.
(1)证明： 平面 ；
(2)若射线 上存在点M，使 ，且 与平面 所成角的正弦值为 ，求λ.
二、能力增分练
7．（2024·四川成都·模拟预测）在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择．学校为了解
学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为 ，现将一周内在食堂就餐超过8次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过8次的学生认定为
“不喜欢食堂就餐”．“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不
喜欢食堂就餐”的男生只有10人．
女
男生 合计
生
喜欢食堂就餐
不喜欢食堂就
10
餐
合计 100
(1)将上面的列联表补充完整，并依据小概率值 的独立性检验，分析学生喜欢食堂
就餐是否与性别有关：
(2)用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为X．
事件“ ”的概率为 ，求随机变量X的期望和方差．
参考公式： ，其中 ．
a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
8．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ， 为抛物线上
一点， ，若 的最小值为2．
(1)求抛物线 的方程；
(2)直线 过点 且交抛物线 于 ， 两点，求 的最小值．
9．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在三棱锥 中， ，
.(1)证明： 平面 ；
(2)若 是棱 上一点且 ，求二面角 的大小.
10．（2024·江西新余·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，其中 ，且 .
(1)求 的通项公式.
(2)设 ，求 的前 项和 .
11．（2024·湖北黄冈·一模）函数 ，函数 的最小
正周期为 .
(1)求函数 的单调递增区间以及对称中心；
(2)将函数 的图象先向右平移 个单位，再向下平移 个单位，得到函数 的图象，
在函数 图象上从左到右依次取点 ，该点列的横坐标依次为 ，
其中 ， ，求 .
12．（2024·四川成都·模拟预测）定义运算： ，已知函数
．(1)若函数 的最大值为0，求实数a的值；
(2)证明： ．
(3)若函数 存在两个极值点 ，证明： ．
三、拓展培优练
13．（2024·吉林·模拟预测）已知函数 ， .
(1)当 时，求函数 的单调区间与极值；
(2)若函数 有2个不同的零点 ， ，满足 ，求a的取值范围.
14．（2024·山西·模拟预测）在 中，点 是边 上一点，且 ，
(1)若 ， ，且 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求 面积的最小值；
(3)若 ， ，且 的面积为12，求 的值.
15．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）对于一个正项数列 ，若存在一正实数 ，使
得 且 ，有 ，我们就称 是 -有限数列.
(1)若数列 满足 ， ， ，证明：数列 为1-有限数列；
(2)若数列 是 -有限数列， ，使得 且 ， ，证明：
.
16．（2024·河南·模拟预测）如图，在三棱锥 中， ， ，的中点分别为 ，点 在 上， .
(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面 ；
(3)求二面角 的大小.
17．（2024·四川成都·模拟预测）已知点 ， ，点P在以AB为直径的圆C上
运动， 轴，垂足为D，点M满足 ，点M的轨迹为W，过点 的
直线l交W于点E、F.
(1)求W的方程；
(2)若直线l的倾斜角为 ，求直线l被圆C截得的弦长；
(3)设直线AE，BF的斜率分别为 ， ，证明 为定值，并求出该定值.
18．（2024·辽宁·模拟预测）某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的
生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的内径进行测量，统计绘制了如下图所示的频
率分布直方图.
(1)求a的值以及这批零件内径的平均值 和方差 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记内径在区间 内的零件个
数为 ，求 的分布列以及数学期望；
(3)已知这批零件的内径 （单位：mm）服从正态分布 ，现以频率分布直方图中
的平均数 作为 的估计值，频率分布直方图中的标准差 作为 的估计值，则在这批零
件中随机抽取200个，记内径在区间 上的零件个数为 ，求 的方差.
参考数据：，若，则，，.
