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专题19 计数原理与二项式定理
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 两个计数原理
1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案．在第1 类方案中有m 种不同的方法，
在第2 类方案中有n 种不同的方法，完成这件事共有N＝m＋n 种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤．做第1 步有m 种不同的方法，做第2 步有n 种不同的方
法，完成这件事共有N＝m·n 种不同的方法。
3、两个计数原理的综合应用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如
果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事
的方法数时，使用分步计数原理．
知识点2 排列与组合
1、排列与排列数
（1）定义：从
个不同元素中取出
个元素排成一列，叫做从
个不同元素中取出
个元素的一
个排列．从
个不同元素中取出
个元素的所有排列的个数，叫做从
个不同元素中取出
个元素
的排列数，用符号
表示．
1
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（2）排列数的公式：
．
特例：当
时，
；规定：
．
（3）排列数的性质：①
；②
；③
．
2、组合与组合数
（1）定义：从
个不同元素中取出
个元素并成一组，叫做从
个不同元素中取出
个元素的一
个组合．从
个不同元素中取出
个元素的所有组合的个数，叫做从
个不同元素中取出
个元素
的组合数，用符号
表示．
（2）组合数公式及其推导
求从
个不同元素中取出
个元素的排列数
，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这
个不同元素中取出
个元素的组合数
；
第二步，求每一个组合中
个元素的全排列数
；
根据分步计数原理，得到
；
因此
．
这里
，
，且
，这个公式叫做组合数公式．因为
，所以组合数公式还可表
示为：
．特例：
．
注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是
按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式
常用于具体数字计算，
常用于含字母算式的化简或证明．
（3）组合数的主要性质：①
；②
．
3、排列和组合的区别
（1）组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工．
（2）排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．
【注意】排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在
于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是
在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排
列”．
2
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知识点3 二项式定理
1、二项式定理
（1）二项式定理：
，
（2）通项公式：
，表示展开式的第
项：，
（3）二项式系数：系数
（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
（4）两个常用的二项展开式：
①
0
1
1
(
)
( 1)
( 1)
n
n
n
r
r
n r
r
n
n
n
n
n
n
n
a
b
C a
C a
b
C a
b
C b
（
*
N
n
）
②
1
2
2
(1
)
1
n
r
r
n
n
n
n
x
C x
C x
C x
x
2、二项式展开式中的最值问题
（1）二项式系数的性质：
①每一行两端都是，即
；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即
．
②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即
．
（2）二项式系数的最大项
二项式系数先增后减中间项最大
①如果二项式的幂指数
是偶数，则中间一项
的二项式系数
最大；
②如果二项式的幂指数
是奇数，则中间两项
，
的二项式系数
，
相等且最大．
（3）系数的最大项
求
展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为
，
设第
项系数最大，应有
，从而解出
来．
3、二项展开式中的系数和问题
（1）二项式系数和令
，则二项式系数的和为
，
变形式
．
（2）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令
，
则
，
从而得到：
．
（3）若
，则
①常数项：令
，得
．
②各项系数和：令
，得
．
3
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重难点01 分组分配问题的解题思路
分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配
（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：
①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
（2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；
②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
③有限制条件的分配问题，采用分类求解．
【典例1】（24-25 高三上·江苏南通·开学考试）今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较
热门的有《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5 部，小
明和小华两位同学准备从这5 部影片中各选2 部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选
看《名侦探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为（ ）
A．12
B．24
C．28
D．36
【典例2】（24-25 高三上·安徽·开学考试）我国河流旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最
佳避暑选择某家庭共6 个人，包括4 个大人，2 个小孩，计划去贵州漂流.景点现有3 只不同的船只可供他
们选择使用，每船最多可乘3 人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有 种.
【典例3】（24-25 高三上·重庆·开学考试）第41 届全国青少年信息学奥林匹克竞赛
于2024
年7 月
日在重庆市育才中学成功举办．在本次竞赛组织过程中，有甲、乙等5 名育才新教师参加了
接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名新教师只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名新教
师参加．若5 名新教师中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有（ ）种
A．108
B．114
C．150
D．240
【典例4】（24-25 高三上·江西·月考）现有6 个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个
城市旅游，每人都要从这四个城市中选择一个城市，且每个城市都有人选择，则至少有2 人选择南昌的选
法种数为（ ）
A．420
B．660
C．720
D．1200
重难点02 涂色问题的解法
（1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法；
4
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（2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种
数；
（3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分
类计数原理求出不同涂色方法种数.
【典例1】（23-24 高三下·辽宁·模拟预测）为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成
五个部
分（如图所示），现用4 种颜色的鲜花进行装扮（4 种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不
同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（ ）
A．48 种
B．36 种
C．24 种
D．12 种．
【典例2】（23-24 高三上·天津·月考）①一组数据
的第三四分位数为8；
②若随机变量
，且
，则
；
③具有线性相关关系的变量
，其线性回归方程为
，若样本的中心
，则
；
④如图，现要用5 种不同的颜色对某市的4 个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种
颜色，共有180 种不同的着色方法.
以上说法正确的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
重难点03 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
（1）若n，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展
开分别求解．
（2）观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
（3）分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
【典例1】（23-24 高三下·江西·模拟预测）
的展开式中
的系数为 ．
5
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【典例2】（23-24 高三下·陕西西安·模拟预测）
的展开式的常数项为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（23-24 高三下·广东广州·模拟预测）若
的展开式中，
项的
系数为−8，则
的最大值为 .
重难点04 二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为
A1，A2，…，An＋1，且第k 项系数最大，应用 从而解出k 来，即得．
【典例1】（23-24 高三上·四川雅安·零模）
的展开式中，系数最小的项是（ ）
A．第4 项
B．第5 项
C．第6 项
D．第7 项
【典例2】（23-24 高三上·全江苏·期末）已知
的展开式中唯有第5 项的系数最大，则a 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
一、求解排列应用问题的六种常用方法
1、直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；
2、优先法：优先安排特殊元素或特殊位置；
3、捆绑法：相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列；
4、插空法：不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；
5、定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列
6、间接法：正难则反、等价转化的方法
【典例1】（24-25 高三上·福建泉州·月考）七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲､乙渔船要排在一起
出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（ ）
A．96 种
B．120 种
C．192 种
D．240 种
【典例2】（24-25 高三上·广东·月考）甲、乙等6 人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有（
）
A．6 种
B．12 种
C．24 种
D．48 种
【典例3】（24-25 高三上·广东肇庆·月考）五个好朋友一起自驾外出游玩，他们都选择了同一款旅行包
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（外观无明显区别），下车时，他们从后备箱中各随机地取一个旅行包，则甲、乙、丙三人都拿错旅行包
的概率为 .
【典例4】（24-25 高三上·江苏无锡·月考）随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、莲莲”、宸宸”火
遍全国.现有甲、乙、丙3 位运动员要与“琮琮”、莲莲”、宸宸”站成一排拍照留念，则这3 个吉祥物互
不相邻的排队方法数为 .（用数字作答）
二、组合问题的常见类型与处理方法
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；
“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．
（2）“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．
【典例1】（23-24 高三下·广西柳州·模拟预测）有4 名医学毕业生到甲、乙、丙三所学校去应聘校医工作，
若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1 人，则所有不同的录用情况种数为（ ） ．
A．40 种
B．60 种
C．80 种
D．120 种
【典例2】（24-25 高三上·四川成都·开学考试）某高中运动会设有8 个项目，甲､乙两名学生每人随机选取
3 个项目，则至少选中2 个相同项目的报名情况有（ ）
A．420 种
B．840 种
C．476 种
D．896 种
【典例3】（24-25 高三上·浙江·模拟预测）天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，
如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这
颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、二项展开式中的特定项求解
二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n 项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特
定项的关键点如下：
（1）求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr(r＝0，1，2，…，n)求通项．
（2）列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．
（3）求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．
【典例1】（24-25 高三上·江苏·模拟预测）二项式
中展开式中
项的系数为
【典例2】（23-24 高三下·黑龙江大庆·三模）在
的展开式中，含
项的系数是 .
四、三项展开式中某些特定项的系数的求法
（1）通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．
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（2）两次利用二项式定理的通项公式求解．
（3）由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要
得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．
【典例1】（23-24 高三下·湖南衡阳·一模）
的展开式中
的系数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（23-24 高三下·河南·三模）
的展开式中，
的系数为 ．（用数字作答）
五、二项式系数的和与各项的系数和问题
（1）系数和问题常用“赋值法”求解
赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和
题的关键点如下：
①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1，0，1 等．
②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．
③求值，根据题意，得出指定项的系数和．
（2）二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝2n.
【典例1】（23-24 高三下·福建福州·模拟预测）（多选）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（24-25 高三上·四川成都·开学考试）若
，则
.
六、二项式系数最大与最小
二项式系数先增后减中间项最大
（1）如果二项式的幂指数
是偶数，则中间一项
的二项式系数
最大；
（2）如果二项式的幂指数
是奇数，则中间两项
，
的二项式系数
，
相等且最大．
8
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【典例1】（23-24 高三下·湖北·模拟预测）若
的二项展开式中，当且仅当第5 项是二项式系数
最大的项，则其展开式中
的系数为（ ）
A．8
B．28
C．70
D．252
【典例2】（23-24 高三下·浙江温州·三模）已知
，
和
的展开式中二项式系数的最
大值分别为
和
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的大小关系与
有关
七、有关整除或求余的问题
利用二项式定理解决整除问题时要进行合理的变形，使被除数展开后的每一项都有除数的因式，要注意变
形的技巧．
【典例1】（24-25 高三上·河南焦作·开学考试）
被10 除的余数为 .
【典例2】（23-24 高三下·甘肃张掖·三模）已知今天是星期四，则
天后是（ ）
A．星期一
B．星期二
C．星期三
D．星期五
易错点1 利用分步乘法原理计数，分步标准错误
点拨：仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键.两个原理的区别在于一个与分类有关，一
个与分步有关.如果完成一件事有n 类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一
种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分
成n 个步骤，缺一不可，即需要依次完成n 个步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同
的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法计数原理.
【典例1】（24-25 高三上·江苏南京·期中）甲、乙、丙、丁去听同时举行的3 个讲座，每人可自由选择听
其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为（ ）
A．6
B．12
C．18
D．24
【典例2】（23-24 高三下·浙江杭州·模拟预测）袋子中有数字“7”的卡片3 张和数字“2”，“3”，“5”的
卡片各1 张，从中任意取出4 张卡片，最多能组成 个不同的四位数（用数字回答）．
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易错点2 数字排列中“0”的位置不明
点拨：对于数字排列问题，0 是特殊的数字，在解题过程中往往会忽视0 不在首位的特殊要求。
【典例1】（23-24 高三下·四川雅安·三模）从
五个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个
数，则该数为偶数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（23-24 高三下·安徽·月考）从
中任意选1 个数字，从
中任意选2 个数字，得到没
有重复数字的三位数.在所组成的三位数中任选一个，则该数是偶数的概率为 .
易错点3 忽略二项式中的负号
点拨：在二项式定理(a-b)n的问题要注意b 的系数为-1，展开求解释不要忽略。
【典例1】（23-24 高三下·湖北武汉·模拟预测）
展开式中含
项的系数为（ ）
A．420
B．
C．560
D．
【典例2】（23-24 高三下·四川德阳·模拟预测）
的展开式中，常数项为（ ）
A．60
B．
C．120
D．
易错点4 混淆二项式系数与系数
点拨： 要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别. (a＋b)n的展开式中第r+1 项的系数是
，
其值只与
有关，与
无个，系数是该项中的常数，在(a＋b)n的展开式中，系数最大的项是中间项；
但当a，b 的系数不是1 时，系数最大的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数的增减性
具体讨论而定.
【典例1】（23-24 高三上·重庆渝中·月考）（多选）在二项式
的展开式中，下列说法正确的是
（ ）
A．第6 项的二项式系数最大
B．第6 项的系数最大
C．所有项的二项式系数之和为
D．所有项的系数之和为1
10
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【典例2】（23-24 高三下·江西九江·三模）（多选）已知二项式
，则（ ）
A．展开式中
的系数为45
B．展开式中二项式系数最大的项是第5 项
C．展开式中各项系数之和为1
D．展开式中系数最大的项是第5 项或第7 项
11
