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2025 年高考第三次模拟考试
高三数学（上海卷）01
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第1-6 题每题4 分，第7-12 题每题5 分）
1．已知集合
，则
．
2．不等式
的解集为
．
3．准线为直线
，且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为
．
4．函数
的严格减区间为
．
5．在研究线性回归模型时， 样本数据
（
，
，，
，
）所对应的点均在直线
上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则
．
6．若
（为虚数单位）是关于
的方程
的根，则实数
．
7．设
，若
，则实数
的取值范围是
．
8．已知数列
满足
，且
，
，则
．
9．设
，若
，则
．
10．在平面直角坐标系
，已知点
在圆
内，动直线
过点
且
交圆
于
两点，若
的面积等于
的直线
恰有3 条，则正实数
的值为
．
11．如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆
和半圆
的直径均为2.8 米，平面
和平面
均垂直于平面
，用任意平行于帐篷底面
的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，
则该帐篷围成几何体的体积为
立方米．（精确到0.1 立方米）
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12．对于具有相同定义域D 的函数
和
，若存在函数
(k，b 为常数)，对任给的正数
m，存在相应的
，使得当
且
时，总有
，则称直线
为
曲线
和
的“分渐近线”．给出定义域均为
的四组函数如下：
①
，
；
②
，
；
③
,
；
④
,
其中，曲线
和
存在“分渐近线”的是
．
二、选择题(本题共有4 题，满分18 分，第13-14 题每题4 分，第15-16 题每题5 分；每题有且只有一个正
确选项)
13．“
”是“事件A 与事件
互相独立”（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
14．已知
和
都是锐角，向量
，
，则（ ）
A．存在
和
，使得
B．存在
和
，使得
C．存在
和
，使得
D．存在
和
，使得
15．如图，正四棱柱
的底面
边长为，
为
上任意一点，
为
中点，若棱
上至少存在一点
使得
，则棱长
的最大值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
16．已知数列
，若存在数列
满足对任意正整数
，都有
，则称数列
是
的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列
，不存在等差数列
，使得
是
的交错数列；②对任意给定的等比数列
，都存在等比数列
，使得
是
的交错数列.
下列结论正确的是（ ）
A．①与②都是真命题；
B．①为真命题，②为假命题；
C．①为假命题，②为真命题；
D．①与②都是假命题．
三、解答题(本大题共有5 题，满分78 分，第17-19 题每题14 分，第20、21 题每题18 分.)
17．如图，四边形ABCD 是正方形，
平面ABCD，
．
(1)求证：
平面PBC；
(2)求二面角
的正弦值．
18．已知函数
(
为常数，
).
（1）讨论函数
的奇偶性；
（2）当
为偶函数时，若方程
在
上有实根，求实数
的取值范围.
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19．某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600 位居民，得到如下数据：
不达标
达标
合计
男
300
女
100
300
合计
450
600
(1)完成
列联表，根据显著性水平
的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？
(2)若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为
，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为
，
用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1 人参加
体能测试，求其体能测试合格的概率；
(3)在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3 人参加体能测试，求3 人中体能测试合格的人数X
的分布、数学期望及方差．
附：
，
．
20．如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆
：
的左，右焦点外别为
，
，设P 是第一象限
内
上的一点，
、
的延长线分别交
于点
、
．
（1）求
的周长；
（2）求
面积的取值范围；
（3）设
、
分别为
、
的内切圆半径，求
的最大值．
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21．定义：如果函数
在定义域内给定区间
上存在实数
，满足
，那么称函数
是区间
上的“平均值函数”，
是它的一个均值点.
例如
是区间
上的“平均值函数”，0 是它的均值点.
(1)已知函数
、
，判断
、
是否为区间
上的“平均值
函数”，并说明理由；
(2)设
是区间
上的“平均值函数”，1 是函数
的一个均值点，求所有满
足条件的整数数对
；
(3)若
是区间
上的“平均值函数”，
是它的一个均值点，求证：
.
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