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2025 年高考第三次模拟考试
数学（广东卷02）参考答案
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
A
C
C
C
B
B
A
D
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9
10
11
BCD
ACD
ABD
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．
13．10
14．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．【解析】（1）∵
，
，
∴
，....................................................................................2 分
在
中由余弦定理可得
，
∴
，解得
（舍去）或
，
∴
..............................................................................................................................................................5 分
（2）设
，
为等边三角形，设
在
中由余弦定理可得
，
1
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在
中由余弦定理可得
，.....................................................................7 分
由∵
，∴
，
即
，
则
，即
①，
又∵正
中
，∴
，
在
中
，
即
，∴
，②
由①②可知，
，
，.................................................................................................................11
如图，取
中点，连接
，由对称性可知圆心
在中线
上，连接
，
∴
，又∵
，
∴半径
，
∴圆的面积为：
.......................................................................................................................13 分
16．【解析】（1）
平面
平面
，
又
，
平面
，
平面
，
又因为
平面
，
，
2
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是二面角
的平面角，
．...........................................................................2 分
又
，
.
连接
．则
，
......................................................................................................4 分
是平行四边形，
，又
，
是正三角形，
，
，
同理可证
平面
，
平面
，
，
...............................................................................................6 分
（2）设
中点为
，连接
，易得
，
又因为
平面AEFD，
面AEFD，则
，.............................................7 分
则
两两互相垂直，则以
为原点，
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系，
3
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则
，
，
，..9 分
设平面
的法向量为
，
由
，得
，令
，则
，则
，......12 分
设直线AB 与平面
的夹角为
，则
，
所以直线
与平面
的夹角正弦值为
........................................................................................15 分
17．【解析】（1）依题意，随机变量
的可能取值为
，
则
，
，
............................................2 分
所以
的分布列如下表所示：
2
3
4
数学期望为
...............................................................................................5 分
（2）由这
人的合计得分为
分，得其中只有1 人既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，
于是
，................................................................................................7 分
令数列
的前
项和为
，
则
，
4
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于是
，
两式相减得
，因此
，........................................................................................9 分
所以
............................................................................10 分
（3）在随机抽取的若干人的合计得分为
分的基础上再抽取1 人，则这些人的合计得分可能为
分或
分，
记“合计得
分”为事件
，“合计得
分”为事件
，
与
是对立事件，
则
，
，
，即
，
由
，得
，则数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
，因此
，....................................................................13 分
随着
的无限增大，
无限趋近于0，
无限趋近于
，
所以随着抽取人数的无限增加，
趋近于常数
.......................................................................................15 分
18．【解析】（1）
设
，倾斜角为
，由对称性知
有两条，且关于对称，
不妨设
，那么
，
5
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则
，则
，.................................................................................2 分
由于
，则
，
则
，
，............................................................................................4 分
则
由对称性，另一条直线：
，
所以直线
的方程为
或
．........................................................................................6 分
（2）设点
，
因为
，同理：
，
所以
，化简可得：
，
同理可得：
，
，
，............................................................................................................................8 分
又因为
，直线
和直线
交于点
，
所以
，且
，即
，
，且
，化简得：
，于是
，
则
，解得
，所以点
，
6
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由于
，则
，所以
，则
轴平分
，..............................10 分
设
的内切圆圆心
，则
到
的距离
，
点
到
的距离
，
所以
，.......................................................................................................12 分
化简可得：
，
由于
，当且仅当
取等号（舍），
则
，
则
．
或由
化简得到：
，................................15 分
令
，当且仅当
取等号（舍），
7
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则
，设
，
，
则
在
单调递减，
．.........................................................17 分
19．【解析】（1）设正项等比数列
的公比为
，
则
，即
，
所以任意一个正项等比数列
为下凸数列..................................................................................................2 分
（2）显然
，
，
所以正项数列
为下凸数列. .................................................................................................... 5 分
下面证明：正项数列
不是等比数列.
8
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若
是等比数列，则
，
所以
，.................................................................................7 分
因为数列
，
分别为两个正项等比数列，
所以
，
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，与
矛盾，
所以数列
不是等比数列..............................................................................................................................9 分
（3）假设存在一个常数
，使得
，但
，
因为
，所以
，
将
中的
换成
得，
.
进一步得，
.........................................................................................................................11 分
又
，由不等式的可加性得，
，
同理可得，
，
所以
，
所以数列
从
项到
项单调递减，从
项开始向后单调递增，
所以
，
因为该规律是固定的，且
，
所以当
足够大时，必有
，与题设
矛盾，
9
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所以
不可能从某一项开始单调递增，所以
，...................................................................13 分
令
，
，
由
得
，
，
所以
..........................................................................................................15 分
所以
，
即
，
进一步得，
，
所以
，
，
，
，
相加得
，
10
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所以
.................................................................................................................................17 分
11
