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2025 年高考第三次模拟考试
高三数学（新高考Ⅱ卷）01·参考答案
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
D
B
A
A
C
A
B
C
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9
10
11
ACD
AB
BD
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．
13．
14． 45 4095
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
【详解】（1）
，
因为
，所以
，
所以
，........................................（2 分）
因为
，所以
，所以由正弦定理可知
，........................................（4 分）
所以
等价于
，
1
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因为
，所以
，所以
，即
，
又因为
，所以
.........................................（6 分）
（2）因为
，解得
，........................................（8 分）
由余弦定理得
，解得
，........................................（10 分）
由三角形面积公式得
，........................................（12 分）
解得
.........................................（13 分）
16．（15 分）
【详解】（1）法1，取
的中点
，连接
．
由
为
的中点，得
且
，由四边形
为矩形，得
且
，
则
且
，又
为
的中点，则
且
，........................................（3 分）
四边形
为平行四边形，于是
，而
平面
，
平面
，
所以
平面
.........................................（6 分）
法2：取
的中点
，连接
，由
，
，
，
平面
，得
平面
，又
，于是
平面
，
而
平面
，则
，又
，则直线
两两垂
直，........................................（2 分）
2
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以
为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，
在
中，
，
，则
，
在
中，
，
，........................................（4 分）
则
，
则
，即
，因此
，........................................（5 分）
又
平面
，
平面
，所以
平面
.........................................（6 分）
（2）法1：过点
作
交
于点
，连接
．
由
，
，
，
平面
，得
平面
，........................................
（8 分）
而
平面
，则
，又
，
平面
，则
平面
，........................................（10 分）
因此
即为直线
与平面
所成的角，........................................（11 分）
在
中，
，由
，得
，
在
中，
，
，
而
平面
，则
，又
，于是
，
在
中，
，
为
中点，则
，........................................（12 分）
由
，
，得
，
3
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则
，即
，解得
，在
中，
，........................................
（14 分）
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.........................................（15 分）
法2：由（1）得
，
，
，........................................（9 分）
设平面
的法向量为
，则
，令
，得
，..................................（12 分）
设直线
与平面
所成的角为
，
则
，........................................（14 分）
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.........................................（15 分）
17．（15 分）
【详解】（1）由题意知，
的所有可能取值为1，2，3，........................................（1 分）
则
，
，
，........................................（4 分）
所以
的分布列为
1
2
3
........................................（5 分）
4
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所以
．........................................（7 分）
（2）
满足题意，理由如下：
分三种情况：
①
一人参赛全胜获得擂主，该事件发生的概率设为
，则
，........................................（9 分）
②
两人参赛获得擂主，该事件发生的概率设为
，
则
，........................................（10 分）
③
三人参赛获得擂主，该事件发生的概率设为
，
若
在第一局被淘汰，
淘汰掉乙队三人，概率为
，
若
在第二局被淘汰，
淘汰掉乙队两人，
概率为
，
若
在第三局被淘汰，
淘汰掉乙队一人，
概率为
，........................................（12 分）
故
，
因为
，
所以要使甲队获胜的概率大于
，即
，则
，
5
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即
，化简得
，........................................（13 分）
当
时，代入可得
，满足题意．........................................（15 分）
18．（17 分）
【详解】（1）由题可得，函数
的定义域为(0,+ ∞)，
，........................................（2
分）
当
时，
，
，........................................（4 分）
故切点为(1,0)，切线在该点处的斜率为
，
故曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线方程为
，即
．........................................（5
分）
（2）由（1）得
，
因为分母
在定义域内恒成立，所以导函数的符号取决于分子的符号，
令
，其对应一元二次方程的判别式
．........................................（6 分）
若
，此时
，则
且不恒为0，所以f
' (x)≥0且不恒为0，所以
在(0,+ ∞)上单调递
增，故
没有极值点，........................................（7 分）
若
，此时
或
，则g(x)=0有两个不等实根
，不妨设
，
由一元二次方程根与系数的关系可得
，则
同号．
6
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当
时，
，两根均为负数，则g(x)>0在(0,+ ∞)上恒成立，所以f
' (x)>0，所以
在
(0,+ ∞)上单调递增，则
没有极值点；........................................（9 分）
当
时，
，两根均为正数，故当
或
时，g(x)>0，所以f
' (x)>0，所以
的
单调递增区间为
，
，
当
时，g(x)<0，所以f
' (x)<0，所以
的单调递减区间为
，故
有极大值点
，极
小值点
．
故
时，
恰有1 个极大值点和1 个极小值点．........................................（11 分）
①
，
故极大值与极小值的和为0．........................................（13 分）
②由①知，
，
，则
，
又由①知，
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
因为f (1)=0，所以
，
，当
时，
；当
时，
，
故
在
，
上各有一个零点，又f (1)=0，所以
有3 个零点．........................................
（17 分）
19．（17 分）
【详解】（1）设动圆的圆心坐标为
，由题意知
，........................................（1
分）
整理得
，
7
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故动圆圆心的轨迹
的方程为
．........................................（2 分）
（2）设
，
，
，
，
，
易知
，
，
，由题知
，
，
两式作差，得
，
所以
，同理得
，
，........................................（4 分）
所以直线
的方程为
，
同理，直线
的方程为
，
结合点
在两直线上，令
，得
，........................................（6 分）
又直线
过点
，所以设直线
的方程为
，
由
，消去
得
，
，所以
，
由
，可知
，所以
①．........................................（8 分）
8
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又因为直线
的方程为
，
结合点
在直线
上，令
，得
②，
由①②得，
，........................................（10 分）
等式两边同时取对数，得
，
由题可知
，所以数列
是以
为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，解得
．........................................（13 分）
（3）由（2）知，
，........................................（14 分）
又
，........................................（16 分）
所以
，故
．........................................（17 分）
9
