最新湘教版8年级数学课本•下册_26秋新教材初中课本合集，各科目同步电子版一站配齐_全部版本•初中数学电子课本_湘教版•初中数学电子课本

数
学
数学
义
务
教
育
教
科
书
八
年
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下
册
义务教育教科书
年
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数学
义务教育教科书
ISBN 978-7-5539-9995-1
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9 787553 999951
定价：12.42元
数学
义务教育教科书
YIWU JIAOYU JIAOKESHU
SHUXUE
年
级
下
八
册
顾    问  袁亚湘  郑志明
主    编  丘维声
副  主  编  柳  彬
编写人员  成礼智  李铁安  李超贵  杨小远  邹楚林
          赵雄辉  胡  涛  胡元彬
    图书在版编目（CIP）数据
  义务教育教科书.  数学八年级 下册 / 丘维声主编.  —长沙：
湖南教育出版社，2025.12
  ISBN 978-7-5539-9995-1
  Ⅰ. ①义… Ⅱ. ①丘… Ⅲ. ①中学数学课—初中—教材 
Ⅳ. ①G634
  中国国家版本馆CIP 数据核字（2024）第039727 号
义务教育教科书
数  学
八年级下册
YIWU JIAOYU JIAOKESHU
SHUXUE
BANIANJI XIACE
责任编辑：李漫溢 易星星
美术编辑：张婷婷
湖南教育出版社出版( 长沙市韶山北路443 号)
电子邮箱：hnephmath@126.com 
客服电话：0731-85486740
湖南出版中心
湖南省新华书店发行
湖南天闻新华印务有限公司印刷
787 mm×1092 mm 16 开 印张：12 字数：195 000
2025 年12 月第1 版 2025 年12 月第1 次印刷（2026 春）
  ISBN 978-7-5539-9995-1
定价：12.42 元
如有质量问题，影响阅读，请与湖南出版中心联系调换。
联系电话：0731-88388986
著作权所有，请勿擅用本书制作各类出版物，违者必究。
前
言
亲爱的同学，欢迎你踏上新学期的征途！下面先为你揭晓本学
期数学的主要学习内容.
在小学，你已经初步认识了一些平行四边形. 本学期，第1 章
“四边形”将带你重新认识平行四边形的定义、性质、判定方法. 生
活中还有一些特殊平行四边形，如正方形等. 本章还会介绍3 种特
殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）之间的联系与区别.
坐在教室里上课时，每一个同学的座位都可以用行数和列数确
定位置. 受此启发，应该也能利用平面内两条互相垂直的数轴，刻
画平面上两个物体的相对位置. 如何在一个平面内画两条互相垂直
的数轴？画好后，又如何描述物体的相对位置？第2 章“图形与坐
标”将会为你释疑.
数学上经常遇到一个量（称为因变量）随着另一个量（称为自变
量）的变化而变化，且对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的一
个值与它对应，这时称该因变量是相应自变量的函数. 认识函数后，
你将先学习一种简单函数——一次函数. 那么，一次函数有哪些性
质？它的图象是怎样变化的？它与二元一次方程有什么关系？第3
章“一次函数”将为你解惑.
当你有条理地收集、整理数据后，你会发现不同组数据的集中
趋势和离散程度不尽相同. 第4 章“数据分析”将为你介绍几种刻
画一组数据的集中趋势和离散程度的方法，同时带你学习如何利用
简单随机样本的数字特征去估计总体的相应特征，由此加深你对抽
样的必要性和数据分析的合理性的体会.
在“综合与实践”专栏，你将挑战《将多边形剪拼成“方”形》
《生活节水》《估计池塘中鱼的数量》.
1
在“数学文化”专栏，《笛卡儿与坐标系》和《我们身边的大数
据》会让你收获很多惊喜.
在本学期的学习过程中，如果你能通过分析、比较、归纳等方
法加强对知识的理解，不断总结所学知识，对照每章“小结与评价”
中的“知识图谱”，努力构建自己的知识系统，不断改进数学学习方
法，不断提高用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实
世界、用数学的语言表达现实世界的能力，你将看到不一样的
风景.
勤奋是天才的摇篮，耕耘是智慧的源泉，进步的速度与努力的
程度是成正比的. 昨天，已经成为历史；明天，还是未知数；把昨
天和明天连接在一起的是今天. 愿你紧紧地把今天攥在手心里，一
步一脚印，始终朝着目标勇毅前行.
2
2
8
19
23
26
33
44
40
53
54
63
67
78
81
1
47
76
51
45
1. 1
多边形
1. 2 平行四边形
1. 3 中心对称和中心对称图形
1. 4 三角形的中位线定理
1. 5 矩
形
1. 6 菱
形
1. 7 正方形
■
现代技术应用
用计算机探究中点四边形的性质
■
小结与评价
■
复习题1
第2 章
第2章
图形与坐标
2. 1
平面直角坐标系
2. 2 简单图形的坐标表示
2. 3 轴对称和平移的坐标表示
■
小结与评价
■
复习题2
■
数学文化
笛卡儿与坐标系
第1 章
四边形
目录
综合与实践
将多边形剪拼成“方” 形
1
第3 章
第2 章
第4章
数据分析
128
129
4. 1 平均数、中位数、众数
4. 2 方
差
4. 3 数据分类
■
多知道一点
S2 = S2
1 + S2
2的证明
4. 4 四分位数与箱线图
4. 5 数据的频数分布
4. 6 总体的平均数与方差的估计
4. 7 统计的简单应用
■
现代技术应用
用计算机求数据的数字特征
■
小结与评价
■
复习题4
■
数学文化
我们身边的大数据
144
148
149
155
171
82
83
104
108
92
96
第3 章
第2 章
一次函数
第3章
3. 1
函数的概念和表示法
3. 2 一次函数
3. 3 一次函数的图象
3. 4 用待定系数法确定一次函数的表达式
3. 5 一次函数与二元一次方程的关系
3. 6 一次函数的应用
■
现代技术应用
用计算机研究一次函数的图象与性质
■
小结与评价
■
复习题3
175
112
118
122
126
176
178
120
综合与实践
生活节水
综合与实践
估计池塘中鱼的数量
184
182
167
139
2
第1 章
四边形
在现实生活中，你经常可以见到四边形的身影. 例如，可以
从下图中抽象出四边形等几何图形.
你已经知道平行四边形是一种特殊的四边形，如何定义平行
四边形？它具有哪些性质？如何判定一个四边形是平行四边形？
除此之外，你还将重点学习矩形、菱形、正方形这几种特殊平行
四边形的定义、性质、判定以及它们之间的相互关系. 为了方便
研究这几种特殊四边形的性质，还要认识一种新的图形变化——
中心对称，这些都是本章将要学习的内容.
图1. 1-1是三种窗户的示意图，请从图中抽象出一些多边形. 这些多
边形有什么特征？
图1. 1-1
观
察
我们可以发现，这些多边形都在一个平面内，且均由几条（不少于三条）线
段首尾顺次相接而成.
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形①.
组成多边形的各条线段叫作多边形的边.
相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点.
连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线.
相邻两边组成的角叫作多边形的内角，简称多边形的角.
例如，在图1. 1-2 所示的多边形中，线段AB 是
边，点E是顶点，线段BD是对角线，∠A是内角.
多边形根据边数可以分为三角形、四边形、五边
形……. 例如，图1. 1-2所示的五边形，通常记作五边
形ABCDE，用类似的方法可以记其他多边形.
正方形的各个角都相等，各条边都相等. 在平面
内，像正方形这样，各边相等，各角也相等的多边形
叫作正多边形. 例如，正三角形、正五边形、正六边形等等.
①本书所介绍的多边形都是指凸多边形，即多边形总在任何一条边所在直线的同一旁.
图1. 1-2
1.1 多边形
2
思
考
三角形的内角和等于180°，四边形的内角和是多少度呢？
如图1. 1-3，四边形ABCD 被它的一条对角线AC 分
成△ADC与△ABC.
由于三角形的内角和为180°，
所以四边形ABCD的内角和为180° × 2 = 360°.
在下列各个多边形中，任取一个顶点，画出通过该顶点的所有对角线，
并完成下表.
五边形
六边形
七边形
图形
边数
从一个顶点出发的对角线条数
可分成三角形的个数
多边形的内角和
五边形
5
2
3
（5 - 2）× 180°
六边形
6
七边形
7
由此猜测：n边形（n是不小于3的整数）的内角和等于多少？
探
究
如图1. 1-4，n 边形A1 A2…An 有n 个顶点A1，A2，
A3，…，An. 由于与任一顶点（如点A1）不相邻的顶点均
有（n - 3）个，因而从某一顶点出发有（n - 3）条对角
线，于是n 边形A1 A2…An 被分成了（n - 2）个三角形.
因此，n 边形的内角和等于这（n - 2）个三角形的内角
和，即（n - 2）⋅180°.
图1. 1-3
图1. 1-4
第1章
四边形
3
由此得出：
n边形的内角和等于（n - 2）· 180°.
思
考
还可以用其他方法求n边形的内角和吗？
如图1. 1-5，在n 边形A1 A2…An 内任取一点O，
连接OA1，OA2，…，OAn，则n 边形A1 A2…An 被分
成了n个三角形.
由于n 个三角形的内角和为n ⋅180°，且这n 个三
角形有一个共同顶点O，以O 为顶点的内角构成了一
个周角，
因此，n边形的内角和为
n ⋅180° - 360° =（n - 2）· 180°.
例1 （1）十边形的内角和是多少度？
（2）一个多边形的内角和等于1 980°，它是几边形？
解（1）十边形的内角和是
（10 - 2）× 180° = 1 440°.
（2）设这个多边形的边数为n，则
（n - 2）× 180° = 1 980°，
解得n = 13.
所以这是一个十三边形.
练
习
1 已知过一个多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成了10 个三角
形，则这个多边形是几边形？
2 （1）正十二边形的每一个内角是多少度？
（2）一个多边形的内角和等于2 160°，它是几边形？
图1. 1-5
数学
八年级下册
4
多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成
的角叫作这个多边形的一个外角. 如图1. 1-6，∠EDF
是五边形ABCDE的一个外角.
在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫作
这个多边形的外角和.
思
考
三角形的外角和为360°，四边形的外角和为多少度呢？
如图1. 1-7，分别在四边形ABCD 的每一个顶点处取一个外角，即∠1，
∠2，∠3，∠4.
因为∠1 + ∠DAB = 180°，∠2 + ∠ABC = 180°，
∠3 + ∠BCD = 180°，∠4 + ∠ADC = 180°，
又∠DAB + ∠ABC + ∠BCD + ∠ADC = 360°，
所以∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 4 × 180° - 360° = 360°.
因此四边形的外角和为360°.
三角形与四边形的外角和都是360°，n边形的外角和也是360°吗？
探
究
类似于求四边形外角和的思路，在n 边形的每一个顶点处取一个外角，其
中每一个外角与跟它相邻的内角之和为180°. 因此，这n 个外角与跟它相邻的
内角之和合计为n · 180°. 又n 边形的内角和为（n - 2）· 180°，所以n 边形的外
角和为
n · 180° -（n - 2）· 180°
=[ n -（n - 2）] · 180°
= 360°.
由此得出：
任意多边形的外角和等于360°.
图1. 1-7
n边形的外角和与
其边数有关系吗？
F
图1. 1-6
第1章
四边形
5
例2
一个多边形的内角和等于外角和的5倍，它是几边形？
解
设多边形的边数为n，则它的内角和为（n - 2）· 180°.
由题意得
（n - 2）· 180° = 360° × 5，
解得n = 12.
因此，这个多边形是十二边形.
用4 根木条钉成如图1. 1-8 所示的木框，随意扭转四边形的边，可以
得到不同形状的四边形，由此你会发现什么？
图1. 1-8
观
察
可以发现，四边形的边长不变，但它的形状改变了，这说明四边形具有不
稳定性.
在实际生活中，我们经常看到利用四边形的不稳定性的实例. 例如，图
1. 1-9（a）中的电动伸缩门、图1. 1-9（b）中的升降器. 有时又要克服四边形的不
稳定性，如图1. 1-9（c），在栅栏两横梁之间加钉斜木条，使之稳定.
（a）
（b）
（c）
图1. 1-9
练
习
1 一个多边形的每一个外角都等于45°，这个多边形是几边形？它的每一个内
角是多少度？
数学
八年级下册
6
2 如图，求图中x的值.
3 请举出日常生活中一些利用四边形不稳定性的例子.
习题1. 1
学而时习之
1 （1）一个多边形的内角和等于1 440°，它是几边形？
（2）一个多边形的每一个内角都等于108°，它是几边形？
2 （1）一个多边形的每一个外角都等于36°，它是几边形？
（2）一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是几边形？
3 如图，求图中x的值.
4 如果一个多边形的每一个外角都等于与它相邻的内角，
那么这个多边形的每一个外角是多少度？它是几边形？
温故而知新
5 （1）如果两个多边形的边数相差1，那么这两个多边形的内角和相差多少？
（2）如果两个多边形的边数相差1，那么这两个多边形的外角和有什么数量
关系？
6 如图为一个正n 边形的一部分，AB 和DC 延长后相交于点P. 若∠BPC=
120°，求n.
（第6题图）
（第7题图）
7 如图，在四边形ABCD 中，∠A + ∠D = α，∠ABC 的平分线与∠BCD 的
平分线交于点P，求∠P的度数（用含α的式子表示）.
（第3题图）
（第2题图）
第1章
四边形
7
1􀆰2􀆰1 平行四边形的性质
我们在小学就认识了平行四边形，从图1. 2-1的两张照片中分别抽象
出一个平行四边形. 这两个平行四边形的对边分别平行吗？
图1. 2-1
观
察
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
如图1. 2-2，在四边形ABCD 中，若AD ∥BC，
AB ∥DC，则四边形ABCD是平行四边形.
其中，∠A 与∠C，∠B 与∠D 分别是两组对角，
AD与BC，AB与DC分别是两组对边.
一般将平行四边形ABCD简记作▱ABCD.
若一个四边形只有一组对边平行而另一组对边不平行，则它是平行
四边形吗？
说一说
它不是平行四边形，而是我们小学认识的梯形.
图1. 2-2
1.2 平行四边形
8
由此引出下述定义：
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫作梯形.
如图1. 2-3，四边形ABCD 是梯形. 互相平行的
两边叫作梯形的底（通常把较短的底叫作上底，较长
的底叫作下底），不平行的两边叫作梯形的腰，两底
的公垂线段叫作梯形的高.
两腰相等的梯形叫作等腰梯形，如图1. 2-4所示.
有一个角是直角的梯形叫作直角梯形，如图1. 2-5所示.
图1. 2-4
图1. 2-5
根据定义画一个平行四边形，分别比较平行四边形两组对边的长度、
两组对角的大小，由此你能发现什么？
探
究
通过比较，我们可以发现平行四边形的对边相等、对角相等.
理由如下：
如图1. 2-6，任意画▱ABCD，连接AC.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB ∥DC，BC ∥AD，
从而∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.
又AC = CA，
因此△ABC ≌△CDA（角边角），
从而AB = CD，BC = DA，∠B = ∠D.
又∠1 + ∠4 = ∠2 + ∠3，因此∠BAD = ∠DCB.
由此可得平行四边形的性质定理1：
平行四边形的对边相等、对角相等.
图1. 2-3
图1. 2-6
将左边两图中线段DA 沿
DC 方向平移，使其过点C，则
原梯形可分割成两个什么图形？
第1章
四边形
9
例1
如图1. 2-7，四边形ABCD 和BCEF 均为平行四边形，BF 与CD 相
交于点G，AD = 2，∠A = 65°，∠E = 33°，求EF和∠BGC.
解
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以BC = AD = 2，∠1 = ∠A = 65°.
因为四边形BCEF是平行四边形，
所以EF = BC = 2，∠2 = ∠E = 33°.
于是在△BGC中，
∠BGC = 180° - ∠1 - ∠2 = 82°.
例2
如图1. 2-8，直线l1与l2平行，AB，CD 是
l1与l2之间的任意两条平行线段. 试问：AB与CD 是
否相等？为什么？
解
因为l1 ∥l2，AB ∥CD，
所以四边形ABDC是平行四边形.
因此AB = CD.
由例2可知，夹在两条平行线间的平行线段相等.
练
习
1 如图，▱ABCD的一个外角为38°，求∠A，∠B，∠BCD，∠D的度数.
（第1题图）
（第2题图）
2 在▱ABCD 中，∠ABC = 68°，BE 平分∠ABC，交AD 于点E，如图所示.
若AB = 2 cm，ED = 1 cm，求：
（1）∠A，∠C，∠D的度数；
（2）▱ABCD的周长.
图1. 2-7
图1. 2-8
数学
八年级下册
10
思
考
如图1. 2-9，点O 是▱ABCD 两条对角线
的交点，分别比较OA 与OC，OB 与OD 的长
度. 它们分别相等吗？为什么？
图1. 2-9
可以发现，OA = OC，OB = OD. 理由如下：
如图1. 2-10，因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD ∥BC，AD = BC，
从而∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，
因此△OAD ≌△OCB（角边角），
从而OA = OC，OD = OB.
由此可得平行四边形的性质定理2：
平行四边形的对角线互相平分.
例3
如图1. 2-11，在▱ABCD 中，对角线AC
与BD 相交于点O，AC = 6，BD = 10，CD = 4. 8.
试求△COD的周长.
解
因为AC，BD为▱ABCD的对角线，
所以OC = 1
2 AC = 3，OD = 1
2 BD = 5.
又因为CD = 4. 8，
于是，△COD的周长为3 + 5 + 4. 8 = 12. 8.
例4
如图1. 2-12，在▱ABCD 中，对角线AC
与BD 相交于点O，过点O 作一条直线MN，分别交
AD，BC 于点M，N. 求证：点O 是线段MN 的
中点.
证明
因为AC，BD 为▱ABCD 的对角线，且
相交于点O，
图1. 2-10
图1. 2-11
图1. 2-12
第1章
四边形
11
所以OA = OC.
因为AD ∥BC，
所以∠MAO = ∠NCO.
又∠AOM = ∠CON，
所以△AOM ≌△CON（角边角）.
于是OM = ON.
所以点O是线段MN的中点.
议一议
将例4中“分别交AD，BC于点M，N”改为“分别交BA，DC 的延
长线于点M，N”，如图1. 2-13，点O还是线段MN的中点吗？为什么？
图1. 2-13
练
习
1
在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，BC = 10 cm，AC = 8 cm，
BD = 14 cm.
（1）求△AOD的周长.
（2）△ABC与△BCD的周长哪个长？长多少？
2 平行四边形一条对角线的两个端点到另一条对角线的距离相等吗？为什么？
3 如果平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形的两条邻边
有什么关系？为什么？
数学
八年级下册
12
1􀆰2􀆰2 平行四边形的判定
根据平行四边形的定义可以判定一个四边形是平行四边形，还有其他的判
定方法吗？下面我们来研究.
思
考
如图1. 2-14，把线段AB 沿箭头所示方向
平移一定的距离后，得到线段DC. 连接AD，
BC. 四边形ABCD 是平行四边形吗？由此你
能做出什么猜测？你的猜测成立吗？
图1. 2-14
由于直线在平移下的像是与它平行的直线，则DC ∥AB.
根据一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在
同一条直线上）得，AD ∥BC.
由平行四边形的定义得，四边形ABCD是平行四边形.
又根据平移保持任意两点间距离不变可得，DC = AB，
而DC ∥AB，
由此可猜测：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
下面来证明上述猜测成立.
如图1. 2-15，在四边形ABCD中，已知AB ∥DC，AB = DC.
连接AC.
由于AB ∥DC，
因此∠1 = ∠2.
又AB = CD，AC = CA，
因此△ABC ≌△CDA（边角边），
从而∠3 = ∠4，
于是BC ∥AD.
由平行四边形的定义得，四边形ABCD是平行四边形.
由此得到平行四边形的判定定理1：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
图1. 2-15
第1章
四边形
13
例5
如图1. 2-16，点E，F 分别在▱ABCD
的边BC，AD 上，BE = 1
3 BC，FD = 1
3 AD，连
接BF，DE. 求证：四边形BEDF是平行四边形.
证明
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AD ∥BC，且AD = BC.
因为BE = 1
3 BC，FD = 1
3 AD，
所以BE = FD.
又因为BE ∥FD，
所以四边形BEDF是平行四边形.
如图1. 2-17，用两支同样长的铅笔和两支同
样长的签字笔能摆成一个平行四边形的形状吗？
动手试一试.
做一做
图1. 2-17
把上述问题抽象出来就是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形吗？
回答是肯定的，下面来证明：
如图1. 2-18，在四边形ABCD中，
AB = DC，AD = BC.
连接AC.
因为AB = CD，BC = DA，AC = CA，
所以△ABC ≌△CDA（边边边），
从而∠1 = ∠2，
于是AD ∥BC.
根据平行四边形的判定定理1得，四边形ABCD是平行四边形.
由此可得平行四边形的判定定理2：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
图1. 2-18
图1. 2-16
AD∥BC，且AD=BC，
可简记为AD 􀱀BC，读作
“AD平行且等于BC”.
数学
八年级下册
14
例6
如图1. 2-19，E，F，G，H 分别是▱ABCD 的边AD，AB，BC，
CD上的点，且AE = CG，BF = DH. 求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以∠A = ∠C，AB = CD.
因为BF = DH，所以AF = CH.
又AE = CG，
因此△AFE ≌△CHG（边角边），
从而EF = GH.
同理，FG = HE.
所以四边形EFGH是平行四边形.
练
习
1 如图，在▱ABCD中，AE = CF. 求证：四边形EBFD是平行四边形.
（第1题图）
（第2题图）
2 如图，在四边形ABCD 中，AD = BC，AB = DC，E，F 分别是边BC，
AD的中点. 找出图中所有的平行四边形，并说明理由.
图1. 2-20
思
考
如图1. 2-20，把两根细木条AC 和BD 的
中点钉在一起，连接AB，AD，BC，CD，得
到的四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？
四边形ABCD是平行四边形. 理由如下：
如图1. 2-20，在四边形ABCD中，OA = OC，OB = OD.
又因为∠AOB = ∠COD，
所以△OAB ≌△OCD（边角边），
图1. 2-19
第1章
四边形
15
从而AB = CD，∠OAB = ∠OCD.
于是AB ∥CD.
根据平行四边形的判定定理1得，四边形ABCD是平行四边形.
由此可得平行四边形的判定定理3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
例7
如图1. 2-21，▱ABCD 的对角线AC，BD
相交于点O，点E，F 在BD 上，且OE = OF. 求证：
四边形AECF是平行四边形.
证明
因为四边形ABCD为平行四边形，
于是OA = OC.
又因为OE = OF，
所以四边形AECF是平行四边形.
例8
如图1. 2-22，在四边形ABCD 中，∠A =
∠C，∠B = ∠D. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明
因为∠A = ∠C，∠B = ∠D，
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°，
所以∠A + ∠B = 360°
2
= 180°，
所以AD ∥BC.
同理，AB ∥DC.
所以四边形ABCD是平行四边形.
议一议
（1）两组邻边分别相等的四边形一定是平行四边形吗？如果是，说
明理由；如果不是，试举出反例.
（2）一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形吗？
如果是，说明理由；如果不是，试举出反例.
图1. 2-21
图1. 2-22
由例8 可得，两组
对角分别相等的四边形
是平行四边形.
数学
八年级下册
16
练
习
1
如图，把△ABC 的中线AD 延长至E，使得DE = AD，连接EB，EC. 求
证：四边形ABEC是平行四边形.
（第1题图）
（第2题图）
2 如图，▱ABCD 的对角线相交于点O，MN 经过点O，分别与AB，CD 交
于点M，N，连接AN，CM. 求证：四边形AMCN是平行四边形.
习题1. 2
学而时习之
1
如图，在▱ABCD 中，EF ∥AD，在AD 边上取
一点G，过点G 作GH ∥AB，分别与EF，BC 相
交于点M，H.
（1）图中有多少个平行四边形？
（2）与∠A相等的角有哪些？
2 已知l1 ∥l2，AB，CD 都是l1 与l2 的公垂线段，求证：AB = CD. 由此可得
出什么结论？
3 如图，C 为BE 的中点，四边形ABCD 为平行四边形，AE 与CD 相交于点
F. 求证：AF = EF.
（第3题图）
（第4题图）
4 如图，将△ABC 向右平移3 个单位长度，它的像是△DEF，连接AD，
BE，CF. 找出图中所有的平行四边形，并说明理由.
（第1题图）
第1章
四边形
17
5 如图，△ABC 是等腰三角形（其中AB > BC），把它
沿底边BC翻折，得到△DBC.
（1）四边形ABDC是平行四边形吗？为什么？
（2）如果把图中的等腰三角形ABC 沿腰AB 翻折，
得到△ABE，四边形AEBC是平行四边形吗？
6 证明：平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等.
温故而知新
7 如图，在▱ABCD 中，AC，BD 为对角线，BC = 6，BC 边上的高为4，求
图中阴影部分的面积.
（第7题图）
（第8题图）
8
如图，在△ABC 中，D，E，F 分别是边AB，BC，CA 上的点，且
DE ∥AC，FE ∥AB，DF ∥BC.
（1）△DEF的三个角分别与△ABC的哪个角相等？为什么？
（2）说明D，E，F分别是AB，BC，CA的中点.
9 如图，已知E，F 是▱ABCD 对角线AC 上的两点，并且AE = CF. 求证：
四边形EBFD是平行四边形（至少用两种方法证明）.
（第9题图）
（第10题图）
10 如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BD，CF ⊥BD，垂足分别为点E，F. 求证：
四边形AECF是平行四边形.
（第5题图）
数学
八年级下册
18
前面我们已经学习了图形的旋转. 如图1. 3-1，在平面内，将△ABC 绕点
O旋转180°，得到的像是△A′B′C′.
图1. 3-1
从这个例子引出下述定义：
在平面内，把图形（Ⅰ）绕一个点旋转
180°，得到图形（Ⅱ），我们把图形的这种
变换称为关于这个点中心对称，这个点称
为对称中心. 在平面内，如果图形（Ⅰ）绕点O 旋转180°，得到的像与图形（Ⅱ）
重合，那么称图形（Ⅰ）与（Ⅱ）关于点O成中心对称.
例如，图1. 3-1中的△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称.
成中心对称的两个图形的对应点连线的中点是对称中心吗？
探
究
在平面内，设点A 与点B 关于点O 成中心对
称，则把点A 绕点O 逆时针（或顺时针）旋转180°得
到点B，如图1.3-2所示.
根据旋转的基本性质和概念可得，OA = OB，
∠AOB = 180°.
于是点A，O，B在一条直线上，且点O是线段AB的中点.
一般地，在平面内，设图形（Ⅰ）与图形（Ⅱ）关于点O 成中心对称，则图形
（Ⅰ）绕点O 旋转180°的像是图形（Ⅱ），且图形（Ⅰ）上任一点P 在该旋转下的对
应点P′都在图形（Ⅱ）上. 同时，点P，O，P′在一条直线上，且点O 是线段PP′
1.3 中心对称和中心对称图形
图1. 3-2
图形（Ⅰ）与图形（Ⅱ）全等吗？
19
的中点.
于是我们可以得到中心对称的基本性质：
成中心对称的两个图形中，对应点的连线
经过对称中心，且被对称中心平分.
例
如图1. 3-3，已知△ABC，边AC 的中点为D. 作出与△ABC 关于点
D成中心对称的图形.
图1. 3-3
图1. 3-4
作法（1）如图1. 3-4，连接BD 并将其延长到B′，使得DB′ = DB，于是
点B在关于点D中心对称下的对应点是点B′；
（2）由于D 是线段AC 的中点，因此在关于点D 中心对称下，点A，C 的
对应点分别是点C，A；
（3）连接AB′，CB′，
则△CB′A是所求作的与△ABC关于点D成中心对称的图形.
画一条线段，将这条线段绕它的中点旋转180°，你会发现什么？
做一做
可以发现，将一条线段绕它的中点旋转180°，得到的像与它自身重合. 从
这个例子引出下述定义：
如果一个图形绕一个点旋转180°，所得到的像与原来的图形互相重合，那
么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作图形的对称中心.
由上可得，线段是中心对称图形，线段的中点是它的对称中心.
如何找成中心对称的
两个图形的对称中心？
若点D 在△ABC 外，
如何作出与△ABC关于点
D成中心对称的图形？
数学
八年级下册
20
思
考
平行四边形是中心对称图形吗？若是，它的对称中心是什么？
如图1. 3-5，已知▱ABCD，连接AC，
BD，AC与BD相交于点O.
由平行四边形的性质可知OA = OC，
OB = OD.
于是，点A，C，B，D 在关于点O 中心
对称下的像分别是点C，A，D，B，从而边
AB，CD，DA，BC 的像分别是边CD，AB，
BC，DA.
又AB􀱀CD，DA􀱀BC，因此，
▱ABCD 绕点O 旋转180°，它的像与自身
重合.
由此得出：
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
练
习
1
如图，四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′关于某点成中心对称，找出它们的
对称中心.
（第2题图）
（第1题图）
2 如图，分别画出△ABC关于点A和点O成中心对称的图形.
3 下图是一行英文字母，其中哪些字母可看作是中心对称图形？
（第3题图）
图1. 3-5
如何利用平行四边形
是中心对称图形来理解平
行四边形的性质？
第1章
四边形
21
习题1. 3
学而时习之
1 判断（对的画“√”，错的画“✕”）：
（1）线段AB的中点O是点A与点B的对称中心.
（
）
（2）中心对称变换是一种特殊的旋转变换.
（
）
2 已知△ABC，点D，E，F 分别为AB，AC，BC 的中点，分别以点E 和点
F为对称中心，作一个与△ADE成中心对称的图形.
3 下列图形中，哪些是中心对称图形？如果是，找出它们的对称中心.
（第3题图）
(2)
(1)
(3)
(4)
4 试举出一些生活中的中心对称图形的例子.
温故而知新
5 如图，▱ABCD 的对角线BD = 4，将▱ABCD 绕其对称中心旋转180°，求
点D转过的路径长.
（第5题图）
（第6题图）
6 用六根一样长的小棒搭成如图所示的图形，试移动AC，BC 这两根小棒，
使六根小棒搭成的图形成为中心对称图形. 若移动AC，DE 这两根小棒，
能不能也达到要求呢？（画出图形即可）
数学
八年级下册
22
前面证明平行四边形的性质定理与判定定理时，
都是先将平行四边形分割成几个三角形，然后利用
全等三角形来证明. 反过来，是否可用平行四边形
来研究三角形的有关问题呢？下面我们来试试.
如图1. 4-1，D，F，E 分别为△ABC 的边AB，
BC，AC 的中点，连接DE，DF，EF. 我们把连接
三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 于是
△ABC有三条中位线，分别是DE，DF，EF.
如图1. 4-2，DE 是△ABC 的中位线，将
△ADE 以点E 为中心，顺时针旋转180°，使
点A 和点C 重合，得到△CFE. 四边形DBCF
是平行四边形吗？此时DE 与BC 具有怎样的
位置关系和数量关系？
探
究
图1. 4-2
可以发现：DE ∥BC，且DE = 1
2 BC.
下面来证明上述发现是正确的.
如图1. 4-3，DE是△ABC的中位线.
延长DE至F，使EF = DE.
连接CF.
因为AE = CE，∠AED = ∠CEF，DE = EF，
所以△ADE ≌△CFE（边角边），
于是AD = CF，∠A = ∠ECF，
从而AB ∥FC.
1.4 三角形的中位线定理
图1. 4-3
图1. 4-1
三角形的中线与
中位线有什么区别？
23
又BD = AD = CF，
因此四边形DBCF是平行四边形.
所以DE ∥BC，DE = 1
2 DF = 1
2 BC.
由此可得三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
如图1. 4-1，DE，DF，EF是△ABC的三条中位线.
（1）三条中位线把△ABC 分成了几个小三角形？这些小三角形之间
有什么关系？
（2）以A，B，C，D，E，F 为顶点，你能找出多少个平行四边形？
并说明理由.
做一做
例
如图1. 4-4，顺次连接四边形ABCD 各边中点
E，F，G，H，得到的四边形EFGH 是平行四边形吗？
为什么？
解
连接AC.
因为EF是△ABC的中位线，
所以EF ∥AC，且EF = 1
2 AC.
又因为HG是△DAC的中位线，
所以HG ∥AC，且HG = 1
2 AC，
从而EF ∥HG，且EF = HG.
因此四边形EFGH是平行四边形.
议一议
在三角形内，与三角形两边相交，平行于第三边且等于第三边一半
的线段是三角形的中位线吗？与同学交流你的理由.
图1. 4-4
你还能用其他方法证明
三角形的中位线定理吗？
数学
八年级下册
24
练
习
1 已知△ABC 各边的长度分别为3 cm，3. 4 cm，4 cm，求连接各边中点所构
成的△DEF的周长.
2 已知△ABC的边AB，BC，CA的中点分别是D，E，F，连接DE，EF. 四
边形ADEF的周长等于线段AB与AC的和吗？为什么？
习题1. 4
学而时习之
1 在▱ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，点E，F，M，N 分别是OA，
OB，OC，OD的中点. 求证：四边形EFMN是平行四边形.
2 在▱ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，点E 是AB 的中点，OE =
3 cm，求AD的长.
温故而知新
3 如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD，AD = 6，BD =
4，CD = 3，点E，F，G，H 分别是AB，BD，CD，
AC的中点，求四边形EFGH的周长.
4 证明：过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第
三边.
5 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，斜边AB = 9，点
D 为AB 的中点，F 为CD 上的一点，且CF = 1
3 CD，过
点B作BE ∥CD交AF的延长线于点E，求BE的长.
（第3题图）
（第5题图）
第1章
四边形
25
1􀆰5􀆰1 矩形的性质
议一议
我们在小学就已经认识了长方形，从直观上看，长方形与平行四边
形之间有什么区别与联系？
长方形是平行四边形，并且有一个角是直角. 由此可引出下述定义：
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，也称为长方形.
作为一种特殊的平行四边形，矩形除了具有平行四边形的所有性质外，是
否还具有一些特殊的性质？下面我们来探索.
思
考
矩形的四个角都是直角吗？矩形的两条对角线相等吗？为什么？
如图1. 5-1，四边形ABCD是矩形，∠DAB是直角.
根据矩形的定义可知，四边形ABCD是平行四边形，
于是AD ∥BC，且AB ∥DC.
因此∠ABC=∠ADC=180°-∠DAB=90°，
∠BCD=∠DAB=90°.
由此得到矩形的性质定理1：
矩形的四个角都是直角.
如图1. 5-1，四边形ABCD是矩形，于是AB = DC.
根据矩形的性质定理1得，∠ABC = ∠DCB = 90°.
又BC = CB，
图1. 5-1
1.5 矩
形
26
所以△ABC ≌△DCB（边角边），
从而AC = DB.
由此可得矩形的性质定理2：
矩形的对角线相等.
例1
矩形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，AC = 4 cm，∠AOB =
60°，如图1. 5-2所示. 求BC的长.
解
因为四边形ABCD是矩形，
所以OA = OB = 1
2 AC = 2 cm.
又∠AOB = 60°，
所以△AOB是等边三角形.
于是AB = OA = 2 cm.
因为∠ABC = 90°，
所以在Rt△ABC中，
BC =
AC2 - AB2 =
42 - 22 = 2
3（cm）.
由于矩形是平行四边形，因此矩形是中心对称图形，对角线的交点是矩形
的对称中心.
画出一个矩形ABCD，把它剪下来，怎样折能使矩形在折痕两旁的部
分互相重合？满足这个要求的折法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形
吗？如果是，它有几条对称轴？
探
究
如图1. 5-3，矩形ABCD 的对角线相交于点O，
过点O 作直线EF ⊥BC，且分别与边BC，AD 相交
于点E，F.
由于OB = 1
2 BD = 1
2 AC = OC，
图1. 5-3
图1. 5-2
第1章
四边形
27
因此△OBC是等腰三角形，
从而直线EF是线段BC的垂直平分线.
由于AD ∥BC，因此EF ⊥AD.
同理，直线EF是线段AD的垂直平分线.
因此，点B与点C关于直线EF对称，点A和点D关于直线EF对称，从而
在关于直线EF 的轴对称下，矩形ABCD 的像与它自身重合，故矩形ABCD 是
轴对称图形，EF是它的一条对称轴.
过点O作直线MN ⊥AB，且分别与边AB，DC相交于点M，N.
同理可得，点M，N分别是边AB，DC的中点，直线MN是矩形ABCD的
一条对称轴.
由此得到：
矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.
议一议
矩形的对角线是它的对称轴吗？你的结论与同学相同吗？
练
习
1 已知矩形的一条对角线的长度为2 cm，两条对角线的一个夹角为60°，求矩
形的面积.
2 如图，四边形ABCD 为矩形，试利用矩形的性质定理证明：直角三角形斜
边上的中线等于斜边的一半.
(第2题图)
(第3题图)
3 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE ∥AC，
交DC的延长线于点E. 求证：BD = BE.
数学
八年级下册
28
1􀆰5􀆰2 矩形的判定
思
考
前面已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形，这是矩形的定
义，可以依此判定一个平行四边形是否是矩形. 如果将定义中的“平行四
边形”改成“四边形”，同时将“一个角是直角”改为“两个角（或三个
角）是直角”，可以判定它是矩形吗？为什么？
两个角是直角的四边形不一定是矩形，例如直角梯形.
三个角是直角的四边形是矩形，理由如下：
如图1. 5-4，四边形ABCD中，
∠A，∠B，∠C都是直角.
由于∠A = ∠B = ∠C = 90°，
所以∠D = 360° - ∠A - ∠B - ∠C = 90°.
因此AD ∥BC，AB ∥DC，
从而四边形ABCD是平行四边形.
又∠A = 90°，
由矩形的定义得，四边形ABCD是矩形.
由此得到矩形的判定定理1：
三个角是直角的四边形是矩形.
把两根长度相等的细木条AC 和BD 的中点
钉在一起，如图1. 5-5 所示. 连接AB，BC，
CD，DA，得到的四边形ABCD 是平行四边形
吗？是矩形吗？为什么？
探
究
图1. 5-5
四边形ABCD是平行四边形，也是矩形. 理由如下：
由于OA = OC，OB = OD，
图1. 5-4
第1章
四边形
29
所以四边形ABCD是平行四边形，
从而AB = DC，AB ∥DC.
又AC = BD，BC = CB，
所以△ABC ≌△DCB（边边边），
从而∠ABC = ∠DCB.
又由AB ∥DC得，∠ABC + ∠DCB = 180°，
于是∠ABC = 1
2 × 180° = 90°.
因此，平行四边形ABCD是矩形.
由此可得矩形的判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形.
例2
如图1. 5-6，在▱ABCD中，它的两条对角线相交于点O.
（1）如果▱ABCD是矩形，试问：△OBC是什么样的三角形？
（2）如果△OBC是等腰三角形，且OB=OC，那么▱ABCD是矩形吗？
解（1）因为▱ABCD是矩形，
所以AC与DB相等且互相平分.
于是OB = 1
2 DB = 1
2 AC = OC.
所以△OBC是等腰三角形.
（2）因为△OBC是等腰三角形，且OB = OC，
所以AC = 2OC = 2OB = BD.
因此，▱ABCD是矩形.
练
习
1
在四边形ABCD 中，∠A = ∠B = ∠C = ∠D，
求证：四边形ABCD是矩形.
2 如图，在▱ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点
O，其中M，N 是BD 上两点，且BM = DN，
AC = 2MO. 求证：四边形AMCN是矩形.
图1. 5-6
（第2题图）
数学
八年级下册
30
习题1. 5
学而时习之
1 如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 上一点，EF ⊥FC，且
EF = FC，DF = 4 cm，求AE的长.
（第1题图）
（第2题图）
2 如图，在▱ABCD 中，M 为AD 的中点，BM = CM. 求证：四边形ABCD
是矩形.
3 如图，△ABC 是直角三角形，BO 是斜边AC 上的中线，延长BO 至D，使
OD = OB，连接AD，DC. 求证：四边形ABCD是矩形.
（第3题图）
（第4题图）
4 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，点E，F，G，H 分
别是OA，OB，OC，OD 的中点，连接EF，FG，GH，HE. 求证：四边
形EFGH是矩形.
温故而知新
5 如图，在▱ABCD 中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H. 求证：
四边形EFGH是矩形.
（第5题图）
第1章
四边形
31
6 在矩形ABCD 中，AB = 3 cm，AD = 4 cm，过对角线BD 的中点O 作BD
的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F，如图所示，求AE的长.
（第6题图）
（第7题图）
7 如图，E，F 分别是矩形ABCD 的边BC，CD 上的点，连接AE，BF. 请从
条件①AB = BC，②BE = CF，③AE = BF，④∠AEB = ∠BFC中，选择
两个作为已知条件，一个作为结论，组成一个真命题，并证明这个命题
（只需写出一种情况）.
8 如图，一张四边形纸板ABCD 的两条对角线互相垂直. 若要从这张纸板中
剪出一个矩形，并使它的四个顶点分别落在四边形ABCD 的四条边上，可
怎样剪（剪法不唯一）？
(第8题图)
数学
八年级下册
32
1􀆰6􀆰1 菱形的性质
日常生活中，我们常常可以看到一些邻边相等的平行四边形，例如图1. 6-1
所示的围栏、挂衣架，其中每个平行四边形的邻边都是相等的. 这也是一种特
殊的平行四边形.
图1. 6-1
由此引出下述定义：
一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
菱形作为一种特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，也
具有一些特殊性质. 下面我们来探索.
思
考
菱形的四条边相等吗？
如图1. 6-2，菱形ABCD中，AD = AB.
由于菱形是平行四边形，
因此AD = BC，AB = DC，
从而AD = AB = BC = DC.
1.6 菱
形
图1. 6-2
33
由此得到菱形的性质定理1：
菱形的四条边相等.
由于菱形是平行四边形，因此其对角线互相平分. 除此之外，菱形的
对角线还有什么关系？
探
究
如图1. 6-3，菱形ABCD中，对角线AC，DB相交于点O.
根据菱形的性质定理1得，DA = DC，BA = BC.
根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线
上”得，点D和点B都在线段AC的垂直平分线上.
因此直线DB是线段AC的垂直平分线，
从而DB ⊥AC.
由此得到菱形的性质定理2：
菱形的对角线互相垂直.
由于菱形是平行四边形，因此菱形是中心对称图形，对角线的交点是菱形
的对称中心.
填空：
把图1. 6-3中的菱形ABCD作关于直线DB的轴对称，则
（1）点A 的像是点C，点C 的像是
，点D 的像是
，
点B的像是
；
（2）边AD 的像是边CD，边CD 的像是
，边AB 的像是
，边CB的像是
.
做一做
由上述操作可发现：菱形ABCD 关于直线DB 轴对称的像与它自身重合.
同理，菱形ABCD关于直线AC轴对称的像也与它自身重合.
由此可得：菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
图1. 6-3
数学
八年级下册
34
议一议
如图1. 6-3，菱形ABCD 的面积S 与对角线AC，BD 的长有什么关
系？将你的想法与同学交流.
因为S菱形ABCD = S△ADC + S△ABC，AC ⊥BD，
所以S菱形ABCD = 1
2 AC ⋅DO + 1
2 AC ⋅BO
= 1
2 AC ⋅（DO + BO）
= 1
2 AC ⋅BD.
例1
菱形ABCD 的两条对角线AC，BD 的长度分
别为4 cm，3 cm，如图1. 6-4 所示，求菱形ABCD 的面
积和周长.
解
菱形ABCD的面积
S = 1
2 × 4 × 3 = 6（cm2）.
在Rt△ABO中，
OA = 1
2 AC = 1
2 × 4 = 2（cm），OB = 1
2 BD = 1
2 × 3 = 1. 5（cm），
所以AB =
OA2 + OB2 =
22 + 1. 52 = 2. 5（cm）.
因此，菱形ABCD的周长为2. 5 × 4 = 10（cm）.
练
习
1
菱形ABCD 的两条对角线相交于点O. 已知AB =
5 cm，OB = 3 cm，求菱形ABCD 的两条对角线的长
度以及它的面积.
2 点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE ⊥AD于
点E，PE = 4 cm，如图所示，求点P到AB的距离.
图1. 6-4
菱形的面积等于两条
对角线长度乘积的一半.
（第2题图）
第1章
四边形
35
1􀆰6􀆰2 菱形的判定
思
考
如图1. 6-5，用4 支长度相等的铅笔首尾
相接组成一个四边形，这个四边形是菱形吗？
为什么？
图1. 6-5
图1. 6-5中的四边形是菱形. 理由如下：
如图1. 6-6，在四边形ABCD中，
AB = BC = CD = DA.
因为AD = BC，AB = DC，
所以四边形ABCD是平行四边形.
又因为AB = AD，
由菱形的定义得，四边形ABCD是菱形.
于是可得菱形的判定定理1：
四条边都相等的四边形是菱形.
例2
如图1. 6-7，在四边形ABCD 中，线段BD
垂直平分AC，且相交于点O，∠1 = ∠2. 求证：四边
形ABCD是菱形.
证明
因为线段BD垂直平分AC，
所以BA = BC，DA = DC，OA = OC.
在△AOB和△COD中，
因为∠1 = ∠2，∠AOB = ∠COD，OA = OC，
所以△AOB ≌△COD（角角边），
从而AB = CD，
因此AB = BC = CD = DA.
于是四边形ABCD是菱形.
图1. 6-6
图1. 6-7
数学
八年级下册
36
前面已经知道，菱形的两条对角线互相垂直，反过来，两条对角线互
相垂直的四边形是菱形吗？两条对角线互相垂直的平行四边形呢？
探
究
如图1. 6-8，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD，垂足为O，BO ≠OD，于是
四边形ABCD 不是平行四边形，从而四边形ABCD 不是菱形. 因此，两条对
角线互相垂直的四边形不一定是菱形.
图1. 6-8
图1. 6-9
如图1. 6-9，在▱ABCD中，AC ⊥BD，垂足为O，
则OA = OC，
于是直线BD是线段AC的垂直平分线.
根据线段垂直平分线的性质定理得，DA = DC.
于是▱ABCD是菱形.
由此可得菱形的判定定理2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
例3
如图1. 6-10，在▱ABCD 中，AC = 6，BD = 8，AD = 5. 求AB
的长.
解
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以OA = 1
2 AC = 3，OD = 1
2 BD = 4.
又因为AD = 5，满足AD2 = OA2 + OD2，
所以△DAO是直角三角形，∠DOA=90°，
即DB⊥AC.
于是▱ABCD是菱形.
因此AB = AD = 5.
图1. 6-10
第1章
四边形
37
练
习
1 画一个菱形，使它的两条对角线的长度分别为4 cm，
3 cm.
２如图，在▱ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，
过点O 作MN⊥BD，分别交AD，BC 于点M，N.
求证：四边形BNDM是菱形.
习题1. 6
学而时习之
1 菱形的对角线的交点到一组邻边的距离相等吗？为什么？
２四边形ABCD 是菱形，边长为2 cm，∠BAD = 60°，求菱形ABCD 的两条
对角线的长度以及它的面积.
３如图，在△ABC 中，AB = AC，点D，E，F 分别是边AB，BC，AC 的
中点.
（1）求证：四边形ADEF是菱形.
（2）若AB=12 cm，求菱形ADEF的周长.
(第3题图)
（第4题图）
４小明在作线段AB 的垂直平分线时，是这样操作的：如图，分别以点A，B
为圆心，以大于1
2AB的定长为半径画弧，两弧相交于C，D，连接CD，则
直线CD 即为所求. 根据他的作图方法，四边形ADBC 一定是菱形吗？试
说明理由.
5 如图，把等腰三角形ABC 绕底边AC 的中点O 旋转180°，得到△CDA，试
（第2题图）
数学
八年级下册
38
问：四边形ABCD是菱形吗？为什么？
（第5题图）
温故而知新
6 如图，在菱形ABCD中，∠ABC = 120°，作BE ⊥AD，垂足为点E. 求证：
AE = DE.
（第7题图）
(第6题图)
7 如图，点E，F 分别在▱ABCD 的边AB，BC 上，AE = CF，连接DE，
DF. 请从条件①∠1 = ∠2，②DE = DF，③∠3 = ∠4 中，选择一个作为
已知条件，使▱ABCD成为菱形.
（1）你选择的条件是
（填序号）；
（2）选择条件后，请证明▱ABCD是菱形.
8 如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，过点D 分
别作ED ∥AB，FD ∥AC，分别交AC，AB 于点
E，F.
（1）求证：△BDF ≌△DCE.
（2）在原有条件不变的情况下，如果给△ABC 添加
一个条件，使四边形AFDE 成为菱形，则该条件是
；若使四边形AFDE 成为矩形，则该条
件是
. 请选择一个结论进行证明.
（第8题图）
第1章
四边形
39
正方形是我们非常熟悉的一种平面图形，它是有一组邻边相等且有一个角
是直角的平行四边形，也可看作是一组邻边相等的矩形，或者有一个角是直角
的菱形.
根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义可得图1. 7-1，你能从
中得出正方形的性质吗？
图1. 7-1
Ꭰ= Dᒏ
9ᒏ
-ᒏᰶ̭͗
>᭜,>ᰶ̭͗
>᭜,>̭
3ED,0̭
3ED,0
 ᫦ᒏ
观
察
于是，我们可以知道正方形具有以下性质：
正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
正方形的对角线相等，且互相垂直平分.
请根据平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，在图1. 7-2中
适当的空白处填上它们的名称.
图1. 7-2
做一做
1.7 正方形
40
议一议
（1）正方形是中心对称图形吗？若是，它的对称中心是什么？
（2）正方形是轴对称图形吗？若是，它的对称轴是什么？
由于正方形既是矩形，又是菱形，因此
正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直
线都是它的对称轴.
例1
如图1. 7-3，点E 是正方形ABCD 的边AB 上
任意一点，过点D 作DF ⊥DE，交BC 的延长线于点F.
求证：DE = DF.
证明
因为四边形ABCD为正方形，
所以AD = CD，∠A = ∠DCF = 90°.
因为DF ⊥DE，
所以∠EDF = 90°，
即∠1 + ∠3 = 90°.
又因为∠2 + ∠3 = 90°，
所以∠1 = ∠2.
因此△AED ≌△CFD（角边角），
从而DE = DF.
如何判断一个四边形是正方形？
说一说
也可以先判定四边形是
菱形，再判定这个菱形有一
个角是直角.
可以先判定四边形是
矩形，再判定这个矩形有
一组邻边相等.
图1. 7-3
第1章
四边形
41
例2
如图1. 7-4，已知点A′，B′，C′，D′分别是正方
形ABCD 四条边上的点，并且AA′ = BB′ = CC′ = DD′.
求证：四边形A′B′C′D′是正方形.
证明
因为四边形ABCD是正方形，
所以AB = BC.
又因为AA′ = BB′，
所以A′B = B′C.
又因为∠B = ∠C = 90°，BB′ = CC′，
所以△BB′A′ ≌△CC′B′（边角边），
从而B′A′ = C′B′.
同理可证，△AA′D′ ≌△DD′C′，△AA′D′ ≌△BB′A′.
于是A′D′ = D′C′ = C′B′ = B′A′.
因此四边形A′B′C′D′是菱形.
又因为∠1 = ∠3，∠1 + ∠2 = 90°，
所以∠2 + ∠3 = 90°，
于是∠D′A′B′ = 90°.
因此四边形A′B′C′D′是正方形.
练
习
1 已知正方形的一条对角线长4 cm，求它的边长和面积.
2 如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么这个矩形一定是正方形吗？为
什么？
3 如图，正方形ABCD 的对角线AC 为菱形AEFC 的一边，求∠FAB 的
度数.
(第3题图)
图1. 7-4
数学
八年级下册
42
习题1. 7
学而时习之
1 如图，在正方形ABCD 的外侧作等边△DCE，连接AE，BE，求∠AEB 的
度数.
（第2题图）
（第1题图）
2 如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF ⊥AC于
点F，OG ⊥BC于点G. 求证：四边形OGCF是正方形.
温故而知新
3 如图，将正方形ABCD 的各边AB，BC，CD，DA 顺次延长至E，F，G，
H，且BE = CF = DG = AH. 求证：四边形EFGH是正方形.
（第3题图）
（第4题图）
4 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动（E，F不处在正
方形的顶点上），且点A 到EF 的距离AG 始终与AB 相等. 在E，F 移动过
程中：
（1）∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由.
（2）△ECF的周长是否发生变化？请说明理由.
第1章
四边形
43
用计算机探究中点四边形的性质
所谓“中点四边形”，是指顺次连接四边形各边中点所得的四边形. 用实
验方法可以探究中点四边形的性质.
具体步骤
1. 打开某计算机软件，点击“开始作图”，选择左侧工具栏的“点”工具，
通过取不在同一直线上的四个点绘制任意四边形ABCD，依次选择四边AB，
BC，CD，DA，构造各边的中点E，F，G，H，顺次连接四个中点得到四边
形ABCD的中点四边形EFGH.
2. 分别度量四边形EFGH 四条边的长度（如下图），你发现了什么？分别
拖动四边形ABCD 的各顶点，改变四边形ABCD 的形状，观察度量值的变化，
你发现的结论还成立吗？能说明四边形ABCD 的中点四边形EFGH 是平行四
边形吗？
m0：
|
| EF = 3. 61
m1：
|
| GH = 3. 61
m2：
|
| FG = 1. 91
m3：
|
| HE = 1. 91
实际上，通过观察可以发现，总有EF = GH，FG = HE，即四边形
EFGH的对边总相等，这说明四边形EFGH是平行四边形.
操作与思考
1. 还能用别的方法说明四边形EFGH是平行四边形吗？
2. 在上图中继续作出四边形EFGH 的中点四边形，仿照上面的方法，判
断它是什么四边形；分别拖动四边形ABCD 的各顶点，改变四边形ABCD 的
形状，观察实验现象，验证你的想法.
3. 设计实验并探究：矩形的中点四边形是什么四边形？菱形的中点四边
形是什么四边形？正方形的中点四边形是什么四边形？
4. 满足什么条件的四边形，其中点四边形是矩形、菱形或正方形呢？设
计实验验证你的想法.
数学
八年级下册
44
知识图谱
思考回顾
1. n边形的内角和公式是什么？任意多边形的外角和等于多少？
2. 平行四边形有哪些性质？如何判定一个四边形是平行四边形？
3. 梯形的定义是什么？
4. 中心对称的基本性质是什么？平行四边形、正方形是中心对称图
形吗？它们的对称中心是什么？
5. 三角形的中位线定理是什么？
6. 矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质外，分别还具有
哪些特殊性质？如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形？
7. 矩形、菱形、正方形是轴对称图形吗？若是，它们的对称轴是
什么？
小结
与评价
第1章
四边形
45
注意事项
1. 平行四边形的性质定理与判定定理是本章的重点. 注意从边、角、
对角线、对称性等方面来分析平行四边形的特征.
2. 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行
四边形的性质外，还有各自的特殊性质.
3. 不要混淆成中心对称的图形与中心对称图形. 成中心对称的图形
表示两个图形之间的对称关系，中心对称图形表示某个图形的特征.
4. 注意体会本章中的互逆命题，如平行四边形、矩形、菱形的性质
定理和判定定理.
自评互评
• 自评
通过本章的学习，你对以下几方面的学习内容掌握得怎么样？根据
自己的学习情况，点亮属于你的小星星，然后请同学和老师对你的自评
进行恰当评价.
1. 能够从实物中抽象出多边形及其相关概念
2. 知道多边形的内角和与外角和公式
3. 理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系，
知道矩形、菱形、正方形之间的包含关系
4. 能运用平行四边形、矩形、菱形的性质定理和判定定理解决问题
5. 能运用三角形的中位线定理进行推理
6. 了解中心对称、中心对称图形的概念和基本性质
7. 知道线段、平行四边形、正方形的中心对称性质
8. 能在直观理解四边形和特殊四边形的基础上，感悟从一般到特殊的数
学思想，发展几何直观能力
9. 通过四边形和特殊四边形的相关证明，进一步感悟数学表达的严谨性
和准确性，推理能力得到有效提升
数学
八年级下册
46
• 自评/互评
请完成下面两项评价，先自评再在小组内进行互相评价. 其中评价
由低到高分为1，2，3，4，5五个等级.
1. 能从日常生活中发现一些平行四边形，认识到生活中处处有数学，积
极参与探索、合作、操作等学习活动，克服困难的意志更加坚定，自
信心得到增强，创新意识得到发展
(
)/(
)
2. 基于对本章知识结构的理解，画出思维导图，并在组内展示，对自己
和同学画出的思维导图进行恰当评价
(
)/(
)
你对本章的学习及评价还满意吗？反思是一种从思维上对知识加深
理解的过程. 只有边学边思，才能使自己对知识的掌握更扎实、更全面、
更深刻！
学而时习之
1 （1）是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的4倍？
（2）是否存在一个多边形，它的每个外角都等于相邻内角的4倍？
2 填写下表，在空格中用“√”表示图形具有的性质.
性质
平行四边形
矩形
菱形
正方形
对边
相等
对边
平行
四边
相等
对角
相等
对角线互
相垂直
对角线互
相平分
对角线
相等
第1章
四边形
47
3 点E，F是▱ABCD的对角线AC上的不同两点，CE = AF，线段BE与DF
有怎样的关系？
4 如图，▱ABCD 的对角线相交于点O，EF 经过点
O，分别与边AD，BC 相交于点E，F，点M，N 分
别是线段OB，OD 的中点. 求证：四边形EMFN 是
平行四边形.
5 下列图形中不是中心对称图形的有（
）
（A）
（D）
（B）
（C）
6 如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线AC 的中点，E，F分别是AD，BC
的中点，AB=DC，∠PEF=18°，求∠EPF的度数.
（第6题图）
（第7题图）
7 如图，四边形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，且O 是AC 的中点，
点E，F在AC上，且AE = CF，DF ∥EB.
（1）求证：△BOE ≌DOF.
（2）若OD = 1
2 AC,则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由.
8 两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是
矩形吗？为什么？
9 如图，把边长为2 cm 的等边△ABC 绕边AC 的中点
O旋转180°，得到△CDA.
（1）四边形ABCD是什么样的四边形？试说明理由.
（2）求四边形ABCD的两条对角线的长度.
（3）求四边形ABCD的面积.
（第4题图）
（第9题图）
数学
八年级下册
48
10 如图，四边形ABCD 是正方形，△EBC 是等边三角形，连接AE，DE，求
∠AED的度数.
（第10题图）
温故而知新
11 一条直线将一个矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为
M和N，则M + N不可能是（
）
（A）360°
（B）540°
（C）720°
（D）630°
12 如图，在▱ABCD 中，E，F 分别是边AB，CD 上的一点，且BE = DF，
BF 与CE 相交于点M，DE 与AF 相交于点N，EF 与MN 互相平分吗？为
什么？
（第12题图）
（第13题图）
13 如图，矩形ABCD 和矩形A′B′C′D 关于点D 成中心对称. 连接AC，AC′，
A′C′，A′C，求证：四边形ACA′C′是菱形.
14 （多选题）如图，直线l1 ∥l2，点A，B 是直线l2 上两定
点，点C 是直线l1 上一动点，若点E，F 分别为CA，CB
的中点，则下列各值不随点C的移动而改变的是（
）
（A）线段EF的长
（B）△CEF的周长
（C）△CEF的面积
（D）∠ECF的大小
15 已知E，F，G，H 分别是▱ABCD 各边的中点，则四边
形EFGH 是什么四边形？若把条件中的▱ABCD 依次改
（第14题图）
第1章
四边形
49
为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形EFGH 依次是什么四边
形？试说明理由.
上下而求索
16 在梯形ABCD中，AB ∥DC，∠ADC + ∠BCD = 90°，且DC = 2AB.
（1）如图，分别以DA，AB，BC为边向梯形ABCD外作正方形，正方形的
面积分别为S1，S2，S3，请写出并证明S1，S2，S3之间的数量关系.
（2）若分别以DA，AB，BC为边向梯形ABCD外作正三角形，正三角形的
面积分别为S1，S2，S3，请写出并证明S1，S2，S3之间的数量关系.
（3）若分别以DA，AB，BC为直径向梯形ABCD外作半圆，半圆的面积分
别为S1，S2，S3，请写出并证明S1，S2，S3之间的数量关系.
（第16题图）
（第17题图）
17 如图，在正方形ABCD 中，点E 是对角线AC 上的动点（与点A，C 不重合），
连接BE. 将射线BE绕点B顺时针旋转45°，交直线AC于点F.
（1）依题意补全图形.
（2）小华通过观察、实验，发现线段AE，FC，EF 存在以下数量关系：
AE 2 + FC2 = EF2. 小华想证明这个发现成立，于是与同学们进行了交流讨
论，得到以下两种思路：
思路1：将线段BF 绕点B 逆时针旋转90°，得到线段BM，要证AE，FC，
EF之间的数量关系，只需证AE，AM，EM满足对应的数量关系即可.
思路2：将△ABE 沿BE 翻折，得到△NBE，要证AE，FC，EF 之间的数
量关系，只需证EN，FN，EF满足对应的数量关系即可.
请从上述两种思路中选择一种进行证明.
数学
八年级下册
50
对图形进行折叠与剪拼，是学习几何不可或缺的重要一环，通过折叠与剪拼图
形，我们可以发现一些几何结论并知晓这些结论是如何证明的.
说一说
任意画一个三角形，只剪一刀，所得图形能拼成一个平
行四边形吗？为什么？
例如，沿中位线剪一刀，所得图形即可拼成一个平行四
边形，如图1.
想一想
怎样把一个锐角三角形经过裁剪拼成一个矩形？
例如，如图2（1），取△ABC 边AB，AC 的中点E 和F，连接EF. 过点A 作
AD ⊥EF 于点D，把△ADE 绕点E 逆时针旋转180°，把△ADF 绕点F 顺时针旋转
180°，即可拼成矩形GBCH.
（1）
（2）
图2
按图2（2）所示的方法进行裁剪，也可拼成一个矩形.
议一议
如果△ABC是直角三角形，可以剪拼成一个矩形吗？钝角三角形呢？
将多边形剪拼成“方” 形
图1
51
想一想
如图3，已知任意四边形ABCD，如何将其剪拼成一个矩形？
图3
图4
可以按如下方法操作：
（1）如图4，分别取AB，BC，CD，DA的中点F，G，H，E.
（2）连接FG，过点B作BK⊥FG于点K；连接EH，过点D作DI ⊥EH于点I.
（3）将△DIE，△BKG 分别绕点E，G 逆时针旋转180°，分别得到△AME，
△CPG，将△BKF，△DIH 分别绕点F，H 顺时针旋转180°，分别得到△ANF，
△CQH，则新的四边形MNPQ就是所求的矩形.
类似地，可以将一些特殊的多边形剪拼成正方形.
议一议
如何将一个底边和高相等的平行四边形剪拼成一个正方形？只剪一刀够吗？把你
的结果和发现分享给同学，并说明理由.
做一做
画一个几何图形，将其进行剪拼，你能发现它的哪些性质？对这些性质，如何从
剪拼中找到证明的方法思路？以“探究×××的性质” 为题，写一篇小短文.
52
第2 章
图形与坐标
我国的围棋棋盘蕴含着丰富的传统文化. 矩形格状的围棋棋
盘上，一般有纵横各19 条线段，361 个交叉点，棋子必须落在交
叉点上.
选择一个交叉点作为原点，以两条垂直线段所在的直线建立
数轴，分别命名为x 轴，y 轴，这样就建立了平面直角坐标系.
怎样借助平面直角坐标系刻画平面内点的位置？怎样用坐标表达
平移变换、轴对称变换？本章将帮你解答上述疑惑，初步学会用
数形结合的方法分析和解决问题，从中感悟数形结合思想.
在七年级下册已经知道，数轴上的点与实数一一对应. 于是数轴上每一个
点都对应一个实数，这个实数称为这个点在数轴上的坐标. 因此，若知道数轴
上一个点的坐标，则这个点在数轴上的位置就确定了.
这就启发我们，一条直线上的点的位置，可用数轴上的点的坐标来描述.
如何描述平面上任意点的位置呢？
观
察
图2. 1-1是某教室部分座位的平面示意图，如何确定小楠的位置？
第5排
第4排
第3排
第2排
第1排
图2. 1-1
小楠
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第6列
第7列
讲台
由图可知，小楠坐在第4 列第2 排. 假设我们约定“列数在前，排数在
后”，则可以按此方法确定教室里每名同学的位置.
上面的例子启发我们，为了确定物体在平面
上的位置，可以用一对有顺序的实数（简称为有序
实数对）来表示. 例如，小楠在教室里的位置可以
简单地记作（4，2）.
思
考
如何用有序实数对来表示平面上任一点的位置？
2.1 平面直角坐标系
（4，2）与（2，4）是
同一位置吗？
54
从小楠座位的例子可以看到，第4 列是从横向来数的，第2 排是从纵向来
数的. 这启发我们，用有序实数对表示平面上任一点M 的位置，可按以下步
骤进行：
第一步，在平面上另选一点O，过点O 画两条互相垂直的数轴，其中一
条叫横轴（通常称为x 轴），另一条叫纵轴（通常称为y 轴），点O 是这两条数轴
的公共原点.
其中，取向右为横轴正方向，向上为纵轴正方向，并且横轴与纵轴的单位
长度通常取一样的长度（有时也可以取不同长度）.
这样就建立了一个平面直角坐标系，记作xOy，其中点O 称为平面直角坐
标系的原点，如图2. 1-2所示.
图2. 1-2
第二步，过点M 作x 轴的垂线，与x 轴相
交于点C；再过点M 作y轴的垂线，与y轴相交
于点D. 如图2. 1-2，若点C 在x 轴上表示-4，
点D在y轴上表示5，则（-4，5）就表示点M 的
位置，并称（-4，5）为点M 的坐标，其中-4
称为横坐标，5称为纵坐标.
反之，为了找出坐标为（4，2）的点，在x 轴上找到表示4 的点A，过点A
作x 轴的垂线，再在y 轴上找到表示2 的点B，过点B 作y 轴的垂线. 这两条垂
线的交点P就是坐标为（4，2）的点.
综上所述，在建立平面直角坐标系后，平面上的点与有序实数对一一
对应.
若以点M 为原点建立
平面直角坐标系，则点M
的坐标是多少？
第2章
图形与坐标
55
在平面直角坐标系中，两条坐标轴（即横轴和纵轴）把平面分成如图2. 1-3
所示的Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，我们把这四个区域分别称为第一、二、三、
四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限.
图2. 1-3
议一议
x轴和y轴上的点的坐标分别有什么特征？
例1 （1）如图2. 1-4，写出平面直角坐标系
中点A，B，C，D，E，F的坐标.
（2）在平面直角坐标系中，描出下列各点，并
指出它们分别在哪个象限.
P（5，4），Q（-3，4），M（-4，-1），
N（2，-4）.
解（1）由图2. 1-4 可知，所求各点的坐标
分别为：
A（3，4），B（-4，3），C（-3，0），
D（-2，-4），E（0，-3），F（3，-3）.
（2）如图2. 1-4，先在x轴上找到表示5的点，再在y轴上找出表示4的点，
过这两个点分别作x轴、y轴的垂线，两垂线的交点就是点P.
类似地，可以找到点Q，M，N的位置，如图所示.
由图可知，点P在第一象限，点Q在第二象限，点M 在第三象限，点N在
第四象限.
图2. 1-4
数学
八年级下册
56
填写下表：
点的位置
在第一象限
在第二象限
在第三象限
在第四象限
横坐标符号
纵坐标符号
根据上表，概括出平面直角坐标系中四个象限的点的坐标特征.
做一做
练
习
1 平面直角坐标系xOy如图所示.
（第1题图）
（1）写出点A，B，C，D，E的坐标；
（2）描出点P（-2，- 1），Q（3，- 2），S（2，5），T（-4，3），并指出各点分
别在哪个象限.
2 在平面直角坐标系中，已知点P 在第四象限，距离x轴2个单位长度，距离
y轴3个单位长度.
（1）画出一个平面直角坐标系，并在坐标系中描出点P的位置；
（2）写出点P的坐标.
第2章
图形与坐标
57
思
考
图2. 1-5 是某中学的校区平面示意图
（小方格的边长为1 个单位长度），试建立适
当的平面直角坐标系，用坐标分别表示校
门、图书馆、花坛、体育场、教学大楼、国
旗杆、实验楼和体育馆的位置.
图2. 1-5
如图2. 1-6，以校门所在位置为原点，分
别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，建
立平面直角坐标系xOy.
此时，校门的位置为（0，0），图书馆的位
置为（3，1），花坛的位置为（3，4），体育场的
位置为（4，7），教学大楼的位置为（0，7），国
旗杆的位置为（0，3），实验楼的位置为（-4，
6），体育馆的位置为（-3，2）.
若以国旗杆所在位置为原点建立平面直角坐标系，则校区内各建筑
物的坐标会发生变化吗？若发生变化，试写出此时各点的坐标.
做一做
例2
根据以下条件画一幅示意图，并分别标出学校、书店、电影院、汽
车站的位置.
（1）从学校向东走500 m，再向北走450 m到书店.
（2）从学校向西走300 m，再向南走300 m，最后向东走50 m到电影院.
（3）从学校向南走600 m，再向东走400 m到汽车站.
图2. 1-6
数学
八年级下册
58
解
如图2. 1-7，以学校所在位置为原点，分
别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，建立平
面直角坐标系xOy，规定1个单位长度代表100 m.
根据已知条件可得，书店位于点A（5，4. 5）
处，电影院位于点B（-2. 5，-3）处，汽车站位于
点C（4，-6）处.
在日常生活中，除了可以用平面直角坐标系刻
画物体之间的位置关系外，有时还可借助方向和距
离（或称方位）来刻画两物体的相对位置.
（1）如图2. 1-8，小婷家距学校1 000 m，如
何用方向和距离来描述小婷家相对于学校的位置？
（2）反过来，学校相对于小婷家的位置应怎
样用方向与距离来描述呢？
ᄼ
图2. 1-8
议一议
（1）小婷家在学校北偏西60°的方向上，与学校
的距离为1 000 m. （2）反过来，学校在小婷家南偏
东60°的方向上，与小婷家的距离为1 000 m.
像北偏西60°、南偏东60°这样的角称为方位角.
例3
如图2. 1-9，12 时某渔政船在某海
岛（C 处）正南方向、距海岛30 海里的A 处. 渔
政船以每小时20海里的速度向东航行，14时到
达B 处，并测得海岛的方向是北偏西53°8′. 那
么此时渔政船相对于海岛的位置怎样描述呢？
解
如图2. 1-9，连接AB，BC，AC，
"ᇈ
图2. 1-9
图2. 1-7
你能说出一些
方位角吗？试一试.
第2章
图形与坐标
59
则△ABC是直角三角形，∠CAB = 90°.
在Rt△ABC中，
因为AC = 30海里，AB = 20 × 2 = 40（海里），
所以BC =
AC2 + AB2 =
302 + 402 = 50（海里）.
由于在点B处测得海岛在北偏西53°8′的方向上，
则∠BCA = 53°8′.
故此时，渔政船在海岛南偏东53°8′的方向上，距海岛50海里的位置.
练
习
1 如图是某动物园的部分平面示意图，其中小方格边长为1个单位长度. 试建
立适当的平面直角坐标系，用坐标分别表示大门、百鸟园、大象馆、狮子
馆和猴山的位置.
2 如图，若每个小方格的边长表示50 m，借助量角器回答下列问题：
（1）猴山在大门的北偏西
°的方向上，到大门的距离为
m.
（2）百鸟园在狮子馆的南偏东
°的方向上，到狮子馆的距离为
m.
（3）大象馆在大门的北偏东
°的方向上，到大门的距离为
m.
（第1，2题图）
（第3题图）
3 为发展海洋经济，保护海洋生态环境，某单位派遣一艘海洋科考船对某海
域进行考察. 如图，已知该科考船在O点用声呐发现了几群鲸鱼，若规定1
个单位长度代表10 km，试用适当的方法来表示A，B，C，D，E 这5 个目
标鲸鱼群相对于点O的位置.
数学
八年级下册
60
习题2. 1
学而时习之
1
如图，写出平面直角坐标系中点A，B，C，
D，E，F的坐标.
2 建立平面直角坐标系，描出下列各点，并指出
它们分别在哪个象限或哪条坐标轴上.
A（1，3），B（-2，1），C（3，-4），
D（-4，-2），E（-3，0），F（0，-5）.
3 如图，象棋棋盘上的“帅”位于点（1，-2），
“炮”位于点（-2，1），则“相”位于点（
）
（A）（2，-2）
（B）（2，-1）
（C）（3，-2）
（D）（3，-1）
4 如图是某县的局部平面示意图，每个小方格的边长表示3 km.
（1）借助量角器，描述各镇相对于城关镇的位置. 如果以C镇为参照点呢？
（2）分别以城关镇和C镇为原点建立平面直角坐标系，写出各镇的坐标.
（第4题图）
5 根据以下条件画一幅示意图，并分别标出校门、李明家、王强家、张英家
的位置：
（第3题图）
（第1题图）
第2章
图形与坐标
61
李明出校门向东走200 m，再向北走400 m就到家了；
王强出校门向西走300 m，再向北走450 m也到家了；
张英出校门向东走300 m，再向南走250 m到家.
温故而知新
6 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，3），若有一个直角
三角形与Rt△AOB 全等，且OB 是它们的公共边，试写出这个直角三角形
的顶点坐标.
（第6题图）
7 在平面直角坐标系中，有一点P（-m + 1，2m - 6），试求满足下列条件的
m的值或取值范围：
（1）点P在x轴上；
（2）点P在第三象限；
（3）点P到y轴的距离是1.
数学
八年级下册
62
v
如图2. 2-1，已知正方形ABCD的边长为6.
（1）如果以点B 为原点，以BC 所在直线为x 轴，
建立平面直角坐标系，那么y轴是哪条直线？写出正方
形的顶点A，B，C，D的坐标.
（2）如果以正方形的对称中心为原点，建立平面
直角坐标系，写出正方形的顶点A，B，C，D的坐标.
做一做
图2. 2-1
（1）如图2. 2-2，以点B 为原点，分别以BC，AB 所在直线为x 轴、y 轴，
建立平面直角坐标系，规定1个单位长度为1，此时点B的坐标为（0，0）.
因为AB=6，BC=6，可得点A，C，D的坐标分别为A（0，6），C（6，0），
D（6，6）.
图2. 2-2
图2. 2-3
（2）如图2. 2-3，以正方形的对称
中心O 为原点，分别以过点O 且垂直
两组对边的两条对称轴为x 轴、y 轴，
建立平面直角坐标系，规定1个单位长
度为1. 此时，点A，B，C，D 的坐标
分别为A（-3，3），B（-3，-3），C（3，-3），D（3，3）.
2.2 简单图形的坐标表示
平面直角坐标系的构建不同，
则点的坐标也不同. 在建立平面直
角坐标系时，应使点的坐标简明.
63
例1
如图2. 2-4，矩形ABCD 的长和宽分别为8 和6，试建立适当的平面
直角坐标系，写出矩形ABCD各顶点的坐标，并作出矩形ABCD.
图2. 2-4
图2. 2-5
解
如图2. 2-5，以点B 为原点，分别以BC，AB 边所在直线为x 轴、y
轴，建立平面直角坐标系，规定1个单位长度为1，则点B 的坐标为（0，0）.
因为BC = 8，AB = 6，
于是，点A，C，D的坐标分别为A（0，6），C（8，0），D（8，6）.
依次连接点A，B，C，D，则图2. 2-5 中的四边形ABCD 就是所求作的
矩形.
在例1中，还可以怎样建立平面直角坐标系？与同学交流你的想法.
议一议
例2
图2. 2-6 是一个机器零件的尺寸规格示意图，试建立适当的平面直
角坐标系，写出其各顶点的坐标，并作出这个示意图.
图2. 2-6
图2. 2-7
解
过点D 作AB 的垂线，垂足为点O，以点O 为原点，分别以AB，DO
所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图2. 2-7.
数学
八年级下册
64
规定1 个单位长度为100 mm，则四边形ABCD 的顶点坐标分别为：
A（-1，0），B（4，0），C（3，2），D（0，2）.
依次连接点A，B，C，D，则图2. 2-7 中的四边形ABCD 即为所求作的
图形.
练
习
1 如图，Rt△ABC 的两直角边AB，BC 的长分别为6，5，试建立适当的平面
直角坐标系，用坐标表示Rt△ABC各顶点的位置.
（第1题图）
（第2题图）
2 如图是在方格纸中画出的船，试建立适当的平面直角坐标系，写出其各顶
点的坐标.
习题2. 2
学而时习之
1 已知等腰△ABC 的底边BC 的长为6，腰长为5，试建立适当的平面直角坐
标系，写出等腰△ABC各顶点的坐标.
2 在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组的点顺次连接起来.
（1）（4，1），（9，1），（9，5），（4，5），（4，1）；
（2）（4，5），（9，5），（6. 5，7），（4，5）；
（3）（9，2），（10，2），（9，3）；
（4）（10，2），（11，3），（10，4），（9，3）；
（5）（4，1），（4，3），（3，4），（3，2），（4，1）；
（6）（3，3），（3，4），（2，4），（3，3）.
第2章
图形与坐标
65
观察所得的图形，你觉得它像什么？
（第2题图）
温故而知新
3 如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC = 45°.
（1）试建立适当的平面直角坐标系，写出菱形ABCD各顶点的坐标.
（2）若要计算出该菱形的面积，你有什么办法？
（第3题图）
（第4题图）
4 如图是一片枫叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，
B 两点的坐标分别为（-2，2），（-3，0），求叶柄“底部”点C的坐标.
数学
八年级下册
66
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图2. 3-1
如图2. 3-1，在平面直角坐标系中，点A
的坐标为（3，2）. 分别作出点A 关于x轴、y轴
的对称点A′，A″，写出它们的坐标，并分析点
A与点A′之间，点A与点A″之间的坐标关系.
思
考
运用轴对称的基本性质画图，可以得到：A′（3，-2），A″（-3，2）. 又点
A的坐标为（3，2），由它们的坐标可以得到下表：
变换
关于x轴对称
关于y轴对称
横坐标
不变
互为相反数
纵坐标
互为相反数
不变
在平面直角坐标系中，点P（a，b）关于x 轴的对称点的坐标为（a，-b），
关于y轴的对称点的坐标为（-a，b）.
如图2. 3-2，在平面直角坐标系
中，△ABC 的顶点坐标为A（2，4），
B（1，2），C（5，2）.
（1）作出△ABC关于y轴的对称图
形，并写出其顶点坐标；
（2）作出△ABC关于x轴的对称图
形，并写出其顶点坐标.
做一做
图2. 3-2
2.3 轴对称和平移的坐标表示
点P（a，b）关于原点中心
对称的点的坐标是什么？
67
（1）如图2. 3-3，分别作出点A，B，C 关
于y 轴的对称点A1，B1，C1，并连接这三点，
则△A1B1C1即为所求作的图形.
由于△ABC 的顶点A（2，4）关于y 轴的对称
点的坐标为A1（-2，4），顶点B（1，2）关于y 轴
的对称点的坐标为B1（-1，2），顶点C（5，2）关
于y 轴的对称点的坐标为C1（-5，2），因此
△A1B1C1的顶点坐标为A1（-2，4），B1（-1，2），
C1（-5，2）.
（2）采取类似（1）的作法，可作出△ABC 关于x 轴的对称图形△A2B2C2，
其顶点坐标为A2（2，-4），B2（1，-2），C2（5，-2）.
例1
如图2. 3-4，求出折线OABCD 的端点和各转折点的坐标以及它们关
于y 轴的对称点O′，A′，B′，C′，D′的坐标，并将点O′，A′，B′，C′，D′依次
用线段连接起来.
图2. 3-5
图2. 3-4
解
由图2. 3-4 可得，折线OABCD 的端
点和各转折点的坐标分别为O（0，0），A（2，
1），B（3，3），C（3，5），D（0，5），
因而它们关于y 轴的对称点的坐标分别
是O′（0，0），A′（-2，1），B′（-3，3），C′（-3，
5），D′（0，5）.
将各点依次连接起来，得到图2. 3-5.
如果要在平面直角坐标
系中画一个轴对称图形，怎
样画较简便？
图2. 3-3
数学
八年级下册
68
练
习
1 填空：
（1）点B（2，-3）关于x轴的对称点的坐标是
；
（2）点A（-5，3）关于y轴的对称点的坐标是
.
2 已知矩形ABCD 各顶点的坐标为A（-7，-2），B（-7，-5），C（-3，-5），
D（-3，-2），以y 轴为对称轴作轴对称，矩形ABCD 的像为矩形A′B′C′D′，
求矩形A′B′C′D′的顶点坐标.
3 （1）如果点A（-4，a）与点A′（-4，-2）关于x轴对称，求a的值.
（2）如果点B（-2，2b + 1）与点B′（2，3）关于y轴对称，求b的值.
图2. 3-6
如图2. 3-6，在平面直角坐标系中，
A（1，2）分别沿坐标轴方向作以下变换，
试作出点A的像，并写出像的坐标.
（1）点A 向右平移4个单位长度，像为
点A1；
（2）点A 向左平移3个单位长度，像为
点A2；
（3）点A 向上平移2个单位长度，像为
点A3；
（4）点A 向下平移4个单位长度，像为
点A4.
做一做
利用平移的基本性质可知，
A1（5，2），A2（-2，2），A3（1，
4），A4（1，-2）.
又点A 的坐标为（1，2），
观察上述五个点的坐标，可以
得到右表.
变换
向右平移4个单位长度
向左平移3个单位长度
向上平移2个单位长度
向下平移4个单位长度
横坐标
加4
减3
不变
不变
纵坐标
不变
不变
加2
减4
第2章
图形与坐标
69
一般地，在平面直角坐标系中，将点P（a，b）向右或向左平移k 个单位长
度，其像的坐标为（a + k，b）或（a - k，b）；将点P（a，b）向上或向下平移k 个
单位长度，其像的坐标为（a，b + k）或（a，b - k）.
思
考
如图2. 3-7，线段AB 的两个端点坐标
分别为A（1，1），B（4，4）.
（1）将线段AB 向上平移2 个单位长
度，作出它的像A′B′，并写出点A′，B′的
坐标；
（2）若点C（x，y）是平面内的任一点，
在上述平移下，像点C′（x′，y′）与点C（x，
y）的坐标之间有什么关系？
图2. 3-7
（1）将线段AB向上平移2个单位长度，则线段AB上每一个点都向上平移
了2个单位长度，由点A，B的坐标可知，其像的坐标是A′（1，3），B′（4，6）.
连接点A′，B′，所得线段A′B′即为所求作的像，如图2. 3-7所示.
（2）同理可求出，像点C′与点C之间的坐标关系为
ì
í
î
x′ = x,
y′ = y + 2.
例2
如图2. 3-8，△ABC的顶点坐标
为A（3，3），B（2，1），C（5，1）.
（1）将△ABC 向下平移5 个单位长
度，作出它的像，并写出像的顶点坐标；
（2）将△ABC 向左平移7 个单位长
度，作出它的像，并写出像的顶点坐标.
分析
将△ABC 向下或向左平移k
个单位长度，则根据平移的性质可知，
△ABC 上的每一个点都向下或向左平移k
图2. 3-8
数学
八年级下册
70
个单位长度，于是可求出顶点A，B，C 的像的坐标，作出这些像点，依次连
接它们，即可得到△ABC 的像.
解（1）将△ABC 向下平移5 个单位长度，则横坐标不变，纵坐标减5.
由点A，B，C的坐标可知，其像的坐标分别是A1（3，-2），B1（2，-4），C1（5，
-4）. 依次连接点A1，B1，C1，即可得△ABC的像△A1B1C1，如图2. 3-9.
（2）将△ABC 向左平移7 个单位长度，则横坐标减7，纵坐标不变. 由点
A，B，C 的坐标可知，其像的坐标分别是A2（-4，3），B2（-5，1），C2（-2，
1）. 依次连接点A2，B2，C2，即可得△ABC的像△A2B2C2，如图2. 3-9.
图2. 3-9
练
习
1 填空：
（1）点A（-1，2）向右平移2 个单位长度，它的
像是点A′
；
（2）点B（2，-2）向下平移3 个单位长度，它的
像是点B′
.
2 如图，线段AB 两个端点的坐标为A（-2，-2），
B（2，2），点C（x，y）是平面内的任一点. 将线
段AB 和点C 均向下平移3 个单位长度，分别得
到它们的像是线段A′B′和点C′（x′，y′）. 试写出点
A′，B′，C′的坐标，点C′与点C 的坐标之间有什
么关系？
（第2题图）
第2章
图形与坐标
71
3 如图，正方形ABCD 的顶点坐标为A（2，2），
B（2，-2），C（6，-2），D（6，2），将正方形
ABCD 向左平移4 个单位长度，作出它的像，
并写出像的顶点坐标.
如图2. 3-10，△ABC 的顶点坐标
为A（-4，-1），B（-5，-3），C（-2，
-4）.
将△ABC 向右平移7 个单位长度，
得到它的像△A1B1C1；再向上平移
5 个单位长度，得到△A1B1C1 的像
△A2B2C2.
将△ABC 沿射线AA2 的方向平移
线段AA2 的长度，则△ABC 的像是
△A2B2C2吗？
探
究
图2. 3-10
如图2. 3-11，由于△ABC 的顶点坐
标为A（-4，-1），B（-5，-3），C（-2，
-4），于是将△ABC 向右平移7 个单位长
度，则其像的顶点坐标为A1（3，-1），
B1（2，-3），C1（5，-4）.
将△A1B1C1 向上平移5 个单位长度，
则其像的顶点坐标为A2（3，4），B2（2，
2），C2（5，1）.
将△ABC 沿射线AA2 的方向平移线
段AA2 的长度，则点A（-4，-1）的像是
点A2（3，4）.
比较点A 与点A2 的坐标可发现，点A2 的横坐标等于点A 的横坐标加7，
图2. 3-11
（第3题图）
数学
八年级下册
72
点A2的纵坐标等于点A 的纵坐标加5，
于是，在这个平移下，平面内任一点P（x，y）与其像点P′（x′，y′）的坐标
之间有如下关系：
ì
í
î
x′ = x + 7,
y′ = y + 5.
按照这个关系，点B（-5，-3）平移所得像的坐标为（2，2），即为点B2；
点C（-2，-4）平移所得像的坐标为（5，1），即为点C2.
因此，△ABC的像是△A2B2C2.
例3
如图2. 3-12，四边形ABCD 四
个顶点的坐标为A（1，2），B（3，1），C（5，
2），D（3，4）.
将四边形ABCD 先向下平移5 个单位
长度，再向左平移6 个单位长度，它的像
是四边形A′B′C′D′.
（1）写出四边形A′B′C′D′的顶点坐
标，并作出该四边形.
（2）四边形A′B′C′D′可看作是将四边
形ABCD 怎样平移得到的？
解（1）四边形ABCD 先向下平移5 个单位长度，再向左平移6 个单位长
度，在这两个平移下，平面内任一点P（x，y）与其像点P′（x′，y′）的坐标有如下
关系：
ì
í
î
x′ = x - 6,
y′ = y - 5.
按照这个关系，由点A，B，C，D 的坐标可知，像点的坐标分别是
A′（-5，-3），B′（-3，-4），C′（-1，-3），D′（-3，-1）. 依次连接点A′，B′，
C′，D′，即得四边形A′B′C′D′，如图2. 3-12所示.
（2）将四边形ABCD 沿射线AA′的方向平移线段AA′的长度，则可得四边
形A′B′C′D′.
图2. 3-12
第2章
图形与坐标
73
练
习
如图，菱形ABCD 四个顶点的坐标为
A（4，7），B（2，4），C（4，1），D（6，
4）. 将菱形ABCD 先向下平移3 个单
位长度，得到像A′B′C′D′，再将菱形
A′B′C′D′向左平移6 个单位长度，得到
像A″B″C″D″. 分别写出菱形A′B′C′D′
与菱形A″B″C″D″的顶点坐标，并作出
图形.
习题2. 3
学而时习之
1 如图，以x 轴为对称轴作轴对称变换，画出Rt△ABC 在该轴对称变换下的
像，并写出像与原像的顶点坐标.
（第1题图）
（第2题图）
2 如图，三架飞机A，B，C 保持编队飞行（飞机之间的距离保持不变），它们
现在的坐标分别为A（4，-2），B（2，-5），C（6，-5）. 1 min 后，飞机A 飞
到A′位置，此时飞机B，C分别飞到什么位置呢？写出这三架飞机在新位置
的坐标.
数学
八年级下册
74
3
如图，矩形ABCD 的顶点坐标是
A（-5，-3），B（-3，-5），C（-2，
-4），D（-4，-2）.
将矩形ABCD
先向右平移8 个单位长度，再向上
平移4 个单位长度，它的像是矩形
A′B′C′D′. 写出矩形A′B′C′D′的顶点
坐标，并画出该矩形.
4 △ABC 的顶点坐标为A（-4，-2），
B（-5，- 4），C（0，- 4）. 作一个平
移，平面内任意一点P（x0，y0）的像是点P′（x0 + 7，y0 + 6），△ABC
的像是△A′B′C′，求△A′B′C′三个顶点A′，B′，C′的坐标.
温故而知新
5 如图，四边形A′B′C′D′可以由四边形
ABCD 经过怎样平移得到？对应点的
坐标有什么关系？
6 如图，在平面直角坐标系中，一动点
从原点O 出发，按向上、向右、向
下、向右的方向依次平移，每次移动
1 个单位长度，依次得到点A1（0，1），
A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），… ，
求点A2 032，A2 033，A2 034，A2 035的坐标.
（第6题图）
（第3题图）
（第5题图）
第2章
图形与坐标
75
知识图谱
思考回顾
1. 如何建立平面直角坐标系？建立平面直角坐标系后，如何确定给
定点的坐标？如何根据坐标描出点的位置？平面上的点与有序实数对有
什么关系？
2. 在平面直角坐标系中，四个象限中的点与坐标轴上的点的坐标分
别有什么特征？
3. 举例说明如何用方位角和距离刻画平面上两个物体的相对位置.
4. 画一个正方形，建立适当的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标.
5. 在平面直角坐标系中，点P（a，b）关于x 轴的对称点的坐标是什
么？关于y轴的对称点的坐标是什么？
6. 在平面直角坐标系中，点P（a，b）向右（或向左）平移k 个单位长
度，点P 的像点Q 的坐标是什么？再向上（或向下）平移k个单位长度，点
Q的像的坐标是什么？
注意事项
小结
与评价
1. 同一个点，在不同的平面直角坐标系中，其坐标不相同，所以我
们说一个点的坐标，都是对某一个确定的坐标系来说的.
2. 平面直角坐标系是沟通代数与几何的桥梁，建立平面直角坐标系
数学
八年级下册
76
后，平面上的点与有序实数对一一对应.
3. 数形结合能帮助我们更好地理解变换的坐标表示和变换下图形的
位置变化.
自评互评
• 自评
通过本章的学习，你对以下几方面的学习内容掌握得怎么样？根据自己
的学习情况，点亮属于你的小星星，然后请同学和老师对你的自评进行恰当
评价.
1. 理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系
2. 理解平面上点与坐标之间的一一对应关系
3. 在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置
4. 能用坐标描述简单几何图形的位置
5. 会用坐标表达简单图形沿坐标轴的平移
6. 进一步体会数形结合思想，感悟平面直角坐标系是沟通代数与几何的
桥梁
7. 经历借助平面直角坐标系解决现实问题的过程，发展推理能力和运算
能力，增强应用意识和创新意识
• 自评/互评
请完成下面两项评价，先自评再在小组内进行互相评价. 其中评价由低
到高分为1，2，3，4，5五个等级.
1. 能通过对一个平面上的物体位置的刻画，感悟数学和生活的密切联系，
对数学的价值有进一步的认识. 积极参与课堂讨论，善于思考，勇于
质疑
(
)/(
)
2. 基于对本章知识结构的理解，画出思维导图，并在组内展示，对自己
和同学画出的思维导图进行恰当评价
(
)/(
)
第2章
图形与坐标
77
你对本章的学习及评价还满意吗？要学好数学，就要经常回顾梳理
所学知识，并对其进行系统的整理.
复习题2
学而时习之
1 建立平面直角坐标系，描出下列各点，并指出这些点的位置规律，同时再
找出一些类似的点.
（1）A（-3，-3），
（2）B（-2，-2），
（3）C（-1，-1），
（4）D（0，0），
（5）E（1，1），
（6）F（2，2）.
2 如图是某城市的局部区域示意图，其中每个小方格的边长为1个单位长度.
（1）建立合适的平面直角坐标系；
（2）根据建立的平面直角坐标系，选择三个建筑物，用坐标表示其位置.
（第2，3题图）
3 如图，若每个小方格的边长表示100 m，借助量角器回答下列问题：
（1）地铁站在体育馆的北偏东
°的方向上，与体育馆的距离为
m；
（2）电影院在百货商场的南偏东
°的方向上，与百货商场的距离为
m；
（3）第一中学在体育馆的南偏西
°的方向上，与体育馆的距离为
m.
数学
八年级下册
78
4 如图，已知A（-3，5）及B（-3，-3）是
正方形ABCD 的两个顶点. 正方形与x
轴相交于点P 和Q，与y 轴相交于点R
和S.
（1）求点C，D，P，Q，R，S的坐标；
（2）求矩形ABSR 与矩形RSCD 的周长
之差.
5
在平面直角坐标系中描出A（2，1），
B（0，-3），C（4，-4）三点，依次连接
各点得到△ABC，分别作出△ABC 关
于x 轴和y 轴对称的图形，并写出它们
的顶点坐标.
6 如图，将△ABC 先向左平移7 个单位长
度，再向上平移8 个单位长度，它的像
是△A′B′C′，写出△A′B′C′的顶点坐标，
并作出该图形.
温故而知新
7 △ABC的顶点坐标为A（6，6），B（-3，3），C（3，3），求△ABC的面积.
8 如图，将正五边形ABCDE 放入某平面直角坐标系后，
其顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（-3，2），
（b，c），（-b，c），则点E的坐标是（
）
（A）（2，-3）
（B）（2，3）
（C）（3，2）
（D）（3，-2）
9 在平面直角坐标系中，以A（3，5），B（1，1），C（4，1）三点为顶点画平行四
边形.
（第4题图）
（第6题图）
（第8题图）
第2章
图形与坐标
79
（1）可以画多少个平行四边形？
（2）写出平行四边形第四个顶点D 的
坐标，并指出它所在的象限.
10 如图，将四边形ABCD 各顶点的横坐
标、纵坐标分别乘-1，得到的图形与
原图形之间有什么关系？作出坐标变化
后的图形，这一过程可以看作是一个什
么变换？
上下而求索
11 在平面直角坐标系中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“友好距
离”，给出以下定义：
若
|
| x1 - x2 ≥
|
| y1 - y2 ，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“ 友好距离”
为
|
| x1 - x2 ；
若
|
| x1 - x2 <
|
| y1 - y2 ，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“ 友好距离”
为
|
| y1 - y2 .
已知点A(
)
- 3
2 ，0 ，B为y轴上的一个动点.
（1）若点A与点B的“友好距离”为3，求满足条件的点B的坐标；
（2）求点A与点B的“友好距离”的最小值.
（第10题图）
数学
八年级下册
80
数学
文化
笛卡儿与坐标系
笛卡儿，1596 年生于法国，是欧洲近代哲学的奠基人，同时也是一
位勇于探索的科学家，被誉为“近代科学的始祖”.
笛卡儿
我思故我在.
笛卡儿对数学最重要的贡献是创立了解析几何这一学科. 他明确批
评希腊人的几何过于抽象，而且过多地依赖于图形，以致“它只能使人
在想象力大大疲乏的情况下，去练习理解力”. 他对当时通行的代数也加
以批评，说它完全受法则和公式的控制，以至于“成为一种充满混杂与
晦暗、故意用来阻碍思想的艺术,而不像一门改进思想的科学”. 他因此主
张采取代数和几何中一切最好的东西，互相以长补短.
笛卡儿在《方法谈》一书的附录《几何学》中，叙述了一种由两条
直线组成的斜角坐标系，并利用它来研究几何问题. 后来，这种坐标系发
展为直角坐标系，即我们现在所称的笛卡儿坐标系.
笛卡儿向世人表明：几何问题不仅可以归结为代数形式，而且可以
通过代数变换来发现、证明几何性质，反之亦然. 解析几何的出现，改
变了自古希腊以来代数和几何相分离的趋向，把相互对立着的“数”与
“形”统一起来，使几何曲线与代数方程建立起联系. 笛卡儿的这一创
举，为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域.
第2章
图形与坐标
81
第3 章
一次函数
在自然现象和日常生活中，你经常会遇到一个量随另一个量
的变化而变化的现象. 例如，某地一天的气温随时间的变化而变
化；匀速运转的摩天轮，其座舱与地面的距离随运行时间的变化
而变化.
为刻画变量之间的数量关系及变化规律，你将学习一种新的
数学模型——函数. 如何定义并表示函数？特别地，还要学习一
种刻画均匀变化的函数——一次函数，其图象有什么特征？如何
建立一次函数模型来解决现实生活中的问题？一次函数与二元一
次方程之间有什么关系？本章将主要学习这些内容.
3􀆰1􀆰1 变量与函数
思
考
（1）图3. 1-1 是某气象站用自动温度记录仪描出的某一天的气温曲
线，当天的气温T随时间t的变化而变化吗？
图3. 1-1
（2）研究者研究声音在空气中传播的速度（简称声速）与气温之间的关
系时，通过实验得到了几组气温x与声速y对应的数值：
x/℃
y/（m/s）
-10
325. 36
-5
328. 36
0
331. 36
5
334. 36
10
337. 36
15
340. 36
20
343. 36
由上表可以发现，声速随气温的变化而变化吗？
（3）某型无人机以120 km/h 的速度做匀速飞行，则其飞行的路程
y（km）与飞行时间x（h）之间的关系式为y = 120x. 该型无人机飞行的路程
随飞行时间的变化而变化吗？
（4）上述三个问题中，哪些量是变化的？哪些量是不变的？
（1）由图3. 1-1可知，当天的气温T随着时间t的变化而变化.
（2）由上表可知，声速y随气温x的变化而变化.
3.1 函数的概念和表示法
83
（3）由y = 120x可知，飞行的路程y随飞行时间x的变化而变化.
（4）问题（1）中时间t、气温T，问题（2）中气温x、声速y，问题（3）中飞行
时间x、飞行的路程y 等都是会发生变化的量. 问题（3）中无人机匀速飞行的速
度是固定不变的量.
在讨论的问题中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为
常量（或常数）.
由上可知，可用图象、列表、关系式来表示变量之间的关系.
议一议
如图3. 1-2，△ABC 底边BC（设BC=a）
上的高是h. 当三角形的顶点C沿底边所在直线
向点B运动时，三角形的面积S会发生变化吗？
若发生变化，则在变化过程中，哪些是常量？
哪些是变量？
图3. 1-2
在上述变化过程中，高h 是常量，底边长a 和面积S 都是变量，并且面积
随底边长的变化而变化.
请举出两个含有相关变量的实例，并指出其中的常量与变量.
做一做
观察本节开篇“思考”中问题（1）（2）的图和表格. 由图3. 1-1 可知，对
于时间t 的每一个取值，气温T 都有唯一的一个值与它对应. 类似地，由问题
（2）中的表格可知，对于实验中气温x 的每一个取值，声速y 都有唯一的一个
值与它对应.
一般地，如果变量y 随变量x 而变化，
并且对于x的每一个取值，y都有唯一的一
个值与它对应，那么称y 是x 的函数，记
作y = f（x）. 其中，x 叫作自变量，y 叫作
因变量.
最早提出“函数”一词
的是德国数学家莱布尼茨.
瑞士数学家约翰·伯努利首
次使用“变量”一词.
数学
八年级下册
84
对于自变量x的每一个取值a，因变量y的对应值称为函数值，记作f（a）.
“思考”问题（1）中，气温T是时间t的函数，其中t是自变量，T是因变量；
“思考”问题（2）中，声速y是气温x的函数，其中x是自变量，y是因变量；
“思考”问题（3）中，飞行路程y 是飞行时间x 的函数，其中x 是自变量，y
是因变量.
在考虑两个变量间的函数关系时，还应注意自变量的取值范围. 如问题
（1）中的函数，自变量t的取值范围是0 ≤t ≤24.
下列各组给出了两个变量x和y，判断y是不是x的函数.
（1）y：正方形的周长；x：这个正方形的边长.
（2）y：矩形的面积；x：这个矩形的宽.
（3）y：一个正数的平方根；x：这个正数.
（4）y：一个正数的算术平方根；x：这个正数.
说一说
（1）（4）中，y 是x 的函数；（2）（3）
中，y不是x的函数.
练
习
1 下列变化过程中，哪个变量随另一个变量而变化？其中哪些是变量，哪些
是常量？
（1）一辆“复兴号”列车以350 km/h 的速度匀速行驶，行驶的路程s（km）
与行驶时间t（h）.
（2）某长为a、宽为b、深度为c的长方体蓄水池，其水位的高度h与相应的
蓄水量V.
2 已知圆柱的高h = 4 cm，底面半径是r cm，当圆柱的底面半径r 由小变大
时，圆柱的体积V = πr 2h是r的函数. 在这个变化过程中，哪个是自变量，
哪个是因变量？r的取值范围是多少？
第3章
一次函数
85
3􀆰1􀆰2 函数的表示法
上一小节“思考”中的问题（1）（2）（3）分别是怎样表示因变量与自变
量之间的函数关系的？
说一说
问题（3）用一个式
子y = 120x来表示.
问题（1）用平面直角坐标
系中的一个图形来表示；问
题（2）用一张表来表示.
像上一小节问题（1）那样，建立平面直角坐标系，以自变量取的每一个
值为横坐标，以相应的函数值（即因变量的对应值）为纵坐标，描出每一个
点，由这些点组成的图形称为这个函数的图象. 这种表示函数关系的方法称
为图象法.
函数y = f（x）的图象上任一点的坐标是（a，f（a）），其中a 在自变量的取
值范围内.
反之，坐标为（a，f（a））的点都在函数y = f（x）的图象上.
像上一小节问题（2）那样，列一张表格，第一行表示自变量取的各个值，
第二行表示相应的函数值，这种表示函数关系的方法称为列表法.
像上一小节问题（3）那样，用式子表示函数关系的方法称为公式法，这样
的式子称为函数表达式（或函数解析式）.
由此可以看到，用图象法、列表法、公式法均可以表示两个变量之间的函
数关系.
思
考
图3. 1-3
用边长为1 的等边三角形拼成如图3. 1-3 所
示的图形，用y 表示拼成的图形的周长，用n 表
示等边三角形的个数.
数学
八年级下册
86
（1）填写下表：
n
y
1
2
3
4
5
6
7
8
…
…
（2）用公式法表示y与n的关系；
（3）用图象法表示y与n的关系.
（1）当只有1个等边三角形时，图形的周长为3，每增加1个三角形，周长
就增加1，因此可得下表：
n
y
1
3
2
4
3
5
4
6
5
7
6
8
7
9
8
10
…
…
（2）由（1）可知，周长y 是三角形个数n
的函数，其中n 是自变量，y 是因变量，且y
与n 之间的函数表达式是y = n + 2（n 为正
整数）.
（3）因为自变量n 为正整数，于是根据
表达式y = n + 2，可以在平面直角坐标系中
描出无数个点，这些点组成了函数y = n + 2
的图象，如图3. 1-4所示.
议一议
用图象法、列表法、公式法表示函数关系，各有什么优点？
用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随自变量的变化而
变化.
用列表法表示函数关系，可以清楚地看出自变量取的值与因变量的对
应值.
用公式法表示函数关系，可以方便地计算函数值. 例如，对于函数y =
图3. 1-4
第3章
一次函数
87
n + 2（n为正整数），当n = 50时，把它代入函数表达式，得y = 50 + 2 = 52.
例1
某天7 时，小楠从家骑自行车上
学，途中到一家早餐店吃早餐花了一段时
间，然后继续骑行，按时到达学校. 图
3. 1-5 反映了他骑车的整个过程. 结合图
象，回答下列问题：
（1）小楠停车进早餐店是在什么时间？
此时离家有多远？
（2）小楠吃早餐花了多长时间？吃完早餐后又花了多长时间到达学校？
（3）小楠从家到学校的平均速度是多少？
解（1）从横坐标看出，小楠停车进早餐店的时间是7：05；从纵坐标看
出，此时离家1 000 m.
（2）从横坐标看出，小楠吃早餐花了15 min；小楠吃完早餐后又花了
10 min到达学校.
（3）从纵坐标看出，小楠家离学校2 100 m；从横坐标看出，他在路上共
花了30 min. 因此，他从家到学校的平均速度是
2 100÷30=70（m/min）.
例2
已知等腰三角形的周长为10，底边长为y，腰长为x.
（1）求y关于x的函数表达式，以及自变量x的取值范围；
（2）当腰长为4时，求底边长.
解（1）由已知得y + 2x = 10，
则y = 10 - 2x.
由于x，y为该等腰三角形的边长，
所以x > 0，y > 0，2x > y.
于是10 - 2x > 0且2x > 10 - 2x.
解上述两个不等式组成的不等式组，可得2. 5 < x < 5.
（2）当腰长x = 4时，
底边长y = 10 - 2 × 4 = 2.
图3. 1-5
数学
八年级下册
88
练
习
1
如图，将一个正方形的顶点分别标上号码1，2，3，4，
直线l经过第2，4号顶点. 作这个正方形关于直线l的对
称图形，那么正方形的各个顶点分别变成哪个顶点？填
在下表中：
x
y
1
2
3
4
由表可知y是x的函数. 画出它的图象，它的图象由几个点组成？
2 等腰三角形的底角的度数为x，顶角的度数为y.
（1）写出y随x而变化的函数表达式，并指出自变量x的取值范围；
（2）当x = 30°时，y是多少？
3 如图是A 市某天的气温随时间变化的
函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）这一天的最高气温是多少？出现
在上午时段，还是下午时段？
（2）最高气温与最低气温相差多少？
（3）什么时段，气温在逐渐升高？什
么时段，气温在逐渐降低？
习题3. 1
学而时习之
1
已知1 cm3 钢的质量是7. 8 g，求正方体钢块的质量y（g）与它的棱长x（cm）
之间的表达式. 在这个问题中，哪些量是变量，其中哪个量是自变量？
2 观察下表中两个变量间的数量关系：
1
4 × 1
2
4 × 2
3
4 × 3
…
…
n
4n
…
…
（第1题图）
（第3题图）
第3章
一次函数
89
你能用生活中的实例解释表中的关系吗？把你所举实例的两个变量的名称
及字母表示填在表中左边的空格内.
3 如图是用火柴棒按规律拼摆的图形.
第1个
第2个
第3个
…
（第3题图）
（1）用y表示摆成第n个图形所需的火柴根数，试完成下表：
n
y
1
2
3
4
5
…
（2）用公式法表示y与n之间的函数关系；
（3）画出这个函数的图象.
4 玩具店每月的盈利p（元）是售出玩具数量q（件）的函数，且p = 65q - 9 750.
（1）已知某月玩具店售出玩具500件，求该月的盈利.
（2）如果一个月内共售出玩具150件，该玩具店是否盈利？
5 甲、乙两人在一次跨栏比赛中，路程s（m）与时间t（s）的函数关系如图所示，
回答下列问题：
（1）这次比赛的赛程是多少？
（2）甲、乙二人谁先到达终点？
（3）求乙在这次比赛中的平均速度.
（第5题图）
数学
八年级下册
90
温故而知新
6 下列图象中，y不是x的函数的是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
7 电视机屏幕的尺寸（指它的对角线长度）一般采用两种计量单位：一种是英
制，以英寸为单位；一种是公制，以厘米为单位. 这两种单位之间的换算
关系是1英寸=2. 54 cm.
（1）如果某种电视机屏幕的对角线长度是x 英寸，换算成公制是y cm，试
把y用关于x的代数式表示出来.
（2）在问题（1）中，哪些量是常量？哪些量是变量？y 的值是由哪个变量的
取值确定的？
8 如图（1），在菱形ABCD 中，∠A = 60°，动点P 从点A 出发，沿折线
AD →DC →CB 方向匀速运动，运动到点B 停止. 设点P 的运动路程为x，
△APB的面积为y，y与x的函数图象如图（2）所示，求AB的长.
（1）
（2）
（第8题图）
第3章
一次函数
91
v:.-(-+2u
v
u
思
考
（1）一列“复兴号”高铁（图3. 2-1）自上海站出发，运行40 km 到达
A 地后，便以350 km/h 的速度匀速行驶. 如果从离开A 地后开始计时，
请用表达式表示该列车离开A 地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数
关系.
图3. 2-2
图3. 2-1
LH












（2）图3. 2-2 是弹簧秤称重示意图. 某弹簧秤能称不超过10 kg 的物
体，弹簧的原长为10 cm，每挂1 kg物体，弹簧伸长0. 5 cm. 挂上重物后
弹簧的长度为y（cm），所挂物体的质量为x（kg）. 请用表达式表示该弹簧
秤的弹簧长度y与所挂物体质量x（不超过称量范围）之间的函数关系.
在问题（1）中，时间x（h）是自变量，距离y（km）是x 的函数，它们之间的
数量关系为
距离= 速度× 时间，
即
y = 350x.
①
在问题（2）中，所挂物体的质量x（kg）是自变量，弹簧的长度y（cm）是x 的
函数，它们之间的数量关系为
弹簧长度= 原长+ 弹簧伸长量，
即
y = 10 + 0. 5x.
②
3.2 一次函数
92
议一议
函数①②有什么共同的特征？
函数y = 350x，y = 10 + 0. 5x 的共同特征是：它们的右边都是关于自变
量x的一次式. 由此抽象出下述概念：
形如y = kx + b（k，b为常数，k ≠0）的函数称为一次函数.
特别地，当b = 0 时，一次函数y = kx（k 为常数，k ≠0）也叫作正比例
函数.
问题（2）中，每挂上1 kg 物体，弹簧伸长0. 5 cm，故弹簧的长度y 与所挂
物体的质量x之间的关系如图3. 2-3所示：
x
0
1
2
3
4
…
9
10
y
10
10.5
11
11.5
12
… 14.5
15
+1
因变量
自变量
+0.5
+0.5
+0.5
+0.5
+0.5
+1
+1
+1
+1
图3. 2-3
仿照图3. 2-3，将问题（1）中的自变量与因变量的变化过程表示出来.
做一做
可以看出，一次函数的特征是：因变量随自变量的变化是均匀的，即自变
量每增加1个最小单位，因变量都增加（或减少）相同的数量.
一次函数y = kx + b 的自变量的取值范围是全体实数. 但在实际问题中，
要根据具体情况来确定自变量的取值范围. 例如，在问题（1）中，自变量的取
值范围是x ≥0（假设不限制匀速运行时间）；在问题（2）中，自变量x 的取值范
围是0 ≤x ≤10.
例
科学研究发现，一般情况下，海拔每升高1 km，气温下降约6 ℃. 某
时刻，若甲地地面气温为20 ℃，设高出地面x km处的气温为y ℃.
（1）求y随x变化而变化的函数表达式.
（2）若有一架飞机飞过甲地上空，机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34 ℃，
第3章
一次函数
93
求飞机离地面的高度.
解（1）由于高出地面x km 处的气温随离地面的高度而变化，因此y 是x
的函数，它们之间的数量关系为
甲地高出地面x km处的气温= 地面气温- 下降的气温，
即
y = 20 - 6x.
（2）当y =-34时，即20 - 6x =-34，
解得x = 9.
答：此时飞机离地面的高度为9 km.
练
习
1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
y = 7 - x，y = x2，y =-4x，y =
x ，y = 2x - 3.
2 某住宅小区的住房物业服务费按住房面积收缴，每月1. 6 元/m2；有车位的
业主还要交车位物业服务费，每个车位每月30 元. 某业主在该小区有一个
车位，其住房面积为x m2，每月应缴住房和车位物业服务费的总和为y 元，
求y与x之间的函数关系式，并求当y = 254时，x的值.
习题3. 2
学而时习之
1 下面给出的几个函数关系中，成正比例函数关系的是（
）
（A）正方体的体积与棱长
（B）正方形的周长与边长
（C）面积一定的菱形的两条对角线长
（D）圆的面积与它的半径
2 下表为一个图案中红色瓷砖和白色瓷砖的数量关系.
红色瓷砖数量
白色瓷砖数量
3
6
4
8
5
10
6
12
7
14
数学
八年级下册
94
设r和w分别表示红色瓷砖、白色瓷砖的数量，请用恰当的函数表达式表示
w与r之间的关系.
3 假设某种储蓄的月利率是0. 16%，存入1 000元本金后，用表达式表示本息
和y元与所存月数x之间的函数关系（利息=本金×月利率×月数），并判断
y是否是关于x的一次函数.
4 已知两条平行线l1，l2 之间的距离为5 cm，点A 在l1 上，点B，C 在l2 上，
设BC = x cm，求△ABC的面积S关于x的函数关系式，并判断这个函数是
不是一次函数.
温故而知新
5 桌子上放着一个透明的空杯子，将金黄色的果汁均匀地倒入杯子中，并测
得如下数据：
杯中果汁的质量x/g
杯中果汁的深度h/cm
50
1
100
2
150
3
200
4
250
5
300
6
（1）如果用x 表示杯中果汁的质量，h 表示杯中果汁的深度，随着x 的逐渐
变大，h的变化趋势是什么？
（2）估计当x = 350时，h的值是多少. 你是怎样估计的？
（3）用表达式表示两个变量之间的函数关系.
6 △ABC是边长为x的等边三角形.
（1）求BC边上的高h与x之间的函数表达式，h是关于x的一次函数吗？
（2）当h =
3 时，求x的值.
（3）求△ABC的面积S与x之间的函数解析式，S是关于x的一次函数吗？
第3章
一次函数
95
P
v
u
如何画正比例函数y = 2x的图象？
探
究
列表：在自变量的取值范围内，取自变量x 的一些值，计算出相应的函数
值，列成表格. 下表是正比例函数y = 2x中y与x的几组对应值.
x
y
…
…
-3
-6
-2
-4
-1
-2
0
0
1
2
2
4
3
6
…
…
描点：建立平面直角坐标系，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵
坐标，描出这些点. 例如，根据上表中的每组对应值，在平面直角坐标系中描
出对应的点，可得图3. 3-1.
图3. 3-1
图3. 3-2
连线：观察描出的这些点的分布，猜测函数的图象，然后用平滑的线连接
各点. 例如，由图3. 3-1 可猜测y = 2x 的图象是一条经过原点的直线. 数学上
已经证明这个猜测是正确的. 因此，用一条直线将平面直角坐标系中的这些点
连接，即可得到y = 2x的图象，如图3. 3-2所示.
3.3 一次函数的图象
96
一般地，正比例函数y = kx的图象是一条经过原点O的直线.
根据“两点确定一条直线”，要画正比例函数的图象，只需描出图象上的
两个点即可. 又由于正比例函数的图象经过原点O，因此，只要再描出图象上
的一个点，然后过这点和原点就可作出这条直线. 通常把这条直线叫作“直
线y = kx”.
例1
画出正比例函数y =-2x的图象.
解
函数y =-2x 的图象经过原点O.
当x = 1时，y =-2.
在平面直角坐标系中描出点A（1，- 2），过原
点O 和点A 作直线，则这条直线是y =-2x 的图
象，如图3. 3-3所示.
思
考
（1）观察图3. 3-2 中y = 2x 的图象，当自变量x 的取值由小变大时，
对应的函数值y如何变化？
（2）观察图3. 3-3中y =-2x的图象，当自变量x的取值由小变大时，
对应的函数值y如何变化？
（3）一般地，对于正比例函数y = kx，其图象应该经过哪些象限？函
数值随自变量如何变化？
（1）由图3. 3-2 可知，对于y = 2x，当自变量x 的取值由小变大时，对应
的函数值y由小变大.
（2）由图3. 3-3 可知，对于y =-2x，当自变量x 的取值由小变大时，对
应的函数值y由大变小.
（3）对于正比例函数y = kx，当k > 0 时，若x > 0，则y = kx > 0；若
x < 0，则y = kx < 0.
于是，当k > 0时，点P（x，kx）
（x ≠0）在第一、三象限.
因此，直线y = kx（k > 0）经过第三、一象限且从左向右上升，即函数值y
图3. 3-3
第3章
一次函数
97
随x取值的增大而增大，如图3. 3-4所示.
U





U
图3. 3-4
图3. 3-5
当k < 0时，若x > 0，则y = kx < 0；若x < 0，则y = kx > 0.
于是，当k < 0时，点P（x，kx）
（x ≠0）在第二、四象限.
因此，直线y = kx（k < 0）经过第二、四象限且从左向右下降，即函数值y
随x取值的增大而减小，如图3. 3-5所示.
例2
某国家森林公园的一个旅游景点的电梯运行时，以3 m/s 的速度匀
速上升，运行总高度为300 m.
（1）求电梯运行高度h（m）随运行时间t（s）而变化的函数表达式；
（2）画出这个函数的图象.
解（1）由路程=速度×时间可知，h = 3t，0 ≤t ≤100.
（2）当t = 0时，h = 0；当t = 100时，h = 300. 在平面直角坐标系中描出
点A（100，300），再过原点和点A 作线段OA，则线段OA 即为函数h = 3t（0 ≤
t ≤100）的图象，如图3. 3-6所示.
在有限路程内做匀速
运动（即速度保持不变）的
物体，路程与时间的函数
图象一般是一条线段.
图3. 3-6
数学
八年级下册
98
练
习
1 画出正比例函数y =- 1
3 x，y = 3x的图象，并分别指出其经过哪些象限.
2 已知矩形的一边长6 cm，另一边长x cm，面积为y cm2.
（1）求y随x而变化的函数表达式；
（2）画出该函数的图象；
（3）当x = 3，4，5时，y分别是多少？
在平面直角坐标系中，先画出函数y = 2x的图象，然后探索y = 2x + 3
的图象是什么样的图形，并由此猜测y = 2x + 3 的图象与y = 2x 的图象之
间有什么关系.
探
究
先取自变量x 的一些值，算出y = 2x，y = 2x + 3 对应的函数值，所列表
格如下：
x
y = 2x
y = 2x + 3
…
…
…
-3
-6
-3
-2
-4
-1
-1
-2
1
0
0
3
1
2
5
2
4
7
3
6
9
…
…
…
从上表可以看出，横坐标相同，y = 2x + 3 的
图象上的点的纵坐标比y = 2x 的图象上的点的纵坐
标大3，于是将y = 2x 的图象向上平移3 个单位长
度，就得到y = 2x + 3的图象，如图3. 3-7所示.
由于平移把直线变成与它平行的直线，因此
y = 2x + 3的图象是一条与直线y = 2x平行的直线.
一般地，一次函数y = kx + b的图象可以看作由
正比例函数y = kx 的图象沿y 轴平移
|
| b 个单位长度
（当b > 0 时，向上平移；当b < 0 时，向下平移）而
图3. 3-7
第3章
一次函数
99
得到. 由此得到：
一次函数y = kx + b 的图象是一条直线，它与正比例函数y = kx 的图象平
行（当b ≠0时）或重合（当b = 0时）.
由于“两点确定一条直线”，因此，画一次函数的图象，只要描出图象
上的两个点，然后过这两点作一条直线即可. 我们常常把这条直线叫作“直线
y = kx + b”.
例3
画出一次函数y =-2x - 3的图象.
解
当x = 0时，y =-3；
当x = 1时，y =-5.
在平面直角坐标系中描出A（0，- 3），
B（1，- 5）两点，过这两点作直线，则这条直线
是一次函数y =-2x - 3 的图象，如图3. 3-8
所示.
从例3 看到，在利用两点画一次函数y = kx + b 的图象时，经常取一个点
的横坐标为0，此时它的纵坐标是b，又这个点是y = kx + b 的图象与y 轴的交
点，因此一次函数y = kx + b的图象与y轴的交点坐标是（0，b）.
议一议
观察画出的一次函数y = 2x + 3，y =-2x - 3 的图象，你能发现当
自变量x的取值由小变大时，其对应的函数值是怎样变化的吗？
我们已经知道，一次函数y = kx + b 的图象是一条与正比例函数y = kx 的
图象平行或重合的直线.
又对于正比例函数y = kx，当k > 0 时，函数值y 随x 取值的增大而增大，
当k < 0时，函数值y随x取值的增大而减小，因此，一次函数y = kx + b也应
具有相同性质，具体如下：
图3. 3-8
数学
八年级下册
100
y = kx + b
图象
函数值y的变化
k > 0
函数值y随自变量
x的增大而增大
k < 0
函数值y随自变量
x的增大而减小
例4
图3. 3-9描述了某一天小华从家骑车去
中国红色书店购书，然后又骑车回家的情况. 说
出小华在路上的具体情形.
图3. 3-9
分析
小华骑车离家的距离y 是时间x 的函数，这个函数图象由3 条线段
组成，每一条线段代表一个阶段的活动.
解
第一段是从原点出发的线段OA. 从横坐标看出，小华路上花了
30 min. 当横坐标从0 变化到30 时，纵坐标均匀增加，这说明小华从家出发匀
速前进30 min，到达书店.
第二段是一条与x 轴平行的线段AB. 当横坐标从30 变化到60 时，纵坐标
没有变化，这说明小华在书店购书停留了30 min.
第三段是与x 轴有交点的线段BC. 从横坐标看出，小华路上花了40 min.
当横坐标从60变化到100时，纵坐标均匀减少，这说明小华从书店出发匀速前
进40 min，直到返回家中.
实际上，比较第一段与第三段线段，可以发现第一段更“陡”，这说明去
书店的速度更快，而回家的速度要慢一些.
第3章
一次函数
101
练
习
1 （1）将直线y = 3x向下平移2个单位长度，得到直线
；
（2）将直线y =-x - 5向上平移5个单位长度，得到直线
.
2 分别画出一次函数y = 0. 25x + 3 和y =-0. 25x + 3 的图象，并指出函数
值如何随自变量的变化而变化.
3 求一次函数y = 3x - 5的图象与y轴的交点坐标.
习题3. 3
学而时习之
1 在同一平面直角坐标系中，分别画出下列一次函数的图象，它们之间有什
么位置关系？
（1）y = 3x；
（2）y = 3x + 3；
（3）y = 3x - 2.
2 小明和父母去散步，从家走了20 min 到
达一个离家1 200 m 的宣传亭前，他母亲
因故随即按原速返回. 小明父亲在该宣
传亭前花10 min对小明讲述了几个“家风
家训家规”故事后，用15 min返回家中.
下面的图象中哪一个表示小明和父亲离
家后的时间与离家距离之间的关系？哪
一个表示小明母亲的行走过程？
（A）
（B）
数学
八年级下册
102
（C）
（D）
3 在同一平面直角坐标系中，分别画出y = x - 1，y = 1
4 x - 1，y = 3x - 1
的图象.
（1）哪个函数的图象比较“陡”？
（2）由（1）可猜测：对于一次函数y = kx + b，若
|
| k 越大，则图象越陡还是
越缓，或者说增减越快还是越慢？
温故而知新
4 正比例函数y = kx 的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数y = x + k 的
图象大致是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
5 像y = 2这样的函数称为常函数，试画出函数y = 2的
图象.
6 如图，已知点A 的坐标为（6，0），直线y = x + b
（b > 0）与y 轴交于点B，与x 轴交于点C，连接AB，
AB = 4
3 ，求OC的长.
（第6题图）
第3章
一次函数
103
M
N
1-
0-
/-
.-
L
许多实际问题的解决都需要求出一次函数的表达式. 怎样才能简便地求出
一次函数的表达式呢？下面我们来研究.
如图3. 4-1，已知一次函数的图象经过P（0，- 1），Q（1，1）两点. 怎样
确定这个一次函数的表达式呢？
图3. 4-1
探
究
因为一次函数的一般形式是y = kx + b，则要求出该一次函数的表达式，
关键是确定k，b的值.
因为P（0，- 1）和Q（1，1）都在该函数图象上，所以它们的坐标满足y =
kx + b.
将这两点的坐标代入该式，得到一个关于k，b的二元一次方程组：
ìíî
k ⋅0 + b =-1，
k + b = 1.
解这个方程组，得ìíî
k = 2，
b =-1.
所以这个一次函数的表达式为
y = 2x - 1.
3.4 用待定系数法确定一次函数的表达式
104
像这样，通过先设定函数表达式（确定函数模型），再根据条件确定表达式
中的未知系数（即待定的系数），从而求出函数表达式的方法称为待定系数法.
从上述过程可以看到，给出一条与坐标轴不平行且不重合的直线，找出它
经过的两个点的坐标，就可以用待定系数法求出经过这两个点的一次函数的表
达式，这个一次函数的图象就是这条直线.
议一议
要确定正比例函数的表达式需要几个条件？与同学交流你的想法.
例1
世界上大多数国家（包括我国）都采用摄氏温标预报天气，而美国仍
然采用华氏温标. 已知两种温标计量值的对应关系如下表所示，尝试用函数表
达它们的对应关系.
摄氏温度x/℃
华氏温度y/℉
0
32
10
50
20
68
30
86
40
104
50
122
解
由上表可知，摄氏温度每增加10 ℃，华氏温度都增加18 ℉，于是它
们之间的关系可用一次函数关系式表示.
因此可以设所求函数表达式为
y = kx + b（k，b为常数，k ≠0）.
由已知条件，得
ìíî
b = 32，
10k + b = 50.
解得
ì
í
î
ï
ïïï
k = 9
5，
b = 32.
因此，华氏温度与摄氏温度的函数
表达式为
y = 9
5 x + 32.
利用这个表达式可以将摄氏温
度换算成华氏温度. 摄氏温度与
对应的华氏温度的值有相等的可能
吗？为什么？
第3章
一次函数
105
例2
某种收割机的油箱可储油40 L，加满油并开始工作后，油箱中的剩
余油量y（L）与工作时间x（h）之间为一次函数关系，函数图象如图3. 4-2所示.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）一箱油可供收割机工作几小时？
解（1）设一次函数的表达式为y = kx + b
（k，b为常数，k ≠0）.
由于点P（2，30），Q（6，10）都在一次函数
图象上，将这两点的坐标代入表达式，得
ìíî
2k + b = 30，
6k + b = 10.
解得ìíî
k =-5，
b = 40.
所以函数表达式为y =-5x + 40.
（2）当剩余油量为0，即y = 0时，
-5x + 40 = 0，解得x = 8.
所以一箱油可供收割机工作8 h.
练
习
1
已知一次函数的图象经过A（-1，3），B（2，- 5）两点，求这个函数的表
达式.
2 根据本节例1的结果，将84 ℉换算成摄氏温度.
3 点A′是点A（6，2）关于y轴的对称点. 若一个正比例函数的图象经过点A′，
求该函数的表达式.
习题3. 4
学而时习之
1 已知正比例函数的图象经过点M（-1，5），求这个函数的表达式.
2 已知y是x的一次函数，且当x = 4时，y = 9；当x = 6时，y =-1.
图3. 4-2
数学
八年级下册
106
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x =- 1
2 时，求y的值；
（3）当y = 7时，求自变量x的值.
3 如图，直线OA的表达式为y = 3x，点A的横坐标是-1，
OB =
2 ，OB与x轴所夹锐角是45°.
（1）求点B的坐标；
（2）求直线AB的表达式.
温故而知新
4 已知y - 3与x成正比例，且x = 2时，y = 7.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x =- 1
2 时，求y的值；
（3）将所得函数的图象平移，使它过点（2，- 1），求平移后图象的表达式.
5 某商场的营业员小李销售某种商品，她的月收入与她该月的销售量成一次
函数关系，其图象如图所示. 根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）小李在没有销售量时的收入是多少元？
（2）求小李的月收入y（元）关于月销售量x（件）的函数表达式.
（3）已知小李4月份的销售量为250件，小李4月份的收入是多少元？
（第5题图）
（第3题图）
第3章
一次函数
107
议一议
（1）（4，1）与（1，7）是二元一次方程2x + y - 9 = 0的解吗？方程还
有其他解吗？如有，再说出几个.
（2）给定一个二元一次方程2x + y - 9 = 0，若把方程中的未知数y
用含未知数x的代数式表示，可以将其看作一次函数的表达式吗？
（1）由七年级知识可知，（4，1）与（1，7）都是二元一次方程2x + y - 9 =
0的解，并且这个方程有无数个解，如（-1，11），（0，9），等等.
（2）对于二元一次方程2x + y - 9 = 0，整理可得y =-2x + 9. 若把x 看
作自变量，y 看作因变量，则得到一次函数y =-2x + 9. 反过来，一次函数
y =-2x + 9也可以写成二元一次方程2x + y - 9 = 0的形式.
思
考
（1）一次函数y =-2x + 9 的图象上任一点的坐标都是二元一次方程
2x + y - 9 = 0的解吗？
（2）以二元一次方程2x + y - 9 = 0 的解为坐标的点组成的图形是一
次函数y =-2x + 9的图象吗？
（1）如图3. 5-1，一次函数y =-2x + 9 的图象上
任一点的坐标可以表示为（c，- 2c + 9），其中c为任意
实数. 由于其都能使方程左右两边相等，因而都是二元
一次方程2x + y - 9 = 0的解.
（2）二元一次方程2x + y - 9 = 0 的所有解都可以
表示为（c，- 2c + 9），其中c 为任意实数. 而任意点
（c，- 2c + 9）都在一次函数y =-2x + 9 的图象（一条
图3. 5-1
3.5 一次函数与二元一次方程的关系
108
直线）上，如图3. 5-1所示. 于是以二元一次方程2x + y - 9 = 0的解为坐标的
点组成的图形是一条直线，它是一次函数y =-2x + 9的图象.
一般地，一次函数y = kx + b 的图象是一条直线，且这条直线上所有点的
坐标满足二元一次方程kx - y + b = 0；反过来，以二元一次方程kx - y + b =
0的解为坐标的点，都在一次函数y = kx + b的图象上，所有点构成一条直线.
对于关于x，y 的二元一次方程ax + by + c = 0（a ≠0，b ≠0），其任意一
个解都满足一次函数y =- a
b x - c
b，因而，在平面直角坐标系中，以二元一
次方程ax + by + c = 0 的任意一个解为坐标的点都在一次函数y =- a
b x - c
b
的图象上. 反之，一次函数y =- a
b x - c
b 的图象上任意一点的坐标都是二元
一次方程ax + by + c = 0的一个解.
由此可知：在平面直角坐标系中，关于x，y 的二元一次方程ax + by +
c = 0（a ≠0，b ≠0）表示一条直线，这条直线是一次函数y =- a
b x - c
b 的
图象.
例1
在平面直角坐标系中，画出二元一次方程-2x + 3y - 6 = 0 表示的
直线.
解
由-2x + 3y - 6 = 0可得一次函数y = 2
3 x + 2，
从而当x = 0时，y = 2，
当x = 3时，y = 4.
在平面直角坐标系中，描出A（0，2），B（3，
4）两点，过这两点作直线，如图3. 5-2 所示，则
这条直线是一次函数y = 2
3 x + 2的图象，从而它
是二元一次方程-2x + 3y - 6 = 0表示的直线.
给了一条与坐标轴不平行且不重合的直线，我们可以任选直线上的两点，
图3. 5-2
第3章
一次函数
109
用待定系数法求出一次函数y = kx + b 的表达式，这个一次函数的图象就是这
条直线. 由于一次函数y = kx + b的图象就是二元一次方程kx - y + b = 0表示
的直线，因此，所给的直线就是二元一次方程kx - y + b = 0表示的直线.
例2
如图3. 5-3，在平面直角坐标系中，已
知一条直线经过P（0，- 2），Q（-4，5）两点，哪个
二元一次方程表示这条直线？
解
设直线PQ 是一次函数y = kx + b（k，b
为常数，k ≠0）的图象.
因为点P（0，-2）和点Q（-4，5）都在该函数
的图象上，所以ìíî
b =-2，
k ⋅（-4）+ b = 5.
解得
ì
í
î
ï
ïïï
k =- 7
4，
b =-2.
因此，直线PQ 是一次函数y =- 7
4 x - 2的图象，从而它是二元一次方程
7
4 x + y + 2 = 0表示的直线.
议一议
关于x，y的二元一次方程kx - y + b = 0（k ≠0）所表示的直线与x轴
的交点坐标是什么？你的结果与其他同学相同吗？
一次函数y = kx + b 的图象上任一点的坐标是（c，kc + b）. 由于函数的图
象与x 轴的交点的纵坐标为0，因此交点的横坐标c 满足kc + b = 0，于是c =
- b
k，从而一次函数y = kx + b的图象与x轴的交点坐标是(
)
- b
k ，0 .
因此，关于x，y 的二元一次方程kx - y + b = 0（k ≠0）所表示的直线与x
轴的交点坐标为(
)
- b
k ，0 .
图3. 5-3
数学
八年级下册
110
练
习
1 在平面直角坐标系中，画出二元一次方程5x + 3y - 9 = 0表示的直线.
2 在平面直角坐标系中，已知一条直线经过P（0，- 5），Q（4，- 2）两点，哪
个二元一次方程表示这条直线？
3 求二元一次方程6x - y + 9 = 0表示的直线与x轴的交点坐标.
习题3. 5
学而时习之
1 在平面直角坐标系中，画出二元一次方程-7x + 6y + 12 = 0表示的直线.
2 求二元一次方程3
2 x + y + 6 = 0表示的直线与y轴的交点坐标.
3 有下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x - 2y = 2
的解的是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
温故而知新
4 在平面直角坐标系中，二元一次方程3x - 2y = 1 表示的直线与经过A（a，
1），B（-1，b）两点的直线重合，求a，b的值.
5 在平面直角坐标系中，分别画出二元一次方程x + y = 0，2x + y + 2 = 0
表示的直线，并计算这两条直线与x轴所围成的图形的面积.
第3章
一次函数
111
L
12
.1
0
在实际生活中，很多问题可以通过建立一次函数模型来解决.
思
考
伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，测量两指指尖间的最
大距离，这个距离简称为指尖距. 假设指尖距与身高具有如下关系：
指尖距x/cm
身高y/cm
19
151
20
160
21
169
（1）身高y 与指尖距x 之间可用函数关系式刻画
吗？如可以，其表达式是怎样的？
（2）若李华的指尖距为22 cm，你能估计他的身高吗？
（1）由上表三组数据可知，身高y 与指尖距x 之间存在一个对应关系，并
且指尖距每增加1 cm，身高对应增加9 cm，于是可以尝试用一次函数来刻画.
设身高y 与指尖距x 之间的一次函数表达式为y = kx + b（k，b 为常数，
k ≠0）. 将x = 19，y = 151与x = 20，y = 160代入上式，得
ìíî
19k + b = 151，
20k + b = 160.
解得k = 9，b =-20. 于是y = 9x - 20.
将x = 21，y = 169代入上式，也符合.
故y = 9x - 20就是身高y与指尖距x之间的函数表达式.
（2）当x = 22时，y = 9 × 22 - 20 = 178.
因此，李华的身高大约是178 cm.
例1
已知甲、乙两地相距40 km，小徐8：00 骑自行车由甲地去乙地，平
均车速为8 km/h；小李10：00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40 km/h.
3.6 一次函数的应用
112
设小徐所用的时间为x h，小徐离甲地的距离为y1 km，小李离甲地的距离为
y2 km.
（1）分别写出y1，y2与x之间的函数解析式；
（2）在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达
乙地.
解（1）由“路程=速度×时间”可知y1 = 8x，自变量x 的取值范围是
0 ≤x ≤5.
由于小李比小徐晚出发2 h，因此小李所用时间为（x - 2）h，
从而y2 = 40（x - 2），自变量x 的取值
范围是2 ≤x ≤3.
（2）将以上两个函数的图象画在同一
平面直角坐标系中，如图3. 6-1所示.
过点M（0，40）作射线l 与x 轴平行，
它先与y2 = 40（x - 2）的图象相交，这表明
小李先到达乙地.
练
习
1 给某长方体游泳池注水，池深2 m. 假如注水的时长与水深具有如下关系：
注水的时长/h
水深/cm
0. 5
60
1
100
1. 5
140
（1）你能为注水的时长与水深之间的关系建立函数模型吗？
（2）用求出的函数表达式分别估计注水2 h、2. 5 h后的水深.
2 小刚和小强在一条公路上由西向东行走，出发的时间相同. 小强从A 地出
发，小刚从小强东边80 m处出发，小刚、小强每分钟分别走40 m，60 m.
（1）分别写出小刚、小强离A 地的距离y（m）与行走时间t（min）之间的函数
表达式.
（2）在同一平面直角坐标系中，分别画出上述两个函数的图象.
（3）根据图象回答：在出发后几分钟小强追上小刚？谁先到达与A 地相距
300 m的B地？
图3. 6-1
第3章
一次函数
113
在第二、三、四届奥运会比赛中，男子撑竿跳高的纪录如下表所示：
年份
高度/m
1900
3. 3
1904
3. 5
1908
3. 71
观察表中的数据，为上述三届奥运会比赛男子撑竿跳高纪录与所在
年份的关系建立一个函数模型.
做一做
上表中每一届的纪录比上一届都大约提高了0. 2 m，于是可以尝试建立一
次函数模型来刻画.
用t 表示从1900 年起增加的年份，那么可以设奥运会男子撑竿跳高的纪
录y（m）与t之间的一次函数表达式为y = kt + b（k，b为常数，k ≠0）.
由于t = 0（即1900 年）时，男子撑竿跳高的纪录为3. 3 m，t = 4（即1904
年）时，纪录为3. 5 m，因此
ìíî
b = 3. 3，
4k + b = 3. 5.
解得b = 3. 3，k = 0. 05.
于是y = 0. 05t + 3. 3.
①
当t= 8时，y = 3. 7，这说明1908 年奥运会的男子撑竿跳高纪录基本符合
①式.
当t=12时，y=3. 9. 经查询可知，1912年奥运会的男子撑竿跳高纪录为
3. 95 m，这一纪录也接近符合①式.
于是，①式可以大致反映上述三届奥运会男子撑竿跳高纪录与所在年份之
间的函数关系.
议一议
（1）利用①式估计1988年奥运会的男子撑竿跳高纪录.
（2）查阅相关纪录，与（1）中结果比较，你能发现什么？
数学
八年级下册
114
（1）由于t = 88，由①式可得y = 0. 05 × 88 + 3. 3 = 7. 7.
（2）经查询可知，1988 年奥运会的男子撑竿跳高纪录是5. 90 m，远低于
7. 7 m. 这表明：用所建立的函数模型远离已知数据作预测是不可靠的.
例2
某地为保护环境，鼓励节约用电，实行阶梯电价制度，规定：每
户居民每月用电量不超过200 kW · h 时，按0. 6 元/（kW · h）收费；若超过
200 kW · h，则超出部分每1 kW · h加收0. 3元.
（1）写出某户居民某月应缴纳的电费y（元)与用电量x（kW · h)之间的函数
表达式；
（2）画出这个函数的图象；
（3）小玲家3 月份、4 月份分别用电150 kW · h 和220 kW · h，各应缴纳电
费多少元？
解（1）由生活常识可知，电费与用电量相关.
当0 ≤x ≤200时，y = 0. 6x；
当x > 200时，y = 200 × 0. 6 +（x - 200）×（0. 6 + 0. 3）= 0. 9x - 60.
y与x之间的函数表达式也可以合起来表示为
y =ìíî
0. 6x（0 ≤x ≤200），
0. 9x - 60（x > 200）.
（2）该函数的图象如图3. 6-2所示.
图3. 6-2
该函数图象由两个一次
函数的图象拼接在一起.
（3）当x = 150时，y = 0. 6 × 150 = 90，
故小玲家3月份应缴纳电费90元.
当x = 220时，y = 0. 9 × 220 - 60 = 138，
故小玲家4月份应缴纳电费138元.
第3章
一次函数
115
练
习
为全面推进乡村振兴，拓宽农民增收致富渠道，
某村通过种植优质荔枝新品种，实现荔枝品牌
化发展，助推村民增收致富. 该村张师傅驾车运
送荔枝到某地出售，汽车出发前油箱里有油
50 L，行驶若干小时后，途中在加油站加油若
干升，油箱中剩余油量y（L）与行驶时间t（h）之
间的关系如图所示.
（1）汽车行驶
h后加油，中途加油
L.
（2）求加油前油箱中剩余油量y与行驶时间t的函数解析式.
（3）已知加油前、后汽车都以70 km/h 匀速行驶，如果加油站距目的地
210 km，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由.
习题3. 6
学而时习之
1 在某地，人们发现某种蟋蟀1 min所叫次数与当地气温之间近似为一次函数
关系. 下面是蟋蟀1 min所叫次数与气温变化情况对照表：
气温/℃
蟋蟀1 min叫的次数
…
…
15
84
17
98
20
119
…
…
（1）根据表中数据确定该一次函数的表达式.
（2）如果蟋蟀1 min叫了63次，那么该地当时的气温大约为多少摄氏度？
2 某食品公司到果园基地购买优质柑橘，果园基地对购买量在3 000 kg 及以
上的有两种销售方案. 甲方案：每千克9 元，由基地送货上门. 乙方案：
每千克8 元，由顾客自己租车运回. 已知该公司租车从基地到公司的运输
费为5 000元.
（1）分别写出该公司两种购买方案的应付款额y（元）与购买量x（kg）之间的
函数表达式，并指出自变量x的取值范围.
数学
八年级下册
116
（2）若购买量分别为4 500 kg，5 100 kg，选择哪种购买方案付款少？试说
明理由.
3 某商品的单价为60 元时，销售量为8 000 件，由此开始，单价每提高1 元，
需求量就减少500件. 当单价提高到多少元时，这种商品就卖不出去了？
温故而知新
4 为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，某校准备购进甲、乙两种
图书. 经调查，购进甲种图书的费用y（元）与购买数
量x（本）之间的函数关系如图所示，乙种图书每本
20元.
（1）求线段OA 和射线AB 的函数表达式，并写出x
的取值范围；
（2）若学校准备购买甲种图书80 本，乙种图书60
本，求购买两种图书所需的费用.
5 要从甲、乙两仓库向A，B 两地运送水泥. 已知甲仓库可运出100 t 水泥，
乙仓库可运出80 t 水泥；A 地需70 t 水泥，B 地需110 t 水泥. 两仓库到
A，B 两地的路程和运价标准如下表：
A地
B地
路程/km
甲仓库
20
25
乙仓库
15
20
运价/[元/(t ⋅km)]
甲仓库
0. 5
0. 4
乙仓库
0. 5
0. 3
（1）设从甲仓库向A 地运送x t 水泥，求总运费y 关于x 的函数表达式，并
画出图象.
（2）当甲、乙两仓库各运往A，B两地多少水泥时，总运费最省？此时总运
费是多少？
（第4题图）
第3章
一次函数
117
用计算机研究一次函数的图象与性质
利用计算机可以画出一次函数的图象，并探究一次函数图象的性质.
具体步骤
1. 打开某计算机软件，点击“开始作图”，在底部第八组工具栏中先点击
“自定义坐标系”，再点击“f（x）”，在弹出的对话框中输入“2x + 3”，点击
“确定”按钮绘制出一次函数y = 2x + 3的图象（如图1）.
图1
2. 在底部第九组工具栏中选择“变量”，新建变量k 和b，设置好k，b 的
变化范围、增量和当前值（如图2）.
图2
k
0
10
0.1
0.5
b
10
10
0.1
2
3. 仿照步骤1 中的方法，依次绘制出y = x，y = 3
2 x，y = 2x，y = 4x 及
y = kx（k > 0）的图象（如图3）.
拖动滑杆改变k 的值，可以发现：当k > 0 时，k 越大，一次函数y = kx 的
图象越“陡”.
数学
八年级下册
118
图3
4. 在同一平面直角坐标系中分别绘制出y = 2x，y = 2x + 2，y = 2x - 3
及y = 2x + b的图象（如图4）. 可以发现：当自变量x的系数k相同而b不同时，
一次函数y = kx + b的图象是互相平行的.
图4
操作与思考
1. 在同一平面直角坐标系中分别绘制出y =-x，y =- 3
2 x，y =-2x，
y =-4x 以及y = kx（k < 0）的图象，你能发现什么？拖动滑杆改变k 的值，观
察实验现象，验证你的想法.
2. 在同一平面直角坐标系中分别绘制出y = 2x + 2，y = x + 2，y =
-2x + 2 及y = kx + 2（k 为常数，k ≠0）的图象，你能发现什么？拖动滑杆改
变k的值，观察实验现象，验证你的想法.
第3章
一次函数
119
知识图谱
思考回顾
1. 函数的定义是什么？函数有哪些表示法？它们各有什么优点？
2. 函数y = f（x）的图象上任一点的坐标是什么？坐标为（a，f（a））的
点是否在函数y = f（x）的图象上？
3. 什么是正比例函数？正比例函数的图象是什么？它具有哪些性质？
4. 什么是一次函数？如何画一次函数y = kx + b 的图象？它与正比
例函数y = kx的图象有什么关系？一次函数具有哪些性质？
5. 举例说明如何用待定系数法求一次函数的表达式.
6. 举例说明一次函数与二元一次方程的关系.
7. 举例说明如何用一次函数解决简单实际问题.
小结
与评价
数学
八年级下册
120
注意事项
1. 在讨论的问题中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变
的量称为常量.
2. 一次函数的因变量随自变量的变化是均匀的，即自变量每增加1
个最小单位，因变量都增加（或减少）相同的数量.
3. 一次函数y = kx + b的自变量的取值范围是全体实数.在实际问题
中，要根据具体情况来确定自变量的取值范围.
4. 研究函数问题时，结合图象有助于我们更全面地掌握函数的
特征.
5. 如果实际问题中因变量y 与自变量x 之间是一次函数关系，那么
找出自变量与因变量的两组对应值，就可以用待定系数法求出这个一次
函数的表达式.
自评互评
• 自评
通过本章的学习，你对以下几方面的学习内容掌握得怎么样？根据
自己的学习情况，点亮属于你的小星星，然后请同学和老师对你的自评
进行恰当评价.
1. 能识别简单实际问题中的常量、变量及其意义
2. 了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例
3. 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，能确定
简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值
4. 能根据已知条件确定一次函数的表达式，会用待定系数法确定一次函
数的表达式
5. 能画出一次函数的图象，会根据图象和一次函数表达式y = kx十b，理
解k值的变化对函数图象的影响
6. 认识正比例函数中两个变量之间的对应规律，能结合实例说明正比例
函数的意义
第3章
一次函数
121
7. 会根据一次函数的图象解释一次函数与二元一次方程的关系
8. 能用一次函数解决简单实际问题，进一步发展应用意识
9. 能从简单实际问题中找出变量之间的数量关系及变化规律，形成初步
的抽象能力
10. 理解函数图象与表达式的对应关系，增强几何直观素养
• 自评/互评
请完成下面两项评价，先自评再在小组内进行互相评价. 其中评价
由低到高分为1，2，3，4，5五个等级.
1. 能通过对函数的认识和一次函数的学习，进一步感受数学的趣味性和
应用价值，学好数学的自信心得到增强，学习目的明确，学习态度端
正，学习方法合理
(
)/(
)
2. 基于对本章知识结构的理解，画出思维导图，并在组内展示，对自己
和同学画出的思维导图进行恰当评价
(
)/(
)
你对本章的学习及评价还满意吗？在学习中发现问题，在探索中思
考解决办法，然后找到适合自己的学习方法，不断提高自己发现问题、
解决问题的能力，这样你就会勇往直前，取得成功！
复习题3
学而时习之
1 下列各小题中的说法对不对？为什么？
（1）圆的周长C是其半径r的函数；
（2）周长为10的矩形的面积S是它的一条边长x的函数；
（3）菱形的面积S是它的一条对角线长x的函数；
（4）沙漏是一种计量时间的仪器（如图），它根据一个容
器里的细沙匀速漏到另一个容器中的数量来计量时间，
沙漏
数学
八年级下册
122
沙漏下半部分容器内的细沙体积V是漏沙的时间t的函数.
2 指出第1题中函数例子的自变量和因变量.
3 某复印店用A4 纸复印一张收费0. 1 元，用公式法表示收费y（元）与复印数
量x（张）之间的函数关系，这是不是正比例函数？画出它的图象.
4 某型号体温计中，刻度35 ℃处，水银柱长2. 5 cm. 所测体温每升高1 ℃，
水银柱就伸长0. 7 cm.
（1）求水银柱长度y（cm）随所测体温x（℃）而变化的函数表达式，其中35 ≤
x ≤42. 它是不是一次函数？画出它的图象.
（2）分别求所测体温为37 ℃，38. 6 ℃时，水银柱长度是多少.
5 在同一平面直角坐标系中，画出下列一次函数的图象，并求出函数图象与x
轴的交点坐标.
（1）y = 1
2 x + 3；
（2）y = 2x - 1；
（3）y =-3x + 5；
（4）y =- 1
4 x + 2.
6 已知二元一次方程3x - y = 1 的一个解是（a，b），那么点（a，b）一定不在
（
）
（A）第一、三象限
（B）第二、四象限
（C）第二象限
（D）坐标轴上
7 某医药生产厂家研制了一种新药，经临床试验发现，成人按规定剂量服用，
每毫升血液中的含药量y（μg）随服药后的时间x（h）而变化的情况如图所
示.（注：1 μg（微克）= 10-6 g）
（第7题图）
（1）写出x ≤2与x > 2时，y与x之间的函数表达式.
第3章
一次函数
123
（2）成人每毫升血液中的含药量上升到3 μg以上时，他服药多长时间了？
（3）服药4 h后，每毫升血液中的含药量为多少微克？
（4）研究表明，当每毫升血液中的含药量≥3 μg 时，对治疗疾病有效，则
有效时间有多长？
（5）服药后经过多长时间，人体内无药物残留？
8 若直线y = kx + 6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k的值.
温故而知新
9 如图为边长是2 的正方形ABCD，点P 在CD 上，且从点
C运动到点D. 设CP = x，四边形ABPD的面积为y.
（1）求y与x之间的函数表达式及x的取值范围；
（2）是否存在点P，使四边形ABPD的面积为1. 5？
10 某企业的一种产品，每件的出厂价为1 万元，成本为
0. 55万元. 每生产一件产品，会产生1 t废渣. 为达到环保要求，需要对废
渣进行脱硫、脱氮等处理，现有两种方案可供选择：
方案一：由企业对废渣进行处理，每吨废渣的处理费用为0. 05 万元，并且
每月的设备维护及损耗费为20万元.
方案二：将废渣送废渣处理厂，每吨废渣需付费0. 1万元.
（1）设企业每月生产x 件产品，月利润为y 万元，分别求上述两种方案中y
与x之间的函数表达式；
（2）怎样选择处理方案，在达到环保要求的前提下，能获得较大利润？
11 声音在空气中传播的速度与气温之间具有函数关系. 研究者通过实验得到
了几组气温x与声速y对应的数值：
气温x/℃
声速y/（m/s）
-10
325. 36
-5
328. 36
0
331. 36
5
334. 36
10
337. 36
15
340. 36
20
343. 36
（1）以横轴表示气温，每5 ℃为1 个单位长度，纵轴表示声速，每100 m/s
为1 个单位长度，建立平面直角坐标系. 以表格中给出的气温和声速的数
（第9题图）
数学
八年级下册
124
值为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描点、连线（用平滑的线连
接各点），画出图形.
（2）求y与x之间的函数表达式.
12 在平面直角坐标系中，点Q的坐标为（4，0），点P在直线y =- 1
2 x + 3上，
且在第一象限. 设点P的坐标为（x，y），△OPQ的面积为S.
（1）用含y的代数式表示S，并写出y的取值范围；
（2）用含x的代数式表示S，并写出x的取值范围；
（3）当点P的坐标为何值时，△OPQ 的面积等于直线y =- 1
2 x + 3与坐标
轴围成的三角形面积的一半？
上下而求索
13 如图，已知正比例函数y = 3
4 x与一次函数y =-x + 7的图象交于点A.
（1）求点A的坐标；
（2）设x 轴上有一点P（a，0），过点P 作x 轴的垂线（垂线位于点A 的右
侧），分别交函数y = 3
4 x 和y =-x + 7 的图象于点B，C，连接OC，若
BC = 7
5 OA，求△OBC的面积.
（第13题图）
第3章
一次函数
125





生活节水
水是生命之源，是生物体最重要的组成部分. 水在生命演化过程中也起到了非常
重要的作用.
地球上的水是不断循环和变化的，但淡水资源并不是“取之不尽，用之不竭”
的，而是最为宝贵和不可替代的自然资源.
说一说
地球表面被水覆盖的比例是多少？其中人类真正能够利用的淡水资源大约有
多少？
据相关资料介绍，地球表面约71% 的面积被水覆盖，总水量约为13. 86亿立方千
米（1 立方千米= 10 亿立方米）. 但是，其中绝大多数是海水，约占总水量的96. 5%.
全部水资源中，人类真正能够利用的淡水资源仅占地球总水量的0. 26%.
我国人均水资源量仅为世界人均的四分之一，是世界上较贫水的国家之一. 由于
我国北方水资源供不应求的情况尤甚，于是我国特别组织实施了“南水北调” 工程.
在这样的国情下，我们更需要合理利用水资源，节约用水. 其实生活中水的浪费很大
126
一部分是由那些容易被人忽略的小细节造成的，如果我们能改变生活中不良的用水习
惯，将可以节约许多水.
比如，洗澡的时候，应该节约用水，以淋浴的方式洗澡比泡浴缸所使用的水要少
得多，但是淋浴也要控制时间，长时间洗澡对人的健康也是不利的，容易出现身体脱
水的情况；又如，循环利用也能帮我们节约很多水，如淘米水可以用来洗菜、浇花，
洗菜的水可以用来拖地或冲厕所，而洗碗的水、洗衣服的水等都可以再次被利用.
做一做
设计一份调查问卷，与同学合理分工，了解本年级同学所在家庭节约用水的方
法，并测试相应节水量. 根据调查结果分析哪种方法平均节水最多.
想一想
根据上述调查结果，制定一个自来水阶梯收费方案，并思考如何运用数学关系式
和数学图形表示这一收费方案.
做一做
观察身边的用水情况，找出几种节约用水的办法，以“节约用水是每个人应尽的
责任与义务” 为题，向全校师生写一封公开信，呼吁：水是人类宝贵的资源，不要浪
费水资源.
127
前面你已经学习了如何收集数据，如何使用恰当的统计图呈
现数据，但人们更希望从中提取有用信息，从而形成结论，帮助
人们作出判断，以便采取适当行动. 这就需要运用适当的统计分
析方法对收集到的大量数据进行分析研究和概括总结.
本章将通过对实际问题中的数据进行整理与分析，帮助你认
识数据的数字特征的意义与功能，学会用样本数据的数字特征分
析相关问题，根据样本数据的变化趋势推断总体的变化趋势，从
而感悟数据分析的必要性，形成并发展数据观念和模型观念.
第4 章
数据分析
在小学我们学习了如何求一组数据的平均数，知道平均数能反映这组数据
的平均水平. 除此之外，平均数还具有哪些统计意义呢？先看下面的问题.
思
考
三年前，张经理创办了一家科技型小微企业，下面是该企业所有员工
某月的工资情况：
技术开发人员甲：10 000元；
技术开发人员乙：9 800元；
技术开发人员丙：9 000元；
技术开发人员丁：7 200元；
技术服务人员甲：5 500元；
技术服务人员乙：5 500元；
技术咨询人员：4 500元；
会计：5 000元.
（1）这8名员工的月平均工资是多少？
（2）如何在数轴上标出表示这些员工的月工资及其月平均工资的点？
（3）观察表示月平均工资的点与其他月工资的点的位置关系，你能得
出什么结论？
（1）这8名员工月工资的平均数为
xˉ= 10 000+9 800+9 000+7 200+5 500+5 500+4 500+5 000
8
=7 062. 5（元）.
将一组数据的和除以这组数据的总个数，得到的数值叫作这组数据的算术
平均数，简称平均数.
一般地，设n 个数据分别为x1，x2，x3，…，xn，它们的平均数记为xˉ，
那么
xˉ = 1
n（x1 + x2 + x3 + … + xn）.
具体计算一组数据的平均数时，可以借助科学计算器来求，但不同型号的
计算器，其操作步骤可能不同.
4.1 平均数、中位数、众数
129
（2）在数轴上将员工的月工资及其月平均工资xˉ表示出来，可得图4. 1-1.
图4. 1-1
（3）观察图4. 1-1，可以发现，表示月工资的这些点位于xˉ 的两侧，不会
都在月平均工资的一侧. 月平均工资xˉ 可以作为这8名员工的月工资的代表值，
它反映了这8 名员工的月工资的平均水平. 于是，平均数作为一组数据的一个
代表值，可以刻画这组数据的平均水平.
例1
某市举办了一场主题为“强身健体，强国有我”的大型活动. 在活
动中有一个由100 名八年级学生组成的阵列，其中20 名学生身高170 cm，
30 名学生身高165 cm，50 名学生身高160 cm. 求这个阵列的平均身高.
解
用xˉ表示平均身高，则
xˉ = 170 × 20 + 165 × 30 + 160 × 50
100
= 170 × 20
100 + 165 × 30
100 + 160 × 50
100
= 170 × 0. 2 + 165 × 0. 3 + 160 × 0. 5
= 163. 5（cm）.
答：这个阵列的平均身高为163. 5 cm.
在解答例1的算式中，0. 2，0. 3，0. 5分别表示170，165，160这三个数据
在数据组中所占的比例，分别称它们为这三个数据的权数.
即170的权数是0. 2，165的权数是0. 3，160的权数是0. 5.
求一组数据的平均数时，可用不同的数据乘它们的权数再相加，这样求得
的平均数称为加权平均数. 例如，163. 5是这个阵列的身高的加权平均数.
从上述例子受到启发，可得下面结论：
一般地，若n 个数据x1，x2，…，xn 的权数
分别是w1，w2，…，wn，则其加权平均数为
x1w1 + x2w2 + … + xnwn.
一般地，权数之和为1.
数学
八年级下册
130
在实际问题中，一组数据中的各个数据的“重要程度”未必相同. 因而，
在计算这组数据的平均数时，往往先根据每个数据的相对“重要程度”，给其
赋“权”，再按数据的不同权重计算出平均数，从而作出评价. 例如，在对学
生的学习情况进行综合考评时，一般会将学生的平时成绩、期中考试成绩、期
末考试成绩按照不同的比重计算综合成绩，这就是加权平均数在实际生活中的
简单应用.
小华和小婷参加学校举办的“弘扬爱国精神，绽放青春风采”演讲
比赛，他们的各项指标得分（每项指标满分100分）情况如下表：
项目
小华
小婷
服装
85
90
普通话
70
75
主题
80
75
演讲技巧
85
80
评总分时，按服装占5%，普通话占15%，主题占40%，演讲技巧占
40%计算，你认为小华和小婷谁在本次演讲比赛中表现更优秀？
做一做
做一做
小华的最后得分为：
85 × 5% + 70 × 15% + 80 × 40% + 85 × 40% = 80. 75（分）.
小婷的最后得分为：
90 × 5% + 75 × 15% + 75 × 40% + 80 × 40% = 77. 75（分）.
由上可知，小华在本次演讲比赛中表现更优秀.
第4章
数据分析
131
思
考
（1）已知两家网站的用户日人均上网时间分别为1. 5 h和2 h，平均每
天的上网用户人数分别为100 000人和125 000人. 这两家网站所有用户的
日人均上网时间是多少？
（2）对于某热点话题，已知两家网站中认为“这个话题重要”的用户
所占百分比分别为75% 和62%，参与评价的用户人数分别为12 000 人
和18 000 人. 这两家网站所有参与评价的用户中，认为“这个话题重要”
的用户比例是多少？
（1）由题意可得，两家网站所有用户的日人均上网时间为
100 000 × 1. 5 + 125 000 × 2
100 000 + 125 000
=
100 000
100 000 + 125 000 × 1. 5 +
125 000
100 000 + 125 000 × 2
= 16
9（h）.
这是两家网站的用户日人均上网时间1. 5 h和2 h的加权平均数.
（2）由题意可得，两家网站所有参与评价的用户中，认为“这个话题重
要”的用户比例为
12 000 × 75% + 18 000 × 62%
12 000 + 18 000
=
12 000
12 000 + 18 000 × 75% +
18 000
12 000 + 18 000 × 62%
= 67. 2%.
这是两家网站中认为“这个话题重要”的用户所占百分比75% 和62% 的
加权平均数.
通过上面的例子可以看到，利用已经计算出的两家网站各自的平均数或者
百分数，可以非常方便地通过加权直接计算得到结果. 一般地，把一个需要巨
大的计算能力才能解决的问题分成许多小的部分，然后把这些部分分配给许多
计算机进行处理，最后把这些计算结果综合起来得到最终结果的计算方式称为
分布式计算.
数学
八年级下册
132
练
习
1
八年级（1）班举行1 min 跳绳比赛，以小组为单位参赛. 第1 小组有8 名同
学，他们的初赛和复赛成绩（单位：次）如下表：
编号
初赛
复赛
①
150
160
②
145
150
③
145
146
④
138
138
⑤
161
158
⑥
165
160
⑦
157
166
⑧
156
158
你认为这组同学的初赛成绩好，还是复赛成绩好？为什么？
2 某出版社给一本书的作者发稿费，其中正文占总字数的80%，每千字50
元；答案部分占总字数的20%，每千字30元. 问全书平均每千字多少元？
思
考
在本节开篇的“思考”栏目中，若张经理该月的工资为33 500元，计
算他们所有人的月平均工资. 这个月平均工资能反映该企业所有人这个月
工资的一般水平吗？
设该企业所有人这个月的平均工资为xˉ，则可用计算器算得xˉ = 10 000 元.
观察该企业所有人这个月的工资可知，10 000 元不能代表该企业所有人这
个月工资的一般水平，因为大多数员工的工资都小于这个平均数.
这表明，当一组数据中有严重偏大（或偏小）的数据时，平均数不能反映该
组数据的一般水平.
因此，需要引进一个能反映一组数据集中趋势的统计量. 若把该企业所有
人的月工资按从小到大的顺序排列，则可得：
4 500，5 000，5 500，5 500，7 200，9 000，9 800，10 000，33 500.
我们可以发现位于中间位置（即第5个）的数据为7 200，并且这个数据能反
映该企业所有人这个月工资的一般水平.
另一方面，如果只考虑8 名员工的工资，将这些数据按从小到大的顺序排
列，可得：
4 500，5 000，5 500，5 500，7 200，9 000，9 800，10 000，
第4章
数据分析
133
此时位于中间位置的数据为5 500和7 200，这两个数据的平均数为6 350，并且
这个平均数能反映该企业8名员工这个月工资的一般水平.
把一组数据按从小到大的顺序排列，那么位于中间位置的数（如果数据的
个数是奇数），或者中间位置两个数的平均数（如果数据的个数是偶数），称为
这组数据的中位数.
例2
求下列两组数据的中位数：
（1）14，11，13，10，17，16，28；
（2）453，442，450，445，446，457，448，449，451，450.
解（1）把这组数据从小到大排列：10，11，13，14，16，17，28.
由于位于中间位置的数是14，因此这组数据的中位数是14.
（2）把这组数据从小到大排列：
442，445，446，448，449，450，450，451，453，457.
由于位于中间位置的两个数是449和450，这两个数的平均数是449 + 450
2
=
449. 5，因此这组数据的中位数是449. 5.
综上可知，中位数把一组数据分成相同数目的两部分，其中一部分都小于
或等于中位数，而另一部分都大于或等于中位数.
因此，中位数常用来描述一组数据的“中间位置”或“中等水平”. 同
时，我们可以发现中位数并没有利用数据组中所有的信息.
经过3年努力，张经理创办的这家企业得到很大发展. 张经理为使自
己能专心从事科技创新，聘请了1 名总经理、2 名副总经理进行管理. 现
该企业已有80名员工（张经理除外），已知某月他们的工资如下：
工资/元
人数
21 000
1
15 000
2
11 000
3
9 000
4
7 000
10
5 500
20
5 000
22
4 500
12
4 200
6
该企业80名员工该月工资数据中出现次数最多的数是多少？
说一说
数学
八年级下册
134
5 000出现了22次，出现的次数最多.
在一组数据中，出现次数最多的数叫作这组数据的众数.
在上面的问题中，5 000是这组数据的众数.
一组数据中某数据多次重复出现时，众数往
往更能反映这组数据的集中趋势.
把上述“说一说”栏目中该企业80 个月工资数据按从小到大的顺序排列，
可以发现这组数据的中位数是5 000 + 5 500
2
= 5 250.
同时，这80个数据的平均数为
xˉ = 1
80（21 000 + 15 000 × 2 + 11 000 × 3 + 9 000 × 4 + 7 000 × 10 +
5 500 × 20 + 5 000 × 22 + 4 500 × 12 + 4 200 × 6）
= 6 115.
把这80个数据的众数、中位数、平均数表示在一起，可得图4. 1-2.
图4. 1-2
由图4. 1-2 可知，工资的平均数6 115 偏高，因为大多数员工的工资都达
不到平均数，所以用它作为该企业员工工资的代表值并不合适.
而众数是5 000，中位数是5 250，它们代表了大多数人的工资水平，不偏
高也不偏低，较能反映工资水平的实际情况.
议一议
如果你是公司总经理、普通员工或应聘者，你会分别关注员工月工
资数据的平均数、中位数、众数中的哪一个？为什么？
一组数据的众数
可以不止一个.
第4章
数据分析
135
平均数、中位数和众数都是一组数据的代表，它们从不同方面反映了数据
的集中趋势，但各有特点. 具体如下：
平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，因此
在现实生活中应用较广，但它容易受极端值的影响；
中位数仅与数据排序后的中间位置有关，因此它不易受极端值的影响；
当一组数据中某些数据多次重复出现时，人们关心的往往是众数，众数也
不易受极端值的影响.
练
习
1 求下列各组数据的中位数：
（1）100，75，80，73，50，60，70；
（2）120，100，130，200，80，140，125，180.
2 某鞋店在某个月内各种鞋号男鞋的销售数据如下表：
鞋号/mm
销售量/双
230
5
235
6
240
6
245
10
250
17
255
10
260
12
265
7
这组已销售男鞋的鞋号数据的众数是多少？这个众数对鞋店店主进货有何
启发？
3 求下面各组数据的众数：
（1）3，4，4，5，3，4，5，6，5，6；
（2）1. 0，1. 1，1. 0，0. 9，0. 8，0. 9，1. 0，0. 9.
习题4. 1
学而时习之
1
某纺织厂订购一批棉花，棉花纤维长短不一，主
要有34 mm，35 mm，36 mm 三种长度. 随机取
出10 g 棉花并测出三种纤维长度的棉花的含量，
得到下面的结果：
数学
八年级下册
136
纤维长度/mm
含量/g
34
2. 5
35
4
36
3. 5
问：这批棉花纤维的平均长度是多少？
2 某地质量检测部门积极响应党中央“推进健康中国建设，深入开展健康中
国行动”的号召，为进一步保障广大市民饮用水质量安全，对所在城市的
40种桶装水产品进行质量测评，得分如下：
分数
品种数
98
1
95
2
90
4
85
10
80
12
75
1
65
5
61
4
50
1
（1）计算它们的平均分数；
（2）指出这组数据的众数和中位数.
3 某超市为即将到来的春节购物潮新进了一批糖果. 这批糖果种类比较多，
且价格不一. 考虑到顾客的需求，该超市打算把糖果混合成杂拌糖出售，
具体搭配的数量及价格如下表所示.
种类
A
B
C
售价/（元/kg）
24
19
28
质量/kg
2
2
6
该超市杂拌糖的售价应该确定为多少才合适？
温故而知新
4 甲、乙、丙三个电子厂家在广告中都声称，他们的某种电子产品在正常情
况下待机时间是12 h，质量检测部门对这三个厂家产品的待机时间进行了
抽样调查，统计结果（单位：h）如下：
甲厂：8，9，9，9，9，11，13，16，17，19；
乙厂：10，10，12，12，12，13，14，16，18，19；
第4章
数据分析
137
丙厂：8，8，8，10，11，13，17，19，20，20.
（1）分别求出以上三组数据的平均数、众数、中位数.
（2）这三个厂家的推销广告分别利用了上述哪一种数字特征来表示待机
时间？
（3）如果你是顾客，宜选择哪个厂家的产品？为什么？
5 某中学校园艺术节期间以班级为单位进行广播体操比赛，比赛评分包括以
下四项内容：服装统一度、进退场秩序、动作规范性、动作整齐性（每项满
分100分）. 其中甲、乙、丙三个班级的比赛得分如下表所示.
班级
甲班
乙班
丙班
服装统一度
95
85
90
进退场秩序
85
85
95
动作规范性
90
95
85
动作整齐性
85
90
90
（1）在不考虑其他因素的情况下，直接计算三个班级在四项评分内容上的
平均得分，哪个班级会获得本次广播体操比赛的第一名？
（2）若对服装统一度、进退场秩序、动作规范性、动作整齐性这四项的得
分，按照1∶2∶3∶4的比例分别计算三个班级的平均得分，哪个班级会获
得本次广播体操比赛的第一名？
6 某天访问A，B 两个新闻类网站的用户数分别为120 000 和40 000，下表是
用户在每个网站的停留时间和关于经济话题调查的统计结果.
网站
A
B
停留时间的平均数/h
0. 4
0. 6
对经济话题感兴趣的百分比/%
26
32
这天两个网站所有用户停留时间的平均数和对经济话题感兴趣的百分比分
别是多少？
数学
八年级下册
138
思
考
刘亮和李飞参加射击训练的成绩（单位：环）如下：
刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；
李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9.
（1）两人的平均成绩分别是多少？
（2）如何反映这两组数据与其平均数的偏离程度？
（1）刘亮成绩的平均数是
7 + 8 + 8 + 9 + 7 + 8 + 8 + 9 + 7 + 9
10
= 8；
李飞成绩的平均数是
6 + 8 + 7 + 7 + 8 + 9 + 10 + 7 + 9 + 9
10
= 8.
即两人的平均成绩相同.
（2）为了直观地看出这两组数据与其平均数的偏离程度，可以用图4. 2-1
来表示数据的分布情况.
图4. 2-1
由上面两幅图可以发现，刘亮的射击成绩大多集中在平均成绩8 环附近，
而李飞的射击成绩与其平均成绩的偏离程度较大.
一组数据中的各数据与这组数据的平均数的偏离程度是数据的一个重要特
征，它反映了一组数据的离散程度或波动大小.
4.2 方
差
139
如何找到一个数来刻画一组数据的离散程度呢？
探
究
设一组数据为x1，x2，…，xn，则这组数据的各个数据与其平均数xˉ的偏差
之和为（x1 - xˉ）+（x2 - xˉ）+ … +（xn - xˉ）= 0. 这时由于出现了正负偏差抵消的
情况，因而无法用各个数据与平均数的偏差之和来刻画这组数据的离散程度.
为解决这一问题，可以用各个数据与xˉ 的差的绝对值之和，或者利用各个
数据与xˉ的差的平方和来刻画这组数据的离散程度.
例如，有两组数据：（1）4，5，6，7，8；（2）3，6，6，6，9.
对于（1），这组数据的平均数xˉ 为6，则这组数据与xˉ 的差的绝对值之和、
这组数据与xˉ的差的平方和分别为
|
| 4 - 6 +
|
|5 - 6 +
|
|6 - 6 +
|
| 7 - 6 +
|
| 8 - 6 = 6，
（4 - 6）2 +（5 - 6）2 +（6 - 6）2 +（7 - 6）2 +（8 - 6）2 = 10.
对于（2），这组数据的平均数xˉ 为6，则这组数据与xˉ 的差的绝对值之和、
这组数据与xˉ的差的平方和分别为
|
| 3 - 6 +
|
|6 - 6 +
|
|6 - 6 +
|
|6 - 6 +
|
|9 - 6 = 6，
（3 - 6）2 +（6 - 6）2 +（6 - 6）2 +（6 - 6）2 +（9 - 6）2 = 18.
由此受到启发，我们可以用各个数据与平均数的差的平方和来刻画数据的
离散程度.
设一组数据为x1，x2，…，xn，各个数据与平均数xˉ 之差的平方和，称为
这组数据的离差平方和，记作S2，即
S2 =（x1 - xˉ）2 +（x2 - xˉ）2 + … +（xn - xˉ）2.
①
离差平方和S2刻画了一组数据与其平均数xˉ的总离散程度.
为了刻画一组数据与其平均数xˉ的平均离散程度，引入下述概念：
设一组数据为x1，x2，…，xn，各个数据与平均数xˉ 之差的平方的平均值，
称为这组数据的方差，记作s2，即
s2 = 1
n［（x1 - xˉ）2 +（x2 - xˉ）2 + … +（xn - xˉ）2］.
②
由①式和②式得，s2 = S2
n . 一组数据的方差越小，表明这组数据的离散程
数学
八年级下册
140
度越小，这组数据也就越稳定. 在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只
适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制.
例1
分别计算本节“思考”栏目中，刘亮和李飞的射击成绩的离差平方
和与方差，并判断谁的射击成绩更稳定.
解
由前面的计算可知，刘亮和李飞的射击平均成绩均为8 环，从而刘亮
的射击成绩的离差平方和是
S2
刘亮=（7 - 8）2 +（8 - 8）2 +（8 - 8）2 +（9 - 8）2 +（7 - 8）2 +（8 - 8）2 +
（8 - 8）2 +（9 - 8）2 +（7 - 8）2 +（9 - 8）2
= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
= 6，
于是方差s2
刘亮= S2
刘亮
n
= 6
10 = 0. 6.
李飞的射击成绩的离差平方和是
S2
李飞=（6 - 8）2 +（8 - 8）2 +（7 - 8）2 +（7 - 8）2 +（8 - 8）2 +（9 - 8）2 +
（10 - 8）2 +（7 - 8）2 +（9 - 8）2 +（9 - 8）2
= 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 1
= 14，
于是方差s2
李飞= 14
10 = 1. 4.
计算结果表明，s2
刘亮< s2
李飞，因此，刘亮的射击成绩比李飞稳定.
例2
两个女声小合唱队各由5名队员组成，她们的身高（单位：cm）为：
甲队：160，162，159，160，159；
乙队：169，165，157，150，164.
试判断哪队队员身高比较整齐.
解
甲队队员的平均身高是
xˉ甲= 1
5（160 + 162 + 159 + 160 + 159）= 160（cm）.
甲队队员身高的离差平方和是
S2
甲=（160 - 160）2 +（162 - 160）2 +（159 - 160）2 +（160 - 160）2 +（159 - 160）2
= 6，
第4章
数据分析
141
于是方差s2
甲= 6
5 = 1. 2.
乙队队员的平均身高是
xˉ乙= 1
5（169 + 165 + 157 + 150 + 164）= 161（cm）.
乙队队员身高的离差平方和是
S2
乙=（169 - 161）2 +（165 - 161）2 +（157 - 161）2 +（150 - 161）2 +（164 - 161）2
= 226，
于是方差s2
乙= 226
5 = 45. 2.
计算结果表明，s2
甲< s2
乙，因此，甲队队员的身高比较整齐.
在计算一组数据x1，x2，…，xn 的离差平方和S2 时，除了可利用①式外，
还可以利用下述公式：
S2 =（x2
1 + x2
2 + … + x2
n）- nxˉ2.
又方差s2 = S2
n ，
于是s2 = 1
n（x2
1 + x2
2 + … + x2
n）- xˉ2.
当一组数据个数很多时，求离差平方和与方差的运算量很大，于是常常借
助计算器来求.
练
习
1 求下列各组数据的离差平方和与方差：
（1）24，24，31，31，47，47，62，84，95，95；
（2）10. 1，9. 8，9. 7，10. 2，10. 3，9. 9，10. 0.
2 李明的班上要派一名选手参加学校田径运动会的100 m赛跑，李明和张亮都
希望自己能参加比赛，他们在训练中10次的测试成绩（单位：s）为：
李明：14. 5，14. 9，14. 2，15. 0，14. 7，14. 1，14. 4，13. 9，15. 5，14. 8；
张亮：14. 8，14. 4，15. 5，14. 1，14. 3，14. 6，14. 1，14. 8，15. 1，14. 3.
根据两人的成绩，应该派谁去参加比赛？
可以自己尝试推导
此公式，试一试.
数学
八年级下册
142
习题4. 2
学而时习之
1 种子是我国粮食安全的关键. 某玉米研究所对两种玉米种子进行改良后，
决定在条件（肥力、日照、通风……）不同的6 块试验田中同时播种并核定
亩产，其结果（单位：kg）统计在下表中：
编号
甲
乙
①
750
745
②
760
780
③
750
775
④
725
725
⑤
755
730
⑥
760
745
哪个品种的产量较稳定，适合推广？
2 甲、乙两地各月的平均气温（单位：℃）如下表所示：
月份
甲
乙
1
-8
11
2
-6
13
3
-2
17
4
8
20
5
13
23
6
18
25
7
21
28
8
19
27
9
14
25
10
7
20
11
-2
17
12
-4
14
试求甲、乙两地月平均气温的离差平方和与方差，并对两地气温变化情况
作出比较.
温故而知新
3 某公司准备盖大楼，有两块土地可供征用，但两块土地都崎岖不平，需要
平整. 现对每块土地确定房基基准高度，然后在两块土地上分别适当地另
取10点，用水平仪测得各点对基准的相对标高（单位：cm）如下表所示：
编号
甲
乙
①
-45
74
②
76
120
③
47
100
④
-26
-70
⑤
135
-44
⑥
84
95
⑦
-61
63
⑧
-38
-50
⑨
76
57
⑩
92
-25
问：哪一块土地比较容易平整？
第4章
数据分析
143
某田径队10名运动员跳远的最好成绩如下：
编号
成绩/m
①
5. 85
②
6. 13
③
6. 11
④
6. 01
⑤
5. 91
⑥
6. 19
⑦
5. 81
⑧
5. 84
⑨
6. 22
⑩
5. 98
教练组拟根椐这组数据将队员分为两组进行分层训练，应当如何划
分呢？
探
究
一种划分的方法是，使得每一组的数据比较稳定，即每一组数据的组内差
异小，组间差异大.
一般地，设一组数据为x1，x2，…，xn，它的平均数为xˉ，离差平方和为
S2. 如果把这组数据分为两组，前m 个数据为第一组，后（n - m）个数据为第
二组，第一组的平均数记作xˉ1，第二组的平均数记作xˉ2，令
S2
1 =（x1 - xˉ1）2 +（x2 - xˉ1）2 + … +（xm - xˉ1）2 +（xm + 1 - xˉ2）2 +（xm + 2 -
xˉ2）2 + … +（xn - xˉ2）2，
S2
2 = m（xˉ1 - xˉ）2 +（n - m）（xˉ2 - xˉ）2，
其中S2
1 称为组内离差平方和，反映了两个组内
数据的离散程度，S2
2 称为组间离差平方和，反
映了两组数据之间的差异程度.
数学上已经证明
S2 = S2
1 + S2
2.
将上述10名运动员跳远的最好成绩的数据从小到大排列，得
5. 81，5. 84，5. 85，5. 91，5. 98，6. 01，6. 11，6. 13，6. 19，6. 22.
观察上述数据，前5 个数据相差不多，后5 个数据也相差不多. 于是可以
尝试把前5 个数据作为第一组，后5 个数据作为第二组，且将第一组数据的平
均数记作xˉ1，第二组数据的平均数记作xˉ2，将这10个数据的平均数记作xˉ.
4.3 数据分类
此结论的证明参见本
节末的“多知道一点”.
144
于是xˉ1 = 1
5（5. 81 + 5. 84 + 5. 85 + 5. 91 + 5. 98）= 5. 878，
xˉ2 = 1
5（6. 01 + 6. 11 + 6. 13 + 6. 19 + 6. 22）= 6. 132，
xˉ= 1
10（5. 81+5. 84+5. 85+5. 91+5. 98+6. 01+6. 11+6. 13+6. 19+
6. 22）
= 6. 005.
因此组内离差平方和S2
1为
S2
1 =（5. 81 - 5. 878）2 +（5. 84 - 5. 878）2 +（5. 85 - 5. 878）2 +（5. 91 -
5. 878）2+（5. 98-5. 878）2+（6. 01-6. 132）2+（6. 11-6. 132）2+
（6. 13 - 6. 132）2 +（6. 19 - 6. 132）2 +（6. 22 - 6. 132）2
= 0. 044 76 .
组间离差平方和S2
2为
S2
2 = 5 ×（5. 878 - 6. 005）2 + 5 ×（6. 132 - 6. 005）2 = 0. 161 29.
另外，这10个数据的离差平方和S2为
S2 =（5. 81 - 6. 005）2 +（5. 84 - 6. 005）2 +（5. 85 - 6. 005）2 +（5. 91 -
6. 005）2 +（5. 98 - 6. 005）2 +（6. 01 - 6. 005）2 +（6. 11 - 6. 005）2 +
（6. 13 - 6. 005）2 +（6. 19 - 6. 005）2 +（6. 22 - 6. 005）2
= 0. 206 05.
又S2
1 + S2
2 = 0. 044 76 + 0. 161 29 = 0. 206 05，
于是S2 = S2
1 + S2
2.
在大数据分析中，数据的分组是重要的方法之一. 虽然可以有多种方法对
数据进行分组，但是，使得“组内离差平方和最小”的方法是最传统的，也是
非常合理的.
思
考
上述分组符合“组内离差平方和最小”的原则吗？
按照组内离差平方和最小的原则，应保证跳远最好成绩相差不多的运动员
在一个组. 将从小到大排列后的10个数据依次分为两组，有下面9种情况：
第4章
数据分析
145
第一组1个数据，第二组9个数据；
第一组2个数据，第二组8个数据；
…；
第一组9个数据，第二组1个数据.
对上面的分组，可以利用计算机设计算法、编写程序，然后依次计算组内
离差平方和（前面已经计算出第一组、第二组各5 个数据的组内离差平方和），
得到下表（结果保留四位小数）：
分组情况
第一组1个，第二组9个
第一组2个，第二组8个
第一组3个，第二组7个
第一组4个，第二组6个
第一组5个，第二组5个
第一组6个，第二组4个
第一组7个，第二组3个
第一组8个，第二组2个
第一组9个，第二组1个
组内离差平方和
0. 163 8
0. 125 1
0. 079 8
0. 051 0
0. 044 8
0. 040 7
0. 074 8
0. 106 1
0. 154 7
计算结果表明，将排序后的前6个数据分为一组，后4个数据分为另一组，
可以使组内离差平方和最小. 即应将编号为①④⑤⑦⑧⑩的运动员分为一组，
其他运动员为另一组进行分层训练. 通过数据也可以看到，这样的分组是合
理的.
练
习
下面是我国9个城市2024年4月份的平均相对湿度（单位：%）：
53，56，61，62，58，58，66，70，65.
将这些平均相对湿度数据分成两组：
第一组，53，56，58，58；第二组，61，62，65，66，70.
试计算上述分组情况下的组内离差平方和.
数学
八年级下册
146
习题4. 3
学而时习之
1 下面是我国8个城市2024年3月的平均气温（单位：℃）：
7. 7，9. 2，12. 3，7. 2，5. 5，18. 1，17. 6，16. 7.
将这些平均气温数据分成两组：
第一组：5. 5，7. 2，7. 7，9. 2；第二组：12. 3，16. 7，17. 6，18. 1.
试计算上述分组情况下的组内离差平方和.
温故而知新
2 （利用计算机完成）下图是我国10 个省份2023 年人均地区生产总值（人均
GDP，单位：万元）的数据.
(第2题图)
如果要把这10个省份依据人均GDP的多少分为两个组，你认为应当如何划
分，并说出划分的理由.
第4章
数据分析
147
S2 = S2
1 + S2
2的证明
设一组数据为x1，x2，…，xn，它的平均数为xˉ，离差平方和为S2.
如果把这组数据分为两组，前m 个数据为第一组，后（n - m）个数据为
第二组，第一、二组的平均数分别记作xˉ1，xˉ2，那么
S2 = S2
1 + S2
2，
其中S2
1 =（x1 - xˉ1）2 +（x2 - xˉ1）2 + … +（xm - xˉ1）2 +（xm + 1 - xˉ2）2 +
（xm + 2 - xˉ2）2 + … +（xn - xˉ2）2，
S2
2 = m（xˉ1 - xˉ）2 +（n - m）（xˉ2 - xˉ）2.
证明
S2 =（x1 - xˉ）2 +（x2 - xˉ）2 + … +（xn - xˉ）2
=［（x1-xˉ）2+（x2-xˉ）2+…+（xm-xˉ）2］+［（xm+1-xˉ）2+
（xm + 2 - xˉ）2 + … +（xn - xˉ）2］
=［（x1-xˉ1+xˉ1-xˉ）2+（x2-xˉ1+xˉ1-xˉ）2+…+（xm-xˉ1+
xˉ1 - xˉ）2］+［（xm + 1 - xˉ2 + xˉ2 - xˉ）2 +（xm + 2 - xˉ2 + xˉ2 -
xˉ）2 + … +（xn - xˉ2 + xˉ2 - xˉ）2］
=［（x1-xˉ1）2+（x2-xˉ1）2+…+（xm-xˉ1）2+（xm+1-xˉ2）2+
（xm + 2 - xˉ2）2 + … +（xn - xˉ2）2］+［2（x1 - xˉ1）+ 2（x2 -
xˉ1）+ … + 2（xm - xˉ1）］（xˉ1 - xˉ）+［2（xm + 1 - xˉ2）+
2（xm+2-xˉ2）+…+2（xn-xˉ2）］（xˉ2-xˉ）+［m（xˉ1-xˉ）2+
（n - m）（xˉ2 - xˉ）2］
= S2
1 + S2
2 + 2［（x1 + x2 + … + xm）- mxˉ1］（xˉ1 - xˉ）+
2［（xm + 1 + xm + 2 + … + xn）-（n - m）xˉ2］（xˉ2 - xˉ）
= S2
1 + S2
2 + 0 + 0
= S2
1 + S2
2.
把一组数据x1，x2，…，xn分成三组，或者分成四组等，也有类似的
结论.
数学
八年级下册
148
北京市2016—2024年全年空气质量优良天数从小到大排列如下：
198，226，227，240，271，276，286，288，290.
这组数据的中位数是多少？小于或等于中位数的数据个数与这组数
据个数的比值、大于或等于中位数的数据个数与这组数据个数的比值是
否都大于50%？
说一说
中位数是271，比值都大于50%.
一般地，设一组数据的个数为n，把这组数据从小到大排列:
（1）小于或等于中位数的数据个数与n 的比值大于或等于50%，大于或等
于中位数的数据个数与n的比值大于或等于50%，于是把中位数叫作第50百分
位数，记作m50. 由于50% = 2
4，因此m50也叫作第二四分位数.
（2）如果有一个数满足“小于或等于这个数的数据个数与n 的比值大于或
等于25%，大于或等于这个数的数据个数与n 的比值大于或等于75%”，那么
称这个数是第25 百分位数，记作m25. 由于25% = 1
4，因此m25 也叫作第一四
分位数.
（3）如果有一个数满足“小于或等于这个数的数据个数与n 的比值大于或
等于75%，大于或等于这个数的数据个数与n 的比值大于或等于25%”，那么
称这个数是第75 百分位数，记作m75. 由于75% = 3
4，因此m75 也叫作第三四
分位数.
第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数这三个数把一组数据分为四
个部分，因此称为四分位数.
4.4 四分位数与箱线图
149
可以证明：若1
4 n等于整数k，则m25 为第k个数与第（k+1）个数的平均数；
若1
4 n不是整数，用l表示比1
4 n大的最小整数，则m25为第l个数. 类似地，若
3
4 n 等于整数r，则m75 为第r 个数与第（r+1）个数的平均数；若3
4 n 不是整数，
用s表示比3
4 n大的最小整数，则m75为第s个数.
北京市2016—2024 年全年空气质量优良天数的第二四分位数是271；由于
1
4 × 9 = 2.25，因此第3 个数227 是第一四分位数；由于3
4 × 9 = 6.75，因此第
7个数286是第三四分位数.
例1
一组男生的身高（单位：cm）数据为
165，154，175，172，168，150，178，182，161，180.
求这组数据的第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数.
解
把这组数据从小到大排列：
150，154，161，165，168，172，175，178，180，182.
这组数据的中位数是1
2 ×（168 + 172）= 170，即第二四分位数是170.
因为1
4 × 10 = 2. 5，所以第3个数161是第一四分位数.
因为3
4 × 10 = 7. 5，所以第8个数178是第三四分位数.
例2
一组数据为：
3. 62，4. 13，2. 60，3. 95，4. 90，2. 75，
3. 64，4. 70，6. 58，3. 86，4. 78，5. 47.
求这组数据的四分位数.
解
把这组数据从小到大排列：
2. 60，2. 75，3. 62，3. 64，3. 86，3. 95，4. 13，4. 70，4. 78，4. 90，
5. 47，6. 58.
数学
八年级下册
150
这组数据的中位数是3. 95 + 4. 13
2
= 4. 04，即第二四分位数是4. 04.
因为1
4 × 12 = 3，所以第3 个数与第4 个数的平均数3. 62 + 3. 64
2
= 3. 63
是第一四分位数.
因为3
4 × 12 = 9，所以第9个数与第10个数的平均数4. 78 + 4. 90
2
= 4. 84
是第三四分位数.
练
习
求下列各组数据的第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数：
（1）49，55，65，52，44，62，57，56，58；
（2）12. 3，11. 5，11. 8，13. 2，11. 0，12. 2，12. 5，10. 2；
（3）423，430，415，427，420，432，421，428，422，425，402.
思
考
一组数据的第一四分位数和第三四分位数有什么用处呢？
本节开篇“说一说”栏目中列出的北京市2016-2024 年全年空气质量优
良天数数据，其第一四分位数是227，第三四分位数是286.
小于或等于227的数据有198，226，227，则它的个数3与这组数据的总个
数9 的比值3
9 > 25%. 大于或等于286 的数据有286，288，290，则它的个数3
与这组数据的总个数9的比值3
9 > 25%.
从这个例子受到启发，可得下述结论：对于一组数据，将小于或等于第一
四分位数的数据个数与大于或等于第三四分位数的数据个数相加，所得和与这
组数据的总个数的比值大于或等于50%，如图4. 4-1所示.
图4. 4-1̶
 ᰭ
ᄼթᰭ
๔թ
第4章
数据分析
151
数学上已经证明上述结论成立.
进一步可知：
一组数据的第三四分位数减去第一四分位数的差可以用来刻画这组数据的
分散程度，第三四分位数减去第一四分位数的差越大，这组数据就越分散.
例3
某工厂生产了一批某种型号的机械零件，从甲车间生产的零件中用
简单随机抽样方法抽取14个零件，测得它们的质量（单位：g）如下：
257，243，249，245，253，248，256，
246，252，247，250，254，260，251.
从乙车间生产的零件中用简单随机抽样方法抽取14个零件，测得它们的质
量（单位：g）如下：
249，253，241，251，243，250，246，
256，262，258，247，259，239，240.
甲车间和乙车间生产的14个零件的质量数据，哪一组比较分散？
解
将甲车间生产的14个零件的质量数据从小到大排列：
243，245，246，247，248，249，250，251，252，253，254，256，
257，260.
因为1
4 × 14 = 3. 5，所以第4个数247是第一四分位数.
因为3
4 × 14 = 10. 5，所以第11个数254是第三四分位数.
于是甲车间生产的14个零件的质量数据的第三四分位数减去第一四分位数
的差是254 - 247 = 7.
将乙车间生产的14个零件的质量数据从小到大排列：
239，240，241，243，246，247，249，250，251，253，256，258，
259，262.
因为1
4 × 14 = 3. 5，所以第4个数243是第一四分位数.
因为3
4 × 14 = 10. 5，所以第11个数256是第三四分位数.
于是乙车间生产的14个零件的质量数据的第三四分位数减去第一四分位数
数学
八年级下册
152
的差是256 - 243 = 13.
又13 > 7，故乙车间生产的14个零件的质量数据比较分散.
例3 中甲车间生产的14 个零件的质量数据的中位数是250. 5，乙车间生产
的14个零件的质量数据的中位数是249. 5，利用甲车间和乙车间生产的各14个
零件的质量数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值，
可绘制出图4. 4-2.
DK
DK͚
Ѻ᪝͚
Ѻ᪝
图4. 4-2
由图4. 4-2可知，乙车间生产的14个零件的质量数据比甲车间的质量数据
分散. 像图4. 4-2 这样，由一组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三
四分位数、最大值这5 个数绘制而成的图是这组数据的箱线图，它是由矩形
“箱子”和从箱子延伸出的两条线段构成的图形，直观地表示了这组数据的分
布状态. 将一组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大
值这5个数画在一条水平数轴上，也可以作出这组数据的箱线图.
练
习
小明家2月17日至2月24日每天的燃气用量（单位：m3）为
1. 31，1. 26，1. 41，1. 21，1. 50，1. 34，1. 43，1. 39；
3月1日至3月8日每天的燃气用量为
1. 25，1. 33，1. 00，1. 45，1. 69，1. 36，1. 24，1. 35.
这两组数据中哪组数据比较分散？
第4章
数据分析
153
习题4. 4
学而时习之
1 求下列各组数据的四分位数：
（1）240，253，262，238，256，265，241，244，250；
（2）173，174，166，172，170，165，166，168，164，155，157，163，
161，171，148，162.
2 某校八年级（1）班组织20 名同学参加培植绿豆芽活动，某一天其中10 名同
学培植的绿豆芽的长度（单位：cm）如下：
5. 18，5. 14，5. 10，5. 14，5. 10，5. 13，5. 15，5. 12，5. 13，5. 16.
另外10名同学培植的绿豆芽的长度（单位：cm）如下：
5. 32，5. 29，5. 14，5. 13，5. 27，5. 12，5. 10，5. 15，5. 11，5. 16.
这两组绿豆芽的长度，哪组比较分散？
温故而知新
3 某银行有A 和B 两个理财经营团队. 近三年，这两个理财团队分别负责经
营12项理财产品，收益率（单位：%）如下：
A. 4. 77，3. 98，5. 44，4. 89，2. 15，3. 85，
3. 64，3. 21，3. 18，2. 02，4. 11，4. 10.
B. 3. 18，3. 84，3. 99，3. 67，3. 40，3. 60，
4. 10，4. 21，4. 15，4. 44，3. 87，3. 91.
（1）分别计算A 和B 两个团队理财产品收益
率数据的四分位数；
（2）如图是A 和B 两个团队理财产品收益率
数据的箱线图，试根据箱线图评价A 和B 两
个团队的经营水平.
（第3题图）
数学
八年级下册
154
前面学习了抽样调查，以及把调查收集到的数据用统计图来整理与描述，
现在来进一步学习借助统计图表了解数据的分布情况，解释数据中蕴含的信息.
4􀆰5􀆰1 频数与频率
思
考
为广泛开展全民健身活动，促进群众体育全面发展，加快建设体育强
国，某单位组织全体员工进行爬山比赛，其中50 名报名者的年龄（单位：
岁）如下：
22
25
27
35
37
49
48
52
57
59
60
26
58
39
41
45
47
23
26
30
32
33
36
43
29
20
23
20
51
53
50
34
38
58
26
48
34
37
51
55
21
38
40
54
42
60
21
25
26
55
为了公平起见，拟将这50名员工分成甲组（35岁以下）、乙组（35~50
岁）、丙组（50岁以上）进行分组竞赛.
请对上述数据加以整理，并借助统计图表表示出来.
可以采用“画记”的方法得到下表：
组别
甲组（35岁以下）
乙组（35~50岁）
丙组（50岁以上）
画记
正正正正
正正正
正正
报名人数
20
17
13
根据上表可以发现，甲组报名人数最多，乙组其次，丙组最少.
每一个小组中的数据个数称为频数. 例如，上表中20，17，13 分别是甲
4.5 数据的频数分布
155
组、乙组、丙组的频数.
每一组的频数与数据总数的比值叫作
这一组数据的频率. 例如，上表中甲组的
频数为20，频率为20
50 = 0. 4.
当然还可以用条形图（图4. 5-1）来表
示各组人数.
例1
小芳参加校射击队，在一次射击训练中，她先射击了15 次，教练对
其射击方法做了一些指导后，又射击了15次.
小芳前15次射击的成绩如下表所示：
次数
环数
1
7
2
8
3
7
4
7
5
8
6
9
7
8
8
8
9
9
10
7
11
8
12
7
13
7
14
9
15
9
小芳后15次射击的成绩如下表所示：
次数
环数
16
8
17
8
18
7
19
10
20
8
21
9
22
9
23
8
24
9
25
10
26
10
27
9
28
9
29
8
30
10
（1）用表格分别表示小芳射击训练中前15 次和后15 次射击成绩的频数和
频率（精确到0. 01）.
（2）分别求出前15 次和后15 次射击成绩的平均数（精确到0. 01），比较射
击成绩的变化.
解（1）经整理可得，小芳前15次和后15次射击成绩的频数和频率分别如
表（1）和表（2）所示.
表（1）
环数
频数
频率
7
6
0. 40
8
5
0. 33
9
4
0. 27
10
0
0
表（2）
环数
频数
频率
7
1
0. 07
8
5
0. 33
9
5
0. 33
10
4
0. 27
图4. 5-1
数学
八年级下册
156
由表（1）可以看出，小芳前15 次的射击成绩中，7 环最多，8 环其次，9 环
较少，10环没有.
由表（2）可以看出，小芳后15 次的射击成绩中，7 环最少，8 环和9 环最
多，10环有4次.
（2）前15次射击成绩的平均数是：
7 × 6 + 8 × 5 + 9 × 4 + 10 × 0
15
= 7 × 6
15 + 8 × 5
15 + 9 × 4
15 + 10 × 0
15
≈7. 87.
同理可求得，后15次射击成绩的平均数是8. 80.
小芳后15次射击成绩的平均数大，说明调整射击方法后，她得高分的次数
增加，平均成绩得到了提高.
我国现在流通的硬币有正反两面，有国徽的一面称为“正面”，另一面称
为“反面”. 掷一枚硬币，当硬币落在桌面上时，可能出现“正面朝上”，也可
能出现“反面朝上”. 每次掷币，两种情形必然出现一种，也只能出现一种.
究竟出现哪种情形，在掷币之前无法预测，只有掷币之后才能知道.
与同桌同学合作，掷10次硬币，并把10次试验结果记录在下表中：
次数
结果（填“正”或“反”）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（1）计算“正面朝上”和“反面朝上”的频数各是多少，它们之间
有什么关系？
（2）计算“正面朝上”和“反面朝上”的频率各是多少，它们之间
有什么关系？
做一做
假设某同学掷10次硬币的结果如下：
可以发现，前15次射
击成绩的平均数是以频率
为权数的加权平均数.
第4章
数据分析
157
次数
结果
1
反
2
正
3
正
4
正
5
反
6
反
7
反
8
正
9
反
10
反
由上表可知，出现“正面朝上”的频数是4，频率为4
10 = 0. 4；出现“反
面朝上”的频数是6，频率为6
10 = 0. 6.
可以发现，“正面朝上”和“反面朝上”的频数之和为试验总次数，而这
两种情况的频率之和为1.
一般地，如果重复进行n 次试验，某个试验结果出现的次数m 称为这个试
验结果在这n次试验中出现的频数，而频数与试验总次数的比值m
n 称为这个试
验结果在这n次试验中出现的频率.
议一议
一次掷两枚硬币，用A，B，C分别代表可能发生的三种情形：
A. 两枚硬币都是“正面朝上”；
B. 两枚硬币都是“反面朝上”；
C. 一枚硬币“正面朝上”，另一枚硬币“反面朝上”.
每次掷币都发生A，B，C三种情形中的一种，并且只发生一种.
现在全班同学每人各掷两枚硬币5次，记录所得结果，将全班的结果
汇总填入下表中，并计算频率.
情形
A
B
C
合计
频数
频率
根据上表判断，哪一种情形出现的频率高？
数学
八年级下册
158
练
习
1 某班进行1 min跳绳测验，40 名同学的跳绳成绩（单位：次）如下：
150
125
148
130
100
135
152
136
170
147
156
147
140
158
60
149
120
161
65
151
130
168
149
138
160
172
150
196
170
148
166
167
180
130
157
145
190
140
148
166
（1）按每分钟不足65 次为“不及格”，65~129 次为“及格”，130~150 次
为“良”，150次以上为“优”，编制成绩统计表（用频数和频率表示）.
（2）计算这个班的及格率.
2 将全班分为若干组，每组同学抛掷一枚硬币40 次，记录出现“正面朝上”
的结果，然后将各组的试验结果汇总，完成下表：
累计掷币次数
“正面朝上”的频数m
“正面朝上”的频率m
n
40
80
120
160
200
240
根据上表，在下图中绘制“正面朝上”的频率变化折线统计图.
2@ᣤጮ ᪝
（第2题图）
第4章
数据分析
159
4􀆰5􀆰2 频数直方图
思
考
为了了解居民的消费水平，某调查组在某小区随机调查30户家庭6月
份饮食支出（单位：元）的情况，得到下表：
家庭编号
支出金额
家庭编号
支出金额
家庭编号
支出金额
①
1 804
􀃊
􀁉
􀁓
1 820
􀃊
􀁊
􀁓
1 776
②
1 844
􀃊
􀁉
􀁔
1 804
􀃊
􀁊
􀁔
1 796
③
1 956
􀃊
􀁉
􀁕
1 824
􀃊
􀁊
􀁕
1 828
④
1 830
􀃊
􀁉
􀁖
1 740
􀃊
􀁊
􀁖
1 844
⑤
1 780
􀃊
􀁉
􀁗
1 824
􀃊
􀁊
􀁗
1 766
⑥
1 820
􀃊
􀁉
􀁘
1 812
􀃊
􀁊
􀁘
1 836
⑦
1 900
􀃊
􀁉
􀁙
1 788
􀃊
􀁊
􀁙
1 764
⑧
1 830
􀃊
􀁉
􀁚
1 872
􀃊
􀁊
􀁚
1 838
⑨
1 820
􀃊
􀁉
􀁛
1 758
􀃊
􀁊
􀁛
1 730
⑩
1 784
􀃊
􀁊
􀁒
1 876
􀃊
􀁋
􀁒
1 826
如何更直观地了解这30户家庭6月份饮食支出的分布情况呢？
由于上述数据较多，且分布比较零散，于是可以先进行适当分组，并借助
表格统计各组的频数，以便分析数据的分布规律.
（1）分组
①确定最小值m和最大值M.
由表中可以看出，编号􀃊
􀁊
􀁛的家庭月饮食支出最低，编号③的家庭月饮食支
出最高，故
m = 1 730，M = 1 956.
②确定组距和组数.
把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点数据之间的距离称为组距.
根据问题的需要，各组的组距可以相同也可以彼此不同. 本问题中，我们作等
距分组.
为了分组的方便，一般取略小于m 的数作为第一组的下限，同时取略大于
M 的数作为最后一组的上限，如分别取1 720和1 960. 假定取组距为40元，则
可分为
数学
八年级下册
160
1 960 - 1 720
40
= 6（组）.
于是，所分6组依次为
1 720 ≤x < 1 760，1 760 ≤x < 1 800，1 800 ≤x < 1 840，
1 840 ≤x < 1 880，1 880 ≤x < 1 920，1 920 ≤x < 1 960.
提示
组距和组数的确定没有固定的标准，可根据所研究的具体问题来确
定. 当数据在100个以内时，可依数据个数的多少，分成5~12组.
（2）列频数分布表
统计每组中数据的个数（频数），可以得到下面的频数分布表，同时为避免
数据的重复和遗漏，仍采用“画记”的方法.
分组
1 720 ≤x < 1 760
1 760 ≤x < 1 800
1 800 ≤x < 1 840
1 840 ≤x < 1 880
1 880 ≤x < 1 920
1 920 ≤x < 1 960
画记
正
正正
频数
3
7
14
4
1
1
（3）绘制频数直方图
为了更直观地反映一组数
据的分布情况，可以频数分布
表为基础，绘制出频数直方图
（简称直方图）.
在图4. 5-2 中，横轴表示
月饮食支出，纵轴表示频数，
以组距为宽，频数为高作小矩
形，就可得到直方图.
图4. 5-2
第4章
数据分析
161
提示
在绘制频数直方图时，应注意：
①横轴和纵轴加上适当的刻度，标明各轴所代表的名称和单位；
②各个小矩形之间无空隙；
③小矩形的边界对应于各组的组界.
说一说
观察图4. 5-2所示的频数直方图.
（1）这30户家庭的月饮食支出主要集中在哪一组？
（2）是月饮食支出超过1 880元的家庭多，还是月饮食支出不足1 800
元的家庭多？
这30 户家庭的月
饮食支出主要集中在
1 800~1 840组.
月饮食支出不足1 800
元的家庭多于月饮食支出
超过1 880元的家庭.
议一议
把图4. 5-2中的频
数直方图的纵轴改成
“
频数
组距”，重新计
算后得到图4. 5-3，此
时，小矩形的面积表
示什么？
ᰵNNᩜ
ܧٰ
图4. 5-3
经过计算可以发现，
小矩形的面积=组距×频数
组距=频数.
数学
八年级下册
162
例2
为了了解某中学八年级两个班男生的身体发育情况，用简单随机抽
样方法抽取40名男生，对他们的身高（单位：cm）进行了测量，结果如下：
170
163
165
171
162
176
157
168
166
172
174
167
160
162
167
168
161
172
164
176
155
158
161
172
170
169
168
169
166
166
175
165
160
170
160
169
164
158
161
161
（1）制作样本的频数分布表，绘制频数直方图.
（2）根据频数直方图分析，身高在哪个范围内的人数最多？有多少人？40
名男生的平均身高在这个范围内吗？
解（1）在样本数据中，最大值是176，最小值是155，它们的差是21.
取组距为5 cm，则21
5 = 4. 2，可分为5 组，即155 ≤x < 160，160 ≤x <
165，165 ≤x < 170，170 ≤x < 175，175 ≤x < 180.
频数分布表如下：
分组
155 ≤x < 160
160 ≤x < 165
165 ≤x < 170
170 ≤x < 175
175 ≤x < 180
画记
正正
正正
正
频数
4
12
13
8
3
根据上表绘制频数直方图，如图4. 5-4所示.
图4. 5-4
第4章
数据分析
163
（2）从频数直方图中可以看出，身高在165 ≤x < 170 范围内的人数最多，
有13 人. 计算可得，这40 名男生的平均身高是165. 95 cm，在165 ≤x < 170
的范围内.
练
习
为进一步弘扬劳动精神、奋斗精神、奉献精神、创造精神、勤俭节约精神，
某校举行“培育时代新风新貌知识竞赛”. 已知该校八年级20名参赛选手的
成绩（满分100分）如下：
85，75，80，85，80，90，70，95，85，85，
85，95，85，90，85，100，95，90，95，80.
（1）将上述数据分组，制作频数分布表，并绘制出频数直方图.
（2）选手们的成绩在哪个范围内最多？八年级参赛选手的平均成绩在这个
范围内吗？
习题4. 5
学而时习之
1
某中学八年级（2）班40 名同学投票选举班长，候选人包括小诚、小鹏、小
华和小天四位. 为了方便记录，他们的得票分别以C，P，H，T 来代表，
投票结果如下：
P
T
T
T
P
P
H
T
H
H
P
C
C
T
C
H
C
C
P
P
C
C
H
P
T
T
H
T
H
P
T
H
P
P
T
T
T
H
C
P
（1）请根据上述投票结果完成下表：
得票人
频数
频率
C
P
H
T
数学
八年级下册
164
（2）如果得票最高的候选人当选为班长，则四人中哪一位当选？
2 李老师为了解本班学生的作息时间，调查了班上50 名学生上学路上花费的
时间，他发现学生所花时间都少于50 min，然后整理调查数据，作出如图所示
的频数直方图.
（第2题图）
（1）该班学生上学路上花费的时间在哪个范围内最多？
（2）该班学生上学路上花费的时间在30 min及以上的人数占全班人数的百分
比是多少？
3 某中学为了了解学生的课外阅读情况，就“我最喜爱的课外读物”从文学、
艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每名同学仅选一项），并根据
调查结果制作了下表：
类别
文学
艺术
科普
其他
合计
频数（人数）
84
22
66
28
200
频率
0. 42
0. 11
0. 33
0. 14
1
（1）在这次抽样调查中，哪类读物最受学生欢迎？哪类读物受欢迎程度
最低？
（2）若学校计划购买3 000册图书，你能对购书计划提出什么好的建议吗？
第4章
数据分析
165
温故而知新
4 下面数据是截至2022年菲尔兹奖①得主获奖时的年龄（单位：岁）：
29
36
33
34
35
39
31
32
33
40
35
39
29
40
39
33
32
35
36
37
39
38
36
36
31
27
37
37
37
40
33
34
39
40
34
35
29
38
31
37
31
34
40
38
39
31
38
38
38
35
37
32
37
40
37
32
35
39
40
38
38
36
38
37
请将以上数据适当分组，制作频数分布表及频数直方图，并说明哪个年龄
段的数学家获奖人数最多.
5 完成以下统计活动.
（1）统计全班同学的立定跳远成绩（单位：cm）.
（2）将收集的数据适当分组，列频数分布表.
（3）根据频数分布表，绘制频数直方图.
（4）在频数直方图中，哪一组范围内的人数最多？本班同学的平均跳远成
绩在这一范围内吗？
①菲尔兹奖是一个在国际上享有崇高声誉的数学奖项，每4年评选一次，主要授予40岁以下作出杰出贡
献的数学家.
数学
八年级下册
166
我们知道，当研究某个对象时，如果能得到它的全部数据（可以看作是总
体），就可以直接利用平均数刻画总体的平均水平，利用方差刻画它的离散程
度，此时得到的平均数、方差分别称为总体平均数、总体方差. 在实际问题
中，总体的数据个数往往非常多或者不能全部得到，于是，我们把根据样本数
据计算得到的平均数（或方差），叫作样本平均数（或样本方差）.
有人提出：用简单随机抽样方法抽取一个样本，计算样本的平均数
和方差，然后分别用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差. 这
种做法合理吗？
议一议
简单随机抽样方法能使得每次抽取时，总体中每个个体都有同等的机会被
取到，并且在整个抽样过程中，前面取到的个体不影响后面的个体被取到的机
会，于是上述做法合理. 数学上已经证明：
当样本的容量足够大时，可以用简单随机样本的平均数作为总体平均数的
一个估计值，用简单随机样本的方差作为总体方差的一个估计值.
例
某工厂有甲、乙两个车间，准备生产一批某种型号的机械零件. 为确
保质量，先进行试生产，于是需要了解甲车间试生产的这批零件的质量的平均
数和离散程度. 把这批零件的质量作为总体，用简单随机抽样方法从总体中抽
取100个零件，测量它们的质量，整理后得到下表：
质量/g
零件个数
238
1
241
5
244
9
247
19
250
24
253
22
256
11
259
6
262
1
265
2
（1）求甲车间试生产的这批零件的质量的平均数的一个估计值；
（2）求甲车间试生产的这批零件的质量的方差的一个估计值.
4.6 总体的平均数与方差的估计
167
解
用简单随机抽样方法从总体中抽取的100 个零件的质量是一个样本，
将这个样本的平均数记作xˉ甲，方差记作s2
甲.
（1）xˉ甲= 1
100（238×1+241×5+244×9+247×19+250×24+
253×22+256×11+259×6+262×1+265×2）
= 250. 6.
于是甲车间试生产的这批零件的质量的平均数的一个估计值是250. 6 g.
（2）s2
甲= 1
100［（238-250. 6）2×1+（241-250. 6）2×5+（244-250. 6）2×
9+（247-250. 6）2×19+（250-250. 6）2×24+（253-250. 6）2×
22+（256-250. 6）2×11+（259-250. 6）2×6+（262-250. 6）2×
1 +（265 - 250. 6）2 × 2］
= 26. 82.
于是甲车间试生产的这批零件的质量的方差的一个估计值是26. 82.
在上例中，如果从该工厂乙车间试生产的零件中用简单随机抽样方法
抽取100个零件，测量它们的质量，整理后得到下表：
质量/g
零件个数
236
2
240
7
242
8
245
16
250
23
252
21
254
12
256
7
260
3
268
1
比较甲车间与乙车间试生产的零件质量，哪个车间生产的零件质量更
稳定？
思
考
把甲车间试生产的零件质量作为第一个总体，用简单随机抽样方法从这个
总体中抽取的100个零件的质量是这个总体的一个样本.
由上例可知，甲车间试生产的零件质量的平均数的一个估计值是250. 6 g，
方差的一个估计值是26. 82.
把乙车间试生产的零件质量作为第二个总体，用简单随机抽样方法从这个
总体中抽取的100个零件的质量是这个总体的一个样本.
数学
八年级下册
168
于是第二个总体的样本的平均数为
xˉ乙= 1
100（236 × 2 + 240 × 7 + 242 × 8 + 245 × 16 + 250 × 23 + 252 ×
21 + 254 × 12 + 256 × 7 + 260 × 3 + 268 × 1）
= 249. 38.
方差为
s2
乙= 1
100［（236 - 249. 38）2 × 2 +（240 - 249. 38）2 × 7 +（242 - 249. 38）2 ×
8+（245-249. 38）2×16+（250-249. 38）2×23+（252-249. 38）2×
21+（254-249. 38）2×12+（256-249. 38）2×7+（260-249. 38）2×
3 +（268 - 249. 38）2 × 1］
= 31. 175 6.
于是乙车间试生产的零件质量的平均数的一个估计值是249. 38 g，方差的
一个估计值是31. 175 6.
由于26. 82 < 31. 175 6，因此甲车间试生产的零件质量更稳定.
练
习
某工厂准备购买一批某种型号的钉子，从甲公司生产的钉子中用简单随机
抽样方法抽取50枚钉子，测量它们的长度，整理后得到下表：
长度/cm
钉子个数
2. 10
2
2. 12
5
2. 14
7
2. 15
10
2. 16
12
2. 18
8
2. 20
4
2. 28
2
从乙公司生产的钉子中用简单随机抽样方法抽取50 枚钉子，测量它们的长
度，整理后得到下表：
长度/cm
钉子个数
2. 12
2
2. 13
4
2. 14
6
2. 15
12
2. 16
13
2. 17
7
2. 19
4
2. 21
2
（1）求甲公司生产的钉子长度的平均数和方差的估计值；
（2）求乙公司生产的钉子长度的平均数和方差的估计值；
（3）比较甲、乙公司生产的钉子长度，哪家公司生产的钉子长度更稳定？
第4章
数据分析
169
习题4. 6
学而时习之
1 某养殖户为了解某种鱼的生长情况，从池塘中捕捞了20 条这种鱼，称得它
们的质量（单位：kg）如下：
1. 15
1. 04
1. 11
1. 07
1. 10
1. 32
1. 25
1. 19
1. 15
1. 21
1. 18
1. 14
1. 09
1. 25
1. 21
1. 29
1. 16
1. 24
1. 12
1. 16
估计该池塘中这种鱼的平均质量.
2 A，B 两天然养殖场都产鸡蛋，现从A，B 两养殖场所产鸡蛋中采用简单随
机抽样方法各抽取了50 个，测量它们的最大直径，并进行整理，分别得到
下表.
A养殖场所产50个鸡蛋的最大直径表
直径/cm
个数
2. 9
2
3. 0
7
3. 1
15
3. 2
16
3. 3
8
3. 4
2
B养殖场所产50个鸡蛋的最大直径表
直径/cm
个数
2. 9
1
3. 1
3
3. 2
6
3. 4
13
3. 5
15
3. 6
8
3. 7
3
3. 8
1
比较A，B两养殖场所产鸡蛋的最大直径，哪个养殖场所产鸡蛋大小趋于接
近，并说明理由.
温故而知新
3 某农科院在某地区选择了自然条件相同的两个试验区，用相同的管理技术
试种甲、乙两个品种的水稻各10 公顷. 如何确定哪个品种的水稻在该地区
更有推广价值呢？请你设计一个可行的方案.
数学
八年级下册
170
思
考
某工厂生产了一批产品，有合格品和次品. 我们一般将次品的件数与
这批产品的总件数的比值称为次品率. 如何估计这批产品的次品率呢？
用简单随机抽样方法从这批产品中抽取一个容量为n 的样本，设这个样本
中有m件次品，则m
n 称为这个样本的次品率.
一般地，当样本的容量足够大时，可以用简单随机样本的次品率作为总体
的次品率的一个估计值.
例1
某工厂生产了一批产品，用简单随机抽样方法从这批产品中抽取100
件检查，发现有3件次品，试估计这批产品的次品率.
解
抽取的100 件产品组成一个样本，这个样本的次品率是3
100，因此这
批产品的次品率的一个估计值是3%.
议一议
我们已经学习了频数和频率，可以用样本的频率估计总体的频率吗？
如可以，对样本有什么要求？
很自然地会想到用简单随机抽样方法从总体中抽取一个样本，用这个样本
的频率去估计总体的频率.
一般地，当样本的容量足够大时，可以用简单随机样本的频率作为总体的
频率的一个估计值.
例2
在除夕夜，全国收看《春节联欢晚会》的观众户数占全国观众总户
数的比率称为《春节联欢晚会》的收视率.
2024 年除夕夜，一媒介研究公司
4.7 统计的简单应用
70
60
50
40
150155160165170175180x/
y/
171
采用简单随机抽样方法调查了20 000 户观众，其中有6 586 户观众收看了《春
节联欢晚会》. 求这届《春节联欢晚会》的收视率的一个估计值.
解
从总体中用简单随机抽样方法抽取20 000户观众，经调查，这个样本
中收看《春节联欢晚会》的观众有6 586户，从而这个样本的收视率是6 586
20 000 =
32. 93%. 因此，32. 93%是这届《春节联欢晚会》收视率的一个估计值.
为了解某中学某班学生的身体发育情况，用简单随机抽样方法抽取8
名学生，测量他们的身高和体重，得到下表所示数据：
编号
身高x/cm
体重y/kg
①
150
40
②
155
45
③
160
53
④
162
57
⑤
166
55
⑥
168
57
⑦
171
58
⑧
176
65
在平面直角坐标系中，尝试用一个图形来描述他们的身高与体重的
关系.
做一做
为了直观地表示他们的身高与体重
的关系，可以建立一个平面直角坐标系，
其中x 轴表示身高，y 轴表示体重. 上述
样本中每名学生的身高和体重组成一个
有序实数对，对应平面上的一个点. 这
些点组成的图形就是样本数据的散点图，
如图4. 7-1所示.
从散点图可以看出，这些散点大致分布在一条直线附近. 这启发我们猜
想，该班学生的体重y（kg）与身高x（cm）的关系趋势可以近似为一次函数关系，
于是猜测它们之间的关系式为
y ≈a + bx，
其中a，b为常数，且需要由样本数据去估计a，b的值.
图4. 7-1
数学
八年级下册
172
如何估计a，b 的值？一个想法是，找出一
条直线l，使它能较好地描述散点图的分布趋势，
即直线l 与散点图中各个点总体上最接近. 如图
4. 7-1 中的直线，称为该班学生的体重关于身高
的趋势图.
由图4. 7-1 可以推断，从大体上看，在一定时期内，该班学生的体重随着
身高的增加而增加.
假设我们求出了该班学生的体重y 关于身高x 的趋势图的表达式为
y ≈-90. 439 + 0. 882x，则对于该班的学生，可以利用这个表达式，求出已知
身高的学生的一个体重预测值. 例如，该班身高为169 cm的学生，其体重的一
个预测值为
-90. 439 + 0. 882 × 169 ≈58. 6（kg）.
在生活中，结合七年级下册知识可知，为了解某方面的情况，我们需要根
据实际情况收集相关数据，然后将数据整理后，以恰当的方式表示出来，并进
行统计分析，最后再根据分析结果进行合理决策. 这一过程可用如下流程图
表示：
练
习
1 某地区教育部门对该地区八年级学生进行了“综合素质”评价，评价的结
果分为A（优）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级. 从中采用简单
随机抽样方法抽取的600 名学生的结果如下：A 级280 人，B 级198 人，C
级120人，D 级2人. 试据此估计该地区八年级学生“综合素质”为A 级的
百分比，“综合素质”为B级的百分比.
2 为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某市在中学生中举行了一次
“环保知识竞赛”. 为了了解本次竞赛的成绩情况，用简单随机抽样方法抽
如何确定a，b 的值，
将在高中阶段学习.
第4章
数据分析
173
取了500 名参赛学生的成绩x（得分均为整数，满分为100 分），整理后得到
下表：
分数范围
人数
51 ≤x < 61
40
61 ≤x < 71
80
71 ≤x < 81
100
81 ≤x < 91
160
91 ≤x < 101
120
试估计参赛学生的成绩在71分至90分之间的百分比.
习题4. 7
学而时习之
1 一个口袋中有红球、白球共10 个，这些球除颜色外都相同. 将口袋中的球
搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重
复这一过程，共摸了200次球，发现有140次摸到红球，由此估计这个口袋
中红球有（
）
（A）3个
（B）4个
（C）6个
（D）7个
2 某龙虾养殖户为了估计池塘里龙虾的数目，第一次捕捞了576 只龙虾，将
这些龙虾一一做上标记后放回池塘. 几天后，第二次捕捞了2 104 只龙虾，
发现其中有24只龙虾身上有标记，试估计该池塘里约有多少只龙虾.
温故而知新
3 下面是2018—2023年全国居民人均可支配收入统计表：
年份
人均可支配收入/元
2018
28 228
2019
30 733
2020
32 189
2021
35 128
2022
36 883
2023
39 218
（1）以年份为横坐标，以人均可支配收入为纵坐标，建立平面直角坐标
系，并根据上表数据在该坐标系中描出各点；
（2）试用直线表示全国居民人均可支配收入在近几年内的发展趋势.
数学
八年级下册
174
用计算机求数据的数字特征
我们可以利用计算机软件求出一组数据的平均数、中位数、众数和方差.
例如，在某次比赛中，8位大众评委给选手甲打的分为：
9. 8，9. 5，9. 5，9. 3，9. 4，8. 8，9. 5，9. 6.
具体步骤
1. 打开某计算机软件，将上述数据输入表格A1 至H1 单元格中，在单元
格A2 中输入公式“=AVERAGE（A1：H1）”即可求出这8 个数据的平均数，
这个计算过程也可以通过“公式”菜单插入相应的统计函数来实现.
2. 在单元格B2 中输入公式“=MEDIAN（A1：H1）”可以求出这8 个数
的中位数，在单元格C2 中输入“=MODE（A1：H1）”可以求出这8 个数的众
数，在单元格D2 中输入“=VARP（A1：H1）”可以求出这8 个数的方差
（如图1）.
图1
操作与思考
1. 如图2所示，当比赛选手很多，需要处理大量数据时，该怎样计算每个
选手的平均成绩和方差呢？
图2
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
2. 如果计算选手的平均成绩时要求去掉8位评委中的一个最高分和一个最
低分，该怎么调整平均数的计算公式呢？查询相关资料，并尝试解决.
第4章
数据分析
175
知识图谱
᣼E᪝ᢛ
᪡)᪝ᢛ
ᩣK᪝ᢛ
思考回顾
1. 举例说明平均数、中位数、众数的意义，如何计算一组数据的中
位数、众数、加权平均数？
2. 举例说明离差平方和与方差是如何刻画数据的离散程度的，如何
计算一组数据的离差平方和与方差？
3. 对数据进行分类应遵循什么分组原则？把一组数据分成两组，这
组数据的离差平方和S2与组内离差平方和S2
1、组间离差平方和S2
2 有什么
关系？
4. 举例说明如何计算一组数据的四分位数. 一组数据的第三四分位
数减去第一四分位数的差能刻画这组数据的什么特征？
5. 举例说明频数和频数分布的意义，如何绘制频数直方图，并利用
频数直方图解释数据中蕴含的信息.
小结
与评价
数学
八年级下册
176
6. 举例说明如何用样本估计总体平均数和总体方差.
注意事项
1. 平均数与加权平均数的意义不同. 当一组数据中不同的数重复出
现时，我们用权数的大小来反映重复次数的多少；通常也用权数来反映
一组数据中不同成分的比例或重要性.
2. 平均数、中位数、众数从不同方面反映了数据的集中趋势.
3. 把一组数据分类，应使组内离差平方和S2
1最小.
4. 要善于利用频数直方图解释数据中蕴含的信息. 绘制频数直方图
时，要注意组距的选取. 若组距选择太宽，则从直方图中无法读取有用
信息；若组距选择太窄，则直方图中可获取的信息少.
5. 一般地，当样本容量足够大时，可以用样本估计总体.
自评互评
• 自评
通过本章的学习，你对以下几方面的学习内容掌握得怎么样？根据
自己的学习情况，点亮属于你的小星星，然后请同学和老师对你的自评
进行恰当评价.
1. 能计算一组数据的中位数、众数、加权平均数，知道计算加权平均数
的分布式计算方法，知道中位数、众数、平均数都能刻画这组数据的
集中趋势
2. 会计算一组简单数据的离差平方和、方差，知道它们都能刻画这组数
据的离散程度
3. 知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法
4. 能绘制频数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴含的信息
5. 能用样本平均数估计总体平均数，能用样本方差估计总体方差
第4章
数据分析
177
6. 知道百分位数和四分位数，能计算一组数据的四分位数，知道箱线图
可以直观反映数据分布的信息
7. 能根据统计图表分析数据的变化趋势
8. 能根据样本数据的变化趋势推断总体的变化趋势，感悟通过样本的数
字特征估计总体的数字特征的思想
9. 能通过数据分析来解释和说明实际问题，从中感悟数据分析的必要性，
形成数据观念，发展模型观念
• 自评/互评
请完成下面两项评价，先自评再在小组内进行互相评价. 其中评价
由低到高分为1，2，3，4，5五个等级.
1. 以正确的态度和持续的兴趣学习统计学相关知识，在学习的过程中善
于与他人合作交流，能从不同的角度思考问题，同时能灵活运用统计
学知识解决一些简单实际问题
(
)/(
)
2. 基于对本章知识结构的理解，画出思维导图，并在组内展示，对自己
和同学画出的思维导图进行恰当评价
(
)/(
)
你对本章的学习及评价还满意吗？学习的要义，不仅在于掌握知识，
还要带着思考去学习并运用知识. 数学不仅仅是解题，寻找解决问题方
法的过程更重要，亲身实践之后才可能取得进一步的突破！
复习题4
学而时习之
1 计算下列各题，并比较计算结果：
（1）求4，14，14，24，24，24的平均数；
（2）求4，14，14，24，24，24 分别以1
6，1
6，1
12，1
12，1
4，1
4 为权的加权
平均数.
数学
八年级下册
178
2 在一节体育课上，某班的17名女同学的立定跳远成绩如下表所示：
成绩/m
人数
1. 50
2
1. 60
3
1. 65
2
1. 70
3
1. 75
4
1. 80
1
1. 85
1
1. 90
1
求这些女同学立定跳远成绩的平均数、中位数和众数.
3 为了比较甲、乙两种水稻秧苗是否出苗整齐，每种秧苗各取10 株并量出每
株长度（单位：cm），得到的数据如下表所示：
编号
甲
乙
①
12
11
②
13
17
③
14
16
④
15
14
⑤
10
13
⑥
16
19
⑦
15
6
⑧
11
8
⑨
13
10
⑩
11
16
通过计算离差平方和与方差，评价哪个品种出苗更整齐.
4 有如下一组数据：
4. 25，3. 42，3. 98，3. 93，3. 15，3. 58，
4. 20，3. 68，4. 27，5. 06，3. 76，4. 85.
（1）把这组数据从小到大排列，分成两组：前7个数据为第一组，后5个数
据为第二组. 计算组内离差平方和.
（2）求这组数据的四分位数.
5 某班体育课举行“排球30 s 对墙垫球比
赛”，右图是反映该班垫球成绩的频数直
方图.
（1）该班共有多少名学生参加比赛？
（2）垫球30 次以上的学生占总人数的百
分比是多少？
6 一台机器生产某种零件，在正常情况下，零件长度的平均值应在（20 ±
0. 5）mm 范围内，方差不超过0. 2. 如果不满足这两个条件中的任何一个，
则机器生产不正常. 某日在9：00—11：00 这一时段用简单随机抽样方法抽
取了20个零件，测出其长度（单位：mm）如下表所示：
（第5题图）
第4章
数据分析
179
①
②
③
④
⑤
20. 2
20. 7
19. 6
20. 3
19. 5
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
19. 4
20. 6
20. 0
20. 2
19. 7
􀃊
􀁉
􀁓
􀃊
􀁉
􀁔
􀃊
􀁉
􀁕
􀃊
􀁉
􀁖
􀃊
􀁉
􀁗
19. 7
20. 5
20. 1
19. 8
19. 4
􀃊
􀁉
􀁘
􀃊
􀁉
􀁙
􀃊
􀁉
􀁚
􀃊
􀁉
􀁛
􀃊
􀁊
􀁒
20. 4
20. 1
20. 3
19. 9
19. 4
请根据以上数据，判断机器在9：00—11：00是否工作正常.
7 某校开展了为期一个月的“学习新思想，做好接班人”主题阅读活动. 随
机调查了100名学生的主题阅读情况，结果如下：
阅读本数
人数
3
20
4
25
5
30
6
15
7及以上
10
若该校共有1 600 名学生，估计该校学生在主题阅读活动中阅读4 本图书的
有多少人.
温故而知新
8 已知x1，x2，x3，x4，x5的平均数是xˉ，方差是s2，a是任一常数.
（1）求x1 + a，x2 + a，x3 + a，x4 + a，x5 + a的平均数与方差；
（2）求ax1，ax2，ax3，ax4，ax5的平均数与方差.
9 某校八年级学生进行了一次视力调查，绘制了下面的频数分布表和频数直
方图.
视力
4. 0 ≤x < 4. 3
4. 3 ≤x < 4. 6
4. 6 ≤x < 4. 9
4. 9 ≤x < 5. 2
5. 2 ≤x < 5. 5
频数（人数）
20
40
70
a
10
频率
0. 1
0. 2
0. 35
0. 3
b
（第9题图）
数学
八年级下册
180
请根据图表中的信息回答下列问题：
（1）在频数分布表中，a的值为
，b的值为
.
（2）甲同学说：“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数. ” 问甲
同学的视力情况在哪个范围内？
（3）若视力在4. 9以上（含4. 9）均属正常，求视力正常的人数占被调查人数
的百分比.
上下而求索
10 甲、乙两同学做“投球进筐”游戏，商定每人玩5 局，每局在指定线外将
一个皮球投往筐中，一次未进可再投第二次，依此类推，但最多只能
投6次. 当投进后，该局结束，并记下投球次数；当6次都未进时，该局也
结束，并记为“X”. 两人五局投球情况如下：
甲
乙
第一局
5次
X
第二局
X
2次
第三局
4次
4次
第四局
X
2次
第五局
1次
X
（1）为了计算得分，双方约定：记“X”的局得0分，其他局得分的计算方
法要满足两个条件：①投球次数越多，得分越低；②得分为正数. 请你按
约定的要求，用公式、表格等方式，写出一个将其他局的投球次数换算成
得分的具体方案.
（2）请根据上述约定和你写出的方案，写出甲、乙两人的每局得分，并从
平均分的角度来判断谁投得更好.
第4章
数据分析
181
数学
文化
我们身边的大数据
纵观人类文明的发展历程，数据总是如影相随. 人类总尝试着将一
切信息用数据来表达、分析，以期更好地理解事实真相，把握客观规律，
推动社会发展. 随着现代信息技术的飞速发展，人们运用高速计算机存储
记录数据，借助云计算技术以及统计模型对海量数据进行分析，取得了
前所未有的进步.
随着大数据的发端与发展，社会各方都开始从“大数据”这一全新
的视角重新审视现实世界，深入探索现实世界的规律，获取过去不可能
获取的知识. 人们越来越多地将大数据技术用于诸多领域，也为人们改
善生活带来了帮助. 比如：
一、网上购物
现在，网上购物变得越来越普遍. 假设你在某购物平台上搜索过鞋
子，下次打开时其首页会优先推荐鞋类商品. 实际上，这就是大数据应
用的一种体现. 销售商和购物平台合作，从客户意图购物的那一刻起就
开始利用大数据. 除了借助购物平台推荐相关产品外，还可以根据客户
访问的网页、可追溯的Cookie（由万维网服务器建立、存储在用户存储设
备中的记录）和历史记录获取客户的购物计划，以便销售商更好地优化
产品.
数学
八年级下册
182
二、银行业
银行业利用大数据可以掌握大量的金融信息，如了解用户是常使用
储蓄卡还是信用卡付款. 同时，只要通过刷卡购买高价值商品，你可能
就会收到银行的提示信息，以确保交易的真实性. 大数据还能用于识别
身份，防止银行账户发生盗窃，这给人们的财产安全带来了很大的保障.
三、卫生保健
医疗行业每天都会产生大量的行业数据，利用好这些数据可大大减
少不必要的诊疗过程，降低治疗成本. 比如，在医院的儿科部门，诊疗
系统会记录早产儿和患病婴儿的每一次心跳，然后将这些数据与历史数
据相结合建立识别模型. 基于这些分析，系统可以在婴儿表现出明显的症
状之前就检测到问题，便于医生早做干预和治疗. 在患者用药方面，大
数据还可以根据其历史治疗结果开出药物.
四、交通管理
交通管理部门利用大数据分析，便可得知哪一时段、哪一路段最容
易拥堵，于是可以提前预警，引导居民合理安排出行，实现对交通流的
最佳配置和控制，改善交通状况.
上述几方面，只是大数据应用于生活的冰山一角. 实际上，全球范
围内，运用大数据推动经济发展，完善社会治理，提升政府服务和监管
能力正成为大势所趋，我们有必要“用数据说话，用数据决策，用数据
管理，用数据创新”，让数据更好地服务于国家发展战略.
第4章
数据分析
183





想一想
小明家承包了一个大鱼塘，鱼长得
又肥又大，在不全部捕出的条件下，如
何估计该池塘中鱼的总条数？
由于受到主客观条件的限制，许多
数据，如统计某海域中的生物种群数、
陆地上的珍禽野兽数、天空中的飞鸟数，
难以直接获得. 面对这些问题，人们想
出了“捉放法” 来解决. 这种方法的实
际操作过程可以简记为以下四步：
下面我们来模拟这一过程.
做一做
请准备一小袋黄豆和一纸杯红豆，分组合作完成以下试验过程：
第一步——捉
从袋子中取出一些黄豆，数出黄豆粒数（数量为n），并不再放
回去；
第二步——做标记
从纸杯中倒出n粒红豆；
第三步——放
将这n粒红豆放进袋子中，充分混合；
第四步——捉
再从袋子中取出一些豆子作为样本，数出样本的总粒数m 及其中
的红豆粒数r.
设袋子中的豆子共有x 粒，则袋子中红豆所占的比例n
x 可用样本中红豆所占的比
例r
m 来估计，即n
x ≈r
m，由此可以求出袋子中的豆子总粒数约为x ≈mn
r ，将结果分
别填入下表.
估计池塘中鱼的数量
184
试验序号
取出的黄豆粒数n
样本的总粒数m
样本的红豆粒数r
估计袋子里的黄豆粒数x
1
2
3
4
5
按上述步骤再重复做四次，但要求每次试验在第一步取出黄豆的粒数比上一次试
验时多一些，将结果分别填入上表.
议一议
这5次试验得到的估计值差异大吗？产生差异的原因有哪些？当样本容量较大时，
是否估计得更准确一些？现在你有办法估算出鱼塘中鱼的数量了吗？
做一做
如果鱼塘中只有草鱼、鲫鱼、鲤鱼三种鱼，需要估计每种鱼的数量，请你利用身
边的物品，如不同颜色的豆子进行模拟，并写出模拟过程.
185
后
记
本册教科书是依据教育部颁布的《义务教育数学课程标准
（2022 年版）》编写的.
本册教科书的编写，充分吸收了近十年来义务教育课程改革的
优秀成果，借鉴了2013 年版《义务教育教科书·数学（八年级下
册）》编写经验，凝聚了广大学科专家、教育专家、教材编写专家、
思政专家、教研人员和一线教师，以及装帧设计专家的集体智慧.
在此对所有为本次编写、出版、试教、审读等提供过帮助和支
持的同仁和社会各界朋友，表示衷心感谢！特别感谢2013年版本册
教科书主编严士健先生及所有编写人员！真诚地感谢张伟平院士、
潘建伟院士、周向宇院士、李文林教授、陈大岳教授、邹大海教授
等的帮助！
在本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书所选用资
料和图片的作者进行了联系，得到了他们的大力支持. 对此，我们
表达诚挚的谢意！遗憾的是，仍有部分作者未能取得联系，恳请这
些作者尽快与我们联系，以便支付稿酬.
教材建设是一项长期的任务，我们真诚地希望，广大教师、学
生及家长在使用本册教科书的过程中及时将意见或建议反馈给我
们. 我们将集思广益，不断修订，使其趋于完善.
联系方式
电话：0731-85486739/85486740
邮箱：hnephmath@126. com
湖南教育出版社