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导图梳理-数资1 （笔记） 主讲教师：王义 授课时间：2025.10.20 粉笔事考·官方微信 1 导图梳理-数资1（笔记） 【注意】 1.本节课梳理数学运算相关导图，主要梳理理论相关知识点、强调重点考法； 下节课梳理资料分析相关导图。 2.学习资料分享，抖音账号：公考王义讲数资。 一、和差倍比问题 【注意】和差倍比：给出几个主体之间和、差、倍数、比值的关系，求另一 个主体的值，有三个求解方法，其一为倍数特性法（比较快，利用倍数关系排除 选项），其二为方程法（比较基础的方法），其三为赋值法。 2 【注意】倍数特性法： 1.整除型：若A=B*C，则A 是B 的倍数，A 也是C 的倍数，常用于三量关系 中。 2.余数型： （1）特征：平均分配，有剩余或有缺少，求总数。 （2）方法：多退（减）少补（加），如果在平均分的过程中，最后多出来了、 剩下了，则退掉、减；如果少或者不够，则加、补。 3.比例型（重点）： （1）题目中如果出现分数、百分数、比例、倍数，这四种形式都叫做比例 形式，优先考虑比例型倍数特性，把所给的比例整理成最简整数比的形式。 （2）若A/B=m/n，则A 是m 的倍数，B 是n 的倍数，A±B 是m±n 的倍数， 即分子对分子、分母对分母、相加对相加、相减对相减。如甲/乙=3/7，则甲是 3 的倍数，乙是7 的倍数，甲、乙之和是10 的倍数，乙-甲是7-3=4 的倍数。 倍数特性法重点高频：比例型倍数特性的考法汇总 考法一：直接给比例，直接用 （2025 公务员）某绿色有机农场把61600 平方米耕地划分为玉米、大豆、 稻谷三个作物区，玉米和大豆的面积比是7：2，大豆和稻谷的面积比是6：1， 则玉米的面积是多少平方米？ A.46200 B.47200 3 C.48200 D.49200 考法二：借助其他主体的比例关系 （2023 河北）……其中乙档人数比甲档人数的3 倍少2 人……甲档人数是 丁档人数的1.5 倍，则这个旅行团中年龄属于乙档的人数为 A.25 B.26 C.27 D.28 考法三：给出多出来的比例 （2022 福建）……已知这4 个盒子中红色小球的总个数比黄色小球多1.2 倍，则这4 个盒子中红色小球的总个数至少有（ ）个 A.30 B.32 C.33 D.40 考法四：比例的逆运用 （2024 重庆）甲、乙两个工厂分别有180 名和120 名工人，甲厂每名工人 的生产效率是乙厂的1.25 倍，现两厂分批次安排工人参加脱产培训，培训后每 人的生产效率都将提升20%，已知最后一批50 名工人参加培训期间，两厂剩余 人员的总体生产效率已经与培训之前的总生产效率相同。问最后一批培训的工人 中，甲、乙两厂的人数比为（ ）。 A.3：1 B.2：1 C.3：2 D.4：3 考法五：总人数是范围，有比例型出现 （2024 公务员）某居民楼居住人数介于90 和110 之间，其中50 岁及以上 居民占1/12，女性占7/16…… 【注意】 1.直接给比例，直接用。 例：已知玉米和大豆的面积比是7：2，给出比例，直接用即可，玉米的面 积（最终答案）是7 的倍数，四个选项都有2 个0，无非就是100 倍，故0 在看 倍数的时候不需要考虑，接下来要研究的是462、472、482、492 是否为7 的倍 数，都是400 多的数，最容易想到的7 的倍数为490，借助490 来判定这4 个选 项，A 项：490-28、B 项：490-18、C 项：490-8、D 项：490+2。490 是7 的倍数， 4 28 也是7 的倍数，则A 项是7 的倍数；18 不是7 的倍数、8 不是7 的倍数、2 不是7 的倍数，则B、C、D 项均不是7 的倍数，这是拆分的思路，拆分成7 的倍 数±修正项，两项都是7 的倍数，则数本身是7 的倍数，A 项当选。 2.借助其他主体的比例关系。 例：根据题意列式：乙=甲*3-2=3 的倍数-2，A 项：27-2、B 项：28-2、C 项：29-2、D 项：30-2，仅A、D 项满足“3 的倍数-2”，排除B、C 项；剩余A、 D 项；根据题意列式：甲/丁=1.5=3/2→甲的人数是3 的倍数，乙=3*甲-2=3*3 的倍数-2=9 的倍数-2，A 项：27-2=3、D 项：30-2，仅27 是9 的倍数，A 项当选。 给出来的乙的倍数关系用不了，则用甲的倍数关系，推出乙的情况，再来解题。 3.给出多出来的比例。 例：已知红色小球的总个数比黄色小球多1.2 倍，根据题意列式：红色/黄 色=2.2=22/10=11/5，故红色小球的总数是11 的倍数，C 项当选。前三种考法联 考都考过。 4.比例的逆运用。 例：已知最后一批50 名工人参加培训期间，则总数是50 人，即甲+乙=50， A 项：甲/乙=3/1→甲+乙是4 的倍数，不可能是50 人，排除；B 项：甲/乙=2/1 →甲+乙是3 的倍数，不可能是50 人，排除；C 项：甲/乙=3/2→甲+乙是5 的倍 数，满足；D 项：甲/乙=4/3→甲+乙是7 的倍数，不可能是50 人，排除。C 项当 选。 5.总人数是范围，有比例型出现。 例：总人数为范围值，有比例的形式出现，根据题意列式：50 岁及以上/总 人数=1/12，女性/总人数=7/16，则总数既是12 的倍数、又是16 的倍数，找最 小公倍数，12 和16 的最小公倍数为48（用短除法，同时除以4，剩余3 和4， 无法再约分，最外围数字相乘即为最小公倍数，4*3*4=48），且需要介于90～110 之间，故总人数只能为96 人。 5 6.以上是比例型倍数特性的所有考法，其中考法一、二、三、五都是最近联 考2、3 年都有考查过的。 【注意】方程法：比较兜底的方式，也是一个很普通的方法，列方程解决， 设未知数→找等量关系→列式计算。比较关键的是给谁设成未知数比较方便，后 三种不分先后顺序，条件有啥就优先设什么。 1.一般情况下：求谁设谁，避免陷阱。 2.条件中有“是”字、“比”字：通常设后者，这是联考比较喜欢出现的， 如甲比乙多3，设“比”字后的乙为x，则甲为x+3。 3.条件中有比例关系：根据比例设份数，减少计算，如甲/乙=4/3，则设甲 为4x、乙为3x。 4.条件中有多个关系：设中间量，方便列式，如甲是乙的2 倍，丙比乙多3， 设中间量乙为x，此时甲、丙均可以表示出来。 【注意】赋值法：不是所有题都能赋值，有两种情况可以赋值。 1.何时赋值： （1）题干所给条件全是比例，最后求比例，即给比例，求比例。 （2）三量关系中只知其一（只给出一个量的数值单位）。 2.怎么赋值：赋值的本质是为了好算。 （1）赋为公倍数（相同量）。 （2）赋为简单数字，如100 或10。 6 二、工程问题 【注意】工程问题（分为三类）：工作量=效率*时间。 1.给完工时间型：题目中给出≥2 个完工时间，完工时间指的是一次性干完 所有工作总量的时间，套路是赋值工作总量为完工时间的公倍数→算效率→列式 计算，给完工时间型的解题方式是赋值法。 2.给效率比例型：给出效率的比例关系，给法有三种，其一为直接给效率比 例，则直接赋值；其二为间接给，需要通过题目中的条件推导出效率比例关系， 再进行赋值；其三为特殊给，出现多少人或多少台机器，直接赋值每个人的效率 为1。赋效率→算总量→列式计算。 3.给具体单位型（给出工作量或效率的数值单位）：用方程法求解。 1.一项工程，若由甲单独干需要6 小时完成；若由甲乙合作需要4 小时完 成…… 2.一项工程，甲单独干3 小时后，乙加入又干2 小时完成…… 3.已知甲的效率是乙的3 倍…… 4.甲3 小时的工作量和乙4 小时的工作量相等 5.某工厂有50 名工人…… 6.甲、乙共同完成500 件礼品包装…… 【注意】 1.出现2 个完工时间，是给完工时间型工程问题，赋值工作总量为6 和4 的公倍数12，则甲的效率为12/6=2，甲、乙合作的效率为12/4=3，则乙的效率 7 为1，第三步是根据工作过程列式。三量关系，工作量=效率*时间，工作量和甲、 乙的效率均没有给具体的数值单位，只给了时间，相当于三量关系只有时间，符 合赋值法的要求，即三量关系只知其一，可以赋值；无论是6 小时还是4 小时， 这2 个完工时间对应的是同一份工作总量，故赋工作总量。 2.3 小时、2 小时均没有完成工作，故不是给完工时间型。 3.直接给出效率比例，赋值P 甲=3、P 乙=1。 4.两部分工作量相等，效率和时间成反比，甲的时间更短，说明甲的效率更 高，故甲、乙的效率之比为4：3。时间短的效率就高。 5.出现多少个人，默认每个人的效率相同，赋值每名工人的效率为1。 6.给出工作量的具体数值单位，用方程法解题。 工程问题重点高频： 考法：工程问题，多个题型特征冲突，方程法优先 （2022 四川）甲、乙两人加工一批配件，已知甲单独加工需要15 小时才能 完成，甲和乙的工作效率之比为4：3。现在甲、乙两人一起加工了5 小时，还 剩下200 个配件未加工，则这批配件的总数是（ ）个。 A.480 B.450 C.420 D.390 【注意】工程问题，多个题型特征冲突，方程法优先：2024 年联考、2023 年武汉，很多地方的考试包括公务员考试都在考查。 1.例：拿到一道题，首先要识别是什么问题，已知甲和乙的工作效率之比为 4：3，是给效率比例型工程问题，考虑赋效率；出现200 个配件，能够确定是给 具体单位型，用方程法解题，多个特征冲突时，方程法优先，如果按照给效率比 例型赋效率，则赋值甲的效率为4，工作总量为4*15=60 个，相当于对答案进行 了赋值，因此，本题要当成给具体数值单位型。 方法一：出现比例，设份数，设甲的效率为4x，乙的效率为3x，工作总量= 效率*时间，列式：W 总=15*4x=60x，已经完成的工作量为（4x+3x）*5=35x， 35x+200=60x→25x=200→x=8，所求=60*8=480，对应A 项。 方法二：已知甲和乙的工作效率之比为4：3，同样的时间，效率高的干得 8 多、效率低的干得少，5 小时，甲和乙完成的工作量之比为4：3，意味着5 小时 已经完成的工作量是4+3=7 的倍数，还剩余200 个未加工，7 的倍数+200=答案 →答案-200 是7 的倍数，仅A 项满足（480-200=280）。 2.只要出现了工作量或效率的数值单位，就用方程法。 3.多个特征冲突时，用方程法求解。 三、经济利润问题 【注意】经济利润问题： 1.基础公式： （1）利润=售价-进价。 （2）利润率=利润/进价。 （3）售价=进价*（1+利润率）。 （4）打折率=折后价/折前价，如0.76 指的就是乘以76%，等价于打七六折。 （5）总价=单价*数量，总利润=单利*数量。 2.基础经济： （1）方程法：题目中给出具体的数值单位，如50 元、6 件、4 元/件等，用 方程或套公式求解。 （2）赋值法：给比例、求比例，如果只提钱，则只赋值成本为100；如果 既提到钱、又提到量，可以赋两个，即赋值成本为每件100 元、总量为10 个。 （3）给具体数值单位的经济利润问题考得较多。 3.函数最值： 9 （1）特征：售价/利润与销量此消彼长，问何时销售额/总利润最高。 （2）方法：两点式，写成两个括号相乘的形式，令两个括号分别为0，当 x=（x1+x2）/2 时取得最值。 四、行程问题 【注意】行程问题： 1.普通行程： （1）路程=速度*时间（S=V*t），在这个公式之下，延伸出2 个模型。 （2）火车过桥（固定结论）：注意路程有所区别，依然适用“S=V*t”。 ①火车完全通过桥或火车过桥：路程=桥长+车长=V*t。 ②火车完全在桥上：路程=桥长-车长=V*t。 （3）流水行船（固定结论）：需要注意速度，顺流速度=船速+水速，逆流速 度=船速-水速；S 顺=V 顺*t 顺，S 逆=V 逆*t 逆。 2.相对行程： （1）直线相遇追及： ①相遇：S 和=V 和*t 遇，特点是两个人脸对脸同时出发。 ②追及：S 差=V 差*t 追，特点是两人位置上一前一后出发，速度方向相同，在 某一点追上。 （2）多次运动： 10 ①环形同点出发第n 次相遇：n*每圈长度=V 和*t 遇。 ②环形同点出发第n 次追及：n*每圈长度=V 差*t 追。 ③直线两端同时出发、第n 次相遇：S 和=（2n-1）*S=V 和*t 遇。 行程问题重点高频： 考法：多个主体、多个运动过程，分开看、列方程组 （2024 公务员）甲乙二人在同一条环形跑道上各自匀速慢跑健身。已知甲 按顺时针跑，若乙按逆时针跑时每3 分钟和甲相遇一次，若乙按顺时针跑时每 12 分钟追上甲一次，问甲跑一圈需要多少分钟？ A.7 B.8 C.9 D.10 【注意】 1.多个主体、多个运动过程，分开看、列方程组，出题并不喜欢考查特别单 一的两人直接相遇（没什么好考的），故会将人放得多一点，同时有多个运动过 程。 2.例：画图进行分析，若甲顺时针、乙逆时针，第1 次相遇需要3 分钟→环 形相遇，根据公式：n*每圈长度=V 和*t 遇→1*每圈长度=（V 甲+V 乙）*3；若甲顺时 针跑，乙按顺时针跑时每12 分钟追上甲一次→环形追及，根据公式：n*每圈长 度=V 差*t 追→1*每圈长度=（V 乙-V 甲）*12。两个人有两个运动过程，分开看，列 方程组，但目前并不能求解，因为有2 个方程、3 个未知数，条件不足。S=V*t， 没有给路程、速度的具体数值单位，但给了时间，相当于三量关系只知其一，可 以赋值，无法对速度进行赋值，均有每圈长度，则赋值每圈长度为12，则V 甲+V 乙=4①、V 乙-V 甲=1②，①+②得V 乙=2.5、V 甲=1.5。最终问甲跑一圈需要多少分钟， 所求=12/1.5=24/3=8，对应B 项。本题是非常典型的行程问题考法，多个主体、 多个运动过程，分开看，列方程组求解；三量关系只给了时间，则对路程赋值， 因为都有每圈的长度。 11 五、几何问题 【注意】几何问题： 1.公式运用类： （1）周长： ①正方形：4a。 ②长方形：2*（a+b）=2*（长+宽）。 ③圆形：2πR，π是圆周率，R 为半径。 ④弧长：2πR*（n°/360°），2πR 是圆一圈的周长，一圈是360°，圆弧 是其中的n°。 12 （2）面积： ①正方形：a²。 ②长方形：ab。 ③三角形：ah/2。 ④圆形：πR²。 ⑤扇形：πR²*（n°/360°），πR²是圆的面积，扇形占其中的n°/360°。 ⑥梯形：1/2*（a+b）*h。 ⑦菱形：对角线乘积/2。 （3）表面积：正方体和长方体都是六面体。 ①正方体：6a²。 ②长方体：2*（ab+bc+ac）。 ③圆柱体：2πR²+2πRh，侧面为长方形。 ④球体（特殊记忆）：4πR²。 （4）体积： ①正方体：a³。 ②长方体：abc=长*宽*高。 ③柱体：Sh=底面积*高。 ④锥体：1/3*Sh。 ⑤球体（特殊记忆）：4/3*π*R³。 2.结论技巧类： （1）勾股定理（直角三角形）：a²+b²=c²，两条直角边的平方和=斜边的平 方，要知道三组考得比较多的勾股数，为（3、4、5），（6、8、10），（5、12、13）。 13 （2）相似几何：边长比或高之比等于相似比，面积比等于相似比的平方， 体积比等于相似比的立方。 （3）底（高）相等的三角形，面积比等于高（底）之比。 （4）最短路径问题的核心点：两点之间，线段最短。 几何问题重点高频： 考法一：平面几何，给图，不能直接套公式，用结论 （2023 福建）如图，某考古队在一个土坡下发现了一个古墓，位置在图中 点C 处，考古队从土坡两侧同一水平线上的A、B 两点进行探测。已知A、B 两点 的直线距离为40 米，探测线AC、BC 与水平线AB 的夹角分别是30°和45°，那 么古墓所在点C 与水平线AB 的距离为（ ）米。 A.20 B.20（√2+1） C.20（√3+1） D.20（√3-1） 考法二：立体几何，不给图，空间立体搭建清楚，能直接套公式 （2025 联考）有长为150mm，直径分别为90mm 和120mm 的两根铜柱，以此 为原料最多可以熔铸直径为100mm 的铜球多少个？ A.3 B.5 C.8 D.11 【注意】 1.考法一：平面几何，给图，不能直接套公式，用结论，如直角三角形或相 14 似三角形的结论。 例：本题无法直接套公式，需要先找到求的是哪条线段，从C 点向AB 这条 线段作垂线，垂直为D，CD 这条线段即为最终的答案。 方法一：给图就看图，已知A、B 两点的直线距离为40，两个夹角分别是30° 和45°，CD 为垂线，∠DBC 为45°，则△DBC 为等腰直角三角形，设CD=x，则 CD=BD，AB=40，要求x 的值不可能正好是一半的关系，排除A 项；40 的一半为 20，x＜20，B 项：20（√2+1）≈20*2.4，C 项：20（√3+1）≈20*2.7，D 项： 20（√3-1）≈20*0.7，D 项当选。 方法二：常规方法，设CD=BD=x，△ACD 是30°角的直角三角形，三边之比 为1：√3：2，则AD=√3x，列式：√3x+x=40→（√3+1）*x=40→x=40/（√3+1）， √3为无理数，需要对分母有理化，即分子、分母同时乘（√3-1），（a+b）*（a-b） =a²-b²，所求=40*（√3-1）/[（√3+1）*（√3-1）]=40*（√3-1）/（3-1）=20* （√3-1），对应D 项。 2.考法二：立体几何，不给图，空间立体搭建清楚，能直接套公式。 例：熔铸即熔化后重新浇筑，两根铜柱是原材料，需要知道两根原材料有多 15 大的体积，铜柱是圆柱体，根据公式：V 圆柱=Sh=πr²h、V 球=4/3*πr³，根据题意 列式：总体积/每个小球的体积=（π*45*45*150+π*60*60*150）÷（4/3*π *50*50*50），计算的时候先约分，原式=（81*3+144*3）÷（4/3*100）=（225*3*3） /（4*100）=81/15=5.x，对应B 项。 六、排列组合与概率问题 【注意】排列组合与概率问题： 1.基础概念： （1）分类用加法（要么……要么……，即分类别完成），分步用乘法（既…… 又……，分步骤，一步、一步完成）。 （2）有序用排列（改变顺序，结果变化；选完之后还要排），无序用组合（改 变顺序，结果不变；只负责选）。 2.经典题型： （1）必须相邻：捆绑法，先捆再排。将捆绑后的看成一个主体，如A、B、 C、D、E 站成一排，要求A、B 相邻，则先将A、B 捆在一起，为A（2,2），除了 A、B 之外，还有C、D、E，将捆绑后的主体当成1 个主体，因此还需要排4 个主 体，为A（4,4），先捆再排，所求=A（2,2）*A（4,4）。 （2）不能相邻：插空法，先排再插。如A、B、C、D、E 站成一排，要求A、 B 不相邻，先排没要求、可以相邻的C、D、E，为A（3,3），再将A、B 进行插空， 形成4 个空位，选2 个放入A、B，为A（4,2），所求=A（3,3）*A（4,2）。 （3）错位重排（重新排列，每个元素都不在原来的位置上）：D3=2、D4=9、 16 D5=44。 （4）同素分堆：隔板法（插板法），把n 个相同的东西分给m 个不同的人， 每人至少1 个→C（n-1,m-1）。 3.概率问题： （1）给情况求概率：满足条件的情况数/总情况数。 （2）给概率求概率：分类相加，分步相乘。 排列组合与概率重点高频： 考法一：排列组合问题，捆绑法和插空法同时使用 （2025 江苏公务员）一场演出的节目有舞蹈《水韵江苏》、歌曲《让世界充 满爱》和《绣红旗》、小品《幸福一家人》、魔术《奇幻之旅》、杂技《力量》。若 要求两首歌曲分别作为开头曲和结尾曲，舞蹈与杂技相邻演出，小品和魔术不能 相邻演出，则节目演出的排列顺序有（ ）。 A.8 种 B.12 种 C.18 种 D.24 种 考法二：概率问题，给情况数求概率 （2025 山东）甲和乙周日去参观某博物馆展览，该馆有1～7 号7 个展厅， 由于时间有限，他们都只参观三个展厅，已知甲必须参观1 号、2 号展厅，乙必 须参观3 号展厅，其余展厅随机，问甲乙参观展厅都不相同的概率是多少？（ ） A.16% B.18% C.20% D.24% 【注意】 1.考法一：题目中既有相邻，又有不相邻的，即捆绑法和插空法同时使用， 先捆再插，这种考法目前非常多，但我们还没有考过。 2.例：先安排好开头和结尾，是两首不同的歌，为A（2,2）；要求舞蹈与杂 技相邻，考虑捆绑法，为A（2,2）；剩余小品和魔术，要求不相邻，只能插空， 一共2 个空位，放入小品和魔术，为A（2,2），因为开头、结尾已经锁死了，只 能放中间，所求=A（2,2）*A（2,2）*A（2,2）=2*2*2=8，对应A 项。 17 2.考法二：概率问题，给情况数求概率，目前考得非常多，联考从2019 年 后考的概率都是给情况数求概率。 例：每个人都从7 个展厅中选择3 个进行参加，已知甲必须参观1 号、2 号 展厅，乙必须参观3 号展厅，本题为给情况数求概率，P=满足要求的情况数/总 情况数。 满足要求的情况数：甲、乙参观的展厅都不相同，一共7 个展厅，要想甲、 乙都不同，则甲只能从4、5、6、7 号展厅中选1 个，为C（4,1），假设选择了4 号展厅；乙1、2、3、4 号展厅都不能选，需要从剩余的5、6、7 号展厅中选2 个，为C（3,2），满足要求的情况数：C（4,1）*C（3,2）=4*3=12 种。 总情况数：甲从剩余5 个展厅中选1 个，乙从剩余6 个展厅中选2 个，列式： C（5,1）*C（6,2）=5*15=75 种。 所求=12/75=4/25=16%，对应A 项。 七、数列问题 【注意】数列问题： 1.等差数列（重点关注）：本质是加公差。 （1）通项公式：an=a1+（n-1）*d。 （2）求和公式：Sn=（a1+an）/2*n=中位数*项数。 18 2.等比数列：通常项数比较少，可以枚举出来，本质是在第一项的基础上乘 公比。 （1）通项公式（用得很少）：an=a1*q n-1，基本都是枚举。 （2）求和公式（基本用不到）：Sn=a1*（1-q n）/（1-q），q≠1。 数列问题重点高频： 考法：等差数列求和公式 （2025 联考）某果园每天最多可采摘10 箱水果，每箱水果每天的保存成本 为10 元。该果园接到一笔75 箱水果的订单并要求一次性交付（交付当天不计保 存成本）。问保存成本最低为多少元？（ ） A.2100 B.2450 C.2650 D.2800 【注意】数列问题重点高频：以等差数列的考法为主。 1.考法：等差数列求和公式。 2.例：假设第一天采摘了5 箱水果，第一天晚上的过夜费为每箱50 元，第 二天仓库有原来的5 箱水果以及新采摘的10 箱水果，因此过夜费变为150 元， 第三天又采摘了10 箱水果，则过夜费变为250 元，这就是题目的意思。要求75 箱水果一次性交付，每天采摘10 箱，最少需要8 天，即7*10+5，第一天采摘得 越多，接下来的成本就越高，故第一天采摘5 箱，第二、三、四、五、六、七、 八天均采摘10 箱，一共75 箱，每天的过夜费呈现等差数列的规律，注意第八天 一次性全部交付，没有过夜费，则过夜费=50+150+250+350+450+550+650，要求 7 项之和，即S7，中间项为第4 项，则S7=a4*7=350*7=2450，对应B 项。本题需 要注意两点，其一为这75 箱水果是如何采摘的，第一天5 箱，后面每天10 箱； 其二为第8 天晚上没有过夜费，不要算多了。 19 【注意】课上整理出来的是最流行的考法，大家一定要关注一下，后续有问 题，可以关注老师的抖音号。 20 遇见不一样的自己 Be your better self
