文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2025 年高考数学第二次模拟考试
高三数学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40 分）
一、选择题：本题共10 小题，每小题4 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知全集
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据补集的定义即可求解.
【详解】全集
，
故选：D.
2．已知复数
，则
的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由复数的除法计算化简
，然后利用虚部概念求解即可.
【详解】
，
的虚部是
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故选：C
3．已知抛物线
的焦点为F，点
在抛物线C 上，若
，则
到
轴的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用抛物线上的点到焦点与到准线的距离相等，即可得到答案.
【详解】抛物线
的焦点为F 的坐标为
，准线为：
，
由点P 到
的距离为3，可知
到
轴的距离是2.
故选：A
4．已知
，则
是
成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】分别由
与
确定x 的值，据此可判断选项正误.
【详解】当
时，
，
当
时，
.
当
时，
；
当
时，
与
不垂直.
所以
是
的充分不必要条件.
故选：A.
5．已知直线
与圆
相交于
两点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】由圆
方程求圆心
的坐标，圆的半径，再求圆心
到直线的距离，利用弦长公式求结论.
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】圆
的圆心为
，半径
，
圆心
到直线
的距离为
，
则
.
故选：C.
6．在
中，若
，则
（ ）
A．25
B．5
C．4
D．
【答案】B
【分析】结合完全和平方公式，利用余弦定理即可求解.
【详解】因为在
中，
，
所以由余弦定理可得：
，所以
.
故选：B
7．已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
单调递增且是偶函数
B．
单调递增且是奇函数
C．
单调递减且是偶函数
D．
单调递减且是奇函数
【答案】B
【分析】根据奇函数定义结合指数运算判断奇偶性，应用指数函数及复合函数的单调性判断单调性即可判
断.
【详解】由
，其定义域为R，关于原点对称，
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，所以
是奇函数.
又
，
因为指数函数
在R 上单调递增，且
，那么
在R 上单调递增，且
，
所以
在R 上单调递减，则
在R 上单调递增，
那么
在R 上单调递增.
故
单调递增且是奇函数.
故选：
8．如图，高度为的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设圆锥的顶点到水面的距离为
，圆锥的底面半径为，根据水体积和容器容积关系得到
，再逐项检验即可．
【详解】设圆锥的顶点到水面的距离为
，圆锥的底面半径为，
则水面半径为
．当水的体积等于容器容积的一半时，
有
，整理得
．
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为
，
，
，
，则D 选项更接近
.
故选：D．
9．随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式，某景区的
旅游人数大约每年以
的增长率呈指数增长，那么至少经过多少年后，该景区的旅游人数翻一倍？（参
考数据：
，
）（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
【分析】根据已知条件列不等式，由此quiet 正确答案.
【详解】设经过
年后，人数翻一倍，
则
，
两边取以
为底的对数得
，
所以
，
所以至少经过
年后，该景区的旅游人数翻一倍.
故选：B
10．已知函数
，其中
．若
在
上的值域为
，则实数的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分析可知
的最大值为
，且
，求得
，结合图像即可得结果.
【详解】当
时，
在
内单调递减，
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则
，且
；
若
在
上的值域为
，
则
在
上的最值点在
内，
可知
的最大值为
，且
，可得
，
令
，解得
或
，
结合
的图像可知实数的取值范围是
.
故选：C.
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题：本题共5 小题，每小题5 分，共25 分．
11．双曲线
的渐近线方程为 .
【答案】
【分析】根据双曲线的性质求得渐近线方程.
【详解】由双曲线
，可得
，
所以双曲线的焦点在
轴上的渐近线方程为：
.
故答案为：
.
12．在
中，
，
，
，则
．
【答案】
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式计算即得.
【详解】在
中，由
，
，得
，
由正弦定理得，
.
故答案为：
13．在
的展开式中，所有项的系数之和为 ，含
的项的系数是 .（用数字作答）
【答案】
【分析】令
，可得出所有项的系数之和；利用二项展开式通项可求得展开式中含
的项的系数.
【详解】在
的展开式中，所有项的系数之和为
，
展开式通项为
，
令
，可得
，因此，展开式中含
项的系数为
.
故答案为：
；
.
14．如图，平行四边形
中，
为
的中点，
为线段
上一点，且满足
，则
；若
的面积为
，则
的最小值为 .
【答案】
/
【分析】设
，由平面向量线性运算表示
即可求出
，由
结合基
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
本不等式可得
的最小值.
【详解】设
，
则
，
即
，而
不共线，因此
，
所以
，即
；
由
的面积为
，得
，解得
，
因此
，当且仅当
时取等号,
所以
的最小值为
.
故答案为：
；
15．已知非常数数列
，其前n 项和为
，若
，
，
，使得
，则称
为包
容数列．下列说法错误的是（ ）
①．数列0，0，1，1，
，
是包容数列
②．任何包容数列的前三项中一定存在两项互为相反数
③．若一个包容数列从第k 项开始连续三项可以构成一个各项均为正数的等差数列，则k 的最小值为5
④．由
，0，1 三个数生成的包容数列中，如果去掉一项后依然是包容数列，这项一定是0
【答案】①③④
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】根据包容数列的定义和性质可判断ABD 的正误，利用枚举法可判断C 的正误.
【详解】对于A，当
时，不存在
使
，
所以数列0，0，1，1，
，
不是包容数列，故A 错误；
对于②，当
为包容数列，
则
或
或
，
即
或
或
，故②正确；
对于④，
，0，1 去掉
后，得到0，1 仍是包容数列，故④错误；
对于③，
可为任意数，
考虑前2 项，
或
，得
或
，
所以包容数列
的前2 项中必有1 个数为0，
设包容数列
的前2 项为m，0 或0，m，
考虑前3 项，由B 项知
的前3 项中必有2 项互为相反数，
则
的前3 项为m，0，0 或0，m，0 或m，0，
或0，m，
同理可知
的前n 项中必有
项之和为0，
的前4 项为m，0，0，0①或m，0，0，
②或0，m，0，0③或0，m，0，
④或m，0，
，
n⑤或0，m，
，n⑥，
从第5 项开始：
对于①，
对于②，
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
对于③，
；
对于④，
；
对于⑤，
对于⑥，
综上所述，
中要么会有一个0，要么会有一组相反数，
所以
不可能全为正，故③错误.
故选：①③④.
三、解答题：本题共5 小题，共85 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（满分13 分）如图，四棱锥
，平面
平面
，
，
，
，
，
，
，
.
(1)证明:
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）由平面
平面
，
，根据面面垂直性质定理证明
平面
，由此
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
证明
，结合
，由线面垂直判定定理证明
平面
，由此证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求直线
的方向向量与平面
的法向量，结合向量夹角公式求结论；
【详解】（1）因为平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，
所以
，又
，
平面
，
，
所以
平面
，
平面
，
所以
，.......................4 分
（2）由（1）
平面
，
如下图，以
为原点，
为
轴正方向，建立空间直角坐标系，
因为
，
，
，所以
，
因为
，
，
，所以
，
所以
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
取
，则
，
，
所以
为平面
的一个法向量，.......................9 分
所以
，
设直线
与平面
所成角为
，则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值
；.......................13 分
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
17．（满分14 分）已知函数
.再从条件①、条件②、条件③这三
个条件中选择能确定函数
的解析式的两个条件作为已知.
条件①：函数
的图象经过点
；
条件②：函数
的最大值为2；
条件③：函数
的最小正周期为
.
(1)
的解析式，若
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)将函数
的图象的横坐标缩小为原来的
，纵坐标不变，再将其向右平移
个单位，得到函数
的图象.若
，函数
有且仅有4 个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简
，选择①③：由周期得出
，由
得出
，进而求出
的解析式；选择②③：由周期得出
，由
的最大值为2 得出
，进而求出
的解析式；选择
①②：无法确定
．然后利用相位整体思想，结合正弦曲线，求出最值，即可得到答案；
（2）根据伸缩和平移变换，得到新的函数解析式，再同样把相位看成一个整体，利用正弦曲线，数形结
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
合，就可以判定端点值的取值范围，从而得到解答.
【详解】（1）由题可知，
选择①③：
因为
，所以
，
又因为
，所以
．
所以
．
选择②③：
因为
，所以
，
又因为函数
的最大值为
，所以
．
所以，
选择①②：无法确定
因为
，
当
时，可得
，
当
，即
时，
取得最小值
，
因为
时，
恒成立，所以
，
即实数
的取值范围为
........................8 分
（2）由
图象的横坐标缩小为原来的
，可得：
，
再将其向右平移
，可得：
，
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即函数
，.......................10 分
因为
，所以
，在给定区间的正弦函数的零点是
，
再由函数
有且仅有4 个零点，则满足
，
解得
，所以实数的取值范围
........................14 分
18．（满分13 分）
地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑
到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）.
明年冬小麦统一收购价格（单位：元
）
概率
表1
假设图1 中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率.
(1)试估计
地区明年每亩冬小麦统一收购总价为
元的概率；
(2)设
地区明年每亩冬小麦统一收购总价为
元，求
的分布列和数学期望；
(3)
地区农科所研究发现，若每亩多投入
元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增
加
.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？（直接写出结论）
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，
(3)建议农科所推广该项技术改良，理由见解析
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）计算出亩产量是
的概率，结合表1 以及独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概
率；
（2）分析可知随机变量
的可能取值有
、
、
、
、
，计算出随机变量
在不同取值
下的概率，可得出随机变量
的分布列，进而可求得
的值；
（3）设增产前每亩冬小麦产量为
，增产后每亩冬小麦产量为
，则
，
设增产后的每亩动漫小麦总价格为
元，计算出增产的
会产生增加的收益，与
比较大小后可得出
结论.
【详解】（1）解：由图可知，亩产量是
的概率约为
，
亩产量是
的概率约为
，亩产量是
的概率约为
，
估计
地区明年每亩冬小麦统一收购总价为
元的概率为
.......................4 分
（2）解：由题意可知，随机变量
的可能取值有：
、
、
、
、
，
，
，
，
，
，
所以，随机变量
的分布列如下表所示：
........................11 分
（3）解：建议农科所推广该项技术改良，
设增产前每亩冬小麦产量为
，增产后每亩冬小麦产量为
，则
，
设增产后的每亩动漫小麦总价格为
元，分析可知
，
所以，增产的
会产生增加的收益为
，
故建议农科所推广该项技术改良........................13 分
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
19．（满分15 分）已知椭圆
过点
，长轴长为4.
(1)求椭圆E 的方程及离心率；
(2)若直线l：
与椭圆E 交于A，B 两点，过点B 作斜率为0 的直线与椭圆的另一个交点为D. 求证：
直线AD 过定点.
【答案】(1)
，离心率
(2)证明见解析
【分析】（1）利用已知易求得
，易求得椭圆方程与离心率；
（2）设点A 的坐标
，点B 的坐标
，则点D 的坐标
，联立方程组，结合韦达定理可得
，表示出直线AD 的方程为：
，令
得：计算可求得定点.
【详解】（1）因为椭圆E 过点
，所以
，
又因为长轴长为4，所以
，所以
，
所以
.
椭圆E 的方程为：
，离心率
........................5 分
（2）由
得：
，.......................7 分
由
得：
或
，
设点A 的坐标
，点B 的坐标
，则点D 的坐标
，
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
由已知得直线AD 有斜率，直线AD 的方程为：
，
令
得：
，.......................14 分
所以直线AD 过定点
........................15 分
20．（满分15 分）已知函数
(1)当
时，求
在区间
上的最值；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
有两个零点，求
的取值范围.
【答案】(1)最大值
，无最小值 (2)答案见解析 (3)
【分析】（1）当
时，分析函数
在区间
上的单调性，即可求出函数
在区间
上
的最值；
（2）讨论
单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对
按
、
进
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
行讨论，写出单调区间；
（3）对
按
、
进行讨论，分析函数
的单调性，在
时，根据函数
的单调性直接验
证即可；在
时，求出函数
的最小值，结合零点存在定理可求得实数
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，则
，
则
在区间
上单调递减，所以，
，无最小值........................4 分
（2）函数
的定义域为
，
，
（ⅰ）若
，则
，所以
在
单调递减；
（ⅱ）若
，则由
得
.
当
时，
；当
时，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增.
综上所述，当
时，函数
的减区间为
；
当
时，函数
的减区间为
，增区间为
......................8 分
（3）分析以下几种情况讨论：
（ⅰ）若
，函数
在
上为减函数，则
至多有一个零点；
（ⅱ）若
，由（1）知，当
时，
取得最小值，最小值为
.
当
时，由于
，故
只有一个零点；
当
时，由于
，此时，函数
没有零点；
当
时，
，
又
，故
在
有一个零点.
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
设正整数
满足
，
则
.
由于
，因此
在
有一个零点.
综上，
的取值范围为
........................15 分
21．（满分15 分）给定数列
，
，
，
，定义“
变换”为将数列
变换成
，
，
，
，其中
，且
这种“
变换”记作
，
继续对数列
进行“
变换”，得到数列
，
，依此类推，当得到的数列各项为0 时变换结束.
(1)求数列
，4，2，9 经过4 次“
变换”后得到的数列;
(2)证明：数列
，
，
经过有限次“
变换”后能够结束的充要条件是
(3)已知数列
，2，2028 经过K 次“
变换”后得到的数列各项之和最小，求K 的最小值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)508
【分析】（1）根据定义直接写出即可;
（2）从充分性和必要性两方面求证即可;
（3）求出数列a，
，4 经过6 次“
变换”后得到的数列结构也是形如a，
，4 的数列，仅除4
之外的两项均减小24，得数列
经过
次“
变换”后得到数列6，10，4，接下来经过“
变
换”依次得到4，6，2，2，4，2，2，2，0，0，2，2，至此数列各项之和最小值为4，即可求K 的最小值.
【详解】（1）由题知：数列 A4
，4，2，9 经过
次“
变换”后得到的数列依次为：
........................4 分
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）充分性：当
时，数列
，
，
经过一次“
变换”后结束，
必要性：即证明当
，
，
不全相等时，
，
，
经过有限次“
变换”后不会结束，
设数列
，
，
，数列
，
，
，数列
，0，0，且
，
由充分性易知：数列 E 只能为非零常数列，
不妨设
为了变换得到数列E 的前两项，数列D 只有如下四种可能：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
那么数列E 的第三项只能是0 或者
即不存在数列D，使其经过一次“
变换”后变为非零常数列，
故当
，
，
不全相等时，
，
，
经过有限次“
变换”后不会结束，
必要性得证........................9 分
（3）数列
，2，2028 经过一次“
变换”后得到数列
，2026，
其结构为a，
，4，且
远大于
，
那么其经过
次“
变换”后得到数列依次为：
4，a，
，4，
，
，
，
，
，4，
，
，4
所以数列a，
，4 经过6 次“
变换”后得到的数列结构也是形如a，
，4 的数列，
仅除4 之外的两项均减小24，
因为
，
所以数列
经过
次“
变换”后得到数列6，10，4，
接下来经过“
变换”依次得到4，6，2；2，4，2；2，2，0；0，2，2，
至此数列各项之和最小值为4，K 的最小值为
.......................15 分
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
21
