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2025 年高考第二次模拟考试
高三数学（上海卷）01·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知全集 ，则 .
【答案】
【分析】根据集合的补集、交集运算求解即可.
【解析】 ,
,
.
故答案为：
2．若复数 满足 ，则 ．
【答案】
【分析】根据复数的除法运算求出复数 的代数形式，再根据复数模公式运算得解.
【解析】 ， ，
.
故答案为： .3．设 ，不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】由 或 即可求解.
【解析】由 ，
可得： 或 ，
解得： 或 .
所以不等式的解集为： .
故答案为：
4．设随机变量 服从二项分布 ，则 .
【答案】
【分析】利用二项分布的方差公式及方差的性质计算可得.
【解析】因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为：
5．设 若 ，则 ．
【答案】1
【分析】根据分段函数，分 和 求解即可.
【解析】当 时， ，解得： ，满足；
当 时， ，方程无解，
所以 ，故答案为：1
6．已知甲乙两组数据如茎叶图所示，其中 ，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则
．
【答案】 /0.375
【分析】先得到甲乙的中位数，可得到 ，再利用平均数相同即可求解
【解析】通过茎叶图可发现甲的中位数为 ，乙的中位数为
因为两组数据的中位数相同，则 ，
又因为平均数相同，则 ，
∴ ．
故答案为：
7．已知抛物线 上有一点 到准线的距离为 ，点 到 轴的距离为 ，则抛物线的焦点坐标
为 ．
【答案】(0,2)
【分析】根据题意求出点 的纵坐标，结合点 到准线的距离可求出 的值，即可得出抛物线焦点的坐标.
【解析】抛物线 的准线方程为 ，
设点 ，则 ，由于点 到准线的距离为 ，可得 ，
因为点 到 轴的距离为 ，则 ，所以， ，解得 ，
故抛物线的方程为 ，其焦点坐标为 .
故答案为： .8．在 中， ， ， 的平分线交BC于点D，若 ，
则 ．
【答案】 /
【分析】根据给定条件，探求出线段 与DB的倍分关系，再结合平面向量基本定理求解作答.
【解析】在 中， ， ，则 ，又 平分 ，即有
，
因此 ，即有 ， ，整理得 ，
而 ，且 不共线，于是 ，
所以 .
故答案为：
9．第5届中国国际进口博览会在上海举行，某高校派出了包括甲同学在内的4名同学参加了连续5天的志
愿者活动．已知甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动，则甲同学参加连续两天活动的
概率为 ．（结果用分数表示）
【答案】 /
【分析】
根据古典概型的概率公式，结合排列数、组合数运算求解.
【解析】“甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动”共有 种可能，
“甲同学参加连续两天活动”共有 种可能，故甲同学参加连续两天活动的概率 .
故答案为： .
10．设数列 的前 项和为 ，若 ， 对任意正整数 恒成立，则 ．
【答案】
【分析】利用 与 的关系式证得数列 为等比数列，再利用等比数列的前 项和公式取极限即可得解.
【解析】易知： ，
可得： （ ），
两式相减可得： （ ），
当 时， ， ，可得： ，满足上式，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，
可得： .
故答案为： .
11．修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆
心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足 ，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打
算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点
分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道 、 以
及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米.【答案】
【分析】连接CD，CE，设 ，建立出需要修建的栈道的函数关系式，利用导数求出最小
值.
【解析】连接CD，CE，由半圆半径为1得： .
由对称性，设 ，又 ， ，
所以 ， ，
易知 ，所以 的长为 .
又 ，故 ，故 ，
令 且 ，则 ， ，
所以 .
- 0 +单调递
极小值 单调递增
减
所以栈道总长度最小值 .
故答案为： .
12．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描
述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面
的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，阴影部分是由双曲线 与它的渐近线以及
直线 所围成的图形，将此图形绕 轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为
．
【答案】
【分析】根据给定条件，可得旋转体垂直于轴的截面是圆环，求出圆环面积，利用祖暅原理求出旋转体体
积作答.
【解析】双曲线 的渐近线为 ，设直线 交双曲线及其渐近线分
别于 ， 及 ， ，如图，
由 ，得 ，由 ，得 ,
线段 ， 绕 轴旋转一周得到一个旋转体的一个截面，
它是一个圆环，其内径 ，外径 ，
此圆环面积为
因此此旋转体垂直于轴的任意一截面面积都为 ，旋转体的高为 ，而底面圆半径为 ，高为 的圆
柱垂直于轴的任意一截面面积都为 ，
由祖暅原理知，此旋转体的体积等于底面圆半径为 ，高为 的圆柱的体积为 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：利用祖暅原理求几何体的体积，找到一个等高的可求体积的几何体，并将它们放置于
两个平行平面间，再探求出被平行于两个平行平面的任意一平面所截，截面面积相等是解题的关键.
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正
确选项)
13．已知a，b都是实数，那么“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【解析】由对数函数性质知 ，即充分性满足，但 时 ，而 不成立
（ 不存在），必要性不满足，故为充分不必要条件，故选：B．
14．设函数 图像的一条对称轴方程为 ，若 、 是函数 的两个不同的
零点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对称轴和 的范围可得 的值，从而可得周期，然后由题意可知 的最小值为 可得.
【解析】由题知 ，则 ，
因为 ，所以
所以
易知 的最小值为 .
故选：B
15．如图，在正方体 中， 分别是 的中点.下列结论错误的是（ ）
A．
B． 平面
C． 与 所成的角为
A B C D
1 1 1 1
D． 平面
【答案】C【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断ABD；利用线线角的向
量求法求解判断C.
【解析】在正方体 中，建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，
则 ， ，
对于A， ， ， ，A正确；
对于B， ，则 ， ，而 平面 ，
因此 平面 ，B正确；
对于C， ， ，
因此 与 所成的角为 ，C错误；
A B C D A B C D
对于D，由 平面 1 1 1 1，得平面 1 1 1 1的一个法向量 ，
A B C D A B C D
又 ， 平面 1 1 1 1，因此 平面 1 1 1 1，D正确.
故选：C
16．如果数列同时满足以下四个条件：（1） （ ）；（2）点 在函数 的图
像上；（3）向量 与 互相平行；（4） 与 的等差中项为 （ ）；那么，这样的数列 ， ， ， 的个数为（ ）
A．78 B．80 C．82 D．90
【答案】B
【分析】先分析出 各项均为整数，且 或 ，判断出 ，依次分析
的变换过程，分类讨论，即可求解.
【解析】由（1）得 ，
由（2）点 在函数 的图像上，得： ，
由（3）向量 与 互相平行，得： ，
由（4）得 ，从而 或 ，
从而 ，故 ，
考虑 的变换，
每一步变换均为 或 ，且 和 所加之和相等，
①若 ，则 ，则9步中只有1步为 ，且只能在2边，故有3种；
②若 ，则 ，则9步中有3步 ，6步 ，
共有 种；
③若 ，则 ，则9步中有5步 ，4步 ，
共有 种；
④若 ，则 ，则9步中有7步 ，2步 ，共有 种，
⑤若 ，则 ，则9步都为 ，共有1种，综上，共有 种.
故选：B.
【点睛】计数问题解题要先区分：1、先分步还是先分类.2、是排列还是组合．
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．如图，在以 为顶点的五面体中，四边形 与四边形 均为等腰梯形，
， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 为线段 上一点，且 ，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过勾股定理及全等得出线线垂直，应用线面垂直判定定理得出 平面 ，由
平面 进而得出面面垂直；
（2）由面面垂直建立空间直角坐标系，分别求出法向量再应用向量夹角公式计算二面角余弦值.
【解析】（1）证明：在平面 内，过 做 垂直于 交 于点 ，
由 为等腰梯形，且 ，则
又 ，所以 ，连接 ，由 ，可知 且 ，
所以在三角形 中， ，
从而 ，
又 平面 ，，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面
（2）由（1）知， 两两垂直，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
取 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，则 ，
所以 ，
由图可以看出二面角 为锐角，故二面角 的余弦值为 .
18．已知在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ．
(1)若 ，求 的面积 ；
(2)求 的最大值，并求其取得最大值时 的值．
【答案】(1) 或 ；
(2)最大值 ， .
【分析】（1）首先由余弦定理求出c，再结合三角形面积公式即可求解；
（2）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求解．
【解析】（1） ， ， ，
又 ， ，
．
又 在 中， ， ， ，
因为 ，所以 ，
又 在 中， ， ，
再由三角形的余弦定理得： ， ，
即 ，解得 或 ，当 时， ，
当 时， ，
（2） ， ， ．
．
其中， ， ， ，
在 中， ， ，
当 时， 取到最大值 ，
此时， ．
19．垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类
基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程
度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和B等级，得到如下列联表：
男生 女生 总计
A等级 40 20 60
B等级 20 20 40
总计 60 40 100
(1)根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平 ）？附： ，其中 ， ．
(2)为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人
A和B轮流提问，先赢 局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率
为 ，主持人B提问甲赢的概率为 ，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人
A提问．
（i）求比赛只进行3局就结束的概率；
（ii）设 为结束比赛时甲赢的局数，求 的分布和数学期望 ．
【答案】(1)无关
(2)（i） ；（ii）分布列见解析，
【分析】（1） 计算 的值，再与 进行比较即可得结论；
（2）（i）由相互独立事件概率的乘法公式可直接求出答案；
（ii）先由相互独立事件概率的乘法公式求出 ，则分布列可得，再由期望公
式求数学期望即可.
【解析】（1）提出原假设 :学生对垃圾分类的了解程度与性别无关，
确定显著性水平 ，由题意得，
可得 ，
由 ，且 ，
所以接受原假设，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关.
（2）（i）比赛只进行3局就结束，甲赢得比赛的概率为
比赛只进行3局就结束，乙赢得比赛的概率为 ，故比赛只进行3局就结束的概率为 ；
（ii） 的可能取值为 ，
，即进行了3场比赛，且乙赢得比赛，故 ，
，即进行了4场比赛，且乙赢得比赛，前3场中，甲赢得1场比赛，乙第4场赢，
故 ，
，即进行了5场比赛，且乙赢得比赛，前4场中，甲赢得2场比赛，乙第5场赢，
故
，
，即最后甲赢得比赛，由概率性质得
，
所以分布为
0 1 2 3
故数学期望为 .
20．已知双曲线 的焦距为4，直线l： 与 交于两个不同的
点D､E，且 时直线l与 的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求实数m的取值范围；
(3)设A､B分别是 的左､右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P，交直线AD于点Q，求证：
线段PQ在x轴上的射影长为定值.
【答案】(1)(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）列方程求得a、b，即可得到双曲线的方程；
（2）把坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，转化为 ，解不等式可得实数m的取值范
围；
（3）求得P、Q两点的坐标，得到 ，即可证明线段PQ在x轴上的射影长为定值.
【解析】（1）当 直线l： 与C的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，
又双曲线的渐近线为 ，则
又焦距为4，则 ，解得 ， ，
则所求双曲线 的方程为 .
（2）设 ， ，则 ，
由 ，得 ，
则 ，
， ，，
又坐标原点O在以线段DE为直径的圆内，
则 ，即 ，即 ，
即 ，则 ，
即 ，则 或 ，
即实数m的取值范围 .（3） ，
设 ，则 ，
直线BD的斜率为 ， 又 ，
则直线PQ的方程为 ，即 ，
直线AD的斜率为 ，直线AD的方程为 ，
由 ，得 ，
即点Q的横坐标为 ，则 .
故线段PQ在x轴上的射影长为定值.
21．设 是定义在区间 上的函数，其导函数为 .如果存在实数 和函数 ，其
中 对任意的 都有 ，使得 ，则称函数 具有性质 .
(1)设函数 ，其中 为实数.
（ⅰ）判断函数 是否具有性质 ，请说明理由；
（ⅱ）求函数 的单调区间.
(2)已知函数 具有性质 .给定 ， ，设 为实数， ，
，且 ， ，若 ，求 的取值范围.【答案】(1)（i）函数 具有性质 ，理由见解析；（ii）答案见解析
(2)
【分析】（1）（i）对 求导，可得 恒成立，即可证明函数 具有性质 ；
（ii） ， 与 的符号相同，分 ， ， 和
，讨论 的正负，即可得出函数 的单调区间；
（2）对 求导， ，分析可知其 在 恒成立，分
， 和 三种情况讨论求解m的取值范围．
【解析】（1）（i）函数 具有性质 ，理由如下，
，
因为 ， 恒成立，所以函数 具有性质 ；
（ii）设 ， 与 的符号相同.
当 即 时， ， ，
故此时 在区间 上递增；
当 时，对于 ，有 ，所以此时 在区间 上递增；
当 时， 的图象开口向上，对称轴 ，而 ，对于 ，总有 ， ，所以此时 在区间 上递增；
当 时， 的图象开口向上，对称轴 ，方程 的两根为：
，且 ， ，
当 时， ， ，此时 在区间 上递减；
同理得： 在区间 上递增.
综上所述：当 时， 在区间 上递增；
当 时， 在区间 上递减，在 上递增；
（2）由题意，得： ，
又 对任意的 都有 ，
所以对任意的 都有 ， 在 上递增，
又 ，
当 时， ，且 ，
所以 ，所以 或 ，
若 ，则 ，
所以 不合题意，
所以 ，即 ，解得： ， ，当 时， ， ，符合题意.
当 时， ，且 ，
同理有 ，即 ，解得： ， ，
综上所述，所求m的取值范围时 .
【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键点是对 进行分类讨论，本题主要考查函数的概念、性质、
图象及导数等基础知识、考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合
能力.
