文档文本内容
2025 年高考第三次模拟考试
高三数学（上海卷）01·全解全析
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第1-6 题每题4 分，第7-12 题每题5 分）
1．已知集合
，则
．
【答案】
【分析】先求出集合B，再应用并集定义计算即可.
【解析】
．
故答案为：
.
2．不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】将不等式转化成一元二次不等式求解即可.
【解析】由不等式
，得
，即
，解得
，
所以原不等式的解集为
.
故答案为：
3．准线为直线
，且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为 .
【答案】
【分析】由抛物线的性质得出抛物线标准方程即可.
【解析】设抛物线为
，
因为准线为
，则
，所以
，
所以
.
故答案为：
.
4．函数
的严格减区间为 .
【答案】
【分析】根据严格减区间定义即可得出答案.
【解析】因为
的单调减区间为
，
所以
的严格减区间为
.
故答案为：
5．在研究线性回归模型时， 样本数据
（
，
，，
，
）所对应的点均在直线
上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则
.
【答案】
【分析】根据线性相关系数的定义直接得解.
【解析】由已知样本数据
（
，
，，
，
）所对应的点均在直线
上，
则
，
又
，
所以满足负相关，
即
，
故答案为：
.
6．若
（为虚数单位）是关于
的方程
的根，则实数
．
【答案】
【分析】方程有两个虚数根，则这两个虚数根互为共轭复数，由韦达定理得出参数的值.
【解析】∵
（为虚数单位）是关于
的方程
的根
∴另一根为
∴
∴
故答案为：
7．设
，若
，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用对数函数单调性求解不等式.
【解析】当
时，函数
在
上单调递减，
不等式
，即
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
8．已知数列
满足
，且
，
，则
．
【答案】
【分析】
根据等差中项法判断数列
为等差数列，进而利用等差数列的性质求解.
【解析】因为数列
满足
，
所以数列
为等差数列，
所以
，又因为
，
，
所以
，解得
，
故答案为：
.
9．设
，若
，则
．
【答案】
【分析】令
，即可得到
，再利用赋值法计算可得.
【解析】令
，则
，
令
，可得
，
令
，可得
，
所以
.
故答案为：
10．在平面直角坐标系
，已知点
在圆
内，动直线
过点
且
交圆
于
两点，若
的面积等于
的直线
恰有3 条，则正实数
的值为 .
【答案】
【分析】将圆的方程配成标准式，求出圆心及半径，由三角形面积公式得
，则
或
，要使
的面积等于
的直线
恰有3 条，则
有最小值，从而得到
，即可
求解；
【解析】解：由
，得：
，则圆心
，
，
因为点
在圆内，
所以
解得
由已知得：
，
解得：
，则
或
因为过
的直线与圆相交于
，
两点，要使
的面积等于
的直线
恰有3 条，则
有最
小值，
即
所以
（负值舍去）.
故答案为：
.
11．如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆
和半圆
的直径均为2.8 米，平面
和平面
均垂直于平面
，用任意平行于帐篷底面
的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该
帐篷围成几何体的体积为 立方米.（精确到0.1 立方米）
【答案】3.7
【分析】先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的
体积减去正四棱锥的体积，计算即可.
【解析】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为
，
设底面中心为
，截面
中心为
，则
，
，
所以
，所以截面为
的面积为
.
设截面截正四棱柱得四边形为
A1B1C1D1，截正四棱锥得四边形为
，
底面中心
与截面
中心
之间的距离为
，
在正四棱柱中，底面正方形边长为
，高为
，
，
所以
，所以
，
为等腰直角三角形，
所以
，所以四边形
边长为
，
所以四边形
面积为
，
所以图2 中阴影部分的面积为
，与截面
面积相等，
由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，
即
.
帐篷围成几何体的体积为：
（立方米）.
故答案为：3.7.
12．对于具有相同定义域D 的函数
和
，若存在函数
(k，b 为常数)，对任给的正数
m，存在相应的
，使得当
且
时，总有
，则称直线
为曲线
和
的“分渐近线”．给出定义域均为
的四组函数如下：
①
，
；
②
，
；
③
,
；
④
,
其中，曲线
和
存在“分渐近线”的是 ．
【答案】②④
【分析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数.
【解析】
和
存在分渐近线的充要条件是
时，
．
对于①
，
，当
时，令
由于
，所以
为增函数，不符合
时，
，所以①不存在；
对于②
，
，
因为当
且
时，
，所以存在分渐近线；
对于③
，
，
当
且
时，
与
均单调递减，但
的递减速度比
快，
所以当
时
会越来越小，不会趋近于0，
所以不存在分渐近线；
对于④
，
，当
时，
，且
因此存在分渐近线．
故存在分渐近线的是②④．
故答案为②④．
【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于中档题.
二、选择题(本题共有4 题，满分18 分，第13-14 题每题4 分，第15-16 题每题5 分；每题有且只有一个正
确选项)
13．“
”是“事件A 与事件
互相独立”（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
根据事件互斥，对立，独立的关系得出即可.
【解析】因为对于任意两个事件
，如果
，则事件
与事件
相互独立，若事件
与事件
相互独立，则事件A 与事件
也互相独立，所以充分性成立；
若事件A 与事件
互相独立，则事件
与事件
也相互独立，则
成立，所以必要性
成立；
故选：C
14．已知
和
都是锐角，向量
，
，则（ ）
A．存在
和
，使得
B．存在
和
，使得
C．存在
和
，使得
D．存在
和
，使得
【答案】B
【分析】依题意可得
，根据数量积的坐标表示及和角公式得到
，即可判断A、C，
当
时可以判断B，根据数量积的运算律判断D.
【解析】因为
和
都是锐角，所以
，
又
，
，
所以
，
，
，
因为
，所以
，故
，因此A 和C 错误；
当
时，
，即
，所以B 正确；
，所以D 错误；
故选：B.
15．如图，正四棱柱
的底面
边长为，
为
上任意一点，
为
中点，若棱
上至少存在一点
使得
，则棱长
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，设出点
、
、
的坐标，结合已知条件得到方程
，根据方
程解的情况求出的取值范围即可求解.
【解析】根据已知条件， 以
为坐标原点，
、
、
分别为
、
、
轴的空间直角坐标系，
设正四棱柱的高为
，令
，
，
，
所以
，
，
因为
，所以
，即
，
整理得：
，因为棱
上至少存在一点
使得
，
所以关于
得的方程
，
至少有一个解，
即
，整理得：
，解得
，
又因为
，所以
，所以棱长
的最大值为
.
故选：A
16．已知数列
，若存在数列
满足对任意正整数
，都有
，则称数列
是
的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列
，不存在等差数列
，使得
是
的交错数列；②对任意给定的等比数列
，都存在等比数列
，使得
是
的交错数列.下列结论
正确的是（ ）
A．①与②都是真命题；
B．①为真命题，②为假命题；
C．①为假命题，②为真命题；
D．①与②都是假命题．
【答案】A
【分析】对于①：根据等差数列通项公式为一次函数形式分析判断；对于②：根据等比数列通项公式为指
数型，并举例说明即可.
【解析】对于①：因为数列
、
均为等差数列，
设
，则
，
若
，可知当
时，
恒成立，不满足交错数列；
若
，可知
的符号不变，不满足交错数列；
若
，可知当
时，
恒成立，不满足交错数列；
综上所述：对任意等差数列
、
，
均不是
的交错数列，故①正确；
对于②：因为数列
为等比数列，设
， 等比数列
的公比为
不妨假设
，
，此时等比数列
的公比为
当
为奇数，则
；
当
为偶数，则
；
满足
是
的交错数列，
若等比数列
的公比为
，根据对称结构，上述结论依然成立，
同理若
，
，此时等比数列
的公比为
当
为奇数，则
；
当
为偶数，则
；
满足
是
的交错数列，
若等比数列
的公比为
，根据对称结构，上述结论依然成立，
综上所述：对任意给定的等比数列
，都存在等比数列
，使得
是
的交错数列，故②正确；
故选：A.
【点睛】关键点点睛：数列是特殊的函数，根据数列的特性，准确构造相应的函数，借助函数性质分析求
解是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件.
三、解答题(本大题共有5 题，满分78 分，第17-19 题每题14 分，第20、21 题每题18 分.)
17．如图，四边形ABCD 是正方形，
平面ABCD，
．
(1)求证：
平面PBC；
(2)求二面角
的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）根据给定条件，利用面面平行的判定、性质推理即得.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面
与平面
的法向量，再利用面面角的向量法求解.
【解析】（1）由正方形
，得
，而
平面
，
平面
，则
平面
，
又
，
平面
，
平面
，则
平面
，
又
平面
，因此平面
平面
，而
平面
，
所以
平面
.
（2）由
平面
，且四边形
为正方形，得直线
两两垂直，
以B 为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，
令
，则
，
，
设平面
的法向量
，则
，取
，得
，
设平面
的法向量
，则
，取
，得
，
设二面角
的大小为
，则
，
，
所以二面角
的正弦值为
.
18．已知函数
(
为常数，
).
（1）讨论函数
的奇偶性；
（2）当
为偶函数时，若方程
在
上有实根，求实数
的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）
.
【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义求解即可；
（2）当函数
为偶函数时，
，列出方程
，利用换元法，结合指数函数和对勾函
数的性质，由求根公式解出方程的根，可得实数
的取值范围．
【解析】（1）∵函数
的定义域为
，
又∵
∴①当
时，即
时，可得
即当
时，函数
为偶函数；
②当
时，即
时，可得
即当
时，函数
为奇函数.
（2）由（1）可得，当函数
为偶函数时，
，
即
时，
由题可得，
令
，则有
∵
∴
，
又∵
，当且仅当
时，等号成立
根据对勾函数的性质可知，
，即
①
此时
的取值不存在；
②
此时，可得
的取值为
综上可得
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的性质，考查指数函数和对勾函数的应用，解决本题的关键点是令
，则方程化简为
，利用求根公式并讨论根与区间端点的关系，得出参数的范围，考
查学生分类讨论思想和计算能力，属于中档题．
19．某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600 位居民，得到如下数据：
不达标
达标
合计
男
300
女
100
300
合计
450
600
(1)完成
列联表，根据显著性水平
的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？
(2)若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为
，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为
，用
上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1 人参加体能测
试，求其体能测试合格的概率；
(3)在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3 人参加体能测试，求3 人中体能测试合格的人数X 的分
布、数学期望及方差．
附：
，
．
【答案】(1)表格见解析，根据显著性水平
的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关.
(2)
(3)分布列见解析，数学期望为
，方差为
【分析】（1）根据题意补全列联表，再由卡方公式以及独立性性检验的思想判定结果即可.
（2）根据全概率公式结合表格数据可求出这600 位居民参加体能测试合格的频率，然后由样本估计总体的
思想可得当地全体居民体能测试合格的概率.
（3）由题意随机变量
，且由（2）
，故根据二项分布概率公式即可求得X 的每一
个取值对应的概率，进而得随机变量的分布列；根据二项分布的期望值和方差公式得期望值和方差.
【解析】（1）根据数据补全
列联表如下：
不达
标
达
标
合
计
男
50
250
300
女
100
200
300
合
计
150
450
600
零假设
体育锻炼达标与性别无关，
由表格数据得
，
因为
，
所以推断
不成立，依据显著性水平
的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关.
（2）由表格数据该地区居民体育达标的概率为
，
记事件
“从该地区居民中随机抽取1 人参加体能测试，其体能测试合格”，
则由题
.
（3）由题意
，当地居民人口基数大，可近似看做二项分布，即
，
所以
；
；
；
；
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
则
；
.
20．如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆
：
的左，右焦点外别为
，
，设P 是第一象限
内
上的一点，
、
的延长线分别交
于点
、
．
（1）求
的周长；
（2）求
面积的取值范围；
（3）设
、
分别为
、
的内切圆半径，求
的最大值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
．
【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解；
（2）设过
的直线方程为
，联立椭圆方程消元后，根据根与系数的关系得
，换元后可
求
，代入三角形面积公式即可求解；
（3）根据三角形内切圆的性质及（1）可得
，即可转化为
，根据三角形面积可化为
，利用直线与椭圆联立求出
，代入化简后利用均值不等式即可求解.
【解析】
（1）
，
为椭圆
的两焦点，且
，
为椭圆上的点，
，从而
的周长为
．
由题意，得
，即
的周长为
.
（2）由题意可设过
的直线方程为
，
联立
，消去x 得
，
则
，
所以
，
令
，
则
（当
时等号成立，即
时）
所以
,
故
面积的取值范围为
.
（3）设
，直线
的方程为：
，将其代入椭圆
的方程可得
，
整理可得
，
则
，得
，
，
故
．
当
时，直线
的方程为：
，将其代入椭圆方程并整理可得
，
同理，可得
，
因为
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立.
若
轴时，易知
，
，
，
此时
，
综上，
的最大值为
.
21．定义：如果函数
在定义域内给定区间
上存在实数
，满足
，那么称函数
是区间
上的“平均值函数”，
是它的一个均值点.例如
是区间
上的“平均值函数”，0 是它的均值点.
(1)已知函数
、
，判断
、
是否为区间
上的“平均值函
数”，并说明理由；
(2)设
是区间
上的“平均值函数”，1 是函数
的一个均值点，求所有满足条
件的整数数对
；
(3)若
是区间
上的“平均值函数”，
是它的一个均值点，求证：
.
【答案】(1)函数
是区间
上的“平均值函数”，
不是区间
上的“平均值函数”，理由见解析
(2)
或
或
或
.
(3)证明见解析
【分析】（1）利用“平均值函数”的定义计算即可判断；
（2）由平均值函数的定义可得
，可求所有满足条件的整数数对
；
（3）所证不等式可变形为
，利用换元法，令
，可证结论.
【解析】（1）（1）函数
是区间
上的“平均值函数”，
不是区间
上的“平均值函数”，理由如下：
由题题意
，得
，则
，所以函数
是区间
上的“平均值函数”；
，即
，
所以
，无解，所以
不是区间
上的“平均值函数”；
（2）因为
是区间
上的“平均值函数”，1 是函数
的一个均值点，
所以
，
即
，
显然不成立，
所以
，因为是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得
，
又所求的
为整数对，故
或
或
或
.
（3）由题意可得
，则所证不等式为
，
需证
，令
，则不等式为
，
则不等式等价于
，
令
，求导得
，
所以
在
上单调递减，所以
，
即
，即
.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于理解题中所给“平均值函数”的定义，为使函数为平均值函数，必存在实数
，满足
，注意此处不取端点值，根据所给函数解析式，列出等式，化为
常见函数，进行求解即可.
