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2026 年高考数学百日冲刺基础全通关（上海专用）
专题09 函数
考点01：指数对数的运算
1. （2025 上海市崇明区高三三模）已知
，则
___________．
【答案】1
【解析】
【分析】先把指数式化为对数式求出
的值，再利用对数的运算性质即可求解.
【详解】由已知
，则
，
所以
.
故答案为：1.
2. （2025 复旦大学附属中学高三期末）方程
的解为
___________.
【答案】8
【解析】
【分析】由对数运算法则化方程为
．再根据对数函数的性质求解．
【详解】由
得
，
所以
，解得
．
故答案为：8．
3. （2024 上海市曹杨第二中学高三三模）若正实数
、
满足
，则
的最小值为
________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的运算公式，求出实数
、
满足的等量关系，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】由题意得
，可得
，
由对数性质可知
，根据基本不等式可知
，当且仅当
，即
时，等号成立，所以
的最小值为4.
故答案为：4.
4. （2025 届上海市大同中学高三三模）已知正实数
满足
，
，则
______.
【答案】
##
【解析】
【分析】令
，则由
可得
，从而可求出的值，再结合
求出
，即可得解.
【详解】令
，则
，
由
，得
，
所以
，解得
或
，
所以
或
，
所以
或
，
当
时，则
，
由
，得
，所以
，
由
，又
，解得
，
所以
；
当
时，由
，得
，所以
，
由
，又
，解得
，
所以
，
综上所述，
.
故答案为：
.
考点02：基本初等函数
5. 已知幂函数
在
上严格增，则实数
__________
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的性质有
，即可求.
【详解】由题设
，可得
.
故答案为：2
6.（2025 上海宝山区高三三模） 已知幂函数
过点
，若
，则实数
的取
值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用幂函数的定义求得
的解析式，进而得
的定义域与单调性，从而得到关于
的不
等式组，解之即可得解.
【详解】由题可设
，因为函数
过点
，
所以
，所以函数
，
所以函数
是定义在
上的增函数，
所以若
，则
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
7. （2024 松江二中期末）若函数
的图象不经过第一象限,则
的取值范围为____________.
【答案】
【分析】图象不经过第一象限,只需
,代入解析式,解出不等式即可.
【详解】解:由题知
,
若函数
单调递减，其图象不经过第一象限,必有图象与y 轴交点不在y 轴正半轴上，
只需
即可,
即
,
解得:
.
故答案为:
8.（2025 闵行中学开学考试）若函数f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点,则实数b 的取值范围是 .
【答案】(0,2)
【解析】在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b 的图象,如图所示.
∴当0<b<2 时,两函数图象有两个交点,从而函数f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点.
∴实数b 的取值范围是(0,2).
8.设
且
，则函数
的图像恒过的定点坐标为 ．
【答案】
【分析】令
，求得
恒成立，进而得到函数恒过定点，得到答案.
【解析】令
，可得
恒成立，
所以函数
的图象恒过定点
.
故答案为：
.
9.已知函数
，则不等式
的解集为______.
【答案】
【分析】由题意结合函数的解析式分类讨论求解不等式的解集即可.
【详解】解：当
时，
，解得
，
当
时，
，即
，解得
，
综上，不等式
的解集为
.
故答案为：
考点03：函数的概念与表示
10．函数
的定义域为 ．
【答案】
【分析】由题意可得关于x 的不等式组求解．
【解析】由
，解得
且
.
∴函数
的定义域为
．
故答案为：
.
1.1 （2025 进才中学高三模拟）函数
的定义域是____________
【答案】
【解析】
【分析】根据对数式的真数大于
求解出
的取值范围即为定义域.
【详解】因为
，所以
，
所以定义域为
，
故答案为：
.
12. （2025 上海市徐汇中学高三三模）函数
的定义域是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出
和
定义域，再求交集.
【详解】由题意
，
；
故答案为：
.
13. （2025 上海市崇明中学高三三模）已知函数
，则
__________.
【答案】3
【解析】
【分析】利用分段函数解析式，可得答案.
【详解】由
，则
.
故答案为：
.
14. 已知函数
，则
______.
【答案】
##
【解析】
【分析】直接代入计算即可.
【详解】
.
故答案为：
.
15. （2025 上海市金山中学高三三模）已知函数
，其中
，则
__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据自变量的取值代入求值即可.
【详解】因为
时，
，
所以
，
故答案为：
16.已知函数
是奇函数，当
时，
，当
时，
.
【答案】
【分析】利用奇函数的性质直接求解即可.
【解析】设
，则
，
因为
是奇函数，
所以
，
则
.
故答案为：
考点04：函数的值域与最值
17．函数
，
的值域是 ．
【答案】
【分析】根据函数单调性可得最值.
【解析】由函数
，在
上单调递减，
所以
，
故答案为：
.
18．函数
的值域为 .
【答案】
【分析】根据分段函数的性质以及反比例函数、指数函数的性质即可得到答案.
【解析】当
时，
，
当
时，则
，即
，
综上
的值域为
，
故答案为：
.
19. （2025 行知中学高三6 月模拟）已知函数
，则
的值域是
________．
【答案】
【解析】
详解】当
时，
；
当
时，
；
考查一个周期
内三角函数的性质：
当
时，
；
当
时，
，
绘制函数在
内的图象如图(实线)所示，
观察可得，函数的值域为
.
考点05：函数的图像与变换
20．已知
函数
的大致图像如图所示，则
．
【答案】
【分析】根据图像的对称性，可得到函数的奇偶性；再由图像与坐标轴的关系，即可判断
的取值.
【解析】因为图像关于
轴对称，所以函数是偶函数；
又因为图像与坐标轴无交点，所以指数
为负数.综上所述，
.
故答案为：
.
21．已知函数
，若
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】由题意及对数的运算与对数函数的性质可得
，利用基本不等式即可求解．
【解析】
，
若
，不妨设
，
则
，
所以
，即
，
所以
，当且仅当
，
时，等号成立．
故答案为：
．
22.函数
的大致图像为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合函数的定义域，零点，
时函数值的符号进行判断.
【详解】由
知，
，排除C 选项；
函数没有定义，排除B；
时，
，根据指数函数的单调性可知，
，
又
弧度是第二象限角，故
，于是
时，
，排除D.
故选：A.
23.函数
的大致图象可能为（ ）
A．
B．
B．C．
D．
【答案】C
【分析】由函数的奇偶性与特殊的函数值对选项逐一判断，
【详解】
，故
为奇函数，所以排除B，D，
又当
时，
，所以排除A．
故选：C
考点06：函数单调性与奇偶性
24. （2025 上海市金山中学高三三模）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数奇偶性和单调性的定义依次判断各选项即可.
【详解】对于A，
是偶函数，不是奇函数，故A 错误；
对于B，
是奇函数，且是增函数，故B 正确；
对于C，
是非奇非偶函数，故C 错误；
对于D，
是非奇非偶函数，故D 错误.
故选：B.
25.已知函数
，若函数
的图象关于
轴对称，则
的值为_______
【分析】由
是偶函数，得到
为奇函数，结合
．列出方程，即可求解.
【详解】由函数
的图象关于
轴对称，可得函数
是偶函数，
因为
为奇函数，所以函数
为奇函数，
所以
．即
，
所以
，所以
.
26.已知
为偶函数，则
的值为________
【分析】利用偶函数的定义可求出
的值.
【详解】由
可得
，故函数
的定义域为
，
因为函数
为偶函数，则
，
即
，
所以
对任意的
恒成立，
故
，解得
.
27．设
.若函数
是定义在
上的奇函数，则
.
【答案】1
【分析】利用奇函数的定义域关于原点对称，且满足
，即可求出结果.
【解析】由函数
是定义在
上的奇函数，可知
，
再由
，
所以
，
故答案为：1.
8. （2025-26 复旦大学附属中学高三（上）阶段练习）已知函数
为奇函数，则
______.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出当
时的函数值，再根据奇函数的性质得解.
【详解】因为函数
为奇函数，
当
时
，
所以
.
故答案为：
28．函数
的单调递增区间是 .
【答案】
（或
）
【分析】根据复合函数的单调性求解.
【解析】由
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增.
故答案为：
（或
）
29.（2024 青浦区高三三次学业监测）已知
，则
的解集是_______．
【答案】
【解析】
【分析】首先求出当
时的解析式，再根据解析式分段得到不等式组，解得即可.
【详解】因为
，
设
，则
，所以
，
所以
，
不等式
，即
或
，解得
或
，
综上可得
的解集
.
故答案为：
30.已知函数
是增函数，则
的取值范围是_______
【分析】根据函数在各段单调递增且在断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可.
【详解】若
是增函数，
则要保证:
①:函数
在
上单调递增，此时要满足
，即
；
②:函数
在
上单调递增，此时要满足
，即
；
③:在
处，右侧函数值要大于等于左侧函数值，即：
.
综上：
的取值范围是：
，
31.已知
，且
，函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是______
【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果.
【详解】若分段函数在
上单调递减，则
故
的取值范围为
.
32.已知函数
，若对于任意的实数x，不等式
恒成立，则实数a
的取值范围为_______
【分析】结合题意
化为
，即
，根据
是R
上的增函数，得
对
恒成立，进而利用判别式法求解即可.
【详解】由题意得
，如图所示，
因为
，所以
，
所以
，即
，
因为
，所以原不等式化为
，
由图可知
是R 上的增函数，所以
对
恒成立，
所以
，则
，即
.
33.已知函数
，若
，则实数
的取值范围是______
【分析】结合二次函数和分段函数性质，研究给定函数的单调性，再借助单调性求解不等式作答.
【详解】因
为开口向下的二次函数，对称轴为
，故函数在
上单调递减；
为开口向上的二次函数，对称轴为
，故函数在
上单调递减，且
，因此函数
在R 上单调递减，则
，即
，
解得
或
，
所以实数
的取值范围是
。
34.已知
是定义在
上的奇函数，
，对
，且
，有
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据条件判断出
在
上的单调性，然后根据奇偶性以及
判断出
在各段上的
取值正负，据此可求解出不等式解集.
【详解】对
，且
，有
，
所以函数
在
上单调递增.
因为
是定义在
上的奇函数，
，且
，
所以当
时，
，当
时，
，
由奇函数性质可知，当
时，
，当
时，
，
若
，则
或
，
则
或
，解得
.
故选：B.
35.已知函数
若对于任意的实数
，不等式
恒成立，则实数a 的取值
范围为________
【分析】分析可知
在定义域
上单调递增，由不等式可得
恒成立，参变分离结合二次函数
最值分析求解.
【详解】当
时，
在
上单调递增，且
；
当
时，
在
上单调递增，且
；
如图所示，可知
在定义域
上单调递增，
因为不等式
恒成立，则
恒成立，
即
在
上恒成立，
且
，当且仅当
时，等号成立，
可得
，所以实数a 的取值范围为
.
故选：D.
考点07：函数的周期性与对称性
36.设
是定义域为
的奇函数，且
．若
，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据已知推得函数的周期为4，再应用周期性求函数值.
【详解】由题意
，
，
所以4 是
的周期，故
故选：D
37.已知函数
是定义在
上的奇函数，
为偶函数，且当
时，
，则
________
【分析】由题意知得出函数周期
，由奇函数的性质得出
时
的解析式，结合对数恒等式即
可求解．
【详解】由题意得，
，对称轴为直线
，则
，
所以
，所以
，
所以
，则
的周期
，
因为
，所以
，
又当
时，
，函数
是定义在
上的奇函数，
所以
时，
，
所以
，
考点08：函数零点、实数根问题
38.已知
，且
，则函数
的零点为 .
【答案】3
【分析】令
，分
和
两种情况，解方程可得答案.
【解析】因为
，则
，所以
，
令
，则
，
当
时，
，令
，解得：
；
当
，
，令
，解得：
(舍去)，
故函数
的零点为
故答案为：3
39.设
，函数
若关于
的方程
恰有一解，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】结合图像即可求解.
【解析】由
画出函数图像，
结合图像可知，方程
恰有一解，
的取值范围为
.
故答案为：
40. （2025 上海市进才中学高三5 月模拟）已知函数
满足
，且
，则方程
的实数解的个数为______．
【答案】
【解析】
【分析】首先可得
的周期为
，方程
的解，即为
与
的交点横坐标，画出
与
的图象，数形结合即可判断.
【详解】由函数
满足
，则
，所以
的周期为
，
由
，则
，
可得
的图象如图，
方程
的解，即为
与
的交点横坐标，
且当
时
，
由图可知两图象交点个数为
，即方程
的实数解的个数为
.
故答案为：
考点09：函数与导数
41.（2025 复旦大学附属中学高三6 月检测）已知
，则曲线
在点
处的切线方
程是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数
的解析式得到切点坐标和导函数，根据导函数在切点的函数值等于切线的斜率求解
切线斜率，进而得到切线方程.
【详解】
，
∴曲线
在点
处的切线斜率为
，
∴曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
故答案为：
.
42.（2025 复旦大学附属中学高三6 月检测）已知函数
与它的导函数
的定义域均为
，则“
在
上严格增”是“
在
上严格增”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】通过特例可得两个条件之间的推出关系，从而可得正确的选项.
【详解】取
，则
，而
为
上严格增函数，
而
不是
上严格增函数，
故“
在
上严格增”推不出“
在
上严格增”.
取
，
，则
是
上严格增函数，
而
不是
上严格增函数，
故“
在
上严格增”推不出“
在
上严格增”.
故“
在
上严格增”是“
在
上严格增”的非充分非必要条件，
故选：D.
43.（2025 复旦大学附属中学高三期末）已知函数
在区间
上存在最大值，则实数
的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】由于函数
在区间
上不单调，等价于函数
在区间
上存在极值点，对函数
求导，对
分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间
内，可得关于
的不等式，即可求出结
果．
【详解】
，
当
时，
在
上严格单调递增，不符合题意;
当
时，令
；
.
所以
在
上严格单调递增，在
上严格单调递减，
所以
处取得极大值.
因为函数
在区间
上存在最大值，
所以
.
故答案为：
.
44.（2025 进才中学高三模拟）如图所示为函数
的图象，则不等式
的解集为 ____．
【答案】
【解析】
【分析】由函数图象的单调性可得其导数的正负，即可解出该不等式.
【详解】由
的图象可得
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，
，当x∈
时，
，
因为
，所以
或
，
即
或
或
，解得
或
，
所以原不等式的解集为
．
故答案为：
.
45. （2025 上海市格致中学高三三模）设函数
的定义域为
是
的极大值点，则
（ ）
A.
是
的极小值点
B.
是
的极大值点
C.
是
的极小值点
D.
是
的极大值点
【答案】C
【解析】
【分析】A 选项，
的图象和
的图象关于
轴对称，
是
的极大值点；BD 选项，可举
出反例；C 选项，
的图象和
的图象关于原点对称，故
是
的极小值点.
【详解】A 选项，
的图象和
的图象关于
轴对称，
因为
是
的极大值点，故
是
的极大值点，A 错误；
BD 选项，取
，则
是
的极大值点，
，故不是
的极大值点，B 错误；
，其为偶函数，在
上单调递减，
不是
的极大值点，D 错误.
C 选项，
的图象和
的图象关于原点对称，
因为
是
的极大值点，故
是
的极小值点，C 正确.
故选：C
46. （2025 届上海市大同中学高三三模）已知函数
满足：①
，
；②
，
．若
是方程
的实根，则
___________．
【答案】2
【解析】
【分析】先根据②将方程
变形为
，
由①知
为增函数，从而
，变形构造函数
可得
，代入
可得结果.
【详解】由②及题设条件，得
.
由①，知
为增函数，得
，即
即
令
，则
.
又
为增函数，所以
，即
，所以
，
故
.
故答案为：2.
47.（2025 行知中学高三6 月模拟）已知曲线
在点
处的切线与曲线
只有一个公共点，则
__________.
【答案】
或
【解析】
【分析】根据导函数与斜率的关系求出切线方程，联立曲线
和切线方程，根据方程
只有一个解求解即可.
【详解】因为
，所以
，
所以当
时，
，即切线的斜率为2，
所以由点斜式得
即
，
联立
整理得
，
因为切线与曲线
只有一个公共点，
所以方程
只有一个根，
当
时，方程为
只有一个根，满足题意；
当
时，
，即
，解得
，
综上
或
，
故答案为:
或
.
48. （2025 杨浦区高三5 月质量检测）若
有唯一解，则
的范围是______________
【答案】1
【解析】
【分析】根据
有唯一解等价于
的图象上只有一个点在直线
上或者在直线下
方，画出图象结合导数的几何意义求解即可.
【详解】因为
有唯一解，
所以
的图象上只有一个点在直线
上或者在直线下方，
直线
过定点
，
画出
的图象上与直线
的图象如图，
由图可知，当直线与曲线相交时，曲线上有无数个点在直线下方，不等式有无数个解；
当直线与曲线相离时，曲线上没有点在直线上或直线下方，不等式解集为空集；
当直线与曲线相切时，曲线上只有一点在直线上，不等式有唯一解，
设切点坐标为
，因为
，
所以
，
故答案为：1.
49.（2025 上海市崇明区高三三模）已知
，若关于
的不等式
的解集中有且仅有一
个负整数，则
的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】原式可化为
，然后研究函数
的图象，只需当
时，直线
在曲线
上方时，只有一个负整数即可，构造不等式组求解．
【详解】原不等式可化为：
，
令
，
，显然
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增，
所以
，且
时，
，
,
同一坐标系中，作出
与
（过定点
的图象：
据图可知，满足题意的整数解为
，此时应满足
，
解得
．
故答案为：
．
【点睛】关键点点睛：本题考查不等式解问题，关键是将不等式适当变形，转化为两个函数交点问题.
考点10：综合题
50.（2025 上海市格致中学高三三模）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
．
（1）求函数
的解析式．
（2）若
，求实数
的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设
，利用
，可得解析式；
（2）利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号“f”，再考虑到定义域即可求出a 的范围．
【小问1 详解】
因为
为奇函数，
，设
，则
，
则
,
因为
为奇函数，则
，
则
．
【小问2 详解】
当
时，
为单调递增函数，
由奇函数可知
是定义在[﹣3，3]上的增函数，
又∵
，∴
，
故有：
，则有
，解得：
所以实数a 取值范围是：
51.（2025 建平中高三下学期三模）设
且
，已知函数
．
（1）判断
是否为偶函数，并说明理由；
（2）令函数
，解关于
的不等式
．
【答案】（1）偶函数，理由见解析.
（2）当
时，不等式的解集为
；当
时，不等式的解集为
.
【解析】
【分析】（1）由偶函数的性质证明即可；
（2）由偶函数的性质，换元令
，再分
和
结合对数函数的单调性解抽象函数不等式
即可.
【小问1 详解】
是偶函数.
理由如下：
因为
，
且
，即定义域为
，定义域关于原点对称.
，
是偶函数.
【小问2 详解】
为偶函数，
令
.
当
时，
在
上单调递增，
在区间
上单调递减，
由
，得
且
，解得
.
当
时，
在
上单调递减，
在区间
上单调递增，
由
，得
且
，解得
.
综上所述：当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
.
52. 已知
（
且
）．
（1）若
，解方程
，求
的值；
（2）若
，求
的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将
代入函数，再代入方程中，结合对数函数的运算化简即可得关于
的方程,解方程即
可求解.
（2）根据对数函数的性质，分
和
两种情况讨论，由单调性解不等式即可求得的
取值范围;
【小问1 详解】
当
时，则
，因为
，
所以
，化简可得
，
即
，化简得
，
所以
，所以
，
解得
或
，即
或
；
【小问2 详解】
当
时，函数
在
上单调递减，若
，
则
，解得
；
当
，函数
在
上单调递增，若
，
则
，解得
，
综上所述：
取值范围为
．
53.（2025 华东师范大学二附中高三5 月冲刺试卷）已知函数
是定义在
上的奇函数.
（1）求实数
的值及函数
的值域；
（2）若不等式
在
上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
；
； （2）
.
【解析】
【分析】（1）根据
解得
，并检验
时，满足题意，得出函数解析式，求解值域；
（2）根据函数值域，将问题转化
，故
，利用换元法求解最值即
可得解.
【详解】（1）由
解得
，反之
时，
，符合题意，
故
，据此
，
，
即值域为
（2）
在
显然是单调增函数，
为正数，
所以
，故
，
令
，则
随
的增大而增大，
最大值为
，
实数范围是
.
【点睛】此题考查根据函数奇偶性求参数的取值，根据不等式恒成立求解参数的取值范围，涉及参变分
离，换元法求解最值.
54. （2025 年华东师范大学第一附属中学高三三模）已知函数
，
（1）当
时，解不等式
；
（2）已知函数
为偶函数，且函数
在区间
上有零点，求正实数
的取
值范围．
【答案】（1）
；
（2）
【解析】
【分析】
根据函数单调性的性质判断
的单调性，根据单调性列出不等式即可求出原不等式解集；
根据
是偶函数求出
，令
，求出的取值范围，令
，将原题转化为方程有解
问题即可求解.
【小问1 详解】
当
时，函数
，
函数是
和
都是R 上
减函数，所以
为减函数，
所以不等式
等价于
，
解得
或
，
即原不等式解集为
．
【小问2 详解】
由于
是偶函数，则
，
代入化简得
，解得
，
令
，
，则
，
所以
在
上有解，
，
因为函数
在
上严格增，所以
，
解得
，故
的取值范围为
．
55.（2025 华东师大三附中高三三模）如图所示是函数
的图象，由指数函数
与幂函数
“拼接”而成．
（1）已知
，求
的取值范围；
（2）若方程
存在实数解，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将点
的坐标分别代入函数
、
的解析式，求出
、
的值，可得
出函数
的解析式，然后利用函数
的定义域、单调性结合
可得出关于
的不等式组，由此可求得实数
的取值范围；
（2）分析可知
的取值范围即为函数
的值域，可得出关于的不等式，即可解得实数
的取值范围.
【小问1 详解】
由题意可得
，解得
，故
.
因为函数
在
上严格减，
由
可得
，解得
，
因此，实数
的取值范围是
.
【小问2 详解】
因为方程
存在实数解，即方程
存在实数解，
则
的取值范围即为函数
的值域，
由题图可知，函数
的值域为
，故函数
的值域为
，
所以
，即
，解得
或
，
因此，实数的取值范围是
.
1．（2025·上海·高考真题）设
．下列各项中，能推出
的一项是（ ）
A．
，且
B．
，且
C．
，且
D．
，且
【答案】D
【分析】利用指数函数的性质分类讨论
与1 的关系即可判定选项.
【详解】∵
，∴
，
当
时，
定义域上严格单调递减，
此时若
，则一定有
成立，故D 正确，C 错误；
当
时，
定义域上严格单调递增，要满足
，需
，即A、B 错误.
故选：D
2．（2025·全国一卷·高考真题）已知
是定义在
上且周期为2 的偶函数，当
时，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为
的范围中求解.
【详解】由题知
对一切
成立，
于是
.
故选：A
3．（2025·天津·高考真题）函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：
在
上单调递减，
在
单调递增，
所以
在定义域上单调递减，
显然
，
所以根据零点存在性定理可知
的零点位于
.
故选：B
4．（2025·天津·高考真题）已知函数
的图象如下，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由
时函数值正负情况可得解.
【详解】由图可知函数为偶函数，而函数
和函数
为奇函数，故排除选项AB；
又当
时
，此时
，
由图可知当
时，
，故C 不符合，D 符合.
故选：D
5．（2024·全国甲卷·高考真题）函数
在区间
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入
可得
，可排除D.
【详解】
，
又函数定义域为
，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又
，
故可排除D.
故选：B.
6．（2024·上海·高考真题）已知
则
．
【答案】
【分析】利用分段函数的形式可求
.
【详解】因为
故
，
故答案为：
.
7．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
在R 上单调递增，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为
在
上单调递增，且
时，
单调递增，
则需满足
，解得
，
即a 的范围是
.
故选：B.
8．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线
与
在
上有两个不同的交点，则
的取
值范围为 ．
【答案】
【分析】将函数转化为方程，令
，分离参数
，构造新函数
结合
导数求得
单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【详解】令
，即
，令
则
，令
得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
，
因为曲线
与
在
上有两个不同的交点，
所以等价于
与
有两个交点，所以
.
故答案为：
9.（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设
，函数定义域为
，但
，
，则
，故A 错误；
对B，设
，函数定义域为
，
且
，则
为偶函数，故B 正确；
对C，设
，
，
，则
不是偶函数，故C 错误；
对D，设
，函数定义域为
，
因为
，且
不恒为0，
则
不是偶函数，故D 错误.
故选：B.
10．（2023·上海·高考真题）已知
，则
的值域是 ；
【答案】
【分析】分段讨论
的范围即可.
【详解】当
时, 根据指数函数的图象与性质知
，
当
时,
.
综上:
的值域为
.
故答案为：
.
11．（2024·上海·高考真题）若函数
是奇函数，则实数
.
【答案】0
【分析】根据奇函数的定义求解．
【详解】
是奇函数，则
恒成立，
所以
，解得
故答案为：0．
12．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数
在R 上单调递增，而函数
在区间
上单调递减，
则有函数
在区间
上单调递减，因此
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：D
13．（2023·北京·高考真题）已知函数
，则
．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把
代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数
，所以
.
故答案为：1
14．（2023·全国甲卷·高考真题）若
为偶函数，则
．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到
，从而求得
，再检验即可得解.
【详解】因为
为偶函数，定义域为
，
所以
，即
，
则
，故
，
此时
，
所以
，
又定义域为
，故
为偶函数，
所以
.
故答案为：2.
15．（2023·全国乙卷·高考真题）已知
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为
为偶函数，则
，
又因为
不恒为0，可得
，即
，
则
，即
，解得
.
故选：D.
16．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D 即可.
【详解】对于A，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故A 错误；
对于B，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故B 错误；
对于C，因为
在
上单调递减，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，故C 正确；
对于D，因为
，
，
显然
在
上不单调，D 错误.
故选：C.
17．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数
在R 上单调递增，而函数
在区间
上单调递减，
则有函数
在区间
上单调递减，因此
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：D
18．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D 即可.
【详解】对于A，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故A 错误；
对于B，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故B 错误；
对于C，因为
在
上单调递减，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，故C 正确；
对于D，因为
，
，
显然
在
上不单调，D 错误.
故选：C.
19．【2024 年上海市高考数学第18 题】若
．
(1)
过
，求
的解集；
(2)存在使得
成等差数列，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
的图象过
，故
，故
即
（负的舍去），
而
在
上为增函数，故
，
故
即
，
故
的解集为
.
（2）因为存在使得
成等差数列，
故
有解，故
，
因为
，故
，故
在
上有解，
由
在
上有解，
令
，而
在
上的值域为
，
故
即
.
20．【2023 年上海市高考数学第18 题】已知a，c∈R，函数f（x）
．
（1）若a＝0，求函数的定义域，并判断是否存在c 使得f（x）是奇函数，说明理由；
（2）若函数过点（1，3），且函数f（x）与x 轴负半轴有两个不同交点，求此时c 的值和a 的取值范围．
【答案】（1）a＝0 时，f（x）的定义域为{x|x≠0}，不存在c 使得f（x）是奇函数．
（2）（，）∪（，+∞）．
【解答】解：（1）若a＝0，则f（x）
x
1，
要使函数有意义，则x≠0，即f（x）的定义域为{x|x≠0}，
∵y＝x
是奇函数，y＝1 是偶函数，
∴函数f（x）＝x
1 为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数c，使得f（x）是奇函数．
（2）若函数过点（1，3），则f（1）
3，得3a+2+c＝3+3a，得c＝3﹣2＝1，
此时f（x）
，若数f（x）与x 轴负半轴有两个不同交点，
即f（x）
0，得x2+（3a+1）x+1＝0，当x＜0 时，有两个不同的交点，
设g（x）＝x2+（3a+1）x+1，
则
，得
，得
，即a
，
若x+a＝0 即x＝﹣a 是方程x2+（3a+1）x+1＝0 的根，
则a2﹣（3a+1）a+1＝0，即2a2+a﹣1＝0，得a
或a＝﹣1，
则实数a 的取值范围是a
且a
且a≠﹣1，
即（，）∪（，+∞）．
21．【2022 年上海市高考数学第18 题】f（x）＝log3（a+x）+log3（6﹣x）．
（1）若将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，图像经过（3，0），（5，0），求实数a，m 的值．
（2）若a＞﹣3 且a≠0，求解不等式f（x）≤f（6﹣x）．
【答案】（1）a＝﹣2，m＝1．
（2）﹣3＜a＜0 时，解集是（﹣a，3]；
a＞0 时，解集是[3，6）．
【解答】解：（1）因为函数f（x）＝log3（a+x）+log3（6﹣x），
将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，得y＝f（x）﹣m＝log3（a+x）+log3（6﹣x）﹣m 的图像，
由函数图像经过点（3，0）和（5，0），
所以
，
解得a＝﹣2，m＝1．
（2）a＞﹣3 且a≠0 时，不等式f（x）≤f（6﹣x）可化为log3（a+x）+log3（6﹣x）≤log3（a+6﹣x）
+log3x，
等价于
，
解得
，
当﹣3＜a＜0 时，0＜﹣a＜3，3＜a+6＜6，解不等式得﹣a＜x≤3，
当a＞0 时，﹣a＜0，a+6＞6，解不等式得3≤x＜6；
综上知，﹣3＜a＜0 时，不等式f（x）≤f（6﹣x）的解集是（﹣a，3]，
a＞0 时，不等式f（x）≤f（6﹣x）的解集是[3，6）．
