专题08 计数原理与概率统计
8 大考点概览
考点01 计数原理
考点02 概率与统计
考点03 条件概率
考点04 离散型随机变量的期望与方差
考点05 二项分布与超几何分布的期望与方差
考点06 正态分布
考点07 回归方程与独立性检验
考点08 概率与数列交汇
1．（2026·吉林长春·质量监测(二)）
(1+ax)
6的展开式中x
3的系数为160，则a=（ ）
A．-2
B．−1
2
C．1
2
D．2
2．（2026·吉林白山·二模）甲、乙等6 人参加某次会议，会议安排其前后两排入座，每排3 人（如
图所示），其中甲坐后排，乙与甲前后、左右均不相邻，则不同的坐法种数共有（ ）
A．144 种
B．168 种
C．192 种
D．216 种
3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）某人有3 种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所
示的图形的6 个顶点A，B，C，A1，B1，C1上各安装一个灯泡，要求同一线段两端的灯泡颜色不
同，则不同的安装方法共有（ ）
A．3 种
B．6 种
C．12 种
D．48 种
4．（2026·辽宁省名校协作体·二模）某空间站由A，B，C三个舱构成，某次实验需要5 名宇航员
考点1
计数原理
同时在3 个舱中开展，每个人只能去1 个舱，每个舱至少安排1 名宇航员，其中宇航员甲只能去A
舱，则不同的安排方法的种数为（ ）
A．35
B．36
C．42
D．50
5．（2026·内蒙古包头·二模）在(1−x)
4+(1−x)
5的展开式中，含x
2的项的系数是__________.
6．（2026·吉林梅河口五中·二模）暑期同学们相约到某体育馆参加社会实践活动，其中小李、小
明等6 名同学被安排到A，B两个场馆，若每个场馆至少安排2 人，则小李、小明被安排在同一场
馆的方法共_______种(用数字作答).
7．（2026·辽宁大连·二模）已知在(x + 2
x)
n的展开式中，第3 项的二项式系数与第5 项的二项式系
数相等，则x
2的系数为___________．
8．（2026·吉林白山·二模）
(1−2 x)
7展开式的第4 项的二项式系数是___________．（用数字作
答）
9．（2026·辽宁大连·二模）现从甲、乙、丙等6 人中，先随机抽取1 人唱歌，再在剩余5 人中随机
抽取2 人跳舞，在抽取到的3 个人中，甲、乙中有且只有1 人被抽到，且丙不被抽到去跳舞的抽法
有________种．
10．（2026·辽宁辽阳·二模）二项式(2 x−1
❑√x )
9
的展开式中的常数项是__________．
1．（2026·辽宁辽阳·二模）数据1，1，2，3，5，8，13 的70%分位数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6.5
2．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)下列各组数据中方差最大的一组是（ ）
A．2，2，2，2，2
B．1，1，2，3，3
C．0，1，2，3，4
D．0，0，2，4，4
3．（2026·吉林长春·质量监测(二)）某精密仪器厂生产一种标准长度为52mm的金属垫片．现随机
抽取200 个垫片测量其实际长度（单位：mm），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．
若规定长度在区间[51,53）内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为
合格品的概率为（ ）
考点2
概率与统计
A．0.3
B．0.4
C．0.5
D．0.6
4．（2026·哈尔滨三中·二模）已知数据x1
、x2
、⋯、x10
的平均数x =3，方差为s1
2．设
yi=2 xi−1(i=1,2,⋅⋅⋅,10)，数据y1
、y2
、⋯、y10
的方差为s2
2，数据x1
、x2
、⋯、x10
、y1
、y2
、
⋯、y10
的方差为s3
2，下列说法错误的是（ ）
A．s2
2= 4 s1
2
B．∑
i=1
10
( yi−2 x)=−10
C．s3
2=2s1
2+1
D．∑
i=1
10
( yi−2 x)
2=10(s2
2+1)
5．（2026·吉林G35 联合体·二模）（多选）2020—2024 年我国粮食产量（单位：万吨）如图所示，
下列结论正确的是（ ）
A．2020—2024 年我国粮食产量逐年增加
B．2020—2024 年我国粮食产量的中位数为68653 万吨
C．2020—2024 年我国粮食产量的极差为3699 万吨
D．2020—2024 年我国粮食产量与年份负相关
6．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)将甲、乙、丙、丁、戊五名同学分到三个不同的公益活动小组，
每组至少一人，至多两人，则甲乙恰好被分到同一小组的概率为________．
7．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）13 张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌，正面标有
1~8，此外还有五张字母牌，正面标有A~E，将这十三张牌随机排成一行．
(1)求五张字母牌互不相邻的概率；
(2)求在标有8 的卡牌左侧没有数字牌的概率；
(3)对于给定的整数k(1≤k ≤8)，记“在标有k 的数字牌左侧，没有标号比k 小的数字牌”为事件
Ak，求Ak发生的概率．（结果用含k 的式子表示）
1．（2026·辽宁辽阳·二模）小张的停车位被其它车辆占据，小张准备拨打车上的联系电话，可是
电话号码的最后一位被遮挡，小张准备随机尝试，则小张在第一次拨打错误的条件下，第三次恰好
拨打正确的概率是（ ）
A．1
10
B．1
9
C．1
8
D．3
10
2．（2026·内蒙古包头·二模）甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D 这4 个景点中的某一个
景点打卡，事件M 表示甲、乙至少有1 人去A 景点，事件N 表示甲、乙去相同的景点，则
P(N | M )=（ ）
A．1
7
B．7
16
C．2
3
D．6
7
3．（2026·吉林长春·质量监测(二)）（多选）景区在春节期间推出A ,B两种游玩套餐，已知某游客
第一次选择A ,B两种游玩套餐的概率分别为3
5
和2
5
，若该游客第一次选择A套餐，则第二次选择A
套餐的概率为1
2
；若该游客第一次选择B套餐，则第二次选择A套餐的概率为3
5
，则下列说法正确
的是（ ）
A．该游客第一次选择B套餐，第二次也选择B套餐的概率为2
5
B．该游客第一次选择B套餐的概率比第二次选择A套餐的概率小
考点3
条件概率
C．若该游客第二次选择A套餐，则他第一次选择A套餐的概率为5
9
D．若该游客第二次选择B套餐，则他第一次选择A套餐的概率为15
23
4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知P( A)= 1
2
，P(B|A))= 2
3
，P(B|A))= 1
4
，则P(B)=
______．
1．（2026·内蒙古兴安盟·二模）一质点从△ABC的顶点A出发，每次随机沿一条边运动至另一个
顶点时终止，则质点4次运动过程中仅1次经过顶点B的条件下，第4次回到顶点A的概率P =
____________，记质点4次运动过程中经过顶点B的次数是X，则E (X )=____________．
2．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）甲和乙各自从n(n≥6,n∈N
*)门选修课中任意选取3 门，记
X为被甲或乙选中的选修课数量，则X的数学期望E ( X )为______．
3．（2026·辽宁辽阳·二模）一个盒子中装有若干个小球，每个小球都标有一个号码，其中标有i号
的小球有i个（i=1，2，……，n且n∈N +），标有0号的小球有n+1个，没有其它标号，从盒子
中不放回的随机抽取2个球．
(1)当n= 4时，求取出的两个小球标号之和为4的概率；
(2)当n=3时，记X为取出的两个小球标号之差的绝对值，求X的分布列和数学期望．
4．（2026·辽宁省名校协作体·二模）某学校田径队有甲、乙等8 名运动员，现将这8 人平均分成
A ，B两组进行集训．每天训练前，两组分别从本组队员中随机选出一人担任组长．
(1)求甲、乙两人同在A组的概率；
(2)求甲在三天内至少担任一次组长的概率；
(3)记X为连续两天中至少担任一次组长的人数，求X的概率分布列和数学期望．
考点4
离散型随机变量的期望与方差
5．（2026·辽宁大连·二模）欲从A，B 两个频道中选出一个优选频道作为校园之声广播，现对这两
个频道轮流播放进行测试，每次播放一个频道.已知A 频道每次播放成功的概率为2
3
，B 频道每次播
放成功的概率为1
2
，且每次播放互不影响.
约定1：任选一个频道进行播放，若播放成功，便成为优选频道；
约定2：从A 频道开始播放，先成功播放的频道为优选频道，当决定出优选频道或两频道都播放3
次均失败，结束测试.
(1)按照约定1，求在播放一次就成功的条件下，A 频道成为优选频道的概率；
(2)按照约定2，
（i）两个频道共播放不超过4 次时，求A 频道成为优选频道的概率；
（ii）测试结束时，求B 频道播放次数X的分布列与数学期望.
6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）某农场现有两种优质作物种子，在相同种植条件下，单位面积
产量分别为随机变量X 1，X 2（单位：吨/亩），其分布列为
X1
0.5
1.0
P
0.8
0.2
X 2
0.2
0.8
1.2
P
0.2
0.5
0.3
(1)若分别用两种种子各种植100 亩，设Y 1
，Y 2
分别为两种作物的总产量，求D(Y 1)，D(Y 2)；
(2)现将总面积为100 亩的土地进行种植规划，用x亩种植第一种种子，剩余亩数种植第二种种子，
f (x)为两种作物总产量的方差之和，求f (x)的最小值时的x值；
(3)结合期望与方差，从稳产性、总产量、种植风险三个角度，对“全部种植第一种种子”，“全
部种植第二种种子”，“按（2）最优比例种植”三种方案进行综合评价，并给出面向农场生产的
合理化种植建议.
1．（2026·内蒙古包头·二模）为了了解学生的基本情况，某学校对一次高三质量预测数学考试成
绩进行汇总（所有学生的数学成绩都不低于30 分），整理后得到如下图所示的频率分布直方图：
(1)求频率分布直方图中m的值，并估计该校学生数学成绩的第70 百分位数；
(2)若该校高三学生共有1200 人，从中依据按比例分配分层抽样的方法从等级分数介于80 至100 之
间的学生中抽出8 人，再从这8 人中选出3 人，记ξ为3 人中分数在[80,90)的人数，求ξ的分布列
和数学期望.
2．（2026·吉林G35 联合体·二模）某商场为了吸引顾客，举办抽奖活动，顾客可凭购物发票参与
活动一次，规则如下：一个袋子中装有5 个除颜色不同外其余均相同的小球，其中2 个黑球和3 个
红球．顾客从袋子中有放回地随机摸两次，每次摸出一球.若两次摸到的球的颜色不同，则按方式
①发放礼品，否则按方式②发放礼品．
方式①：若第一次摸到的是红球，则发放礼品A 一份，否则发放礼品B 一份．
方式②：若购物发票上的金额不低于100 元，则发放礼品A 一份，否则发放礼品B 一份．
(1)若有50 名顾客参与抽奖活动，用X 表示其中按方式①发放礼品的人数，求X 的数学期望；
(2)抽奖活动后，统计得到，发放的礼品中，礼品A 与礼品B 的份数的比例为1:2，试估计参与抽奖
活动的顾客中，购物发票上的金额不低于100 元的比例．（结果保留两位有效数字）
考点5
二项分布与超几何分布的期望与方差差
3．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)在某次军事演习中，红军参谋部进行战前推演：蓝军拥有两个相
同结构的军事基地，每个基地有n(n>1)个重要节点：红军拥有某种型号导弹，对上述每个重要节
点单枚命中即可摧毁，且单枚突破防御并命中的概率为p．红军的演习任务是发射2n枚该型号导
弹对蓝军军事基地实施打击，完成对蓝军至少一个军事基地的彻底摧毁（即摧毁该基地内的全部重
要节点）即为获胜．
现有两种打击方案：
方案一：选择某一军事基地内的n个重要节点进行打击，对每个重要节点发射两枚导弹；
方案二：对两个军事基地的各n个重要节点进行打击，对每个重要节点发射一枚导弹．
视各枚导弹突破防御并命中目标相互独立，请你帮助红军参谋部进行推演计算：
(1)分别求出两种方案中，最终摧毁的重要节点数的期望，并比较期望大小；
(2)比较两种方案下红军获胜的概率，判断哪种方案更优．
4．（2026·哈尔滨三中·二模）在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问．对一些敏感性问题，
更要精心设计问卷及调查方法，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则，被调
查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情
况，对随机抽出的80 名初中生和120 名高中生进行了调查.调查者设计了一个随机化装置，这是一
个装有大小、形状和质量完全一样的10 个白球和20 个黑球的袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1
个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生若吸烟，则写下①，若不吸烟，则写下②；摸到黑
球的学生若吸烟，则写下②，若不吸烟，则写下①．由于问题的答案只有①和②，而且摸到的是白
球还是黑球也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．设事件
A =“被调查者吸烟”，B =“被调查者写下①”．
(1)为了进一步了解学生的吸烟情况，从被调查的初中生和高中生中用比例分配的分层随机抽样的
方法抽取10 名学生，再从这10 名学生中随机抽取3 名学生进行问卷调查，记抽取的3 名学生中初
中生的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)用频率估计概率，若200 名学生中有130 人写下①，试估计P( A)的值；
(3)若0< P( A)<1，求P( A|B))+ P( A|B))的最小值并求出此时P( A)的值．
1．（2026·东北三省三校·二模）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．随机事件A,B 相互独立的充要条件是P( A B)=[1−P( A))⋅P(B)
B．设X 为随机变量,则E(X
2)= D (X )+[E (X ))
2
C．X ~ B(3, 1
3)
,则E (X )=1,D (X )=2
D．若X ~ N (1,2
2),记函数f (x)= P(X ≤x),x∈R,则f (x)的图象关于点(1, 1
2)
对称
2．（2026·内蒙古包头·二模）已知随机变量X 服从正态分布N (2,σ
2)，且
P( X ≤1)= m
2 , P(2≤X ≤3)=n，则1
m + 2
n
的最小值为_______.
3．（2026·辽宁沈阳·质量监测(二)）某科技公司研发的AI 智能体在进行图象分类任务时，单次分类
的准确率X（单位：分）服从正态分布N (90,3
2)．
(1)求正常情况下，该AI 单次分类的准确率大于99 分的概率；
(2)某天测试人员随机抽取了该AI 的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99 分．测试人员
根据这两次测试结果，判断该AI 智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．
请问测试人员的判断是否合理？请说明理由．
附：若X ∼N (μ,σ
2)，则P(μ−σ ≤X ≤μ+σ )=0.6827，P(μ−2σ ≤X ≤μ+2σ )=0.9545，
P(μ−3σ ≤X ≤μ+3σ )=0.9973．
考点6
正态分布
1．（2026·辽宁省名校协作体·二模）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若样本数据x1, x2，…，x6的方差为2，则数据 2 x1−1，2 x2−1，⋯，2 x6−1的方差
为4
B．若P( A)=0.6，P( B) A)=0.5，P( B) A)=0.2，则P(B)=0.38
C．在一组样本数据(x1, y1)，(x2, y2)，⋅⋅⋅，(xn, yn)，(n≥2，x1, x2,⋅⋅⋅, xn
不全相等)的
散点图中，若所有样本点(xi, yi),(i=1,2,⋅⋅⋅,n)都在直线y =−1
2 x +1上，则这组样本数据
的线性相关系数为−1
2
D．以模型y =ce
kx去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z =ln y，求得经验回归方
程为^z = 4 x +0.3，则c ,k的值分别是e
0.3和4
2．（2026·辽宁大连·二模）（多选）下列命题成立的是（ ）
A．已知ξ ∼N (0,1)，若P(ξ >1)= p，则P(−1≤ξ ≤0)= 1
2 −p
B．若一组样本数据(xi, yi)(i=1,2,3,⋯n)对应的样本点都在直线y =−2 x +3上，则这组样本
数据的相关系数r为−1
C．以模型y =ce
kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z =ln y，求得线性回归方程为
^z =0.3 x + 4，则c ,k的值分别是4 和0.3
D．对分类变量X与Y 的独立性检验的统计量χ
2来说，χ
2值越大，判断“X与Y 有关系”的把握
性越小
3．（2026·内蒙古兴安盟·二模）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量X ∼N (1,σ
2)，则P(X ≤0)= P(X ≥2)
考点7
回归方程与独立性检验
B．若事件A ,B相互独立，则P( A ∪B)= P( A)+ P(B)
C．对具有线性相关关系的变量x , y，其经验回归方程为^y =0.3 x−m，若样本数据的中心点为
(m,2.8)，则实数m的值是4
D．根据分类变量X与Y 的成对样本数据，计算得到χ
2=9.850.依据α =0.01的独立性检验
(x0.01
2
=6.635)，可判断变量X与Y 不独立
4．（2026·吉林梅河口五中·二模）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．一个样本（数据不全为3）的平均数为3，若添加一个新数据3 组成一个新样本，则新样本
的平均数不变，方差变小
B．在成对样本数据中，两个变量间的样本相关系数越小，则它们的线性相关程度越弱
C．数据m（m>50），53，56，69，70，72，79，65，80，45，41 的极差为40，则这组数
据的第m 百分位数为79
D．依据小概率值α =0.005的独立性检验推断两个分类变量X 与Y 之间是否有关联，经计算得
χ
2=9.342>7.879= x0.005
，则可以认为“X 与Y 没有关联”
5．（2026·吉林梅河口五中·二模）近几年来空气质量逐步转好，全民健身运动引起广泛关注．某
兴趣小组随机调查了某市100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到
下表（单位：天）：
空气质量
锻炼人次
[0,200)
(200,400)
(400,600)
优良
7
26
37
轻度污染
6
7
8
中度污染
7
2
0
(1)求空气质量优良的概率的估计值；
(2)根据所给数据，完成下面的列联表：
空气质量
人次≤400
人次>400
合计
优良
污染
合计
(3)根据小概率值α =0.05的独立性检验，能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质
量有关？
附：χ
2=
n(ad −bc)
2
(a+b)(c +d)(a+c)(b+d)
．
P( χ
2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
6．（2026·吉林长春·质量监测(二)）为研究某校高三年级学生的身高是否与性别有关，现从学生群
体中，随机测量了50 名学生的身高，然后按“身高低于170cm”与“身高不低于170cm”分成两组，
统计整理各组人数如下列联表（单位：人）．
性别
身高
合计
低于170cm
不低于170cm
男
8
24
32
女
12
6
18
合计
20
30
50
(1)依据α =0.005的独立性检验，能否认为该学校高三年级学生的身高与性别有关联？
(2)若从男生样本和女生样本中各选取一人，求两名学生身高不在同一组的概率．
附：χ
2=
n(ad −bc)
2
(a+b)(c +d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c +d．
α
0.1
0.05
0.01
0.005
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
7．（2026·吉林白山·二模）某地举办业余乒乓球联赛，比赛分“有缝球型”和“无缝球型”两个
赛区，从该地区抽取部分选手进行调研，相关数据如下表：
喜欢用有缝球
喜欢用无缝球
直拍打法选手
18
30
横拍打法选手
20
12
(1)能否有95%以上的把握认为不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响？
(2)若从参加调研的“横拍打法”选手中用分层抽样的方法抽取8 名选手，按照各自喜爱的球型参
加相应赛区的比赛．现从8 名选手中选3 人，用AI 监测他们的比赛数据．
①求两个赛区都有人被选中的概率；
②用X表示被选3 人中“喜欢用无缝球”的人数，求X的分布列和期望．
附：χ
2=
n(ad −bc)
2
(a+b)(c +d)(a+c)(b+d)
，
P( χ
2≥k 0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
1．（2026·吉林白山·二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记
忆”的性质，即第n+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n−1,n−2,n−3,⋅⋅⋅次
状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2 个红球
考点8
概率与数列交汇
和1 个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n(n∈N
∗)次操作后，记甲盒子中黑球个数
为X n
，甲盒中恰有1 个黑球的概率为an
，恰有2 个黑球的概率为bn
.
(1)求X 1的分布列；
(2)求数列{an)的通项公式；
(3)求X n的期望.
2．（2026·东北三省三校·二模）在自动驾驶系统的路径规划中,车辆的车道选择行为可用马尔科夫
链模型描述.设道路只有两条车道,分别记为车道0 和车道1.每隔一个固定时间步长,车辆会选择更换
车道或者保持车道不变,记X n为第n个时间步长车辆所在的车道（n=0,1,2,⋯）.马尔科夫链的下一
时刻状态仅取决于当前时刻状态,记Pij= P( X n+1= j) X n=i) (i, j =0,1)为一步转移概率,矩阵
P=(
p00
p01
p10
p11)
为一步转移概率矩阵.
已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0,下一时刻变道至车道1 的概率为1
4
；若
当前在车道1,下一时刻变道至车道0 的概率为1
2
.
(1)已知n=0时刻车辆处于车道0 的概率为4
5
,处于车道1 的概率为1
5
.
①写出该模型的一步转移概率矩阵P；
②若n=1时刻车辆处于车道1,求n=0时刻车辆处于车道0 的概率.
(2)在第（1）问的初始概率条件下,记an= P（X n=0）,求随机变量X n的分布列（结果用含n的式子
表示）.
3．（2026·内蒙古包头·二模）某公园有两条散步路线，分别记为路线A 和路线B.附近的居民经常
来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线A 的居民第二天选择路线A 和路线B 的概
率均为1
2
；前一天选择路线B 的居民第二天选择路线A 和路线B 的概率分别为3
4
和1
4
，已知居民第
一天选择路线A 的概率为1
3
，选择路线B 的概率为2
3
.
(1)若有4 位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线A 散步的人数为Y，求Y 的分布列及期望；
(2)若某居民每天都去公园散步，记第n 天选择路线A 的概率为Pn.
（i）请写出Pn+1
与Pn(n∈N
∗)的递推关系；
（ii）设M n=
16
|15 Pn−9)
−4，求证：n
4 −1< M 1
M 2
+ M 2
M 3
+⋯+ M n
M n+1
< n
4 (n∈N
∗).
