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专题09 函数的对称性
真题再现
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 的图像关于直线 对称，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，
所以 ， .
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，
所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R，所以
因为 ，所以 .
所以 .
故选：D
二、多选题
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于 ，因为 为偶函数，所以 即 ①，所以
，所以 关于 对称，则 ，故C正确；
对于 ，因为 为偶函数， ， ，所以 关于 对称，由①求
导，和 ，得 ，所
以 ，所以 关于 对称，因为其定义域为R，所以 ，结合 关于
对称，从而周期 ，所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知 周期为2，关于 对称，故可设 ，则 ，显然A，D错
误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：因为 ， 均为偶函数，所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；
函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
三、解答题
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
【解析】（1）当 时， ，则 ，
据此可得 ，函数在 处的切线方程为 ，
即 .
（2）由函数的解析式可得 ，
函数的定义域满足 ，即函数的定义域为 ，定义域关于直线 对称，由题意可得 ，由对称性可知 ，
取 可得 ，即 ，则 ，解得 ，
经检验 满足题意，故 .即存在 满足题意.
考点一 判断(证明)函数的对称性
一、单选题
1．下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A， 图象关于 、坐标原点 分别成轴对称和中心对称，A正确；
对于B， 为偶函数，其图象关于 轴对称，但无对称中心，B错误；
对于C， 关于点 成中心对称，但无对称轴，C错误；
对于D， 为奇函数，其图象关于坐标原点 成中心对称，但无对称轴，D错误.
故选：A.
2．已知角 的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边过点 ，若函数 ，则
（ ）
A． 图象的对称轴为 B． 图象的对称轴为
C． 图象的对称中心为 D． 图象的对称中心为
【解析】依题意， ， ，故 ，故 的图象为中心对称图形，其对称中心为 ，故选：C．
3．设函数 的定义域为R，且 是奇函数，则 图像（ ）
A．关于点 中心对称 B．关于点 中心对称
C．关于直线 对称 D．关于直线 对称
【解析】因为 为奇函数，所以 ，
所以函数 图象关于点 中心对称.故选：A.
4．已知函数 ，则 的图象（ ）
A．关于直线 对称 B．关于点 对称
C．关于直线 对称 D．关于原点对称
【解析】对于A，由 ，所以 的图象不关于直线 对称，故A
错误；
对于B，由 ，所以 的图象关于点 对称．故B正确；
对于 C，由 ，所以 不是偶函数，故 的图象不关于直线
对称，故C错误；
对于D，由 ，所以 不是奇函数，故 的图象不关于原点对
称，故D错误；
故选：B.
5．已知函数 是定义在 上的函数，那么函数 的图象与函数 的图象之间
（ ）
A．关于点 对称 B．关于直线 对称C．关于点 对称 D．关于直线 对称
【解析】设 是 图象上的任意一点，则 ，
作等量变换 ，即 ，
则点 在 的图象上， ， 关于点 对称，
函数 的图象与函数 的图象之间关于点 对称，故选：A
二、多选题
6．下列函数中，哪些函数的图像关于 轴对称（ ）
A． B．
C． D．
【解析】选项A：由 知定义域为 ，且 ，
所以该函数为偶函数，则图像关于 轴对称，所以A正确；
选项B：由 知定义域为 ，且 ，
所以该函数为奇函数，则图像关于原点对称，所以B不正确；
选项C：由 知定义域为 ，且 ，
所以该函数为偶函数，则图像关于 轴对称，所以C正确；
选项D：由 知定义域为 ，且 ，
所以该函数为奇函数，则图像关于原点对称，所以D不正确；
故选：AC.
7．已知 是定义在R上的函数，函数 图像关于y轴对称，函数 的图像关于原点对称，
则下列说法正确的是（ ）A． B．对 ， 恒成立
C．函数 关于点 中心对称 D．
【解析】∵函数 的图像关于y轴对称，∴函数 的图像关于直线 对称，
，则 ，
∵函数 的图像关于原点对称，∴函数 的图像关于点 中心对称， ，
，则 ，C选项正确；
， ，故 ，B选项正确；
，D选项正确；
没有条件能确定 ，A选项错误.
故选：BCD.
8．已知函数 定义域为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则函数 图象关于 对称
¬q
B．函数 与函数 的图象关于 对称
C．函数 的图象关于 对称
D．函数 的图象关于 对称
【解析】若 ， ，则函数 图象关于 对称，故A正确；
若点 在 上，则点 在 的图象上，
且点 与点 关于点 对称，则函数 与函数 的图象关于 对称，故B正确；
设 ，则 ，
故函数 的图象关于 对称，故C正确；
令 ，则 不恒为0；
故函数 的图象不关于 对称，故D错误.
故选：ABC.
9．已知 是定义在R上的函数，且 ，则（ ）
A．函数 的图象关于原点对称 B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 的图象关于直线x=1对称 D．函数 是以2为周期的周期函数
【解析】因为 是定义在R上的函数，由 可得 ，
所以 是奇函数，函数 的图象关于原点对称，故A正确；
因为 ，所以 ，所以函数 的图象关于点 对称，故B正
确，C错误；
因为 ，所以 ， ，故D正确.
故选：ABD.
10．已知函数 的图像关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，
函数 的图像关于直线 成轴对称图形的充要条件是函数 为偶函数，则（ ）
A．函数 的对称中心是
B．函数 的对称中心是
C．函数 有对称轴D．函数 有对称轴
【解析】对于A，因为函数 ，
所以 为奇函数，
所以点 是函数 的对称中心，所以A正确，
对于B， ，则 ，
令 ，因为 ，
所以 不是奇函数，
所以点 不是函数 的对称中心，所以B错误，
对于C，因为 ，所以 ，
当 时，函数 为偶函数，所以 有对称轴，所以C正确，
对于D，因为 ，所以 ，
当 时， 为偶函数，
所以 的图象关于直线 对称，所以D正确，
故选：ACD
三、填空题
11．已知函数 在 上的最大值与最小值分别为 和 ，则函数
的图象的对称中心是______.
【解析】，
即 ，所以 ，令 ， ，
则 为 上奇函数， 在 上的最大值为最小值的和为0，
∴ ， ，
是奇函数，图象的对称中心是 ，
向左平移 个单位得到 ，对称中心为 ，
再横坐标缩小为原来的一半得到 ，对称中心为 ，
再向下平移 个单位得到 ，对称中心为 ，
所以 的对称中心是 .
考点二 利用对称性求函数解析式或函数值
一、单选题
1．已知定义域为 的函数 的图象关于点 成中心对称，且当 时， ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】因为定义域为 的函数 的图象关于点 成中心对称，且当 时， ，
若 ，则 .故 ，即 .故选：C.2．已知函数 ，其中 a 为常数，若存在 ，且 ，则
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【解析】因为 ，所以 关于直线 对称，又 ，
所以 .故选：C．
3．函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，其中 （ ）
A．3 B． C． D．
【解析】设点 在函数 的图像上，则点 关于直线 的对称点 ，则
，则 ，则 ，即 与 关于直线 对称，
则 ，得 .故选：D
4．下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】设所求函数的图象上任意一点 ，则点 关于 对称的点为 ，
由题意知点Q在 的图象上，可得 ，
即函数 关于 对称的函数解析式为 ．故选：D．
5．下列函数与 的图象关于原点对称的函数是（ ）
A． B．C． D．
【解析】令 ，与 关于原点对称，则 ，
所以 .故选：C
二、多选题
6．已知函数 定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则下列一定成立的是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 为偶函数，所以 ，函数 关于 对称，
因为 为奇函数，所以 ，函数 关于点 对称，
因为函数 定义域为 ，所以 ，B正确；
又因为函数 关于 对称，所以 ，
由 可得令 ， ，D正确；
可构造函数 满足题意，此时 ，AC错误；
故选：BD
7．已知函数 ，则（ ）
A．函数 的图像关于直线 对称
B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心
D．曲线 与 关于直线 对称【解析】对于AC选项，函数 的定义域为 ， ，
故函数 图像的对称中心坐标为 ，AC均错；
对于B选项， ，
由 可得 ， ， ，B对；
对于D选项，曲线 关于直线 对称的曲线对应的函数解析式为
，D对.故选：BD.
三、填空题
8．函数 的图像关于点 中心对称，则 ______.
【解析】因为
所以该函数的对称中心为 ，由已知可知该函数的图像关于点 中心对称，
所以有 ，
9．奇函数 的图像关于直线 对称， ，则 _________.
【解析】因为函数是奇函数，所以 ，
因为函数关于直线 对称， ，则 ，
，所以 .
10．已知函数 满足 ，且当 时， ，则 ______.
【解析】因为函数 满足 ，所以当 时， .
11．已知定义在 上的函数 满足 ，若 的图像关于直线 对称，则 ___.
【解析】因为 ， 令 ，所以 ，所以 ，又 的图像关于直线 对称， 所以 ，
令 ，则 ，即 ，所以 .
12．给出定义：设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若方程 有
实 数 解 ， 则 称 为 函 数 的 “ 拐 点 ” ， 经 研 究 发 现 所 有 的 三 次 函 数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 的图像的对称中心，若函数
，则 ______.
【解析】由题意因为 ， 所以 ， ，
令 ，解得 ， ，由题意得对称中心为 ，所以 ，
13．若函数 的图像关于直线 对称，则 ___________.
【解析】因为 的图像关于直线 对称，
所以 ，即 ，解得 ，所以 ，
14．已知 是定义在R上的函数 的对称轴，当 时， ，则 的解析式是
_______．
【解析】由 是定义在R上的函数 的对称轴，则 ，又当 时， ，
则当 时，即 ，则 ，
所以 的解析式是 ．
四、解答题
15．函数 是定义在 上的偶函数，且对任意实数 ，都有 成立.已知当 时，
.
(1)当 时，求函数 的表达式；
(2)若函数 的最大值为1，当 时，求不等式 的解集.
【解析】（1）由 ,可得 图象关于 对称.
因为 ,所以 , ，又 ，
故所求的表达式为 ， .
（2）因为 是 上的偶函数,所以 ,即函数 是以2为周期的函数.
因为 ,由函数 的最大值为1,知 ,即 .
若 ,则 ,所以 ,
当 时, 是 上的偶函数,可得 ,所以此时满足不等式的解集为 .
因为 是以2为周期的周期函数,
当 时, 的解集为 ,当 时, 的解集为 .
综上所述， 的解集为 .16．设 同时满足条件 和对任意 ，都有 成立.
（1）求 的解析式；
（2）设函数 的定义域为 ，且在定义域内 .若函数 的图象与 的图象关于直
线 对称，求 .
【解析】（1）由 ，得 ，由 ，得 ，
即 对任意 恒成立，因为 ，所以 ，可得： ，
所以 .
（2）由题意知，当 时， ，
因为 在 上单调递增，所以 ，
设点 是函数 的图象上任意一点，它关于直线 对称的点为 ，依题意知点 应
该在函数 的图象上，即 ，所以 ，即 .
考点三 利用对称性研究单调性
一、单选题
1．已知定义在 上的函数 在 上单调递减，且 为偶函数，则不等式 的
解集为（ ）
A． B．
C． D．【解析】∵函数 为偶函数，∴ ，即 ，
∴函数 的图象关于直线 对称，
又∵函数 定义域为 ，在区间 上单调递减，∴函数 在区间 上单调递增，
∴由 得， ，解得 .故选：D.
2．已知定义在 上的函数 在 上单调递增，若函数 为偶函数，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由函数 为偶函数，可知函数 关于 对称，
又函数 在 上单调递增，知函数 在 上单调递减，
由 ，知 ，作出函数 的大致图象，如下：
由图可知，当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；所以不等式 的解集为 .故选：B.
3．已知定义在R上的函数 在 上单调递增，若函数 为偶函数，且 ，则不等式
的解集为（ ）A． B． C． D．
【解析】由函数 为偶函数，知函数 关于 对称，
又函数 在 上单调递增，知函数 在 上单调递减，
由 ，知 ，作出函数的图象，如下：
由图可知，当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；所以不等式 的解集为： 或 ，故选：C
4 ． 已 知 定 义 域 为 的 函 数 在 单 调 递 减 ， 且 ， 则 使 得 不 等 式
成立的实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，所以 关于 对称，
因为 在 单调递减，所以 在 上单调递减，
又 ，则 ，
所以由 可得 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 或 ，
所以 的取值范围为 ，故选： .5．已知函数 在 上单调递增，满足对任意 ，都有 ，若 在区间
上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 ，得函数 图像的对称轴是直线 ，
因为函数 在 上单调递增，所以，函数 在 上单调递减，
因为 在区间 上单调递减，则 ，解得 ．
所以，实数a的取值范围为 .故选：C．
6．已知函数 ， ， ， ,则（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ，其中 ，则 ，
因为函数 、 均为 上的增函数，故函数 也为 上的增函数，
当 时， ，此时 ，
故函数 在 上为增函数，
因为
，
故函数 的图象关于直线 对称，则函数 在 上为减函数，所以， ， ，则 ，即 ，
，则 ，则 ，即 ，因此， .故选：B.
二、多选题
7．已知定义域为 的函数 在 上单调递增， ，且图像关于 对称，则
（ ）
A． B．周期
C．在 单调递减 D．满足
【解析】由 知 的对称轴为 ，所以 故A正确;
由 知： ，
又图像关于 对称，即 ，故 ，
所以 ，即 ，
所以 的周期为4，故B错误;
因为 在 上单调递增，且 ，所以 在 上单调递增，
又图像关于 对称，所以 在 上单调递增，
因为关于 对称，所以 在 上单调递减，故C正确；
根据周期性， ，
因为关于 对称，所以 ，因为周期 ，所以 ；
结合 在 上单调递减，且 上单调递增，故 ，即 ，故D正确.
故选:ACD.
8．对于定义在 上的函数 ，若 是奇函数， 是偶函数，且在 上单调递减，则
（ ）
A． B．
C． D． 在 上单调递减
【解析】令 ，由 是奇函数，则 ，
即 ， 图像关于 对称.令 ，由 是偶函数，
则 ，即 ， 图像关于直线 对称.
A选项，令 ，可得 ，又令 ，可得 .故A正确；
B选项，令 ，可得 ，故B正确；
C选项，令 ，可得 ，
又因 在 上单调递减，由图像关于 对称，则 在 上单调递减，
即 在 上单调递减，故 .故C错误.
D选项，由 在 上单调递减，结合 图像关于直线 对称，
则 在 上单调递增.故D错误.故选：AB
9．已知函数 在 上单调递增，且 关于 对称，则（ ）
A． B．C． 为偶函数 D．任意 且 ，都有
【解析】对于A，因为函数 图象关于 对称，所以 ，A错误；
对于B，因为 ，所以 ，又因为函数 在 单调递增，
所以 ，B错误；
对于 C，因为 的图象向左平移一个单位即 的图象，函数 图象关于 对称，则
的图象关于y轴对称，是偶函数，C正确；
对于D，函数 在 单调递增，且关于 对称，函数在 上单调递减，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
综上， 且 ，都有 ，D正确.
故选：CD.
三、填空题
10．已知函数 定义域为区间 ，且图像关于点 中心对称.当 时， ，则
满足 的 的取值范围是__________.
【解析】因为函数 ， 在 上单调递增，所以当 时， 单调递增，
因为 关于 中心对称，所以 ，且 在 上单调递增，
不等式 可整理为 ，即 ，
则 ，解得 .故答案为： .11 ． 已 知 函 数 ， 对 于 ， 都 有 成 立 ， 且 任 取 ，
，若 ，则 的取值范围是 ___________.
【解析】 ，都有 成立，则函数图象关于直线 对称，
任取 ， ，则 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，所以由 得 或 ．故答案为： ．
12．已知函数 ，则使不等式 成立的实数t的取值范围是____.
【解析】
， ，
所以 的图象关于直线 对称， 时，
设 ，则 ， ，
， ，
所以 ，即
即 是减函数，所以 时，函数为增函数，
因此由 得 ，解得 且 ．
故答案为：
考点四 对称性的应用
一、单选题
1．已知函数 的图象关于直线 对称，且在(－∞， ]上单调递增， ， ，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解析】 的图象关于 对称，所以 ，
又因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，所以 .故选：B.
2．定义在 上的函数 在区间 上是增函数，且函数 的图像关于直线 对称，
则（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 的图像关于直线 对称，
所以 的图像关于直线 对称，故 .故选:C.
3．给出定义：设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数.若方程 有实数
解 ， 则 称 为 函 数 的 “ 拐 点 ” . 经 研 究 发 现 所 有 的 三 次 函 数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 的图象的对称中心.若函数
，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】由 ，可得 ，令 ，可得 ，又 ，
所以 的图像的对称中心为 ，即 ，
所以，故选：B.
4．已知函数 的定义域为 ，且 的图象关于点 成中心对称.当 时， ，
则 （ ）
A．1 B．3 C． D．
【解析】因为将 的图象向右平移1个单位长度后
得到函数 的图象且 的图象关于点 成中心对称，
所以 的图象关于原点成中心对称，则 在 上是奇函数，
所以 .故选：C.
5．已知 是定义在R上的奇函数，且 ，函数 .若 的图象关于 对
称，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【解析】∵ 的图象关于 对称，则 ，即 ，
∴当 时，则 ，
又∵ 是定义在R上的奇函数，则 ，即 ，
∴ ，即 ，
故 .故选：D.6．定义在 上的函数 的图象关于直线 对称，且当 时， ，有（ ）
A． B．
C． D．
【解析】定义在 上的函数 的图象关于直线 对称，
所以 ，所以 ，因为当 时， 为单调递增函数，
定义在 上的函数 的图象关于直线 对称，所以当 时， 单调递减，
因为 ，所以 ，即 .故选：B.
7．已知函数 ，若 图象上存在关于原点对称的点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】 关于原点对称的函数为 ，即 ，
若函数 图象上存在关于原点对称的点，则 与 在 上有交点，
所以方程 在 上有实数根，即 在 上有实数根，
即 与 的图象在 有交点， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，所以 .故选：D.
二、多选题
8．已知函数 的定义域为 的导函数 的图象关于 中心对称，且函数 在
上单调递增，若 且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 的图象关于 中心对称，则有 ， ，
而 ，即 ， ，
，令 ， 为常数，当 时， ，
因此 ， ，即函数 的图象关于直线 对称，
又函数 在 上单调递增，则函数 在 上单调递减，
由 ，得 ，A正确；
而 ，即有 ， ，
因此 ，B错误；
显然 ，即 ，则 ，因此 ，C正确；
，D正确.
故选：ACD
9．若函数 的定义域为 ，且 为偶函数， 的图象关于点 成中心对称，当
时， ，则下列说法正确的是（ ）A．
B．函数 的值域为
C．直线y＝1与函数 的图象在区间 上有4个交点
D．
【解析】 的定义域为 ，由 为偶函数，得 ，
令 等价于 ，所以 ，所即 ，
所以 关于 对称，由 图象关于 成中心对称，得 ，
于是 ，令 等价于 ，
所以 ，所以 关于 对称，
则 ，因此 ，所以 ，
所以 ，则 是周期为4的周期函数，当 时， ，
，故A正确；
在 的图象如下图所示，
故B正确；
直线y＝1与函数 的图象在区间 上有5个交点，故C不正确；当 时， ，可得： ，
， ，
，即 ，
因此 ，
故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
10．若函数 的图像关于直线 对称，且 共有3个零点，则所有零点之和为______．
【解析】因为函数 的图像关于直线 对称，且f（x）共有3个零点，则 必为其中一个零
点，并且另外两个零点关于 对称，所以所有零点之和为 ．
