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专题2.6 函数与方程
重难点题型1 求函数的零点或零点所在区间（二分法）
1．（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数
在
内的零点近似值，若精确度要求
为
，则需重复相同步骤的次数至少为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】二分法求方程近似解的过程
【分析】二分法每次取区间中点，区间长度变为原来的一半，由题可得区间初始长度为，则第一次使用
二分法后区间长度变为
，第二次使用二分法后区间长度变为
，第三次使用二分法后区间长度变为
，以此类推，当区间长度小于精确度时即可停止.
【详解】解：原始区间长度为
，
第一次，区间长度减半，为
，
第二次，区间长度减半，为
，
第三次，区间长度减半，为
，
第四次，区间长度减半，为
，
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
求函数的零点或零点所在区间（二分法）
重难点题型2
求方程根的个数与函数零点的存在性问题
重难点题型3
利用函数的零点求参数的取值范围
重难点题型4
嵌套函数（自我嵌套）的零点问题
重难点题型5
嵌套函数（与二次函数嵌套）的零点问题
重难点题型6
唯一零点问题
重难点题型7
分段函数的零点问题
重难点题型8
等高线问题
故至少需要重复四次.
故选：B.
2．（2016·陕西商洛·二模）函数
的零点所在的大致区间的
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】零点存在性定理的应用、用二分法求近似解的条件
【分析】函数是单调递增函数，则只需
时，函数在区间（a，b）上存在零点.
【详解】函数
,在x>0 上单调递增，
，
函数f（x）零点所在的大致区间是
；
故选B
【点睛】本题考查利用函数零点存在性定义定理求解函数的零点的范围，属于基础题；解题的关键是首先
要判断函数的单调性，再根据零点存在的条件：已知函数在（a，b）连续，若
确定零点所在的区间.
3．（2000·北京·高考真题）已知函数
的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】函数图象的应用、根据零点求函数解析式中的参数、求解析式中的参数值
【分析】根据函数
的零点可得出
，从而得出
，再由
时
可得出
的取值范围，进而得出实数
的范围.
【详解】
函数
的三个零点分别为
、、
，
则
，
.
当
时，
，
，
，则
.
因此，
.
故选A.
【点睛】本题考查三次函数的问题，根据三次函数的零点得出函数的解析式是解题的关键，考查分析问题
和解决问题的能力，属于中等题.
4．（2014·湖北·高考真题）已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则函数
的零点的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】分段函数的性质及应用、函数奇偶性的应用、求函数的零点
【详解】因为
是定义在
上的奇函数，当
时，
，
所以
，
所以
，
由
，解得
或
；
由
解得
或
（舍去），
所以函数
的零点的集合为
.
故选：D.
考点：函数的奇偶性的运用，分段函数，函数的零点，一元二次方程的解法，难度中等.
5．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．以上都不对
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】对数的运算、用导数判断或证明已知函数的单调性、判断零点所在的区间、比较函数值的大小
关系
【分析】利用求导判断单调性，再借助
，然后通过数形结合，即可作出判断.
【详解】求导得
，
当
时，
，所以
在区间
上单调递增，
当
时，
，所以
在区间
上单调递减，
根据
，
，
当
时，
，可作出图象：
所以当
时，
，
根据图象可知
，
，
所以恒有
，故B 正确，
由于
，
，所以
，故C 错误，
故选：B.
6．（2025·云南昭通·一模）若函数
，满足
．若函数
存在
零点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】判断零点所在的区间
【分析】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可．
【详解】函数
的定义域为
，
因为函数
在
上都是增函数，
所以函数
在
上单调递增，
因为
，所以
，
又因为
，则
或
，
若
，由零点存在性定理
；
若
，而
，则
，由零点存在性定理
，
综上所述，则C 一定正确.
故选：C.
7．（2025·河北沧州·二模）函数
的零点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断指数函数的单调性、判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可.
【详解】因为
与
均在定义域上单调递增，
所以
在
上单调递增，
又
，
，
，
，
又
，
函数
的零点所在区间是
．
故选：B．
8．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）对于函数
和
，下列说法中正确
的有（ ）
A．
与
有相同的零点
B．
与
有相同的最大值
C．
与
有相同的最小正周期
D．
与
的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴
及对称中心、求函数零点或方程根的个数
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A 选项，令
，解得
，即为
零点，
令
，解得
，即为
零点，
显然
零点不同，A 选项错误；
B 选项，显然
，B 选项正确；
C 选项，根据周期公式，
的周期均为
，C 选项正确；
D 选项，根据正弦函数的性质
的对称轴满足
，
的对称轴满足
，
显然
图像的对称轴不同，D 选项错误.
故选：BC
9．（2021·北京·高考真题）已知函数
，给出下列四个结论：
①若
，
恰 有2 个零点；
②存在负数
，使得
恰有1 个零点；
③存在负数
，使得
恰有3 个零点；
④存在正数
，使得
恰有3 个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【难度】0.4
【知识点】利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数
【分析】由
可得出
，考查直线
与曲线
的左、右支分别相切的情
形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当
时，由
，可得
或
，①正确；
对于②，考查直线
与曲线
相切于点
，
对函数
求导得
，由题意可得
，解得
，
所以，存在
，使得
只有一个零点，②正确；
对于③，当直线
过点
时，
，解得
，
所以，当
时，直线
与曲线
有两个交点，
若函数
有三个零点，则直线
与曲线
有两个交点，
直线
与曲线
有一个交点，所以，
，此不等式无解，
因此，不存在
，使得函数
有三个零点，③错误；
对于④，考查直线
与曲线
相切于点
，
对函数
求导得
，由题意可得
，解得
，
所以，当
时，函数
有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
重难点题型2 求方程根的个数与函数零点的存在性问题
1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）设方程
的两根为
，
，则（ ）
A．
，
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】判断零点所在的区间、根据函数零点的个数求参数范围、根据指对幂函数零点的分布求参数范
围
【分析】由数形结合及零点的判定方法可确定出
，即可判断AD，计算出
，
可判断BC.
【详解】由
可得
，
在同一直角坐标系中同时画出函数
和
的图象，如图所示：
因为
，
，
由图象可知，
，
所以
故A，D 错误；
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，即
，故B 错误，C 正确.
故选：C
2．（2023·全国·一模）已知函数
在区间
上恰有3 个零点，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、三角函数图象的综合应用、正弦函数图象的应用
【分析】先由零点个数求出
，再用整体法得到不等式组，求出
的取值范围.
【详解】因为
，
，其中
，解得：
，
则
，要想保证函数在
恰有三个零点，
满足①
，
，令
，解得：
；
或要满足②
，
，令
，解得：
；
经检验，满足题意，其他情况均不满足
条件，
综上：
的取值范围是
.
故选：C.
【点睛】三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想，数形结合等进行解决，通常要考虑最小正周期，
确定
的范围，本题中就要根据零点个数，先得到
，从而求出
，再进行求解.
3．（2023·河北·模拟预测）已知函数
（
）在
上有三个零点，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】正弦函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】由条件结合零点的定义可得
在
上有三个根，结合正弦函数性质列不等式可
求
的取值范围.
【详解】令
，
则
，
当
时，则
，
因为函数
在
上有三个零点，
所以
，
∴
，
故选：A.
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
在区间
有且仅有3 个零点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、余弦函数图象的应用
【分析】令
，得
有3 个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为
，所以
，
令
，则
有3 个根，
令
，则
有3 个根，其中
，
结合余弦函数
的图像性质可得
，故
，
故答案为：
.
5．（2022·天津·高考真题）设
，对任意实数x，用
表示
中的较小者．若函
数
至少有3 个零点，则
的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围
【分析】设
，
，分析可知函数
至少有一个零点，可得出
，求出
的取值范围，然后对实数
的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数
的不等式，综合可求
得实数
的取值范围.
【详解】设
，
，由
可得
.
要使得函数
至少有个零点，则函数
至少有一个零点，则
，
解得
或
.
①当
时，
，作出函数
、
的图象如下图所示：
此时函数
只有两个零点，不合乎题意；
②当
时，设函数
的两个零点分别为
、
，
要使得函数
至少有个零点，则
，
所以，
，解得
；
③当
时，
，作出函数
、
的图象如下图所示：
由图可知，函数
的零点个数为，合乎题意；
④当
时，设函数
的两个零点分别为
、
，
要使得函数
至少有个零点，则
，
可得
，解得
，此时
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
6．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
恰有2 个极值点，则实数a 的取值范围为
.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据极值点求参数
【分析】由题可得
有两个不同正根
，利用分离参数法得到
.令
，，只需
与
有两个交点，利用导数研究
的单调性与极值，利用数形结合即可求解.
【详解】因为函数
的定义域为
，
由
，可得
，
要使函数
有两个极值点，只需
有两个不同正根
，并且
在的两侧的单调性相反，
由
得，
，所以
，
由题意可知
与
有两个不同的交点，
令
，则
，
所以当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
所以
，当
时，
，
作出图形如图所示：
由图象可得实数a 的取值范围为
.
故答案为：
.
7．（2024·天津·一模）已知函数
有且仅有2 个零点，则实数
的取值范围为
.
【答案】
【难度】0.15
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用
【分析】根据
是否有零点，分类讨论，当
时，
恒成立，根据题意求解即可；
当
，
时，
恒成立，不符合题意，当
，
时，结合二次函数性质讨论得
没有实数根，最后计算可得.
【详解】（1）当
，即
时，
恒成立，
所以
，
因为
有两个零点，
所以
且
，解得
或
（舍），
所以
或
；
（2）当
，即
或
，
设
的两个根为
，且
，
当
时，
恒成立，不满足题意，
当
，有
有两个解，
因为
，
，所以
与
在
必有一个交点，
当
时，
与
没有交点，
当
时，
，所以
与
在
必有一个交点
所以要使方程
有且只有两个零点，
则
无解，
即
没有实数根，
即
，解得
，
因为
，所以
，
综上实数
的取值范围为：
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：解决本题得关键在于讨论当
时，
恒成立，当
时，结合二次函数
性质，二次项系数越大，开口越小，得出
没有实数根，最后计算可得.
8．（2024·北京西城·模拟预测）若关于
的方程
恰有三个不同实数解，则实数
的值为
．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用
【分析】根的存在性和个数的判断，转化为函数图象的交点并作图数形结合判断参数范围.
【详解】问题等价于函数
的图象和
恰有三个不同公共点，
的图象可由
的图象
轴上方的不动，
轴下方的对称上去，
如图数形结合可得
故答案为：
重难点题型3 利用函数的零点求参数的取值范围
1．（2023·全国·一模）已知函数
在区间
上恰有3 个零点，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、三角函数图象的综合应用、正弦函数图象的应用
【分析】先由零点个数求出
，再用整体法得到不等式组，求出
的取值范围.
【详解】因为
，
，其中
，解得：
，
则
，要想保证函数在
恰有三个零点，
满足①
，
，令
，解得：
；
或要满足②
，
，令
，解得：
；
经检验，满足题意，其他情况均不满足
条件，
综上：
的取值范围是
.
故选：C.
【点睛】三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想，数形结合等进行解决，通常要考虑最小正周期，
确定
的范围，本题中就要根据零点个数，先得到
，从而求出
，再进行求解.
2．（2023·山东济南·三模）已知函数
若函数
有四个不同的零点，则
实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用
【分析】将函数
有四个不同的零点，转化为函数
与
图象由四个交点，再数形
结合即可解答.
【详解】
依题意，函数
有四个不同的零点，即
有四个解，
转化为函数
与
图象由四个交点，
由函数函数
可知，
当
时，函数为单调递减函数，
；
当
时，函数为单调递增函数，
；
当
时，函数为单调递减函数，
；
当
时，函数为单调递增函数，
；
结合图象，可知实数
的取值范围为
.
故选：A
3．（2023·山西阳泉·三模）函数
在区间
存在零点．则实数m 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、根据解析式直接判断函数的单调性、对数函数单调性的应用
【分析】利用函数的单调性的性质及函数零点的存在性定理即可求解.
【详解】由
在
上单调递增，
在
上单调递增，得函数
在区间
上单调递增，
因为函数
在区间
存在零点，
所以
，即
，解得
，
所以实数m 的取值范围是
.
故选：B.
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
在区间
有且仅有3 个零点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、余弦函数图象的应用
【分析】令
，得
有3 个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为
，所以
，
令
，则
有3 个根，
令
，则
有3 个根，其中
，
结合余弦函数
的图像性质可得
，故
，
故答案为：
.
5．（2024·四川绵阳·一模）已知函数
，m 为正的常数，则
的零点之和为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求零点的和、判断或证明函数的对称性、对数函数图象的应用
【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性，再结合零点的意义即可求解得答案.
【详解】函数
的定义域为
，
由
，得
，令函数
，
，则函数
的图象关于直线
对称，
在同一坐标系内作出直线
与函数
的图象，如图，
直线
与函数
的图象有4 个交点，令其横坐标从左到右依次为
，
观察图象得
，所以
的零点之和为
.
故答案为：
6．（2023·浙江绍兴·二模）已知函数
，若
在区间
上有零点，则
的最大值
为 .
【答案】
【难度】0.15
【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】设
，即可求出b，继而求出
的表达式，将
看作主元，配方得
，记
，即可求解最大值.
【详解】设
，则
，
此时
，则
，
令
，
当
时，
，
记
，则
，
所以
在
上递增，在
上递减，
故
,所以
，
所以
的最大值为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题是双参数函数的零点问题，
第一步消参：通过设零点，代入方程，得到其中一个参数的表达式，
第二步主元法求最值：将所求表达式通过主元法（关于另一个参数）构造函数求出最值，即可求解.
重难点题型4 嵌套函数（自我嵌套）的零点问题
1．（2025·山东·一模）已知定义在
上的奇函数
满足
，且
，当
时，
，则方程
在区间
上的根的个数为（ ）
A．9
B．10
C．17
D．12
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】函数周期性的应用、求函数零点或方程根的个数、函数奇偶性的应用、函数对称性的应用
【分析】根据函数的奇偶性、对称性，得出函数
是周期函数，再根据当
时，
，结合其单调性、对称性、周期性作出函数
在区间
上的图象，利用函数
与函数
的图象，由交点的个数可得出方程根的个数.
【详解】因为
是定义在
上的奇函数，所以
，
由
可知，函数
的图象关于直线
对称，
则有
，则
，则
，
所以
，故
是周期函数，周期
.
又因为
，所以
，且有
，则
.
当
时，
是增函数，
且
时，
，
时，
，所以
在
上有且仅有一个零点.
函数
与函数
的图象如图，
由图可知，方程
在区间
上有10 个根，去除
后，还有9 个根，
方程
的根，即函数
的图象与函数
的图象的交点，有8 个，
所以，方程
在区间
上的根的个数为
.
故选：C.
2．（23-24 高三下·江苏无锡·开学考试）已知函数
，若方程
的实根
个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】在同一平面直角坐标系中画出
与
的图象，数形结合可得
与
有
个交
点，不妨设为
且
，则
，再分别判断
的根的个数，即可得解.
【详解】因为
，则
，
，
，
，
令
，解得
或
，
又在同一平面直角坐标系中画出
与
的图象，
由图象观察可知
与
有
个交点，不妨设为
且
，
则
，
当
时，由
，
，则存在
个不同实根，
由
，
，则存在
个不同实根，
由
，
，则存在
个不同实根，
由
，
，则存在
个不同实根，
综上
的实根个数为
．
故选：C
3．（2024·福建漳州·模拟预测）已知函数
，则函数
的零点个数为
（ ）
A．3
B．5
C．6
D．8
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求函数零点或方程根的个数、分段函数的性质及应用、对数型复合函数的单调性、函数与方程
的综合应用
【分析】令
，求出方程
的根，再结合图象求出
的解的个数即可.
【详解】依题意，函数
零点的个数，即为方程
解的个数，
令
，则
，当
时，
，令
，
，
函数
在
上单调递增，于是函数
在
上单调递增，
又
，
，则存在
，使得
；
当
时，
，解得
或
，
作函数
的大致图象，如图：
又
，则
，
当
时，
，由
的图象知，方程
有两个解；
当
时，
，由
的图象知，方程
有两个解；
当
，
时，
，由
的图象知，方程
有一个解，
综上所述，函数
的零点个数为5.
故选：B
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0 的解；(2)图象法：作出函数f(x)
的图象，观察与x 轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它
们的公共点个数.
4．（2021·浙江宁波·二模）设
，函数
若函数
恰有三个零点，则实
数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】
的对称轴为
，分类讨论当
时和当
时，分别作出函数
的图象，
借助图象判断
根的个数，或列出
恰有三个根的条件即可求解.
【详解】由题意知，
的对称轴为
，
当
即
时，
的图象如图1，此时令
，可得
，
观察图象可解得
或
，即方程有两个根，则此时
只有两个零点，不合题意；
当
即
时，
的图象如图2，此时令
，可得
或
，
因为
和
均为
的根，
所以要使函数
恰有三个零点则需满足
只有一个根，且
,当
时，
．
当
时，
的对称轴为
，
则
，解得
，
故
．
综上，
的取值范围为
．
故选：A.
5．（2023·天津·二模）已知函数
若
有两个零点
，则
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】依题意可得
有两个根
，根据
的解析式，分别求出
的表达式，再根据
导数求
的取值范围.
【详解】由题意可知，当
时，
，所以
；
当
时，
，所以
，
综上，对
，有
，
由
有两个零点
，即方程
有两个根
，
即方程
有两个根
，不妨设
,
易知函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
,当
时，
令
，因为
，所以
，
所以
，则
，
令
，
，令
，解得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时
.
所以函数
的值域为
，
即
的取值范围是
.
故选：A.
6．（2023·陕西·校联考模拟预测）用
表示
中较小的数，
，则
的解的个数为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【分析】画出
的图象，先由
求得，然后由
判断出正确答案.
【详解】由
解得
，设
，
画出
的图象如下图所示，
由
解得
；
由
解得
或
；
令
，则
或
或
或
；
由图象可知，
有
个解，
分别有
个解，
没有解，且上述个解互不相同，
所以
的解的个数为个.
故选：D
7．（2024·陕西西安·统考一模）
，若
有两个零点，则
的取值范围
是 .
【答案】
【分析】先求函数
的值域，单调性，并画出图象，再设
，结合复合函数的零点个数求实数
的取值范围即可.
【详解】易知函数
在R 上增函数，函数
在
上减函数，
所以，当
时，
，当
时，
，
于是函数
的值域为
，
又函数
的在
上单调递增，在
上单调递减，
函数图象如图所示：
设
，由
可知，
，则
.
因为
有两个零点，所以
，即
，
于是
，则方程
，即
有两个零点，
所以，由
的图象可知，使方程
有两个零点，
则满足
，解得
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
8．（2023·陕西·校联考模拟预测）用
表示
中较小的数，
，则
的解的个数为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【分析】画出
的图象，先由
求得，然后由
判断出正确答案.
【详解】由
解得
，设
，
画出
的图象如下图所示，
由
解得
；
由
解得
或
；
令
，则
或
或
或
；
由图象可知，
有
个解，
分别有
个解，
没有解，且上述个解互不相同，
所以
的解的个数为个.
故选：D
9．（2022·浙江·模拟预测）已知函数
的定义域为
，对任意
，都有
．现已知
，那么（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先由
求出
，再由
得到
，
结合单调性和零点存在定理进行判断即可.
【详解】不妨设
，则
，所以
，得
，
，
因为
，所以
．令
，易得
在
上单调递
增，
因为
，
，
由零点存在定理知：
.
故选：D．
10．（2016·山西太原·统考三模）已知定义在
上的单调函数
满足对
,则方程
的解所在区间是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用函数的单调性及
可得
，再利用
可求函数的解析式，
求出
后可估计
的解所处的区间.
【详解】因为
为单调函数且
，则
必是常数，
故设
，其中为常数，
故
，因为
，
令
，故
，故
为
上的增函数，
因为
时，
，故方程
有且仅有一个解
，
故
，
而方程
可化为
，整理得到
，
令
，故
为
上的单调增函数，
而
，
，故方程的根在区间
中，故选C.
【点睛】不可解方程的根的估计，要利用函数的单调性和零点存在定理，后者需要找两个异号的函数值，
可依据函数解析式的特点选择合适的点.
重难点题型5 嵌套函数（与二次函数嵌套）的零点问题
1．（22-23 高二上·湖南·期中）设函数
，方程
恰有5 个实数解，则
正实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】三角函数图象的综合应用、函数与方程的综合应用
【分析】当
时，得到
.若方程
恰有5 个实数解，只需函数
在区间
上恰好有5 个
，使得
，从而确定
在
上恰有5 条
对称轴．结合正弦函数的图象可建立
求解即可.
【详解】当
时，
，
因为函数
在区间
上恰好有5 个
，使得
，
故
在
上恰有5 条对称轴．令
，
则
在
上恰有5 条对称轴，如图：
所以
，解得
．
故选：B．
2．（2024·四川·模拟预测）已知函数
若函数
有5 个不同的零点，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数与方程的综合应用、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】求得
，得到函数
的单调性和极值，作出函数
的图象，根据题意，转
化为
和
共有5 个不相等实数根，结合图象，即可求解.
【详解】当
时，
，此时
，
则
时，
单调递减；
时，
单调递增，
所以，当
是
的极小值点，作出如图所示的函数
的图象，
函数
有5 个不同的零点，则方程
，
即
有5 个不相等实数根，
也即是
和
共有5 个不相等实数根，
其中
有唯一实数根
，
只需
有4 个且均不为-2 的不相等实数根，由图可知
，
即实数
的取值范围为
.
故选：C.
3．（23-24 高二下·吉林白山·期末）已知函数
则方程
的
实数个数为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数与方程的综合应用
【分析】作出函数的部分图象，利用整体法求出
或
，再根据图象观察交点个数即可.
【详解】函数
的部分图象如图所示.
由方程
，解得
或
.
当
时，有5 个实根，当
时，有6 个实根，
故方程
的实根个数为11.
故选：C.
4．（2022·湖北十堰·模拟预测）（多选题）已知函数
，设函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
有4 个零点，则
B．存在实数t，使得
有5 个零点
C．当
有6 个零点时．记零点分别为
，且
，则
D．对任意
恒有2 个零点
【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】函数图象的应用、根据零点求函数解析式中的参数、函数与方程的综合应用
【分析】由
可得
或
，作函数
的图象，观察图象判断A，B，D，由条件观察
图象确定
的关系，由此判断C，
【详解】
的大致图像如图所示，令
，即
，即
或
．
若
有4 个零点，则实数t 的取值范围为
或
或
，故A 项错误；由图可知，当
时，
有5 个零点，故B 项正确；当
有6 个零点时，则
，所以
，
即有
，故C 项正确；当
时，
有4 个零点，故D 项错误，
故选：BC．
5．（2022·全国·模拟预测）（多选题）已知函数
，对于任意的
，
，
，关于
的方
程
的解集可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【难度】0.65
【知识点】函数对称性的应用、指数函数图像应用、函数与方程的综合应用
【分析】令
，探讨一元二次方程
根的情况，再结合函数
的性质，即可判断作答.
【详解】令
，则方程
化为
，
由给定的选项知，方程
有实根，设其根为
，
函数
定义域为R，
，在
上递减，在
上递增，
且
的图象关于直线
对称，
，
当
时，方程
无解，
当
时，方程
有一解
，
当
时，方程
有两解且和为2，
对于A，当
时，方程
有两解且和为4，
与题意矛盾，故A 不符合要求；
对于B，当
时，方程
有两解且和为2，又
关于
对称，故B 符合
要求；
对于C，当
时，方程
有三个解，其中一个为1，另两个的和为2，故C
不符合要求；
对于D，当
时，方程
有四个解，必满足其中两根和与另两根和都为2，又
关于
对称，
关于
对称，故D 符合要求，
故选：BD.
6．（22-23 高三上·河北·阶段练习）（多选题）已知函数
若关于
的方程
恰有5 个不同的实数解，则下列说法正确的是（ ）
A．
时方程有两个不相等的实数解
B．
时方程至少有3 个不相等的实数解
C．
时方程至少有3 个不相等的实数解
D．若方程恰有5 个不相等的实数解，则实数
的取值集合为
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】函数图象的应用、分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用
【分析】根据函数解析式，作出函数图象，利用函数与方程的关系，将问题转化为两个函数求交点问题，
结合数形结合的思想，可得答案.
【详解】作出函数
的大致图象，如图所示，
令
，则
可化为
，
则
或
，则关于
的方程
的实数解等价于
的图象与直
线
，
的交点个数，
对于A，当
时，则
，此时
有两个不相等的实数解，故A 正确；
对于B，
时，取
，则
或
，因为
的值域为
，故方程只有2 个不相等的实
数解，故B 错误；
对于C，
时，
，
与函数图象至少有1 个交点，故C 正确；
对于D，若关于
的方程
恰有5 个不同的实数解等价于
的图象与直
线
，
的交点个数之和为5 个，由图可得函数
的图象与直线
的交点个数为2，所以
的图象与直线
的交点个数为3 个，即此时
，解得
，故D 正确，
故选：ACD.
【点睛】对于根据方程解的个数求参数的题目，常常利用函数与方程的关系，结合数形结合的思想，解决
问题.
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，若方程
有7
个不同的实数根，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、画出具体函数图象、指数函数图像应用、函数与方程的综合
应用
【分析】先作出函数图象，解一元二次方程，结合函数图象含参讨论即可.
【详解】作出函数
的图象，如图所示．
由
，得
，
解得
或
．
由图象易知，直线
与
的图象有3 个交点，
所以方程
有3 个不同的实数根，
因为方程
有7 个不同的实数根，
所以直线
与
的图象有4 个交点，
故
，解得
，故实数
的取值范围是
．
故答案为：
8．（21-22 高三·河南·阶段练习）已知函数
，若关于
的方程
恰有5 个不同的实数解，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数与方程的综合应用、函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】利用换元法结合函数图象分析方程的根的情况即可.
【详解】作出函数
的大致图象，如图所示，
令
，则
可化为
，
则
或
，
则关于
的方程
恰有5 个不同的实数解
等价于
的图象与直线
的交点个数之和为5 个，
由图可得函数
的图象与直线
的交点个数为2，
所以
的图象与直线
的交点个数为3 个，
即此时
，解得
.
故答案为：
.
重难点题型6 唯一零点问题
1、（2016·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考三模）在区间
上随机取两个实数
,
，则函数
在区间
上有且只有一个零点的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意知本题是一个几何概型，根据所给的条件很容易做出试验发生包含的事件对应的面积，而
满足条件的事件是函数
在区间
上有且仅有一个零点，求出导函数，看出函数是一个
增函数，有零点等价于在自变量区间的两个端点处函数值符号相反，得到条件，做出面积，根据几何概型
概率公式得到结果．
【详解】由题意知本题是一个几何概型，
由
，则
，所以
是增函数，
又
在
有且仅有一个零点，则
，
所以
，即
，
又
，则
，
由线性规划内容知全部事件的面积为
，满足条件的面积为
，
所以满足条件的概率
，
故选：D．
2、（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知
是定义在R 上的奇函数，且当
时，
单调递
增，要确保
的零点唯一，则
的值可以为（ ）
A．
B．0
C．
D．5
【答案】C
【分析】利用函数的单调性和奇偶性的性质，结合函数零点的定义即可得到
的取值范围，进而得到
的
可能取值.
【详解】因为
是定义在R 上的奇函数，所以
的图象关于点
对称，
所以
的图象关于点
对称，
又由
是定义在R 上的奇函数，可得
又当
时，
单调递增，要确保
的零点唯一，
则
的唯一零点为
，可得
．
则
的值可以为
.
故选：C
3．（24-25 高三上·海南海口·阶段练习）已知函数
有唯一零点，则
的值为
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由函数对称性求函数值或参数
【分析】先求得
，从而得函数具有对称性，再由函数的对称性得到唯一零点的值，从而建
立方程解出参数的值.
【详解】因为
，
所以
所以
，故函数
关于直线
对称，
故由函数
存在唯一零点得零点只在
处取得即
，
所以
，解得
.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于分析出函数的对称性，通过对称函数的零点成对出现而得出
，从而求解，在解题时要注意对函数的基本性质进行分析，从而找到问题的突破点.
4．（2023·贵州毕节·模拟预测）若函数
有唯一零点，则实数
（ ）
A．2
B．
C．4
D．1
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】判断或证明函数的对称性、根据零点求函数解析式中的参数
【分析】由函数解析式推导出函数的对称性，然后结合只有唯一的零点求出参数的值.
【详解】由
，
得
，即函数
的图象关于
对称，
要使函数
有唯一的零点，
则
，即
，得
．
故选：A．
5．（2021·全国·模拟预测）已知函数
在区间
内有唯一零点，则实数
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】利用导数研究函数的零点
【分析】令f(x)=0，分离参数，结合导数研究函数的单调性即可得出结果.
【详解】令f(x)=0，则
，
，
令
，
，
令
，
，
则函数
在区间
单调递增，
，
所以
，函数
在区间
单调递增，
所以有
，
即
，
所以
，
故选：B．
6．（20-21 高三上·甘肃天水·阶段练习）设函数
是偶函数
的导函数，当
时
有唯
一零点为2，并且满足
，则使得
成立的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【分析】构造函数
，利用导数确定其单调性，再确定其奇偶性，然后解不等式
即可．
【详解】
可化为
，
设
，则
，由已知
时，
，
递减，
又
是偶函数，∴
，
是奇函数，∴
在
上也是减函数，
，
∴由
得
或
．
故选：B．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，构造新函数，确定单调性是解题关键．
7．（2023·四川内江·统考三模）若关于x 的不等式
有且只有一个整数解，则正实数a 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】原不等式可化简为
，设
，
，作出函数
的图象，由
图象可知函数
的图象应介于直线
与直线
之间（可以为直线
，进而求得答案．
【详解】原不等式可化简为
，设
，
，
由
得，
，令
可得
，
时，
，
时，
，
易知函数
在
单调递减，在
单调递增，且
，
作出
的图象如下图所示，
而函数
恒过点
，要使关于
的不等式
有且只有一个整数解，则函数
的图象应介于直线
与直线
之间（可以为直线
），
又
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
故选：A．
8．（2023·全国·重庆市育才中学校联考模拟预测）已知函数
在区间
有且仅
有1 个零点，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先由周期与所给区间长度关系得出
，据此可得
的范围，根据原题可转化为讨论
在
区间内，
在区间内两种情况得出
的取值范围.
【详解】
在
有且仅有1 个零点，
即方程
在
上有且只有1 个根，
由
，可得
，
因为
，所以
，
由
知
，
当
时，即
时，方程
在
上有且只有1 个根，
则需
，解得
，所以
；
当
时，即
时，方程
在
上有且只有1 个根，
则需
，解得
，所以
，满足
，
综上，
的取值范围为
.
故答案为：
重难点题型7 分段函数的零点问题
1．（2026 高三·全国·专题练习）函数
的零点个数为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求函数零点或方程根的个数、求函数的零点
【分析】应用分段函数当
时计算零点，当
时，应用对数运算结合零点存在定理判断零点个数即
可.
【详解】当
时，由
得
；
当
时，
在
上单调递增，并且
，
即
，所以函数
在区间
内必有一个零点，
综上，函数
的零点个数为2．
故选：D.
2．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知函数
，若函数
恰有3 个零点，
则
的取值茫围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】由已知作出函数
的大致图象，将函数的零点问题转化为图象的交点问题，即可求解.
【详解】当
时，
，
，
作出
的大致图象，如图所示，
由
，得
，
若函数
恰有3 个零点，
则函数
的图象与函数
的图象有个不同的交点，
则
.
故选：
.
3．（25-26 高一上·全国·课后作业）已知函数
若函数
有3 个零点，
则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围、根据函数零点的个数求参数范围
【详解】作出图象，
其中当
时，
，其顶点为
．由
与直线
有3 个交点，知m 的
取值范围是
．
4．（24-25 高二下·江西南昌·期中）（多选题）已知函数
，则下列说法中正确
的是（ ）
①函数
有两个极值点；
②若关于
的方程
恰有1 个解，则
；
③函数
的图象与直线
有且仅有一个交点；
④若
，且
，则
无最值．
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】AC
【难度】0.4
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】求出分段函数的解析式以及各段导函数，得出函数的单调区间，即可得出①；作出函数图象，即
可判断②；根据①求得的导函数，可推得
，有
恒成立，即可得出③；作图，根据图象得
出
的图象与
有3 个交点时，
的范围，然后用
表示出
，即可得出
，构造函数
，通过导函数研究函数的单调性，得出函数的最
值，即可判断④.
【详解】对于①，当
时，
，
恒成立，
所以
在
上单调递增；
当
时，
，
恒成立，
所以，
在
上单调递减；
当
时，
，
恒成立，
所以，
在
上单调递减．
综上所述，
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减．
所以，
在
处取得极小值
，在
处取得极大值
，故①正确；
对于②，作出
的图象如下图1，
由图1 可知，若关于
的方程
恰有1 个解，则
或
，故②错误；
对于③，由①知，当
时，
，
因为
，所以
，所以
，当且仅当
；
当
时，
；
当
时，
，
因为
，所以
，所以
，当且仅当
．
综上所述，
，有
恒成立．
又直线
可化为
，斜率为
，
所以函数
的图象与直线
有且仅有一个交点，故③正确；
对于④，
由图2 可知，当
时，函数
的图象与
有3 个不同的交点．
则有
，所以
，
所以
，
．
令
，
，
则
．
令
，则
在
上恒成立，
所以，
在
上单调递增．
又
，
，
根据零点存在定理可知，
，使得
，
且当
时，
，
所以
，所以
在
上单调递减；
当
时，
，
所以
，所以
在
上单调递增．
所以，
在
处取得唯一极小值，也是最小值，无最大值，故④错误．
综上所述，①③正确．
故选：AC．
5．（2026 高三·全国·专题练习）已知
，若函数
有两个不同的零点，则a 的取值
范围为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围
【分析】利用函数的单调性可得分段
在每段上个存在一个零点，再分别求其零点，使其满足定义域
即可.
【详解】因函数
在
和
在
均为增函数，
则这两个函数在对应区间上的零点均至多有个，
因
有两个不同的零点，
则函数
在
和
在
上分别有1 个零点，
令
，得
，则
，即
；
令
，得
，则
，
又
，则
．
故答案为：
6．（2025·江苏·三模）已知函数
满足
，且
，则方程
的实数解的个数为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】余弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数、函数周期性的应用
【分析】首先可得
的周期为
，方程
的解，即为
与
的交点横坐标，画出
与
的图象，数形结合即可判断.
【详解】由函数
满足
，则
，所以
的周期为
，
由
，则
，
可得
的图象如图，
方程
的解，即为
与
的交点横坐标，
且当
时
，
由图可知两图象交点个数为，即方程
的实数解的个数为.
故答案为：
重难点题型8 等高线问题
1．（2025·河南安阳·一模）已知函数
在
时满足
恒成立，且在区间
内，仅存在三个数
，
，
，使得
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】正弦函数图象的应用、利用正弦函数的对称性求参数、函数与方程的综合应用、函数不等式恒
成立问题
【分析】先求出
，根据
恒成立，得到
，不妨取
，画出
图象，数形结合，利用对称性得到
，求出答案.
【详解】
时，
，
令
，则当
时，
，
故要想
在
时满足
恒成立，
需满足
，不妨取
，
，
，
画出
在
上的图象，如下：
由图象可知，
，
，
则
，
故
，
两式相加得
，
所以
.
故选：C
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，将
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，若关于x 的方程
在区间
上有5 个实数根
，
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数与方程的综合应用、函数图象的应用
【分析】根据平移求得
的解析式，画出
和
的大致图象，由对称性求得
，
，
，
，
，之间的关系，进而得解.
【详解】由题意知
，
画出
的图象以及
的图象（如图所示），
与
的图象在
上有5 个交点，
这5 个交点的横坐标即为方程
在
上的5 个实数根
，
，
，
，
，
易知
，
，关于
对称，
，
关于
对称，
，
关于
对称，
，
关于
对称，
所以
，
，
，
，
所以
，故D 正确.
故选：D.
3．（2024·四川成都·二模）已知函数
，若方程
有四个不同的解
，
且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用
【分析】在同一平面直角坐标系中画出
与
的图象，数形结合可得
且
、
，从而将
转化为
，令
，
，判断函数的单调性，从而求出
的值域，即可得解.
【详解】因为
，所以
，
，
，
，
又函数
对称轴为
，
在同一平面直角坐标系中画出
与
的图象，
因为方程
有四个不同的解
，
，
，
，且
，
即
与
有四个交点，所以
，
由图可知
，
又
，
关于
对称，即
，
又
，且
，
即
，则
，
所以
，则
；
所以
，
令
，
，
由对勾函数的性质可知
在
上单调递增，
又
，
，
所以
，
即
．
故选：D．
4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数
，若方程
有四个根
，
且
，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综
合应用
【分析】分析函数
的性质，作出函数图象，再逐项判断即可.
【详解】函数
的图象开口向上，对称轴为直线
，
当
时，
在
上递减，函数值集合为
，在
上递增，函数值集合为
，
当
时，
在
上递减，函数值集合为
，在
上递增，函数值集合为
，
方程
的根是直线
与函数
图象交点的横坐标，
方程
有四个根
，即直线
与函数
图象有4 个交点，
在同一坐标系内作出直线
与函数
的图象，如图，
观察图象知，
，
，AD 正确；
显然
，而
，则
，即
，
，
，B 正确；
显然
，
，C 错误.
故选：C
5．（2025·河北·模拟预测）已知函数
，若
有四个不同的实数解
，且
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】函数对称性的应用、函数与方程的综合应用、对数的运算、用导数判断或证明已知函数的单调
性
【分析】先由
时
，得到
关于
对称，即可得到
之间的关系，有
，再由
时
可得
，之后将要求的表达式转化为关于
的表
达式，利用导数求解即可.
【详解】由于
时，
，即函数图像关于
对称，
因此
，故
．
又
，则
，
即为
，则
，
故
．
由于
，所以
，则
．
令
，
则
在
上单调递减，
，
，则
的取值范围为
．
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：若
恒成立，则
的图象关于直线
对称；
若
恒成立，则
的图象关于点
对称.
6．（2025·河北·模拟预测）已知函数
，方程
有4 个不同的根
，且满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、基本不等式求和的最小值
【分析】根据函数
的图象易知
，且
.设
，则
，
，
，代入
中利用换元法及基本不等式即可求解.
【详解】在同一平面直角坐标系下，作出函数
和
的图象如下图所示：
依题意得：
，且
，则
.
设
，则
，
，
，
所以
，令
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
