文档文本内容
第03 讲 圆的方程
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................3
知能解码.........................................................................................................................................3
知识点1 圆的定义和圆的方程..........................................................................................3
知识点2 点与圆的位置关系..............................................................................................3
题型破译................................................................................................................................................4
题型1 圆的标准方程...........................................................................................................4
【方法技巧】求圆心和半径
题型2 圆的一般方程
....................................................................................................4
题型3 判断点与圆的位置关系
....................................................................................5
【方法技巧】带入方程做比较
题型4 圆的范围问题...........................................................................................................6
题型5 圆上的点到定点的距离最值
.............................................................................6
【方法技巧】求点与圆心的距离加减半径
题型6 圆的轨迹问题
.....................................................................................................7
04
题
真
溯源·考向
知
感
..........................................................................................................................8
05 课本典例·
考
高
素材..........................................................................................................................9
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）圆的方程
（2）圆中的切线问题
（3）点与圆的位置关
系
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷，第7
题，5 分
新课标II 卷，第5 题，
5 分
天津卷，第12 题，5 分
新课标I 卷，第6 题，5
分
天津卷，12 题，5 分
考情分析：理解确定
的几何要素，在平面直角坐
系中，掌握
的
准方程与一般方程；能根据
的方程解决一
圆
标
圆
标
圆
些
的数学
与
简单
问题
实际问题
复习目标：
1.掌握
的两个性
圆
质
(1)
心在
切点且垂直于切
的直
上；
圆
过
线
线
(2)
心在任一弦的中垂
上
圆
线
.
2.牢
两个相关
记
结论
(1)
的“直径式”方程：以
圆
A(x1，y1)，B(x2，y2)
直径端点的
的方程
圆
为
为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
(2)
的参数方程：
心
圆
圆
为(a，b)，半径为r 的
的参数方程
其中
圆
为
θ
参数，可用来
上的点的坐
为
设圆
标.
知识点1 圆的定义和圆的方程
定义
平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心C
半径为
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F>0)
圆心C(- D
2 ，- E
2)
半径r＝1
2
❑√D
2＋E
2- 4 F
自主检测若圆
经过点
，
，且圆心在直线：
上，则圆
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点2 点与圆的位置关系
点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r⇔M 在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M 在圆 ；
(2)|MC|＝r⇔M 在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M 在圆 ；
(3)|MC|<r⇔M 在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M 在圆 .
自主检测点
在圆
外，则a 的取值范围为 ．
题型1 圆的标准方程
例1-1 已知点
，
，则以
为直径的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
例1-2 设☉M 的圆心M 在直线2x＋y－1＝0 上，点(3，0)和(0，1)均在☉M 上，则☉M 的方程为
______________.
方法技巧
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.
(2)待定系数法
若已知条件与圆心(a，b)和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r 的值；
【变式训练1-1】大漠孤烟直，长河落日圆体现了我国古代劳动人民对于圆的认知
“
”
.已知
，
，
则以
为直径的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2】已知某圆经过
，
两点，圆心M 在直线
上，求该圆的方程．
题型2 圆的一般方程
例2-1 下列方程一定表示圆的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
例2-2 设实数
，圆
的面积为
，则
．
方法技巧
选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F 的方程组，进而求出D，E，F 的值.
【变式训练2-1】若方程
表示圆，且圆心位于第四象限，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2·变考法】已知圆
的圆心坐标为
，则
的半径为 .
【变式训练2-3】已知圆
的圆心在直线
上，且圆
过点
，
．
(1)求圆
的一般方程；
(2)若圆
与圆
关于直线
对称，求圆
的标准方程．
题型3 判断点与圆的位置关系
例3-1 已知点
在圆
外，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
∪
例3-2“
或
是定点
”
“
在圆
的外部的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
方法技巧
(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．
(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．
【变式训练3-1】若点
在圆
的外部，则实数
的取值范围是 .
【变式训练3-2·变载体】已知
，
，
，
，若从
，
，
，
这四个点中
任意选择两个点，则这两个点都落在圆
外的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型4 圆的范围问题
例4-1（多选）已知实数x，y 满足x2＋y2－4y＋3＝0，则( )
A.当x≠0 时，y
x 的最小值是－❑√3
B.x2＋y2的最小值是1
C.y－x 的最小值是2－❑√2
D.|x＋y＋3|的最小值为2
例4-2（多选）已知
是圆
上的一点，
是圆
上的一点，
为直线
上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为
C．
的最小值为
D．
的最大值为
方法技巧
与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝y -b
x -a ，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2 形式的最值问题.
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判
别式法、基本不等式法等求最值.
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N 均为动点)且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路：①动化定，
“
”
把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②曲化直，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和
“
”
，
一般要通过对称性解决.
【变式训练4-1】在平面直角坐标系
中，动点
到
两点的距离的平方和为10，则
的取值范围为 ．
【变式训练4-2·变载体】在平面直角坐标系中，
，点
满足
，则
面积的最
大值是 .
题型5 圆上的点到定点的距离最值
例5-1 已知点
满足
，点
，则
的最大值为（ ）
A．3
B．
C．
D．6
例5-2 已知实数
满足
，则
的最大值为 ．
方法技巧
可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值和最小值
【变式训练5-1】已知
，
是单位向量，
，
的夹角为
，若向量满足
，则
的最大值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-2】若实数x、y 满足
， 则
的最大值是 .
【变式训练5-3】若直线
，
，设与
的交点为P，O 为坐标原点，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型6 圆的轨迹问题
例6-1 在平面直角坐标系中，
，
，点P 满足
，则点P 到直线
的最大值是
（ ）
A．2
B．
C．
D．
例6-2 已知动直线
（其中
且
为变动参数）和圆
相交于
、
两点，求弦
的中点的轨迹方程．
方法技巧
求轨迹方程的步骤：
①建立适当的直角坐标系，用
表示轨迹（曲线）上任一点
的坐标；
②列出关于
的方程；
③把方程化为最简形式；
④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；
⑤作答．
【变式训练6-1】已知点M，N 为圆
上两点，且
，点P 在直线
上，点Q 为线段
中点，则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式训练6-2】（多选）已知在平面直角坐标系
中，
，点P 满足
，设点P 所
构成的曲线为C，下列结论正确的是（ ）
A．C 的方程为
B．在C 上存在点D，使得D 到点
的距离为3
C．在C 上存在点M，使得
D．在C 上存在点N，使得
1．（2024·北京·高考真题）圆
的圆心到直线
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数
满足
，则
的最大值是（ ）
A．
B．4
C．
D．7
3．（2023·全国乙卷·高考真题）设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域
内随机取一
点，记该点为A，则直线OA 的倾斜角不大于
的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·上海·高考真题）已知圆
的面积为
，则
．
5．（北京·高考真题）若圆x2
4 + y2
3 =1 与直线
相切，且其圆心在y 轴的左侧，则m 的值为
．
6．（天津·高考真题）若半径为1 的圆分别与y 轴的正半轴和射线
相切，则这个圆的方程为
．
7．（北京·高考真题）设
为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值
，求P 点的轨迹．
1.已知
的三个顶点为
，
，
，求
外接圆的方程．
2.求圆心为
，半径为5 的圆的标准方程，并判断点
，
是否在这个圆上．
3.已知圆O 的直径
，动点M 与点A 的距离是它与点B 的距离的
倍.试探究点M 的轨迹，并判断该
轨迹与圆O 的位置关系.
4.判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由．
(1)
；
(2)
；
(3)
．
5.点M 在圆
上，点N 在圆
上，求
的最大值．
6.从定点
向圆
任意引一割线交圆于P，Q 两点，求弦PQ 的中点M 的轨
迹方程.
