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I
I
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目
录
第一章
集合与常用逻辑用语、不等式1
教材宏观把控/1
教材探究思考/1
教材典题重温/2
第二章
函数与基本初等函数6
教材宏观把控/6
教材探究思考/6
教材典题重温/8
第三章
一元函数的导数及其应用13
教材宏观把控/13
教材探究思考/13
教材典题重温/14
第四章
三角函数、解三角形18
教材宏观把控/18
教材探究思考/19
教材典题重温/20
第五章
平面向量、复数27
教材宏观把控/27
教材探究思考/27
教材典题重温/28
第六章
数列34
教材宏观把控/34
教材探究思考/34
教材典题重温/35
第七章
立体几何与空间向量42
教材宏观把控/42
教材探究思考/43
教材典题重温/44
II
第八章
平面解析几何51
教材宏观把控/51
教材探究思考/52
教材典题重温/53
第九章
统计与成对数据的统计分析59
教材宏观把控/59
教材探究思考/59
教材典题重温/61
第十章
计数原理、概率、随机变量及其分布66
教材宏观把控/66
教材探究思考/66
教材典题重温/68
参考答案73
1
教材宏观把控
系统知识、明确方向
(1)集合是高考的必考内容，一般以选择题的形式出现，试题较为简单，属于送分题，命题的
热点为集合的基本运算，常结合一元二次不等式的解法进行考查.
(2)高考对常用逻辑用语的考查涉及的知识点较广，主要以其他知识为背景考查充分条件、必
要条件的判断，全称量词命题、存在量词命题的否定，题目难度中等或偏下，以选择题或填
空题为主.
(3)高考在不等式部分的命题点有：①不等式的性质及应用，不等式常与函数相结合；②不等
式的解法，常与集合的基本运算相结合；③利用基本不等式求最值、证明不等式等.难度一般
不大，常与其他知识相结合.
教材探究思考
挖掘内涵、探究本质
探究1 (人教A 版必修第一册P11、P12)下列关系式成立吗？
(1)A∪A＝A；
(2)A∪∅＝A；
(3)A∩A＝A；
(4)A∩∅＝∅.
探究2 (人教A 版必修第一册P15)
对于有限集合A，B，C ，你能发现card(A∪B∪C)，card(A)，card(B)，card(C) ,card(A∩B) ,
card(B∩C) ,card(A∩C) ,card(A∩B∩C) 之间的关系吗? 通过一个具体的例子, 算一算.
2
探究3 (人教A 版必修第一册P18)例1 中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条
件，即“四边形的两组对角分别相等”.这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给
出几个不同的充分条件吗？
探究4 (人教A 版必修第一册P39)如图是在北京召开的第24 届国际数学家大
会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它
看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等
关系和不等关系吗？
(2021·浙江卷)我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证
明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正
方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积
为S1，小正方形的面积为S2，则S1
S2
＝________.
探究5(人教A 版必修第一册P45)如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，
AC＝a，BC＝b.过点C 作垂直于AB 的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个
图形，得出基本不等式的几何解释吗？
3
(多选)(2022·苏州模考)《几何原本》中的几何代数法是以几何
方法研究代数问题，这种方法是西方数学家处理问题的重要依据，通过这
一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，称之为无字证
明.现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC＝a，BC＝b，O 为AB 的中点，以AB 为
直径作半圆.过点C 作AB 的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C 作OD 的垂线，垂
足为E.则利用该图形可以完成的证明为(
)
A.a＋b
2 ≥ab
B.a2＋b2≥2ab
C. ab≥
2
1
a＋1
b
D.a2＋b2
2
≥a＋b
2
教材典题重温
重温典题、追本溯源
典题1 (人教A 版必修第一册P9 习题1.2T4)在平面直角坐标系中，集合C＝{(x，y)|y＝x}表示
直线y＝x，从这个角度看，集合D＝
（x，y）|
2x－y＝1
x＋4y＝5 表示什么？集合C，D 之间有什么
关系？
典题2 (人教A 版必修第一册P9 习题1.2T5)
(1)设a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{－1，－b}，若P＝Q，求a－b 的值；
(2)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若B⊆A，求实数a 的取值范围.
典题3 (人教A 版必修第一册P13 例6)设全集U＝{x|x 是三角形}，A＝{x|x 是锐角三角形}，B
＝{x|x 是钝角三角形}，求A∩B，∁U(A∪B).
4
(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，
则∁U(M∪N)＝(
)
A.{5}
B.{1，2}
C.{3，4}
D.{1，2，3，4}
点评
本题主要考查集合的并集与补集运算，与教材例题角度相同，只不过换了更容易理解
的集合.
典题4 (人教A 版必修第一册P14 习题1.3T1)集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，求
A∪B，A∩B.
(2021·全国甲卷)设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝x|
1
3≤x≤5 ，则M∩N＝(
)
A. x|0＜x≤1
3
B. x|
1
3≤x＜4
C.{x|4≤x＜5}
D.{x|0＜x≤5}
点评
本题主要考查集合的交集运算，与教材习题的考查角度完全相同，对于此类问题一定
要注意不等式中端点的取舍.
典题5 (人教A 版必修第一册P14 习题1.3T5)设集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x
－4)(x－1)＝0}，求A∪B，A∩B.
5
典题6 (人教A 版必修第一册P14 习题1.3T6)已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤10}，A∩(∁UB)
＝{1，3，5，7}，试求集合B.
典题7 (人教A 版必修第一册P22 习题1.4T2)在下列各题中，判断p 是q 的什么条件(请用“充
分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)：
(1)p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形；
(2)p：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 有实数根，q：b2－4ac≥0；
(3)p：a∈P∩Q，q：a∈P；
(4)p：a∈P∪Q，q：a∈P；
(5)p：x＞y，q：x2＞y2.
(2020·天津卷)设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
点评
本题主要考查利用充分、必要条件的意义判断命题间的充分、必要性，与教材习题角
度完全一致，且难度小于教材习题.
6
典题8 (人教A 版必修第一册P23 习题1.4T6)设a，b，c 分别是△ABC 的三条边，且a≤b≤c.
我们知道，如果△ABC 为直角三角形，那么有a2＋b2＝c2(勾股定理).反过来，如果a2＋b2＝
c2，那么△ABC 为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知，△ABC 为直角三角形的充要条
件是a2＋b2＝c2.
请利用边长a，b，c 分别给出△ABC 为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明.
典题9 (人教A 版必修第一册P31 例5)写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)任意两个等边三角形都相似；
(2)∃x∈R，x2－x＋1＝0.
典题10 (人教A 版必修第一册P35 复习参考题1T8)已知集合A＝{(x，y)|2x－y＝0}，B＝{(x，
y)|3x＋y＝0}，C＝{(x，y)|2x－y＝3}，求A∩B，A∩C，并解释它们的几何意义.
7
典题11 (人教A 版必修第一册P46 例3)
(1)用篱笆围一个面积为100 m2 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最
短篱笆的长度是多少？
(2)用一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最
大？最大面积是多少？
典题12 (人教A 版必修第一册P46 练习T2)已知x，y 都是正数，且x≠y，求证：
(1)x
y＋y
x＞2；(2) 2xy
x＋y＜xy.
(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4 的是(
)
A.y＝x2＋2x＋4
B.y＝|sin x|＋
4
|sin x|
C.y＝2x＋22－x
D.y＝ln x＋4
ln x
点评
本题考查利用基本不等式求最值以及等号成立的条件，与教材习题非常类似.
8
典题13 (人教A 版必修第一册P58 复习参考题2T5)若a，b＞0，且ab＝a＋b＋3，求ab 的取
值范围.
(多选)(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则(
)
A.a2＋b2≥1
2
B.2a－b＞1
2
C.log2a＋log2b≥－2
D. a＋b≤2
点评
本题与教材习题都是条件求最值问题，都涉及到a＋b 与ab 的转化及不等关系，掌握
基本不等式的应用是解题的关键.
典题14 (人教A 版必修第一册P58 复习参考题2T10)两次购买同一种物品，可以用两种不同的
策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物
品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.哪种购物方式比较经济？你能把所得结论
作一些推广吗？
9
教材宏观把控
系统知识、明确方向
(1)函数是高中数学的主干内容，高考对本章考查的内容主要有：①结合函数的定义综合考查
函数的基本性质；②结合一元一次不等式、一元二次不等式、指数与对数不等式考查函数的
定义域；③考查用待定系数法、换元法等求解函数的解析式；④考查指数函数、对数函数、
二次函数、幂函数的图象和性质；⑤结合函数的图象考查函数的性质、函数的零点与方程的
根；⑥结合实际问题考查函数的应用.
(2)函数的基本性质与应用是高考的高频考点，以选择题或填空题为主，分值大约10 分.
(3)本章内容一般不会出现单一知识点的考题，常结合函数的单调性、奇偶性、周期性命题，
10
或将函数的性质融入函数的图象进行考查，本章内容也可能与导数、不等式等结合命题.
教材探究思考
挖掘内涵、探究本质
探究1 (人教A 版必修第一册P77)(1)设A 是区间D 上某些自变量的值组成的集合，而且∀x1，
x2∈A，当x1＜x2 时，都有f(x1)＜f(x2)，我们能说函数f(x)在区间D 上单调递增吗？你能举例
说明吗？
(2)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数
例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子
吗？
探究2 (人教A 版必修第一册P92)探究函数y＝x＋1
x的图象与性质.
在初中，我们知道y＝x 是正比例函数，y＝1
x是反比例函数.学习了幂函数以后，我们知道它们
都是幂函数.不同的函数通过加、减、乘、除等运算可以构成新的函数.那么，将这两个函数相
加构成的函数有哪些性质？这些性质与这两个函数的性质有联系吗？
下面请同学们带着问题探究一下函数y＝x＋1
x.
1.你认为可以从哪些方面研究这个函数？
2.你认为可以按照怎样的路径研究这个函数？
11
探究3 (人教A 版必修第一册P135)互为反函数的两个函数图象间的关系.
我们知道，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且
a≠1)互为反函数.它们的图象是否有关系？有什么关系呢？下面，请你运
用所学的数学知识和计算工具，探索几个问题，亲自发现其中的奥秘吧！
1.在同一直角坐标系中，画出指数函数y＝2x 及其反函数y＝log2x 的图象.
你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗？
2.取y＝2x 图象上的几个点，如P1 －1，1
2 ，P2(0，1)，P3(1，2)，P1，P2，P3 关于直线y＝x
的对称点的坐标是什么？它们在y＝log2x 的图象上吗？为什么？
3.如果点P0(x0，y0)在函数y＝2x 的图象上，那么P0 关于直线y＝x 的对称点在函数y＝log2x 的
图象上吗？为什么？
4.根据上述探究过程，你可以得到什么结论？
12
5.上述结论对于指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)及其反函数y＝logax(a＞0，且a≠1)也成立吗？
为什么？
教材典题重温
重温典题、追本溯源
典题1 (人教A 版必修第一册P66 例3)下列函数中哪个与函数y＝x 是同一个函数？
(1)y＝( x)2；(2)u＝
3
v3；(3)y＝x2；(4)m＝n2
n .
典题2 (人教A 版必修第一册P73习题1.3T13)函数f(x)＝[x]的函数值表示不超过x 的最大整数，
例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.当x∈(－2.5，3]时，写出函数f(x)的解析式，并画出函数的图
象.
13
典题3 (人教A 版必修第一册P81 例5)已知函数f(x)＝2
x－1(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小
值.
典题4 (人教A 版必修第一册P87 习题3.2T12)已知函数f(x)是偶函数，而且在(0，＋∞)上单调
递减，判断f(x)在(－∞，0)上单调递增还是单调递减，并证明你的判断.
14
典题5 (人教A 版必修第一册P87 习题3.2T13)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中
心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的
图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b 为奇函数.
(1)求函数f(x)＝x3－3x2 图象的对称中心；
(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y 轴成轴对称图形的充要条件是函数y
＝f(x)为偶函数”的一个推广结论.
(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝1－x
1＋x
，则下列函数中为奇函数的是(
)
A.f(x－1)－1
B.f(x－1)＋1
C.f(x＋1)－1
D.f(x＋1)＋1
点评
本题是教材习题结论的直接应用，如果利用结论解答该题更简单，解法如下：f(x)＝1－x
1＋x
＝－1＋2
1＋x，则f(x)的图象关于点P(－1，－1)对称，故函数y＝f(x－1)＋1 为奇函数.
典题6 (人教A 版必修第一册P96 习题3.4T4)图(1)是某条公共汽车线路收支差额y 关于乘客量
x 的图象.
(1)试说明图(1)上点A，点B 以及射线AB 上的点的实际意义；
(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图(2)(3)所示.你能
根据图象，说明这两种建议是什么吗？
15
典题7 (人教A 版必修第一册P101 复习参考题3T8)证明：
(1)若f(x)＝ax＋b，则f
x1＋x2
2
＝f（x1）＋f（x2）
2
；
(2)若g(x)＝x2＋ax＋b，则g
x1＋x2
2
≤g（x1）＋g（x2）
2
.
典题8 (人教A 版必修第一册P101 复习参考题3T9)(1)已知奇函数f(x)在[a，b]上单调递减，那
么它在[－b，－a]上单调递增还是单调递减？
(2)已知偶函数g(x)在[a，b]上单调递减，那么它在[－b，－a]上单调递增还是单调递减？
典题9 (人教A 版必修第一册P101 复习参考题3T12)试讨论函数y＝x－1
x的定义域、值域、单调
性、奇偶性，并画出函数图象.
16
典题10 (人教A 版必修第一册P117 例3)比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.72.5，1.73；
(2)0.8
－
2，0.8
－
3；
(3)1.70.3，0.93.1.
(2020·天津卷)设a＝30.7，b＝
1
3
－0.8
，c＝log0.70.8，则a，b，c 的大小关系为(
)
A.a＜b＜c
B.b＜a＜c
C.b＜c＜a
D.c＜a＜b
点评
教材例题体现了比较大小的两种常用方法：(1)利用函数的单调性；(2)借助于0 或1 作
为中间数，而高考试题考查的也正是这两种方法.
典题11 (人教A 版必修第一册P120 习题4.2T9)已知函数y＝a
1
2
|x|
＋b 的图象过原点，且无限接
近直线y＝2 但又不与该直线相交.
(1)求该函数的解析式，并画出图象；(2)判断该函数的奇偶性和单调性.
17
典题12 (人教A 版必修第一册P125 例5)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研
究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M 之
间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.2011 年3 月11 日，日本东北部海域发生里氏9.0 级地震，它所
释放出来的能量是2008 年5 月12 日我国汶川发生里氏8.0 级地震的多少倍(精确到1)?
(1)(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测
量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数
据V 满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的
数据约为(
10
10≈1.259)(
)
A.1.5
B.1.2
C.0.8
D.0.6
(2)(2020·全国Ⅲ卷)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公
布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)＝
K
1＋e
－0.23（t－53），其中K 为最大确诊病例数.当I(t*)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t*
约为(ln 19≈3)(
)
A.60
B.63
C.66
D.69
点评
本题与教材例题类似，主要考查两个方面知识：一是指数、对数的互化与运算；二是
利用数学知识解决实际问题.
典题13 (人教A 版必修第一册P133 例3)比较下列各题中两个值的大小：
(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1).
18
(2020·全国Ⅲ卷)设a＝log32，b＝log53，c＝2
3，则(
)
A.a<c<b
B.a<b<c
C.b<c<a
D.c<a<b
点评
本题是教材习题的拓展，由于a 和b 的底数不同，故不能直接利用单调性比较大小，
需变形后比较大小，而变形的过程中应用了函数的单调性.
典题14 (人教A 版必修第一册P140 习题4.4T4)函数y＝log2x，y＝log5x，y
＝lg x 的图象如图所示.
(1)试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么；
(2)以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出y＝log1
2
x，y＝log1
5
x，y＝log 1
10
x 的图象；
(3)从(2)的图中你发现了什么？
典题15 (人教A版必修第一册P156习题4.5T13)有一道题“若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－
1，1)内恰有一个零点，求实数a 的取值范围”，某同学给出了如下解答：
由f(－1)f(1)＝(24a－5)(24a＋3)＜0，
解得－1
8＜a＜5
24.
所以，实数a 的取值范围是－1
8，5
24 .
上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答.
19
典题16 (人教A 版必修第一册P161 复习参考题4T11)已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－
x)(a＞0，且a≠1).
(1)求函数f(x)＋g(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)＋g(x)的奇偶性，并说明理由.
典题17 (人教A 版必修第一册P161 复习参考题4T12)对于函数f(x)＝a－
2
2x＋1(a∈R).
(1)探索函数f(x)的单调性；
(2)是否存在实数a 使函数f(x)为奇函数？
(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2
－x)是偶函数，则a＝________.
点评
本题与教材习题考查角度完全相同，都是已知函数的奇偶性求参数值，此类问题的解
法一般有两个：一是定义法，二是特殊值法.
20
典题18 (人教A 版必修1P161 复习参考题4T13)如图，函数y＝f(x)的图象由
曲线段OA 和直线段AB 构成.
(1)写出函数y＝f(x)的一个解析式；
(2)提出一个能满足函数y＝f(x)图象变化规律的实际问题.
21
教材宏观把控
系统知识、明确方向
(1)本章内容是高考的热点，一般考查“两小一大”或“一小一大”，分值一般为20 分，解
答题一般作为压轴题出现，选择、填空题也有可能作为压轴小题出现，难度较大.
(2)高考重点考查利用导数判断函数的图象、导数的几何意义、求曲线的切线方程、利用导数
判断或证明函数的单调性、函数的极值和最值问题，或由以上考查内容为基础，考查利用导
数证明不等式、解决恒成立问题及有解问题、函数的零点问题.
教材探究思考
挖掘内涵、探究本质
探究1 (人教A 版选择性必修第二册P74)画出函数y＝1
x的图象，根据图象，描述它的变化情况，
并求出曲线在点(1，1)处的切线方程.
探究2 (人教A 版选择性必修第二册P85)对于高台跳水问题，函数h(t)的单调性与h′(t)的正负
有内在联系，那么，我们能否由h′(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢？
22
探究3 (人教A 版选择性必修第二册P87)请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考在某个
区间上单调的函数y＝f(x)的平均变化率的几何意义与f′(x)的正负关系.
探究4 (人教A 版选择性必修第二册P88)研究对数函数y＝ln x 与幂函数y＝x3 在区间(0，＋∞)
上增长快慢的情况.
探究5 (人教A 版选择性必修第二册P91)导数值为0 的点一定是函数的极值点吗？
教材典题重温
重温典题、追本溯源
典题1 (人教A 版选择性必修第二册P81 习题5.2T5)求曲线y＝sin x
x 在点M(π，0)处的切线方程.
(2021·全国甲卷)曲线y＝2x－1
x＋2
在点(－1，－3)处的切线方程为________.
点评
本题和教材习题非常类似，给出的函数都是分式函数，都属于简单的求切线方程问题.
典题2 (人教A 版选择性必修第二册P89 例4)设x＞0，f(x)＝ln x，g(x)＝1
－1
x，两个函数的图象如图所示.判断f(x)，g(x)的图象与C1，C2 之间的对
应关系.
23
典题3 (人教A 版选择性必修第二册P95 例7)给定函数f(x)＝(x＋1)ex.
(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；
(2)画出函数f(x)的大致图象；
(3)求出方程f(x)＝a(a∈R)的解的个数.
典题4 (人教A 版选择性必修第二册P96 例8)某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子
的制造成本是0.8πr2 分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径.已知每出售1 mL 的饮料，制造商可
获利0.2 分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.
(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
典题5 (人教A 版选择性必修第二册P94 练习T2)证明不等式：x－1≥ln x，x∈(0，＋∞).
24
典题6 (人教A 版选择性必修第二册P97 习题5.3T12)利用函数的单调性，证明下列不等式，并
通过函数图象直观验证.
(1)ex＞1＋x，x≠0；(2)ln x＜x＜ex，x＞0.
点评
1.问题源于求曲线y＝ex 在(0，1)处的切线及曲线y＝ln x 在(1，0)处的切线，通过观察
函数图象间的位置关系可得到以上结论，可构造函数f(x)＝ex－x－1 与g(x)＝x－ln x－1 对以
上结论进行证明.
2.两题从本质上看是一致的，第(2)题可以看作第(1)题的推论，在第(1)题中，用“ln x”替换“x”，
立刻得到x＞1＋ln x(x＞0 且x≠1)，进而得到一组重要的不等式链：ex＞x＋1＞x－1＞ln x(x
＞0 且x≠1).
3.利用函数的图象，不难验证上述不等式链成立.
(1)(2021·全国乙卷)设a＝2ln 1.01，b＝ln 1.02，c＝1.04－1，则(
)
A.a<b<c
B.b<c<a
C.b<a<c
D.c<a<b
(2)(2021·全国甲卷T21 节选)已知a＞0，且a≠1，函数f(x)＝xa
ax(x＞0).若曲线y＝f(x)与直线y
＝1 有且仅有两个交点，求a 的取值范围.
点评
以上两个高考题的基本解法都利用构造函数解不等式，和教材习题的解法同出一脉，
其中教材习题的两个不等式用处广泛，在甲卷21 题的解答过程中已应用.另外，这些不等式
变式众多，这就需要我们独具一双慧眼，仔细观察，以发现它为我所用.
25
下面是几个关于ln x 的重要不等式：
(1)1－1
x≤ln x≤x－1(x＞0).
(2)ln x≥1
2
x－1
x ，0＜x≤1；ln x≤1
2
x－1
x ，x≥1.
(3)ln x≥2（x－1）
x＋1
，x≥1；ln x≤2（x－1）
x＋1
，0＜x≤1.
(4)ln(x＋1)≥x－x2
2，x≥0.
(5)ln x≤x－1，x≥1.
(6) x1x2＜
x1－x2
ln x1－ln x2
＜x1＋x2
2
(x1≠x2，x1＞0，x2＞0).
典题7 (人教A 版选择性必修第二册P87 练习T2)利用导数讨论二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c 的单
调区间.
(2021·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1.讨论f(x)的单调性.
点评
本题是教材习题的深化的改编，第(1)问的难度比教材习题的难度要大，都是研究分类
讨论求函数的单调性，解答时首先要求得导函数，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函
数的单调性.
典题8 (人教A 版选择性必修第二册P104 复习参考题5T9)已知函数f(x)＝x(x－c)2 在x＝2 处有
极大值，求c 的值.
26
(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a 为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(
)
A.a＜b
B.a＞b
C.ab＜a2
D.ab＞a2
点评
本题和教材习题考查的都是三次函数，考查角度相同，不同之处是高考试题在教材习
题的基础上添加了一个参数，解答本题要先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值
是否变号，结合极大值点的性质，对a 进行分类讨论，画出f(x)图象，即可得到a，b 所满足
的关系，由此确定正确选项.
典题9 (人教A 版选择性必修第二册P104复习参考题5T11)如图，直线l 和圆Γ，
当l 从l0 开始在平面上按逆时针方向绕点O 匀速转动(转动角度不超过90°)
时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数.这个函数的图象大致是
(
)
典题10 (人教A 版选择性必修第二册P104 复习参考题5T13)已知曲线y＝x＋ln x 在点(1，1)处
的切线与曲线y＝ax2＋(2a＋3)x＋1 只有一个公共点，求a 的值.
27
(2020·全国Ⅲ卷)若直线l 与曲线y＝x和圆x2＋y2＝1
5都相切，则l 的方程为(
)
A.y＝2x＋1
B.y＝2x＋1
2
C.y＝1
2x＋1
D.y＝1
2x＋1
2
典题11 (人教A 版选择性必修第二册P104复习参考题5T15)用半径为R 的圆形铁皮剪出一个圆
心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器.扇形的圆心角α为多大时，容器的容积最大？
典题12 (人教A 版选择性必修第二册P104 复习参考题5T16)已知A，B 两地的距离是130 km.
根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在50～100 km/h.假设油价是7 元/L，以x km/h 的
速度行驶时，汽车的耗油率为3＋x2
360 L/h，司机每小时的工资是35 元.那么最经济的车速是
多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？
典题13 (人教A 版选择性必修第二册P104复习参考题5T17)作函数y＝ex（2x－1）
x－1
的大致图象.
28
典题14 (人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T18)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m).当m≤2
时，求证f(x)＞0.
典题15 (人教A 版选择性必修第二册P104 复习参考题5T19)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a 的取值范围.
29
教材宏观把控
系统知识、明确方向
(1)从题型和题量上看，一般是两小(选择题或填空题)一大(解答题)，总的分值是20 分左右，
也有可能和其它内容综合命题；①高考试题中主要考查三角函数的图象及其变换、性质及其
应用，以及正弦、余弦定理在解三角形中的应用，有时也以化简求值为背景考查三角恒等变
换等问题；②在处理三角函数与解三角形有关问题时，熟记公式是解决此类问题的前提，同
30
时注意换元法在解决与三角函数性质有关问题中的应用.
(2)本章考查的主要内容有：①三角函数的定义、图象和性质；②利用三角函数公式进行三角
恒等变换及化简、求值等；③函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换、求解析式与性质应用；④以
解三角形为载体考查正弦、余弦定理以及三角形面积公式的应用(如2021 年新高考Ⅰ卷第19
题，是一种全新的题型，考查了学生探究问题的能力)；⑤以函数、不等式、向量为载体与三
角函数有关的综合性问题仍要关注.同时需要注意数形结合思想和函数方程思想在解题中的
应用.
教材探究思考
挖掘内涵、探究本质
探究1 (人教A 版必修第一册P172)如图，在射线OA 上任取一点Q(不同于
点O)，OQ＝r1.在旋转过程中，点Q 所形成的圆弧QQ1
︵的长为l1，l1 与r1
的比值是多少？你能得出什么结论？
探究2 (人教A 版必修第一册P203)函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R 及函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R(其
中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期仅与自变量的系数有关，那么，如何用自变量的
系数表示上述函数的周期呢？
事实上，令z＝ωx＋φ，那么由x∈R 得z∈R，且函数y＝Asin z，z∈R 及函数y＝Acos z，z∈R
的周期都是2π.
因为z＋2π＝(ωx＋φ)＋2π＝ω x＋2π
ω ＋φ，
所以自变量x 增加2π
ω，函数值就重复出现；并且增加量小于2π
ω时，函数值不会重复出现，即
T＝2π
ω是使等式Asin[ω(x＋T)＋φ]＝Asin(ωx＋φ)，Acos[ω(x＋T)＋φ]＝Acos(ωx＋φ)成立的最小
正数.从而，函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R 及函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R 的周期T＝2π
ω.
根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期.
想一想：上述求函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R 及函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R 周期的方法是否
能推广到求一般周期函数的周期？即命题“如果函数y＝f(x)的周期是T，那么函数y＝f(ωx)(ω
＞0)的周期是T
ω是否成立？
31
探究3 (人教A 版必修第一册P207)你能求出函数y＝sin －1
2x＋π
3 ，x∈[－2π，2π]的单调递增
区间吗？
探究4 (人教A 版必修第一册P219)sin
π
4－α ＝cos
π
4＋α .那么对于任意角α，此等式成立吗？若
成立，你会用几种方法予以证明？
探究5 (人教A 版必修第一册P236)你能总结一下从正弦函数图象出发，通过图象变换得到y＝
Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的过程与方法吗？
教材典题重温
重温典题、追本溯源
典题1 (人教A 版必修第一册P176 习题5.1T12)已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48 齿，小轮
有20 齿.
(1)当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；
(2)如果大轮的转速为180 r/min(转/分)，小轮的半径为10.5 cm，那么小轮周上一点每1 s 转过
的弧长是多少？
32
典题2 (人教A 版必修第一册P179 例2)如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与
原点O 重合)的坐标为(x，y)，点P 与原点的距离为r.求证：sin α＝y
r，cos α＝x
r，tan α＝y
x.
典题3 (人教A 版必修第一册P183 例7)求证cos x
1－sin x＝1＋sin x
cos x .
典题4 (人教A 版必修第一册P186 习题5.2T16)化简
1＋sin α
1－sin α
－
1－sin α
1＋sin α
，其中α为第二象
限角.
33
典题5 (人教A 版必修第一册P186 习题5.2T17)从本节的例7 可以看出，cos x
1－sin x＝1＋sin x
cos x 就是
sin2x＋cos2x＝1 的一个变形.你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？
典题6 (人教A 版必修第一册P186 习题5.2T18)(1)分别计算sin4π
3－cos4 π
3和sin2π
3－cos2 π
3的值，
你有什么发现？
(2)任取一个α的值，分别计算sin4α－cos4α，sin2α－cos2α，你又有什么发现？
(3)证明：∀x∈R，sin2x－cos2x＝sin4x－cos4x.
典题7 (人教A 版必修第一册P193例4)化简
sin（2π－α）cos（π＋α）cos
π
2＋α cos
11π
2 －α
cos（π－α）sin（3π－α）sin（－π－α）sin
9π
2 ＋α .
34
典题8 (人教A 版必修第一册P193 例5)已知sin(53°－α)＝1
5，且－270°＜α＜－90°，求sin(37°
＋α)的值.
典题9 (人教A 版必修第一册P195 习题5.3T9)化简下列各式，其中n∈Z：
(1)sin
nπ
2 ＋α ；(2)cos
nπ
2 －α .
典题10 (人教A 版必修第一册P206 例4)不通过求值，比较下列各组数的大小：
(1)sin －π
18 与sin －π
10 ；(2)cos －23π
5
与cos －17π
4
.
35
典题11 (人教A 版必修第一册P206 例5)求函数y＝sin
1
2x＋π
3 ，x∈[－2π，2π]的单调递增区间.
典题12 (人教A 版必修第一册P207 练习T5)求函数y＝3sin 2x＋π
4 ，x∈[0，π]的单调递减区间.
(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin x－π
6 单调递增的区间是(
)
A. 0，π
2
B.
π
2，π
C. π，3π
2
D.
3π
2 ，2π
点评
本题和教材习题都是求三角函数的单调区间，解决此类问题，首先化简成y＝Asin(ωx
＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x 的相应
单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
典题13 (人教A 版必修第一册P212 例6)求函数y＝tan
π
2x＋π
3 的定义域、周期及单调区间.
36
典题14 (人教A 版必修第一册P214 习题5.4T11)根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列
不等式成立的x 的取值集合：
(1)sin x≥3
2 (x∈R)；(2) 2＋2cos x≥0(x∈R).
典题15 (人教A 版必修第一册P214 习题5.4T16)已知函数f(x)＝1
2sin 2x－π
3 ，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π
4，π
4 上的最大值和最小值.
典题16 (人教A 版必修第一册P214 习题5.4T19)容易知道，正弦函数y＝sin x 是奇函数，正弦
曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心.除原点外，正弦曲线还有其他对称中心
吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，那么
对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切
函数，讨论上述同样的问题.
37
典题17 (人教A 版必修第一册P222 例6)在△ABC 中，cos A＝4
5，tan B＝2，求tan(2A＋2B)的
值.
典题18 (人教A 版必修第一册P225 例8)求证：(1)sin αcos β＝1
2[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
(2)sin θ＋sin φ＝2sin θ＋φ
2 cos θ－φ
2 .
典题19 (人教A 必修第一册P227 例9)求下列函数的周期，最大值和最小值：
(1)y＝sin x＋3cos x；(2)y＝3sin x＋4cos x.
38
典题20 (人教A 版必修第一册P227 例10)如图，在扇形OPQ 中，半径OP
＝1，圆心角∠POQ＝π
3，C 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形，
记∠POC＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个
最大面积.
典题21 (人教A 版必修第一册P230 习题5.5T16)是否存在锐角α，β，使α＋2β＝2π
3 ，tan α
2tan
β＝2－3同时成立？若存在，求出α，β的度数；若不存在，请说明理由.
典题22 (人教A 版必修第一册P230 习题5.5T17)(1)求函数f(x)＝sin
π
3＋4x ＋sin 4x－π
6 的周期
和单调递增区间；
(2)求函数f(x)＝asin x＋bcos x(a2＋b2≠0)的最大值和最小值.
39
典题23 (人教A 版必修第一册P230 习题5.5T18)观察以下各等式：
sin230°＋cos260°＋sin 30°cos 60°＝3
4，
sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝3
4，
sin215°＋cos245°＋sin 15°cos 45°＝3
4.
分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.
猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝3
4.
典题24 (人教A 版必修第一册P238例2)摩天轮是一种大型转轮状的机械建
筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景
色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120 m，转盘直径为110 m，设
置有48 个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，
转一周大约需要30 min.
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min 后距离地面的高度为H m，求在转动一周的过
程中，H 关于t 的函数解析式；
(2)求游客甲在开始转动5 min 后距离地面的高度；
(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度
差h(单位：m)关于t 的函数解析式，并求高度差的最大值(精确到0.1).
40
典题25 (人教A 版必修第一册P239 练习T3)函数y＝2
3sin
1
2x－π
4 的图象与正弦曲线有什么关
系？
(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不
变，再把所得曲线向右平移π
3个单位长度，得到函数y＝sin x－π
4 的图象，则f(x)＝(
)
A.sin
x
2－7π
12
B.sin
x
2＋π
12
C.sin 2x－7π
12
D.sin 2x＋π
12
点评
本题和教材习题考查角度相同，都属于三角函数图象的变换，解决此类问题的关键是
熟练掌握其变换规则.
典题26 (人教A 版必修第一册P241习题5.6T4)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，
0＜φ＜π)在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为________.
(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ) ω＞0，|φ|＜π
2 的部分图象如图所示，
则f
π
2 ＝________.
点评
本题和教材习题高度相似，已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析
式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
41
(1)由ω＝2π
T 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”
横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图
形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
典题27 (人教A 版必修第一册P245 例1)如图，某地一天从6～14 时的温度
变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)求这一天6～14 时的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式.
典题28 (人教A 版必修第二册P47 例8)在△ABC 中，已知B＝30°，b＝2，c＝2，解这个三
角形.
典题29 (人教A 版必修第二册P50 例10)如图，AB 是底部B 不可到
达的一座建筑物，A 为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度
AB 的方法，并求出建筑物的高度.
42
(2021·全国乙卷)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》
是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，
点E，H，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面
且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，
GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝(
)
A.表高×表距
表目距的差
＋表高
B.表高×表距
表目距的差
－表高
C.表高×表距
表目距的差
＋表距
D.表高×表距
表目距的差
－表距
点评
本题和教材的例题考查的角度都是求物体的高度，应用的是简单的三角函数的知识，
而没有用到正弦定理和余弦定理，都侧重于考查数学知识在实际问题中的应用.
典题30 (人教A 版必修第二册P54 习题6.4T22)已知a，b，c 分别为△ABC 三个内角A，B，C
的对边，且acos C＋3asin C－b－c＝0.
(1)求A；(2)若a＝2，则△ABC 的面积为3，求b，c.
(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC 中，角A，B，C 所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，
c＝a＋2.
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC 的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理
由.
点评
本题和教材习题的考查角度、考查方式一样，都是给出含有三角形的边、角关系的三
角函数式，结合三角恒等变换求解，事实上这类问题是高考试题中解三角形问题的典型的题
型.
43
教材宏观把控
系统知识、明确方向
(1)高考对平面向量与复数的考查较为稳定，都是一个选择或填空题，复数试题为容易题，向
量的难度为中档或偏下.①在高考试题中以平面向量的线性运算、平面向量的数量积为主要考
查点，考查学生对平面向量的基本知识和基本解题方法的掌握情况.②在处理与平面向量有关
的问题时，注意坐标法和基底法在解题中的应用.重点考查的学科核心素养为数学运算和逻辑
推理.
(2)向量的考查内容为：①向量的概念与线性运算，②以平面向量基本定理为核心的向量的坐
标表示、向量的坐标运算，③以平面向量的数量积运算为载体，考查向量的夹角、模以及垂
直的充要条件的应用.
(3)复数考查的内容主要集中在：①复数的相关概念、几何意义，②复数的四则运算，一般为
除法运算.
教材探究思考
挖掘内涵、探究本质
探究1 (人教A 版必修第二册P8)向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？
44
探究2 (人教A 版必修第二册P9)(1)如果向量a，b 共线，它们的加法与数的加法有什么关系？
你能作出向量a＋b 吗？
(2)结合例1，探索|a＋b|，|a|，|b|之间的关系.
探究3 (人教A 版必修第二册P33)如图，线段P1P2 的端点P1，P2 的坐标分
别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P 是直线P1P2 上的一点.当P1P
→＝λPP2
→时，点P
的坐标是什么？
探究4 (人教A 版必修第二册P69)复数集C 与实数集R 之间有什么关系？
探究5 (人教A 版必修第二册P72)若z1，z2 是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎
样的关系？
教材典题重温
重温典题、追本溯源
典题1 (人教A 版必修第二册P14 例6)如图，▱ABCD 的两条对角线相交于
点M，且AB
→＝a，AD
→＝b，用a，b 表示MA
→，MB
→，MC
→和MD
→.
45
典题2 (人教A 版必修第二册P16 例8)已知a，b 是两个不共线的向量，向量b－ta，1
2a－3
2b 共
线，求实数t 的值.
典题3 (人教A 版必修第二册P21 例12)已知|a|＝6，|b|＝4，a 与b 的夹角为60°，求(a＋2b)·(a
－3b).
典题4 (人教A 版必修第二册P21 例13)已知|a|＝3，|b|＝4，且a 与b 不共线.当k 为何值时，
向量a＋kb 与a－kb 互相垂直？
典题5 (人教A 版必修第二册P22 练习T3)求证：(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b.
46
典题6 (人教A 版必修第二册P24 习题6.2T18)已知|a|＝4，|b|＝3，且(2a－3b)·(2a＋b)＝61，求
a 与b 的夹角θ.
典题7 (人教A 版必修第二册P24习题6.2T21)已知△ABC 的外接圆圆心为O，且2AO
→＝AB
→＋AC
→，
|OA
→|＝|AB
→|，则向量BA
→在向量BC
→上的投影向量为(
)
A.1
4BC
→
B. 3
4 BC
→
C.－1
4BC
→
D.－3
4 BC
→
典题8 (人教A 版必修第二册P24 习题6.2T22)如图，O 是平行四边形ABCD
外一点，用OA
→，OB
→，OC
→表示OD
→.
47
典题9 (人教A 版必修第二册P24 习题6.2T23)已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量
OA
→，OB
→，OC
→，OD
→满足等式OA
→＋OC
→＝OB
→＋OD
→.
(1)作出满足条件的四边形ABCD.
(2)四边形ABCD 有什么特点？请证明你的猜想.
典题10 (人教A 版必修第二册P24 习题6.2T24)如图，在⊙C 中，是不是只需
知道⊙C 的半径或弦AB 的长度，就可以求出AB
→·AC
→的值？
典题11 (人教A 版必修第二册P26 例1)如图，OA
→，OB
→不共线，且AP
→＝
tAB
→(t∈R)，用OA
→，OB
→表示OP
→.观察OP
→＝(1－t)OA
→＋tOB
→，你有什么发现？
48
典题12 (人教A 版必修第二册P30 例5)如图，已知▱ABCD 的三个顶点A，
B，C 的坐标分别是(－2，1)，(－1，3)，(3，4)，求顶点D 的坐标.
典题13 (人教A 版必修第二册P31 例7)已知a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a∥b，求y.
(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________.
典题14 (人教A 版必修第二册P37 习题6.3T15)如图，设Ox，Oy 是平面内相交成60°角的两条
数轴，e1，e2 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量.若向量OP
→＝xe1＋ye2，则把有序数对
(x，y)叫做向量OP
→在坐标系xOy 中的坐标.设OP
→＝3e1＋2e2.
(1)计算|OP
→|的大小；
(2)根据平面向量基本定理判断，本题中对向量坐标的规定是否合理.
49
典题15 (人教A 版必修第二册P37 习题6.3T16)用向量方法证明：对于任意的a，b，c，d∈R，
恒有不等式(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2).
典题16 (人教A 版必修第二册P40 例3)在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个
旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你
能从数学的角度解释这种现象吗？
典题17 (人教A 版必修第二册P52 习题6.4T1)若非零向量AB
→与AC
→满足
AB
→
|AB
→|
＋
AC
→
|AC
→| ·BC
→＝0，且
AB
→
|AB
→|
·
AC
→
|AC
→|
＝1
2，则△ABC 为(
)
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.底边和腰不相等的等腰三角形
D.等边三角形
50
典题18 (人教A 版必修第二册P52 习题6.4T2)已知O，N，P 在△ABC 所在平面内，满足|OA
→|
＝|OB
→|＝|OC
→|，NA
→＋NB
→＋NC
→＝0，且PA
→·PB
→＝PB
→·PC
→＝PC
→·PA
→，则点O，N，P 依次是△ABC
的(
)
A.重心，外心，垂心
B.重心，外心，内心
C.外心，重心，垂心
D.外心，重心，内心
典题19 (人教A 版必修第二册P60 复习参考题6T8)已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1).当λ为何值
时，a＋λb 与a 垂直？
(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.
点评
教材习题和高考题高度类似，都是根据向量垂直的充要条件求参数，其一般方法为根
据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出.
典题20 (人教A 版必修第二册P61 复习参考题6T13(5))已知等边三角形ABC 的边长为1，BC
→＝
a，CA
→＝b，AB
→＝c，那么a·b＋b·c＋c·a＝(
)
A.3
B.－3
C.3
2
D.－3
2
51
(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝
________.
点评
本题和教材习题考查的都是数量积的基本运算，并且在形式上完全相同，不同之处是
高考试题没有给出各向量的夹角，需要通过平方进行转化.而事实上，教材习题中的条件也是
满足a＋b＋c＝0，也就是说教材习题的解法可以按照高考题的解法进行，看起来，在学习教
材时，对习题进行深刻的挖掘还是很有必要的.
典题21 (人教A 版必修第二册P61 复习参考题6T13(6))若平面向量a，b，c 两两的夹角相等，
且|a|＝1，|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝(
)
A.2
B.5
C.2 或5
D. 2或5
(2021·全国甲卷)若向量a，b 满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________.
点评
高考题和教材习题考查的都是求向量的模，一般方法就是根据题目条件，利用|a－b|
的平方得出答案.
典题22 (人教A 版必修第二册P61 复习参考题6T14)已知a，b，c，d 为非零向量，证明下列结
论，并解释其几何意义.
(1)a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|；(2)若a＋b＝c，a－b＝d，则|a|＝|b|⇔c⊥d.
典题23 (人教A 版必修第二册P69 例1)当实数m 取什么值时，复数z＝m＋1＋(m－1)i 是下列
数？
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.
52
典题24 (人教A 版必修第二册P73 习题7.1T3)求适合下列方程的实数x 与y 的值：
(1)(3x＋2y)＋(5x－y)i＝17－2i；(2)(x＋y－3)＋(x－4)i＝0.
(2021·浙江卷)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i 为虚数单位)，则a＝(
)
A.－1
B.1
C.－3
D.3
点评
本题和教材习题考查角度完全一致，都是利用复数相等的条件求参数值，且其难度小
于教材习题的难度.
典题25 (人教A 版必修第二册P79 例5)计算(1＋2i)÷(3－4i).
(2021·天津卷)i 是虚数单位，复数9+2i
2+i ＝________.
点评
本题和教材例题考查的角度完全相同，都是简单的复数除法运算.
典题26 (人教A 版必修第二册P79 例6)在复数范围内解下列方程.
(1)x2＋2＝0；
(2)ax2＋bx＋c＝0，其中a，b，c∈R，且a≠0，Δ＝b2－4ac＜0.
典题27 (人教A 版必修第二册P95 复习参考题7T8)(1)求i1，i2，i3，i4，i5，i6，i7，i8 的值；
(2)由(1)推测in(n∈N*)的值有什么变化规律，并把这个规律用式子表示出来.
53
教材宏观把控
系统知识、明确方向
(1)本章高考试题难度以中档为主，题型一般为一小(选择题或填空题)一大(解答题)，总
分值约为17 分.①在高考试题中多以等差数列、等比数列的基本量运算为载体，以数列
递推关系形式出现，考查数列求和及数列最值等综合问题.②在处理等差、等比数列基
本量运算，递推关系求通项，数列求和等问题时，常用公式法.③本章重点考查的学科
核心素养为数学运算和逻辑推理.
(2)考查内容也较为稳定，主要是以下几个方面：①以等差、等比数列基本量的运算为
载体，考查等差数列、等比数列的概念、性质、通项公式的求解与应用；②考查数列求
和的综合问题，涉及数列的最值及解决方法；③考查数学文化、实际应用为背景的数列
问题.
54
教材探究思考
挖掘内涵、探究本质
探究1 (人教A 版选择性必修第二册P14)观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟
悉的哪一类函数有关？
探究2 (人教A 版选择性必修第二册P22)已知数列{an}的前n 项和为Sn＝pn2＋qn＋r，其
中p，q，r 为常数，且p≠0.观察数列{an}的特点，研究它是一个怎样的数列，并证明
你的结论.
探究3 (人教A 版选择性必修第二册P24)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，若a1＝10，
当d＝－3.5 时，Sn 有最大值吗？考虑更一般的等差数列前n 项和的最大值问题.
探究4 (人教A 版选择性必修第二册P32)已知b＞0 且b≠1，如果数列{an}是等差数列，
那么数列{ban}是否一定是等比数列？如果数列{an}是各项均为正的等比数列，那么数列
{logban}是否一定是等差数列？
55
教材典题重温
重温典题、追本溯源
典题1 (人教A 版选择性必修第二册P9习题4.1T7)已知函数f(x)＝2x－1
2x (x∈R)，设数列{an}
的通项公式为an＝f(n)(n∈N*).
(1)求证an≥1
2.
(2){an}是递增数列还是递减数列？为什么？
典题2 (人教A 版选择性必修第二册P16例3)某公司购置了一台价值为220 万元的设备，
随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减
少d(d 为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10 年，超过10 年，它的价值将低于
购进价值的5%，设备将报废.请确定d 的取值范围.
56
典题3 (人教A 版选择性必修第二册P17 例5)已知数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，
且p＋q＝s＋t.求证ap＋aq＝as＋at.
典题4 (人教A 版选择性必修第二册P18 练习T4)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，公
差分别为d1，d2，数列{cn}满足cn＝an＋2bn.
(1)数列{cn}是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由.
(2)若{an}，{bn}的公差都等于2，a1＝b1＝1，求数列{cn}的通项公式.
57
典题5 (人教A 版选择性必修第二册P18练习T5)已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1，
公差为d.
(1)将数列中的前m 项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？
如果是，它的首项和公差分别是多少？
(2)取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，
它的首项和公差分别是多少？
(3)取出数列中所有序号为7 的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能
根据得到的结论作出一个猜想吗？
典题6 (人教A 版选择性必修第二册P21 例6)已知数列{an}是等差数列.
(1)若a1＝7，a50＝101，求S50；
(2)若a1＝2，a2＝5
2，求S10；
(3)若a1＝1
2，d＝－1
6，Sn＝－5，求n.
58
典题7 (人教A 版选择性必修第二册P21例7)已知一个等差数列{an}前10 项的和是310，
前20 项的和是1 220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
典题8 (人教A 版选择性必修第二册P23 练习T4)在等差数列{an}中，若S15＝5(a2＋a6＋
ak)，求k.
典题9 (人教A 版选择性必修第二册P23 练习T5)已知一个等差数列的项数为奇数，其中
所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.求此数列中间一项的值以及项数.
59
典题10 (人教A 版选择性必修第二册P23 例9)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，若a1
＝10，公差d＝－2，则Sn 是否存在最大值？若存在，求Sn 的最大值及取得最大值时n
的值；若不存在，请说明理由.
典题11 (人教A 版选择性必修第二册P24 练习T5)已知数列{an}的通项公式为an＝
n－2
2n－15
，前n 项和为Sn，求Sn 取得最小值时n 的值.
典题12 (人教A 版选择性必修第二册P24 习题4.2T2)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝
105，a2＋a4＋a6＝99.求a20.
60
(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6
＋a7＋a8＝(
)
A.12
B.24
C.30
D.32
点评
本题在所给条件的形式上与教材习题很类似，只是把等差数列改为了等比数列，
解题的难点和关键点分别是求公差、公比.
典题13 (人教A 版选择性必修第二册P25 习题4.2T7)已知Sn 是等差数列{an}的前n 项和.
(1)证明
Sn
n 是等差数列；
(2)设Tn 为数列
Sn
n 的前n 项和，若S4＝12，S8＝40，求Tn.
典题14 (人教A 版选择性必修第二册P25 习题4.2T8)已知两个等差数列2，6，10，…，
190 及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新
数列.求这个新数列的各项之和.
61
(2020·新高考全国Ⅰ卷)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得
到数列{an}，则{an}的前n 项和为__________.
点评
本题和教材习题考查角度完全相同，由于不用判断求和数列的项数，所以其难度
要小于教材习题，解决此类问题的关键是清楚新组合的数列的公差是两个数列公差的最
小公倍数.
典题15 (人教A 版选项性必修第二册P25 习题4.2T10)已知等差数列{an}的公差为d，求
证am－an
m－n
＝d.你能从直线的斜率角度来解释这个结果吗？
典题16 (人教A 版选择性必修第二册P26 习题4.2T12)如图的形状出现
在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三
角垛”.“三角垛”的最上层有1 个球，第二层有3 个球，第三层有
6 个球……设各层球数构成一个数列{an}.
(1)写出数列{an}的一个递推公式；
(2)根据(1)中的递推公式，写出数列{an}的一个通项公式.
62
典题17 (人教A 版选择性必修第二册P30 例2)已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}
的第m 项am 表示an.
典题18 (人教A 版选择性必修第二册P31 例4)用10 000 元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率0.400%的复利计息，12 个月能获得多少利息(精确到1 元)?
(2)若以季度复利计息，存4 个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少
于按月结算的利息(精确到10
－5)?
63
典题19 (人教A 版选择性必修第二册P34 练习T5)已知数列{an}的通项公式为an＝n3
3n，求
使an 取得最大值时的n 的值.
典题20 (人教A 版选择性必修第二册P35 例7)已知数列{an}是等比数列.
(1)若a1＝1
2，q＝1
2，求S8；
(2)若a1＝27，a9＝1
243，q＜0，求S8；
(3)若a1＝8，q＝1
2，Sn＝31
2 ，求n.
典题21 (人教A 版选择性必修第二册P36 例8)已知等比数列{an}的首项为－1，前n 项和
为Sn.若S10
S5
＝31
32，求公比q.
64
典题22 (人教A 版选择性必修第二册P37 例9)已知等比数列{an}的公比q≠－1，前n 项
和为Sn，证明Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 成等比数列，并求这个数列的公比.
(2021·全国甲卷)记Sn 为等比数列{an}的前n 项和.若S2＝4，S4＝6，则S6＝
(
)
A.7
B.8
C.9
D.10
点评
本题是教材例题结论的直接应用，考查了等比数列的前n 项和的性质.
典题23 (人教A 版选择性必修第二册P38 例10)如图，正方形ABCD
的边长为5 cm，取正方形ABCD 各边的中点E，F，G，H，作第2
个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH 各边的中点I，J，K，L，
作第3 个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.
(1)求从正方形ABCD 开始，连续10 个正方形的面积之和；
(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多
少？
65
(2021·新高考Ⅰ卷)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸
的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm×12 dm 的长方形纸，对折1 次共可以得到10
dm×12 dm，20 dm×6 dm 两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2 次共
可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm 三种规格的图形，它们的面积之
和S2＝180 dm2，以此类推，则对折4 次共可以得到不同规格图形的种数为________；
如果对折n 次，那么∑
n
k＝1Sk＝________ dm2.
点评
本题是在教材习题基础上的深化和拓展，考查角度完全相同，都要在具体的应用
情境中探寻数列的规律，然后求数列的和.
典题24 (人教A 版选择性必修第二册P39例12)某牧场今年初牛的存
栏数为1 200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底
卖出100 头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，
c3，….
(1)写出一个递推公式，表示cn＋1 与cn 之间的关系；
(2)将(1)中的递推公式表示成cn＋1－k＝r(cn－k)的形式，其中k，r 为常数；
(3)求S10＝c1＋c2＋c3＋…＋c10 的值(精确到1).
66
典题25 (人教A 版选择性必修第二册P41 习题4.3T7)已知数列{an}的首项a1＝1，且满足
an＋1＋an＝3·2n.
(1)求证：{an－2n}是等比数列.
(2)求数列{an}的前n 项和Sn.
典题26 (人教A 版选择性必修第二册P41 习题4.3T8)若数列{an}的首项a1＝1，且满足an
＋1＝2an＋1，求数列{an}的通项公式及前10 项的和.
67
典题27 (人教A 版选择性必修第二册P56复习参考题4T10)已知等差数列{an}的前n 项和
为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝3n－1，令cn＝anbn，求数列{cn}的前n 项和Tn.
(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1 的等比数列，数列{bn}满足bn＝nan
3 .已知
a1，3a2，9a3 成等差数列.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)记Sn 和Tn 分别为{an}和{bn}的前n 项和.证明：Tn<Sn
2 .
点评
与教材习题相同，本题主要考查利用错位相减法求数列的和，涉及到等差数列的
性质，错位相减法求数列的和，其中证明不等式时采用作差法，或作商法要根据式子的
结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简更为简洁.
68
教材宏观把控
系统知识、明确方向
(1)空间向量与立体几何是高考的热点，难度以中档或偏难为主，题型涵盖选择，填空
和解答题，其中解答题必考，总分值大约22 分.
①从近几年高考情况来看，本章内容在客观题中主要考查空间几何体的表面积、体积以
69
及与球相关的问题，如2021 年新高考Ⅰ卷第12 题借助于空间几何体为载体，考查了周
长、体积的求解及线线垂直、线面垂直的探求、空间向量法在解决立体几何位置关系的
应用，属于难度较大的试题.②在解答题中主要考查线、面位置关系的证明及空间角的
计算，如2021 年新高考Ⅰ卷第20 题第(1)问考查了证明线线垂直的方法，第(2)问考查
了线面角、体积的求解，建系是解题的关键.可以用试点法解决，坐标原点可以是顶点、
底面边上的一点或垂心、重心，要根据空间几何体的结构特征确定，并且建系后，要能
求出有关点的坐标，难度不大，但需要计算细心，防止得分不全的情况.③本章重点考
查的核心素养为逻辑推理、直观想象和数学运算.
(2)空间向量与立体几何考查的主要内容有：①以空间几何体或与球的切、接为背景考
查几何体的结构特征、表面积、体积、球的性质等；②以空间几何体为载体考查空间线、
面位置关系的证明以及空间角和距离的计算；③以空间向量为辅助工具解决空间角的计
算与线、面位置关系的证明.
教材探究思考
挖掘内涵、探究本质
探究1 (人教A 版必修第二册P102)圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋
转得到.圆台是否也可以由平面图形旋转得到？如果可以，由什么平面图形旋转得到？
如何旋转？
探究2 (人教A 版必修第二册P117)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合
棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱
体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系？
探究3 (人教A 版必修第二册P151)两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可
以确定一个平面，那么定理“如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该
直线与此平面垂直”中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？你能从向量
的角度解释原因吗？如果改为“无数条直线”呢？
70
探究4 (人教A 版必修第二册P160)设平面α⊥平面β，点P 在平面α内，过点P 作平面β
的垂线a，直线a 与平面α具有什么位置关系？
探究5 (人教A 版选择性必修第一册P7)
1.对于三个均不为0 的数a，b，c，若ab＝ac，则b＝c.对于向量a，b，c，由a·b＝a·c，
你能得到b＝c 吗？如果不能，请举出反例.
2.对于三个均不为0 的数a，b，c，若ab＝c，则a＝c
b
或b＝c
a .对于向量a，b，若a·b
＝k，能不能写成a＝k
b
或b＝k
a 的形式？
3.对于三个均不为0 的数a，b，c，有(ab)c＝a(bc).对于向量a，b，c，(a·b)c＝a(b·c)成
立吗？为什么？
71
教材典题重温
重温典题、追本溯源
典题1 (人教A 版必修第二册P116 练习T4)求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于
第三个侧面的面积.
典题2 (人教A 版必修第二册P120 习题8.3T3)如图，一个三棱柱形容
器中盛有水，侧棱AA1＝8.若侧面AA1B1B 水平放置时，水面恰好过
AC，BC，A1C1，B1C1 的中点.那么当底面ABC 水平放置时，水面高
为多少？
(2021·北京卷)对24 小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义：
0～10
10～25
25～50
50～100
小雨
中雨
大雨
暴雨
小明用一个圆锥形容器接了24 小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级(
)
A.小雨
B.中雨
C.大雨
D.暴雨
点评
本题与教材习题的解题思路完全一样，都是利用变换两类几何体的体积相等求水
面的高度.
72
典题3 (人教A 版必修第二册P120 习题8.3T4)如图，圆锥PO 的底面直
径和高均是a，过PO 的中点O′作平行于底面的截面，以该截面为底
面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积.
典题4 (人教A 版必修第二册P120 习题8.3T9)如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的
三视图计算它的表面积和体积.(可用计算工具，尺寸如图，单位：cm，π取3.14，结果
取整数.)
点评
千万不要认为三视图不在高考的范围内，此内容在初中学过，在教材中也出现了，
高考试题中出现了正常.
73
典题5 (人教A 版必修第二册P137 例2)求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经
过另外两边的平面.
典题6 (人教A 版必修第二册P138例3)如图所示的一块木料中，
棱BC 平行于面A′C′.
(1)要经过面A′C′内的一点P 和棱BC 将木料锯开，在木料表面
应该怎样画线？
(2)所画的线与平面AC 是什么位置关系？
典题7 (人教A 版必修第二册P144 习题8.5T8)如图，直线AA′，BB′，CC′
相交于点O，AO＝A′O，BO＝B′O，CO＝C′O，求证：平面ABC∥平面
A′B′C′.
74
典题8 (人教A 版必修第二册P144 习题8.5T9)如图，E，E′分别为长
方体ABCD－A′B′C′D′的棱AD，A′D′的中点，求证：∠BEC＝∠B′E′C′.
典题9 (人教A 版必修第二册P144 习题8.5T13)如图，α∥β∥γ，直线a
与b 分别交α，β，γ于点A，B，C 和点D，E，F，求证：AB
BC＝DE
EF.
典题10 (人教A 版必修第二册P145 习题8.5T15)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD
－A1B1C1D1 内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜.随着倾斜
度的不同，有下面五个命题：
(1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH 所在四边
形的面积为定值；(4)棱A1D1 始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图(3)所示时，
BE·BF 是定值.其中所有正确命题的序号是________，为什么？
75
典题11 (人教A 版必修第二册P147 例1)如图，已知正方体ABCD－
A′B′C′D′.
(1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
(2)求直线BA′与CC′所成的角的大小.
(3)求直线BA′与AC 所成的角的大小.
(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，P 为B1D1 的中点，则直线
PB 与AD1 所成的角为(
)
A.π
2
B.π
3
C.π
4
D.π
6
点评
本题和教材例题类似，无论是问题的载体，还是考查角度、解题方法完全一样.
其实就是在教材例题的基础上稍微换了一条直线而已.
典题12 (人教A 版必修第二册P147 例2)如图，在正方体ABCD－
A1B1C1D1 中，O1 为底面A1B1C1D1 的中心.求证：AO1⊥BD.
76
(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱
的中点，M，N 为正方体的顶点，则满足MN⊥OP 的是(
)
点评
本题和教材例题类似，考查角度都是证明线线垂直，其方法都是通过线面垂直或
利用空间向量解决问题.
典题13 (人教A 版必修第二册P151 例3)求证：如果两条平行直线中
的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
已知：如图，a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
典题14 (人教A 版必修第二册P152 练习T4)过△ABC 所在平面α外一点P 作PO⊥α.垂足
为O.连接PA，PB，PC.
(1)若PA＝PB＝PC，则点O 是△ABC 的________心.
(2)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O 是AB 边的________点.
(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点O 是△ABC 的________心.
77
典题15 (人教A 版必修第二册P154 例6)推导棱台的体积公式V 棱台＝1
3h(S′＋S′S＋S).
其中S′，S 分别是棱台的上、下底面面积，h 是高.
(2021·新高考Ⅱ卷)正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，
则其体积为(
)
A.20＋12 3
B.28 2
C.56
3
D.28 2
3
点评
本题是教材例题所推导的公式的具体应用，可由四棱台的几何特征算出该几何体
的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.
典题16 (人教A 版必修第二册P158 例18)如图，AB 是⊙O 的直径，PA
垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A，B 的任意一点，求证：
平面PAC⊥平面PBC.
典题17 (人教A 版必修第二册P164习题8.6T19)如图，在直三棱柱ABC
－A1B1C1 中，∠ABC＝90°，AA1＝AB，求证：A1C⊥AB1.
78
典题18 (人教A 版必修第二册P164 习题8.6T20)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上
的动点，过动点C 的直线VC 垂直于⊙O 所在平面，D，E 分别是VA，VC 的中点.判断
直线DE 与平面VBC 的位置关系，并说明理由.
典题19 (人教A 版必修第二册P164 习题8.6T21)如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD
为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点.
平面AEF 与平面PBC 是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由.
79
典题20 (人教A 版必修第二册P170 复习参考题8T10)如图，在边长为2 的正方形ABCD
中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED，△BEF，△DCF 分别沿DE，
EF，DF 折起，使A，B，C 三点重合于点A′.
(1)求证：A′D⊥EF；(2)求三棱锥A′－EFD 的体积.
典题21 (人教A 版必修第二册P170 复习参考题8T13)如图，在三棱锥
P－ABC 中，∠ACB＝90°，PA⊥底面ABC.
(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若AC＝BC＝PA，M 是PB 的中点，求AM 与平面PBC 所成角的
正切值.
80
典题22 (人教A 版必修第二册P170 复习参考题8T14)如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面
ABCD 为正方形，侧面PAD 是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M 是PD 的中点.
(1)求证：AM⊥平面PCD；(2)求侧面PBC 与底面ABCD 所成二面角的余弦值.
典题23 (人教A 版选择性必修第一册P34 例6)如图，在棱长为1 的正方体ABCD－
A1B1C1D1 中，E 为线段A1B1 的中点，F 为线段AB 的中点.
(1)求点B 到直线AC1 的距离；(2)求直线FC 到平面AEC1 的距离.
81
典题24 (人教A 版选择性必修第一册P39例10)如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD
是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E 是PC 的中点，作EF⊥PB 交PB 于点
F.
(1)求证：PA∥平面EDB；
(2)求证：PB⊥平面EFD；
(3)求平面CPB 与平面PBD 的夹角的大小.
82
(2021·新高考Ⅱ卷)在四棱锥Q－ABCD 中，底面ABCD 是正方形，若AD＝2，
QD＝QA＝5，QC＝3.
(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；
(2)求二面角B－QD－A 的平面角的余弦值.
点评
本题的第(2)小题和教材例题的第(3)小题非常类似，都是以底面为正方形的四棱
锥为载体求二面角，并且这两个面都是四棱锥的一个侧面和一个对角面.
83
教材宏观把控
系统知识、明确方向
解析几何是高中数学的重要内容.高考主要考查直线与圆、椭圆、抛物线、双曲线的定
义、标准方程和简单的几何性质.其中直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系是考查重
点.估计在高考中解析几何试题基本保持为两道选择题、一道填空题和一道解答题(或一
道选择题一道填空题和一道解答题)分值为27 分(或22 分).
常见命题方向：
(1)圆的方程主要考查定义和性质；
(2)圆锥曲线(椭圆、抛物线、双曲线)主要是曲线的定义、标准方程、性质(焦点、离心
84
率、准线、渐近线)；
(3)以直线与圆锥曲线的位置关系为背景考查弦长(可以直接用过抛物线焦点的弦长公
式，也可以用通用的弦长公式求解)；
(4)以直线与圆锥曲线的位置关系为载体考查定点、定值、取值范围以及存在性问题；
(5)以平面几何知识或圆锥曲线相关内容为载体考查将平面几何代数化的思想.这些内容
均为高考考查的重点和热点，因此在备考复习中应加强训练，同时在备考时还需要加强
对数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想在解决圆锥曲线综合问题中的应用.
高考对本章的考查方式及题目难度变化不大，延续此前的考试风格.
教材探究思考
挖掘内涵、探究本质
探究1 (人教A 版选择性必修第一册P52)在平面直角坐标系中，设直线l 的倾斜角为α.
(1)已知直线l 经过O(0，0)，P( 3，1)，α与O，P 的坐标有什么关系？
(2)类似地，如果直线l 经过P1(－1，1)，P2( 2，0)，α与P1，P2 的坐标又有什么关系？
(3)一般地，如果直线l 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2 的坐标
有怎样的关系？
探究2 (人教A 版选择性必修第一册P65)在方程Ax＋By＋C＝0 中，A，B，C 为何值时，
方程表示的直线：①平行于x 轴？②平行于y 轴？③与x 轴重合？④与y 轴重合？
85
探究3 (人教A 版选择性必修第一册P74)如图，已知点P(x0，y0)，直线
l：Ax＋By＋C＝0，如何求点P 到直线l 的距离？
探究4 (人教A 版选择性必修第一册P75)我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力
工具.能否用向量方法求点到直线的距离？
探究5 (人教A 版选择性必修第一册P86)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 中的D，E，F 满
足什么条件时，这个方程表示圆？
探究6 (人教A 版选择性必修第一册P105)取一条定长的细绳，把它
的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，
这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段
距离，分别固定在图板的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，
移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
探究7 (人教A 版选择性必修第一册P110)观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图
形，又是中心对称图形，如何利用方程说明椭圆的对称性？
86
探究8 (人教A 版选择性必修第一册P119)类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适
当的坐标系，得出双曲线的方程？
探究9 (人教A 版选择性必修第一册P121)如图，点A，B 的坐标分别
是(－5，0)，(5，0)，直线AM，BM 相交于点M，且它们斜率之积
是4
9，试求点M 的轨迹方程，并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状，
与它们的斜率之积是－4
9比较，你有什么发现？
教材典题重温
重温典题、追本溯源
典题1 (人教A 版选择性必修第一册P58T8)经过点P(0，－1)作直线l，若直线l 与连接
A(1，－2)，B(2，1)两点的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α与斜率k 的取值范围，
并说明理由.
典题2 (人教A 版选择性必修第一册P63 例4)已知△ABC 的三个顶点A(－5，0)，B(3，
－3)，C(0，2)，求边BC 所在直线的方程，以及这条边上的中线AM 所在直线的方程.
87
典题3 (人教A 版选择性必修第一册P73 例4)用坐标法证明：平行四边形两条对角线的
平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
典题4 (人教A 版选择性必修第一册P77例6)已知△ABC 的三个顶点分别是A(1，3)，B(3，
1)，C(－1，0)，求△ABC 的面积.
典题5 (人教A 版选择性必修第一册P79T10)已知△ABC 的顶点A(5，1)，边AB 上的中线
CM 所在直线方程为2x－y－5＝0，边AC 上的高BH 所在直线方程为x－2y－5＝0.求：
(1)顶点C 的坐标；(2)直线BC 的方程.
88
典题6 (人教A 版选择性必修第一册P89T10)在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标(x，y)
满足
x＝a＋rcos θ，
y＝b＋rsin θ，
其中θ为参数.证明：点P 的轨迹是圆心为(a，b)，半径为r 的圆.
典题7 (人教A 版选择性必修第一册P91 例1)已知直线l：3x＋y－6＝0 和圆心为C 的圆
x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l 与圆C 的位置关系；如果相交，求直线l 被圆C 所截得
的弦长.
89
典题8 (人教A 版选择性必修第一册P94 例4)一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在
以小岛中心为圆心，半径为20 km 的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40 km 处，
港口位于小岛中心正北30 km 处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
典题9 (人教A 版选择性必修第一册P103T20)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m
＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.
(1)求证：直线l 恒过定点.
(2)直线l 被圆C 截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m 的值以及最
短弦长.
90
典题10 (人教A 版选择性必修第一册P108 例2)如图，在圆x2＋y2＝4 上任取一点P，过
点P 作x 轴的垂线段PD，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹
是什么？为什么？
典题11 (人教A 版选择性必修第一册P128T12)设椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)与双曲线x2
a2－y2
b2
＝1 的离心率分别为e1，e2，双曲线的渐近线的斜率小于2 5
5 ，求e1 和e2 的取值范围.
91
典题12 (人教A 版选择性必修第一册P128T13)已知双曲线x2－y2
2＝1，过点P(1，1)的直
线l 与双曲线相交于A，B 两点，P 能否是线段AB 的中点？为什么？
典题13 (人教A 版选择性必修第一册P135例4)斜率为1 的直线l 经过抛物线y2＝4x 的焦
点F，且与抛物线相交于A，B 两点，求线段AB 的长.
典题14 (人教A 版选择性必修第一册P136 例5)经过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A，
B 两点，经过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB 平行于
抛物线的对称轴.
92
典题15 (人教A 版选择性必修第一册P146T10)如图，已知直线与抛物线y2＝2px(p＞0)交
于A，B 两点，且OA⊥OB，OD⊥AB 交于点D，点D 的坐标为(2，1)，求p 的值.
典题16 (人教A 版选择性必修第一册P103T19)一条光线从点A(－2，3)射出，经x 轴反射
后，与圆C：(x－3)2＋(y－2)2＝1 相切，求反射后光线所在直线的方程.
(2015·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x＋3)2＋(y
－2)2＝1 相切，则反射光线所在直线的斜率为(
)
A.－5
3或－3
5
B.－3
2或－2
3
C.－5
4或－4
5
D.－4
3或－3
4
点评
本题考查了反射光线的性质，直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜
式、对称点，与课本习题命题角度类似，属于改编题.
典题17 (人教A 版选择性必修第一册P108 例3)如图，设A，B 两点
的坐标分别为(－5，0)，(5，0).直线AM，BM 相交于点M，且它们
的斜率之积是－4
9，求点M 的轨迹方程.
93
(2019·全国Ⅱ卷节选)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM
与BM 的斜率之积为－1
2.记M 的轨迹为曲线C.求C 的方程，并说明C 是什么曲线.
点评
本题利用斜率公式表示斜率，然后化简成椭圆的标准方程，与课本习题命题角度
类似，属于改编题.
典题18 (人教A 版选择性必修第一册P114T2)经过椭圆x2
2＋y2＝1 的左焦点F1作倾斜角为
60°的直线l，直线l 与椭圆相交于A，B 两点，求线段AB 的长.
94
(2010·辽宁卷)设椭圆C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，过点F 的直线l
与椭圆C 相交于A，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF
→＝2FB
→.
(1)求椭圆C 的离心率；(2)如果|AB|＝15
4 ，求椭圆C 的方程.
点评
本题考查椭圆的性质和标准方程，以及直线和圆锥曲线的位置关系，与课本习题
命题角度类似，属于改编题.
典题19 (人教A 版选择性必修第一册P120 例2)已知A，B 两地相距800 m，在A 地听到
炮弹爆炸声比在B 地晚2 s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程.
95
(2021·新高考Ⅰ卷节选)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F1(－17，0)，
F2( 17，0)，点M 满足|MF1|－|MF2|＝2.记M 的轨迹为C.求C 的方程.
点评
本题考查双曲线的定义及其标准方程，M 轨迹是双曲线的右支，与课本例题命
题角度类似，属于改编题.
典题20 (人教A 版选择性必修第一册P127T7)m，n 为何值时，方程x2
m＋y2
n＝1 表示下列曲
线：
(1)圆；(2)椭圆；(3)双曲线？
96
(多选)(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.(
)
A.若m＞n＞0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上
B.若m＝n＞0，则C 是圆，其半径为n
C.若mn＜0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y＝±
－m
nx
D.若m＝0，n＞0，则C 是两条直线
点评
本题考查圆锥曲线方程的定义，根据所给条件，逐一分析对应的方程形式，结合
椭圆、圆、双曲线方程的定义进行判断，与课本习题命题角度类似，属于改编题.
97
教材宏观把控
系统知识、明确方向
统计与成对数据的统计分析作为高考的必考内容，在2023 年的高考中预计仍会以“一
小一大”的格局呈现.
(1)小题一般比较简单，出现在选择题或填空题中比较靠前的位置，命题角度主要有：
统计数据的分析，多以统计图表(折线图或柱状图)的形式提供数据，进行数据的特征分
析，如均值、方差、最值点及趋势分析等.
(2)解答题属于中档以上题目，题目涉及两个以上的知识模块，具有一定的综合性.命题
角度主要有三个方面：一是统计图表与分布列的综合；二是统计数据的数字特征与回归
分析、独立性检验等的综合，此类问题计算量较大，注重数据的分析与应用；三是统计
图表与函数内容的结合，包括函数解析式的求解与应用等，这有可能重新成为命题的热
点.
教材探究思考
挖掘内涵、探究本质
探究1 (人教A 版必修第二册P174)假设口袋中有红色和白色共有1 000 个小球，除颜色
外，小球的大小、质地完全相同.你能通过抽样调查的方法估计袋中红球所占的比例吗？
98
探究2 (人教A 版必修第二册P178)小明想考察一下简单随机抽样的估计效果.他从树人中
学医务室得到了高一年级学生身高的所有数据，计算出整个年级学生的平均身高为
165.0 cm.然后，小明用简单随机抽样的方法，从这些数据中抽取了样本量为50 和100
的样本各10 个，分别计算出样本平均数，如下表所示.从小明多次抽样所得的结果中，
你有什么发现？
抽样序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
样本
量为
50 的
平均
数
165.2
162.8
164.4
164.4
165.6
164.8
165.3
164.7
165.7
165.0
样本
量为
100
的平
均数
164.4
165.0
164.7
164.9
164.6
164.9
165.1
165.2
165.1
165.2
探究3 (人教A 版必修第二册P183)与考察简单随机抽样估计效果类似，小明也想通过多
次抽样考察一下分层随机抽样的估计效果.他用比例分配的分层随机抽样方法，从高一
年级的学生中抽取了10 个样本量为50 的样本，计算出样本平均数如下表所示.与上一
小节“探究”中相同样本量的简单随机抽样的结果比较，小明有了一个重要的发现.你
是否也有所发现？
抽样序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
男生
样本
的平
均数
170.0
170.7
169.8
171.7
172.7
171.9
171.6
170.6
172.6
170.9
女生
样本
的平
均数
162.2
160.3
159.7
158.1
161.1
158.4
159.7
160.0
160.6
160.2
总样
本的
平均
数
165.8
165.1
164.3
164.3
166.4
164.6
165.2
164.9
166.1
165.1
99
探究4 (人教A 版必修第二册P196)分别以3 和27 为组数，对数据进行等距分组，画出
100 户居民用户月均用水量的频率分布直方图.观察图形，你发现不同的组数对于直方图
呈现数据分布规律有什么影响？
(1)“组数为3”
(2)“组数为27”
探究5 (人教A 版必修第二册P204)平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大
小关系和数据分布的形态有关.在图中的三种分布形态中，平均数和中位数的大小存在
什么关系？
100
探究6 (人教A 版选择性必修第三册P94)在对人体的脂肪含量和年龄之间关系的研究中，
科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表所示.表中每个编号下
的年龄和脂肪含量数据都是对同一个体的观测结果，它们构成了成对数据.
编号
1
2
3
4
5
6
7
年龄/岁
23
27
39
41
45
49
50
脂肪含量/%
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5
26.3
28.2
编号
8
9
10
11
12
13
14
年龄/岁
53
54
56
57
58
60
61
脂肪含量/%
29.6
30.2
31.4
30.8
33.5
35.2
34.6
根据以上数据，你能推断人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗？
教材典题重温
重温典题、追本溯源
典题1 (人教A 版必修第二册P180T1)为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50 000 户
居民的日用电量.若通过简单随机抽样从中抽取了300 户进行调查，得到其日用电量的
平均数为5.5 kW·h，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数(
)
A.一定为5.5 kW·h
B.高于5.5 kW·h
C.低于5.5 kW·h
D.约为5.5 kW·h
典题2 (人教A 版必修第二册P184T1)数据x1，x2，…，xm 的平均数为x
－
，数据y1，y2，…，
yn 的平均数为y
－
，证明：
∑
m
i＝1xi＋∑
n
i＝1yi
m＋n
＝m
m＋nx
－
＋
n
m＋ny
－
.
101
典题3 (人教A 版必修第二册P188T6)数据x1，x2，…，xn 的平均数为x
－
，数据y1，y2，…，
yn 的平均数为y
－
，a，b 为常数.如果满足y1＝ax1＋b，y2＝ax2＋b，…，yn＝axn＋b.证明：
y
－
＝ax
－
＋b.
典题4 (人教A 版必修第二册P215T4)数据x1，x2，…，xn 的方差和标准差分别为s2x，sx，
数据y1，y2，…，yn 的方差和标准差分别为s2y，sy，若y1＝ax1＋b，y2＝ax2＋b，…，yn
＝axn＋b 成立，a，b 为常数，证明：s2y＝a2s2x，sy＝|a|sx.
(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新
样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c 为非零常数，则(
)
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
点评
本题考查平均数、中位数、标准差、极差的定义等基础知识，基础题与课本题相
似度极高.
102
典题5 (人教A 版必修第二册P197T1)从某小区抽取100 户居民用户进行月用电量调查，
发现他们的用电量都在50～350 kW·h 之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，
画出频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中x 的值为________；
(2)在被调查的用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为________.
(2020·天津卷)从一批零件中抽取80 个，测量其直径(单位：mm)，将所得数
据分为9 组：[5.31，5.33)，[5.33，5.35)，…，[5.45，5.47)，[5.47，5.49]，并整理得到
如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为(
)
A.10
B.18
C.20
D.36
点评
本题考查了频率分布直方图，属于基础题，与上面课本中习题相似度高.
103
典题6 (人教A 版必修第二册P202 例2)根据9.1.2 节问题3 中女生的样本数据，女生的原
始数据为：
163.0
164.0
161.0
157.0
162.0
165.0
158.0
155.0
164.0
162.5
154.0
154.0
164.0
149.0
159.0
161.0
170.0
171.0
155.0
148.0
172.0
162.5
158.0
155.5
157.0
163.0
172.0
估计树人中学高一年级女生的第25，50，75 百分位数.
典题7 (人教A 版必修第二册P202 例3)根据如图所示的频率分布表或频率分布直方图，
估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数.
分组
频数累计
频数
频率
[1.2，4.2)
23
0.23
[4.2，7.2)
32
0.32
[7.2，10.2)
13
0.13
[10.2，13.2)
9
0.09
[13.2，16.2)
9
0.09
[16.2，19.2)
5
0.05
[19.2，22.2)
3
0.03
[22.2，25.2)
4
0.04
[25.2，28.2]
2
0.02
合计
100
1.00
104
典题8 (人教A 版必修第二册P206)借助居民月均用水量的频率分布直方图.如图，你能估
算出样本的平均数、中位数和众数吗？
105
典题9 (人教A 版必修第二册P215T3)在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球数是
1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个
数的标准差是0.4.你认为下列说法中哪一种是正确的，为什么？
(1)平均说来一队比二队防守技术好；
(2)二队比一队技术水平更稳定；
(3)一队有时表现很差，有时表现又非常好；
(4)二队很少不失球.
典题10 (人教A 版必修第二册P222T2)四名同学各掷骰子5 次，分别记录每次骰子出现
的点数.根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6 的是(
)
A.平均数3，中位数为2
B.中位数为3，众数为2
C.平均数为2，方差为2.4
D.中位数为3，方差为2.8
(2019·新课标Ⅱ)演讲比赛共有9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该
选手的成绩时，从9 个原始评分中去掉1 个最高分、1 个最低分，得到7 个有效评分.7
个有效评分与9 个原始评分相比，不变的数字特征是(
)
A.中位数
B.平均数
C.方差
D.极差
点评
本题考查数据的数字特征，关键是掌握数据的平均数，中位数，方差，极差的定
义以及计算方法，与课本中习题考点一致，属于基础题.
106
典题11 (人教A 版选择性必修第三册P101例1)在对人体的脂肪含量和年龄之间关系的研
究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表所示.表中每个
编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个体的观测结果，它们构成了成对数据.
编号
1
2
3
4
5
6
7
年龄/岁
23
27
39
41
45
49
50
脂肪含量/%
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5
26.3
28.2
编号
8
9
10
11
12
13
14
年龄/岁
53
54
56
57
58
60
61
脂肪含量/%
29.6
30.2
31.4
30.8
33.5
35.2
34.6
根据上表中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系
数，并推断它们的相关程度.
107
(2020·全国Ⅱ卷)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数
量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200 个地块，从
这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20 个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1，
2，…，20)，其中xi 和yi 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生
动物的数量，并计算得∑
20
i＝1xi＝60，∑
20
i＝1yi＝1 200，∑
20
i＝1 (xi－x
－
)2＝80，∑
20
i＝1 (yi－y
－
)2＝9 000，∑
20
i＝1
(xi－x
－
)(yi－y
－
)＝800.
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生
动物数量的平均数乘以地块数)；
(2)求样本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；
(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该
地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理
由.
附：相关系数r＝
∑
n
i＝1 （xi－x
－
）（yi－y
－
）
∑
n
i＝1 （xi－x
－
）2∑
n
i＝1 （yi－y
－
）2
，2≈1.414.
点评
本题考查简单随机抽样，考查相关系数的求法，考查计算能力，与课本中例题相
似度高.
108
典题12 (人教A 版选择性必修第三册P132 例3)某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消
化不良.采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到
接受甲种疗法的患儿67 名，其中未治愈15 名，治愈52 名；抽到接受乙种疗法的患儿
69 名，其中未治愈6 名，治愈63 名.试根据小概率值α＝0.005 的独立性检验，分析乙种
疗法的效果是否比甲种疗法好.
109
(2021·全国甲卷)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二
级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200 件产品，产品的质
量情况统计如下表：
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2)根据小概率α＝0.01 的独立性检验，分析甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差
异？
附：χ2＝
n（ad－bc）2
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
，
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
点评
本题考查了统计与概率中的独立性检验，属于基础题，且与课本例题命题角度类
似.
110
教材宏观把控
系统知识、明确方向
计数原理作为高考的必考内容，在2023 年的高考中预计仍会以“一小(选择题或填空
题)”的格局呈现.小题考查方向主要体现在以下两方面：一是以分类加法计数原理和分
步乘法计数原理为基础的排列组合问题，要理解分类和分步的思想；二是以二项式定理
为主体的问题，主要考查二项展开式的通项公式，求特定项的系数、参数的值、系数和
等.
概率作为高考的必考内容.选择、填空常考查古典概型，时而考查对立事件、相互独立
事件、概率及独立重复试验的概率；解答题常以频率分布直方图、折线图为载体考查随
机变量的分布列及期望、方差，考查数据处理能力、应用意识与创新能力.
教材探究思考
挖掘内涵、探究本质
探究1 (人教A 版选择性必修第三册P3)
(1)如果完成一件事有三类不同方案，在第1 类方案中有m1 种不同的方法，在第2 类方
111
案中有m2 种不同的方法，在第3 类方案中有m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多
少种不同的方法？
(2)如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应当
如何计数呢？
探究2 (人教A 版选择性必修第三册P5)
(1)如果完成一件事需要三个步骤，做第1 步有m1 种不同的方法，做第2 步有m2 种不同
的方法，做第3 步有m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
(2)如果完成一件事情需要n 个步骤，做每一步都有若干种不同的方法，那么应当如何
计数呢？
探究3 (人教A 版选择性必修第三册P17)从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数
Amn(m≤n)是多少？
探究4 (人教A 版选择性必修第三册P23)前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否
利用这种关系，由排列数A mn来求组合数C mn呢？
112
探究5 (人教A 版选择性必修第三册P29)我们知道，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3
＋3a2b＋3ab2＋b3.
(1)观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？
(2)根据你发现的规律，你能写出(a＋b)4 的展开式吗？
(3)进一步地，你能写出(a＋b)n 的展开式吗？
探究6 (人教A 版必修第二册P239)设事件A 与事件B 互斥，和事件A∪B 的概率与事件
A，B 的概率之间具有怎样的关系？
探究7 (人教A 版必修第二册P246)下面两个随机试验各定义了一对随机事件A 和B，你
觉得事件A 发生与否会影响事件B 发生的概率吗？
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬
币反面朝上”.
试验2：一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4 的4 个球，除标号外没有其他差异.采
用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝“第一次摸到球的标号小于3”，B＝
“第二次摸到球的标号小于3”.
分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？
113
探究8 (人教A 版必修第二册P247)互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系.如果
事件A 与事件B 相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？以有放回摸球试验
为例，分别验证A 与B
－
，A
－
与B，A
－
与B
－
是否独立，你有什么发现？
探究9 (人教A 版选择性必修第三册P56)考察下列随机试验及其引入的变量：
试验1：从100 个电子元件(至少含3 个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量X 表
示三个元件中的次品数；
试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y 表示需要的抛掷次数.
这两个随机试验的样本空间各是什么？各个样本点与变量的值是如何对应的？变量X，
Y 有哪些共同的特征？
探究10 (人教A 版选择性必修第三册P64)如果X 是一个离散型随机变量，将X 进行平移
或伸缩后，其均值会怎样变化？即E(X＋b)和E(aX)(其中a，b 为常数)分别与E(X)有怎
样的关系？
探究11 (人教A 版选择性必修第三册P69)离散型随机变量X 加上一个常数，方差会有怎
样的变化？离散型随机变量X 乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性
质有什么不同？
114
探究12 (人教A 版选择性必修第三册P72)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连
续3 次射击，中靶次数X 的概率分布列是怎样的？
探究13 (人教A 版选择性必修第三册P76)假设随机变量X 服从二项分布B(n，p)，那么
X 的均值和方差各是什么？
教材典题重温
重温典题、追本溯源
典题1 (人教A 版选择性必修第三册P12T11、T12)(1)在国庆长假期间，要从7 人中选若干
人在7 天假期值班(每天只需1 人值班)，不出现同一人连续值班2 天，有多少种可能的
安排方法？
(2)2 160 有多少个不同的正因数？
典题2 (人教A 版选择性必修第三册P16 例2)(1)一张餐桌上有5 盘不同的菜，甲、乙、
丙3 名同学每人从中各取1 盘菜，共有多少种不同的取法？
(2)学校食堂的一个窗口共卖5 种菜，甲、乙、丙3 名同学每人从中选一种，共有多少
种不同的选法？
115
典题3 (人教A 版选择性必修第三册P19 例4)用0～9 这10 个数字，可以组成多少个没
有重复数字的三位数？
典题4 (人教A 版选择性必修第三册P27T12)(1)从0，2，4，6 中任取3 个数字，从1，3，
5 中任取2 个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？
(2)由数字0，1，2，3，4，5，6 可以组成多少个没有重复数字，并且比5 000 000 大的
正整数？
(2018·浙江卷)从1，3，5，7，9 中任取2 个数字，从0，2，4，6 中任取2
个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数(用数字作答).
点评
本题考查排列组合及简单的计数问题，先选后排是解决问题的关键，且此题命题
角度与课本习题类似，属于改编题.
典题5 (人教A 版选择性必修第三册P38T5)(1)求(1－2x)5(1＋3x)4 的展开式按x 的升幂排
列的第3 项；
(2)求9x＋1
3 x
18
的展开式的常数项；
(3)求(1＋x＋x2)(1－x)10 的展开式中x4 的系数；
(4)求(x2＋x＋y)5 的展开式中x5y2 的系数.
116
(1)(2019·全国Ⅲ卷)(1＋2x2)(1＋x)4 的展开式中x3 的系数为(
)
A.12
B.16
C.－10
D.10
(2)(2020·全国Ⅲ卷) x2＋2
x
6
的展开式中常数项是________(用数字作答).
(3)(2020·全国Ⅰ卷) x＋y2
x (x＋y)5 的展开式中x3y3 的系数为(
)
A.5
B.10
C.15
D.20
点评
以上三题考查二项式定理的应用、二项式展开式的通项公式及二项式系数的性
质，命题角度与课本习题类似.
典题6 (人教A 版必修第二册P228 例4)如图，一个电路中有A，B，C 三个电器元件，
每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这
个电路中各元件是否正常.
(1)写出试验的样本空间；
(2)用集合表示下列事件：M＝“恰好两个元件正常”；N＝“电路是通路”；T＝“电路
是断路”.
典题7 (人教A 版必修第二册P248 例1)一个袋子中有标号分别为1，2，3，4 的4 个球，
除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A＝“第一次摸出球
的标号小于3”，事件B＝“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A 与事件B 是否
相互独立？
117
(2021·新高考Ⅰ卷)有6 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中
有放回地随机取两次，每次取1 个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表
示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，
丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(
)
A.甲与丙相互独立
B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立
点评
本题考查相互独立事件的应用，判断是否独立事件的方法是检验P(AB)＝P(A)P(B)
是否成立，与课本例题命题角度类似.
典题8 (人教A 版选择性必修第三册P61T5)老师要从10 篇课文中随机抽3 篇不同的课文
让同学背诵，规定至少要背出其中2 篇才能及格.某位同学只能背诵其中的6 篇，求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
(2)他能及格的概率.
典题9 (人教A 版选择性必修第三册P61T6)某种资格证考试，每位考生一年内最多有3
次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继
续参加考试，直到用完3 次机会.李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率
依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求：
(1)李明在一年内参加考试次数X 的分布列；
(2)李明在一年内领到资格证书的概率.
118
典题10 (人教A 版选择性必修第三册P65 例4)根据天气预报，某地区近期有小洪水的概
率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要
损失60 000 元，遇到小洪水时要损失10 000 元.为保护设备，有以下3 种方案：
方案1
运走设备，搬运费为3 800 元；
方案2
建保护围墙，建设费为2 000 元，但围墙只能防小洪水；
方案3
不采取措施.
工地的领导该如何决策呢？
119
(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B 两类问题.
每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错
误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回
答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20 分，否则得0 分；
B 类问题中的每个问题回答正确得80 分，否则得0 分.
已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能
正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
点评
主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，命题角度与课本例题类似，都属于
决策问题.
120
典题11 (人教A 版选择性必修第三册P69 例6)投资A，B 两种股票，每股收益的分布列
分别如表1 和表2 所示.
表1
股票A 收益的分布列
收益X/元
－1
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
表2
股票B 收益的分布列
收益Y/元
0
1
2
概率
0.3
0.4
0.3
(1)投资哪种股票的期望收益大？
(2)投资哪种股票的风险较高？
121
典题12 (人教A 版选择性必修第三册P74例2)如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板
上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通
道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都
等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，
10，用X 表示小球最后落入格子的号码，求X 的分布列.
122
典题13 (人教A 版选择性必修第三册P75 例3)甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比
赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3 局2 胜制还是采用5 局3 胜制
对甲更有利？
典题14 (人教A 版选择性必修第三册P91T6)已知每门大炮击中目标的概率都是0.3，现
在n 门大炮同时对某一目标各射击一次.
(1)当n＝10 时，求恰好击中目标3 次的概率(精确到0.001)；
(2)如果使目标至少被击中一次的概率超过95%，至少需要多少门大炮？
123
典题15 (人教A 版选择性必修第三册P91T12)某城市高中数学会考，假设考试成绩服从
正态分布N(75，82).如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩分为A，B，C，
D 四个等级，试确定各等级的分数线(精确到1).
典题16 (人教A 版选择性必修第三册P91T10)甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1 次
由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求n
次传球后球在甲手中的概率.
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典题17 (人教A 版选择性必修第三册P91T11)某单位有10 000 名职工，想通过验血的方
法筛查乙肝病毒携带者.假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需
要化验10 000 次.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5 人一组分组，然后将各组
5 个人的血样混合再化验.如果混合血样呈阴性，说明这5 个人全部阴性；如果混合血样
呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.
(1)按照这种化验方法能减少化验次数吗？
(2)如果携带病毒的人只占2%，按照k 个人一组，k 取多大时化验次数最少？
