文档文本内容
第01 讲 集合及其运算
目录
01 常考题型过关练
题型01 元素与集合的关系
题型02 集合中元素的特征
题型03 集合间的基本关系
题型04（真）子集的个数
题型05 数集的运算
题型06 点集的运算
题型07 Venn 图的运算
题型08 利用集合的运算结果求参数
题型09 容斥原理
题型10 集合的新定义问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 元素与集合的关系
1．已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题可知
，
故A 正确，BC 错误，
集合
不是集合
的子集，故D 错误.
故选：A.
2．若
，则
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
时，
，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当
时，则
，符合题意，
当
时，有
或
，已知当
时符合题意，
当
时，则
，符合题意，
故
的取值集合为
.
故选：C.
3．集合
，若
且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
且
，所以
且
，解得
.
故选：B.
02 集合中元素的特征
4．设集合
，
，则集合
元素的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【详解】当
时，y＝1；
当
时，y＝0；
当x＝3 时，
．
故集合B 共有3 个元素．
故选：B.
5．（多选）已知集合A 中三个元素分别为2，
，
，若
，则x 的取值可能为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】AD
【详解】由
，则
或
，
若
，解得
或
，代回集合检验可得
合题意，
（舍去），
若
，解得
，代回集合检验可得
合题意，
（舍去），
综上，
的可能取值为
或
.
故选：AD.
6．已知集合
中只有一个元素，则实数a 的所有可能值的乘积为（ ）
A．
B．-1
C．1
D．
【答案】D
【详解】若
，则
，符合题意；
若
，则
变为
，显然不成立，
则
，不符合题意；
当
，即
时，则
，
解得
（舍）或
，
所以
的所有可能值为
，故所有可能值的乘积为
．
故选：D
7．已知集合
中有且仅有个元素，则实数
的取值为 ．
【答案】
或
【详解】由题意可知，
有1 个实数根，则
或
，
解得
或
故答案为：
或
03 集合间的基本关系
8．下列六个关系式：①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
，
其中正确的个数为（ ）
A．个
B．
个
C．个
D．
个
【答案】C
【详解】依据子集定义，任何集合都是自身的子集，①正确；
集合中的元素具有无序性，②正确；
集合
中有一个元素0，不是空集
，③正确；
0 是集合
中的元素，所以
，④正确；
空集
和集合
两个集合的关系为包含关系不是属于关系，⑤错误；
由于空集是任意集合的子集，则
，⑥正确；
故选：C
9．已知集合
，
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意得
，因为
，则
.
故选：A.
10．已知集合
，
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，即
，解得
或
，
所以
或
，因为
且
，
若
时
，若
时
，不符合题意，所以
，
则
或
，所以
，解得
，
即实数
的取值范围为
.
故选：D
11．已知集合
，则满足
的有序集组
的个数为 ．（用数字作答）
【答案】729
【详解】设集合B 的元素个数为
，则集合B 的个数有
个，
可知集合B 的子集有
个，即集合A 的个数有
个；
所以有序集组
的个数为
个.
故答案为：729.
04（真）子集的个数
12．已知集合
，则
的子集的个数是（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】B
【详解】由
，解得
，
所以
，
所以
的子集有
个.
故选：B
13．已知集合
，那么满足
的集合
的个数是（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】B
【详解】由题意得
或
或
，
则满足题意的
的个数是3.
故选：B.
14．已知集合
，则集合A 的子集个数为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】C
【详解】由
，得
或
，
解得
或空集，
又
，所以
，
则集合A 的子集个数为
.
故选：C
15．已知
，集合
，若集合
恰有8 个子集，则
的可能值有几个
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】由题意易知，
，均是集合
中的元素，
又集合
恰有8 个子集，故集合
只有三个元素，
有
，则结合诱导公式易知，
可取的值是4 或5.
故选：B
05 数集的运算
16．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
由
得，
，即
，则
，
故
.
故选：B
17．若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】集合
，
，
则
.
故选：B.
18．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，故
.
故选：C.
19．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，
，
所以
，
，
故选：C
06 点集的运算
20．已知集合
，
，则
中元素的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】将
代入
，得
，解得
或0，
所以
.则
中元素的个数为3 个.
故选：C
21．已知集合
，
，则
中的元素个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，消
整理得到
，解得
或
，
当
时，
，当
时，
，所以
，
故选：C.
22．已知集合
，
，则
中有 个元素．
【答案】2
【详解】易知集合
表示抛物线
上的所有点的集合，集合
表示圆心在坐标原点，半径为1 的圆
上的所有点的集合，
显然
表示两图形的交点个数，画出两函数图象如下图所示:
显然仅有两个交点，因此
中有2 个元素.
故答案为：2
07 Venn 图的运算
23．已知集合
，
，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
由题意可得图中阴影部分所表示的集合是
，
可得
，所以
.
故选：B.
24．已知全集为
，集合
是
的两个子集，若
，则下列运算结果为
的子集的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】作出Venn 图，如图，
对于A，
，故A 错误；
对于B，
与集合
交集是空集，
若
，则
不是
的子集，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
与集合
交集是空集，
若
，则
不是
的子集，故D 错误；
故选：C.
25．设全集为
，如图所示的阴影部分用集合表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据集合的运算可知，阴影部分用集合表示为
.
故选：B
08 利用集合的运算结果求参数
26．已知集合
.若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，可得
，解得
，所以
，
因为
，所以
，所以
.
所以
的取值范围为
.
故选：A.
27．已知集合
，
，若
，
，则集合
的个数为（ ）
A．2
B．4
C．7
D．8
【答案】B
【详解】由题意知
，则集合
为
，
，
，
共4 个.
故选：B．
28．设全集
，集合
或
，
，则
（ ）
A．0
B．2
C．5
D．10
【答案】B
【详解】由补集知
且
，对比得
，
则
.
故选：B
29．（多选）设集合
，
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】由题可得集合
，且
，
所以方程
的两根
，
满足
，
.
由韦达定理可知，
，即
，选项A 正确，选项B 错误.
.选项C 正确.
从而
，即
.选项D 正确.
故选：ACD.
09 容斥原理
30．为提升学生学习双语的热情“G11•四市十一校”教学联盟计划在2025 年4 月举行“语文情境默写”､
“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20 人的代表队，据了解其中擅长语文的有10 名同学，擅长英
语的有12 名同学，两项都擅长的有5 名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
【答案】C
【详解】设擅长语文的同学构成集合
，擅长英语的同学构成集合
，20 人代表队构成全集
，
则
，
，
，
，
，
，
所以语文和英语均不擅长的同学人数为
人.
故选：C.
31．为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间去参观洪崖洞，南山一棵树，磁器口这三
个地方.调查发现该班共有55 名同学，其中31 个同学去了洪崖洞，21 个同学去了南山一棵树，30 个同学
去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10 人，同时去了南山一棵树和磁器口的有7 人，每个人至
少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有（ ）人
A．24
B．26
C．28
D．30
【答案】C
【详解】设去了洪崖洞的同学组成集合
，去了南山一棵树的同学组成集合
，去了磁器口的同学组成集
合
，
依题意，
，
而
，由容斥原理得
，
解得
，所以只去了一个地方的有
(人).
故选：C
32．为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，
并在开学后随机抽查了100 名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52 人观看了红色电
影，43 人参观了烈士陵园，49 人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24 人，既观
看红色电影又参观红色教育基地的有20 人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17 人，则三项活动
都参加的人数为 ．
【答案】17
【详解】设集合
，集合
，
集合
，
设三项活动都参加的人数为
，
则
，
则由题意可得
，
即
，
解得
．
故答案为：17
10 集合的新定义问题
33．对于集合
，
，定义
且
，
，设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于集合
，
，定义
且
，
，
设
，
，
则
，
，
所以
.
故选：C．
34．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，
剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知
，
，
，若
，则下列选项中不符合题意的整数x
为（ ）
A．23
B．38
C．128
D．233
【答案】B
【详解】解法1 因为
，所以
，故A 符合；因为
，所以
，故B 不符合；因为
，所以
，故C 符合；
，所以
，故D 符合.
解法2 因为
，所以
且
，则
且
（k，
），所以
，即
，所以
.又
，所以
（c，
），即
，即
，所以
.当
时，
；当
时，
；当
时，
.
35．设集合
，
，
，
中至少有两个元素，且
满足：①对于任意
，若
，
都有
；②对于任意
，若
，则
；则集合可以是（ ）
（1）
（2）
（3）
（4）
A．（1）（2）
B．（2）（3）
C．（2）（4）
D．（3）（4）
【答案】C
【详解】对于（1），易知
，所以应有
，矛盾，即（1）错误；
对于（2），易知
，且
，
则可取
满足题意，即（2）正确；
对于（3），易知
，所以应有
，矛盾，即（3）错误；
对于（4），易知
，且
，
则可取
满足题意，即（4）正确；
故选：C.
36．在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于集合
满足对任意
，
，
都有
，则称
是可分比集合.例如：集合
是可分比集合.若集合A，B 均为可分比集合，且
，则正整数
的最大值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
【详解】解法一：一方面，取
满足题意，则
；
另一方面，若
，不妨设
，则
，则
，此时
，且
，矛盾！
综上所述，正整数
的最大值为7.
解法二：
，则
，又
，即若
，
内的数均不属于
，
若
，则
，则
，又
，矛盾，
所以
，当
时，
符合，所以
．
故选：B.
1．已知集合
所有非空真子集的元素之和等于12，则
（ ）
A．3
B．4
C．6
D．2
【答案】B
【详解】解：因为集合
的所有非空真子集：
，
所以，
，即
.
故选：B
2．
（2024·25 高三上·云南·阶段练习）已知集合
，
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】分别作出函数
与
的图象，如下：
当直线
与半圆
，
相切时，设切点为
，则
，
，此时
；
结合图形可知，当
时，直线
与半圆
，
无公共点.
当
时，直线
与半圆
，
有公共点，即
.
故选：B
3．设
，则集合
．
【答案】
【详解】
由题意，画出韦恩图如图所示，结合
，
，故
，
故答案为：
4．已知函数
的定义域为
，集合
．当
时，
；若
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
或
【详解】要使函数
有意义，则
解得
，所以集合
．
因为
，所以
，所以
或
，所以
或
．因为
，所以①当
时，
，即
，满足题意；
②当
时，
解得
．综上所述，实数
的取值范围是
．
5．
设集合
，
，则满足
且
的集合有 个
【答案】12
【详解】因为
且
，
，
．
中一定含有4 或5 或4、5．当
中含有一个元素时，
或
，共2 个；
当中含有两个元素时，
，
，
，
，
，共5 个；
当中含有三个元素时，
，
，
，
，共4 个；
当中含有四个元素时，
，共1 个．
所以满足条件的集合有
个．
故答案为：12
6．
已知集合
，对于集合
的两个非空子集
、
，若
，
则称
为集合
的一组“互斥子集”.记集合
的所有“互斥子集”的组数为
（当且仅当
时，
与
为同一组“互斥子集”），则
，
.
【答案】
【详解】令
，如图，全集
被划分成
、
、
三个部分，
中的任意一个元素只能在集合
、
、
之一中，有种方法，
则这
个元素在集合
、
、
中，每个元素均有种选择，故共有
种选择方法，
其中
为空集的种数为
，
为空集的种数为
，
、
均为空集的种数为种，
则
、
均为非空子集的种数为
，
因当且仅当
时，
与
为同一组“互斥子集”，
而
，满足
的
与
不是同一组“互斥子集”，
于是得集合
的所有“互斥子集”的组数为
，
其中
.
故答案为：
；
.
7．已知集合
，且
.
(1)求实数
的值；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)2
(2)
【详解】（1）由
，得
，解得
或
，
当
时，
，不符合题意；当
时，符合题意，
所以
.
（2）由（1）得，
，由
，得
，
①若
，此时
，即
，符合题意；
②若
，由
，则
，解得：
，
所以实数
的取值范围是
.
1．（2024·天津·高考真题）集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为集合
，
，
所以
，
故选：B
2．（2023·北京·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意，
，
，
根据交集的运算可知，
.
故选：A
3．（2023·全国乙卷·高考真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意可得
，则
.
故选：A.
4．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意可得
，则
，选项A 正确；
，则
，选项B 错误；
，则
或
，选项C 错误；
或
，则
或
，选项D 错误；
故选：A.
5．（2023·天津·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，而
，
所以
.
故选：A
6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以
，
则
，
故选：D
7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列
的公差为
，集合
，若
，
则
（ ）
A．－1
B．
C．0
D．
【答案】B
【详解】依题意，等差数列
中，
，
显然函数
的周期为3，而
，即
最多3 个不同取值，又
，
则在
中，
或
或
于是有
或
，
即有
，解得
；
或者
，解得
；
所以
，
或
.
故选：B
