文档文本内容
知识解构
知识点1 三种函数模型的性质 知识点2 常见的函数模型
知识点3 解函数模型的步骤
题型破译 (含超链接）
题型
1 二次函数模型应用
题型
2 分式型函数模型应用
题型
3 分段函数模型应用
题型
4 指数函数模型应用
题型
5 对数函数模型应用
【方法技巧】指数、对数函数模型解题技巧
题型
6 幂函数模型应用
题型
7 函数模型的选择
题型
8 构造函数模型解决实际问题
第08 讲 函数模型及其应用
内容导航
命题透视·考情前瞻
01
命题透视·考情前瞻
素养，研判高考命
对标
题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
04
真题溯源·考向感知
溯源真
，感知高考考向
题逻辑
05
课本典例·高考素材
立足
本典例，挖掘高考素材
课
——
素养，研判高考命
对标
题趋势
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
函数模型及其应用
上海卷T11，北京卷T9
北京卷T7
考情分析
函数模型及其应用主要考查建立函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、
分段函数等)分析解决实际生活中的生产经营、工程建设、企业的赢利与亏损等问
题．特别是与数学文化有关的问题，仍是高考考查的重要内容．
近三年考情分析显示，高考可能结合函数与生活进行考查，考生需灵活运用
函数模型解决各类实际问题．
复习目标
1.会选择合适的函数类型来模拟实际问题的变化规律.
2.会比较一次函数、二次函数、幂函数、对数函数、指数函数增长速度的差异
3.了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使
用的函数模型）的广泛应用
思维建模·脉络梳理
——搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知●识●解●构
知识点1 三种函数模型的性质
1.三种函数模型的增长差异
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化趋势
随x 增大逐渐近
似与y 轴平行
随x 增大逐渐近似与x 轴平
行
保持固定增长速度
增长速度
y＝ax(a>1)：随着x 的增大，y 增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的
增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢
增长结果
存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax
自主检测图（1）（2）（3）分别是函数
和
在不同范围内的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．由图（1）可知函数
的图象增长得越来越快
B．由图（3）可知函数
的图象增长得越来越快
C．在（0，2）范围内函数
的图象比
的图象增长得慢
D．以上均错误
【答案】B
【详解】由图易知C 错误；函数
的图象增长速度越来越快，
的图象增长速度一直不变，均匀
增长，故A 错误，B 正确．
知识点2 常见的函数模型
常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b 为常数且k≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axα＋b(a，b，α 为常数，a≠0，α≠0)
自主检测为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10 年的生长规律，统计显示，生长4 年的树高
为
米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t（年）与树高y
（米）之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①
；②
；③
；④
中（其中a 为正的常数），生长
年数与树高的关系拟合最好的是 （填写序号），估计该树生长8 年
后的树高为 米．
【答案】②
【分析】根据散点图的走势，由基本常见初等函数模型判断①不合适，再代值可得；
【详解】由散点图的走势，知模型①③不合适．
曲线过点
，则后三个模型的解析式分别为②
；③
；④
，当
时，
代入④中，得
，与图不符，易知拟合最好的是②，将
代入②式，得
（米）．
故答案为：②；
知识点3 解函数模型的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
题●型●破●译
题型1 二次函数模型应用
例1-2 某小区要建造一个直径为16m 的圆形喷水池，并在池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头使喷出
的水柱在离池中心点3m 的地方达到最高高度4m，各方向喷来的水柱在池中心上方点汇合（如下图）．
过水池的中心任取一个竖直截面，如图所示．根据力学的原理，喷出的水柱轨迹应为一条抛物线，此抛物
线上任何一个点距池中心的水平距离与其所处的高度之间是对应的．建立如右下图所示的直角坐标系．则
池中心
与汇合点
之间的距离
____ __m．
【答案】
【分析】由题意设出二次函数的顶点式，代入
即可求解.
【详解】由题意得
轴右侧图象为二次函数的一部分，顶点为
，
可设二次函数顶点式
，
且
，解得
，则
，
则
.
故答案为：
例1-2 劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报社会的一种良好形式
某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x 件时，售价为s 元/件，
且满足
，每天的成本合计为
元，请你帮他计算日产量为___________件时，获得的日
利润最大，最大利润为___________万元.
【答案】200, 7.94
【分析】将利润表示为关于
的一个二次函数，求出该函数的最值即可.
【详解】由题意易得日利润
，
故当日产量为200 件时，获得的日利润最大，最大利润为7.94 万元，
故答案为：200，7.94.
【变式训练1-1·变考法】小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100 元，每束花的进价为6 元．
若日均销量Q（束）与销售单价
（元）的关系为
，则当该店每天获利最大时，每束花
应定价为（ ）
A．15 元
B．13 元
C．11 元
D．10 元
【答案】B
【详解】设每天获利
元，则
．
由
，得
，故
，故当
时，每天获利最大．
故选：B
【变式训练1-2·变考法】（多选）某企业生产一种机器的固定成本为
万元，但每生产
台时又需可变
成本
万元，市场对此商品的年需求量为
台，销售收入函数为
(万元)
，其
中
是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（ ）
A．利润
表示为年产量
的函数为
B．当年产量为
台时企业所得的利润最大，为
万元
C．当年产量
(单位：百台时，企业不亏本
D．企业不亏本的最大年产量为
台
【答案】BC
【分析】根据题意列出分段函数解析式判断A，分段函数分段求最值再比较判断B，令
，解分段函数
不等式即可判断CD.
【详解】对A，当
时，
；当
时，
；
故
，A 错误；
对B，当
时，
，故当
时，取到最大值
；
当
时，
，故当年产量为475 台时年利润最大，最大为
万
元，B 正确；
对C、D，不亏本即
，当
时，
，解得
；
当
时，
，解得
；
故
时，企业才不亏本，企业不亏本的最大年产量为4800 台，故C 正确，D 错误.
故选：BC.
【变式训练1-3·变考法】（25-26 高二下·上海·期中）某公园有一块如图所示的区域
，该场地由线段
、
、
及曲线段
围成.经测量，
，
米，曲线
是以
为对称轴的
抛物线的一部分，点
到
、
的距离都是
米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场
，其中点
在曲线段
上，点
，
分别在线段
，
上，且该游乐场最短边长不低于
米.设
米，游乐
场的面积为
平方米.
(1)试建立平面直角坐标系，求曲线段
的方程；
(2)求面积
关于
的函数解析式
，并计算面积
的最大值（结果精确到
）.
【答案】(1)
(2)
；
.
【分析】（1）以O 为坐标原点，OA、OB 所在直线分别为x 轴、y 轴，然后根据题意求解析式即可；
（2）分别求出D 在不同线段上的解析式，然后计算面积；在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值
就可以得到面积最大值.
【详解】（1）以O 为坐标原点，OA、OB 所在直线分别为x 轴、y 轴，
建立平面直角坐标系.如图所示，则
，
，
.
设曲线段BC 所在抛物线的方程为
.
由题意可知，点
和
在此抛物线上，
故
，
所以曲线段BC 的方程为：
（2）由题意，线段AC 的方程为
.
当点D 在曲线段BC 上时，
.
当点D 在线段AC 上时，
.
所以
当
时，
，令
，
得
，
（舍去）.
当
时，
；当
时，
.
因此当
时，
是极大值，也是最大值
当
时，
当
时，
是最大值，
因为
，所以无最大值，
所以当
时，S 取得最大值，最大值为
.
题型2 分式型函数模型应用
例2-1 用32
的材料制作一个长方体形的无盖盒子, 如果底面的宽规定为2m, 那么这个盒子的最大容积
可以是（ ）
A．36
B．18
C．16
D．14
【答案】C
【分析】利用侧面积的计算公式表示出底面边长和体积的关系，然后利用基本不等式求最值.
【详解】解：如图，长方体无盖盒子底面边长为
，高为
，体积为
表面积为：
体积为：
令
，则
当且仅当
时取等号.
故选：C
例2-2 某建筑公司用8000 万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12 层，每层4000 平方米的楼
房.经初步估计得知，如果将楼房建为
层，则每平方米的平均建筑费用为
（单位：
元）.则楼房每平方米的平均综合费用的最小值是________元.（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购
地费用，平均购地费用
）
【答案】
【分析】根据题意建立楼房每平方米的平均综合费用的函数关系，利用基本不等式求解即可.
【详解】设楼房每平方米的平均综合费用为
元，依题意得：
，
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以当
时，
取得最小值
（元）
故答案为：
【变式训练2-1·变考法】某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A 产品，
经过市场调研，生产A 产品的固定成本为200 万元，每生产
万件，需可变成本
万元，当产量不足50
万件时，
；当产量不小于50 万件时，
.每件A 产品的售价为
100 元，通过市场分析，生产的A 产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为 万
元.
【答案】1000
【分析】依题意求得利润
，借助导数和基本不等式可求得最大值.
【详解】由题意得，销售收入为
万元，
当产量不足50 万件时，利润
；
当产量不小于50 万件时，利润
.
所以利润
因为当
时，
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减；
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
；
当
时，
，当且仅当
时取等号.
又
，故当
时，所获利润最大，最大值为1000 万元.
故答案为：1000
【变式训练2-2·变考法】为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的
底面是正方形，且水池最大储水量为
．已知水池底面的造价为600 元
，侧面的造价为400 元
．
（注：衔接处材料损耗忽略不计）
(1)把水池的造价
（单位：元）表示为水池底面边长
（单位：m）的函数；
(2)若
（
的常数），为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？
【答案】(1)水池的造价
，其中
（单位：元）
(2)
时，当水池底面的边长为
时，水池的总造价最低.
时，当水池底面的边长为
时，水池的总造价最低.
【分析】（1）根据已知确定底面积、侧面积，进而写出水池的造价，注意自变量的范围；
（2）利用导数求函数的最值，并确定对应自变量即可.
【详解】（1）由题意，得水池的底面积为
，侧面积为
（单位：
），
所以水池的造价
，其中
（单位：元）；
（2）对函数
求导，得
，
令
，解得
，
由
，解得
，故
在区间
上单调递减，
由
，解得
，故
在区间
上单调递增,
所以，
时，
取得最小值
元，
时，
取得最小值
元，
因此，
时，当水池底面的边长为
时，水池的总造价最低.
时，当水池底面的边长为
时，水池的总造价最低.
题型3 分段函数模型应用
例3-1【新思维】（辽宁大连育明高中、丹东二中、本溪高中四校联考2026 届高三下学期教学质量调研数
学试题）为了鼓励大家节约用水，某市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关
系如下表所示．
分档
户年用水量
综合用水单价
元
第一阶梯
含)
3.0
第二阶梯
含)
4.5
第三阶梯
330 以上
5.5
假设该市某户2025 年缴纳水费855 元，则该户2025 年用水量为（ ）
A．190
B．217
C．270
D．285
【答案】C
【分析】设用水量为
,依据表格信息得到水费关于用水量
的分段函数.再判断2025 年水费855 是哪段函
数值域的部分,从而可以得到用水量
.
【详解】当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
即
且
在定义域上单调递增，
当
时，
，而
，
所以解
得
．
例3-2【新载体】某科研团队研发了一种新型光催化降解污染物材料，实验发现，其降解效率
（单位：
）随光照时间t（单位：h）变化的关系式为
．若
时降解效率为
，则
时降解效率为_______
．
【答案】
【分析】根据题意可得
，解得
，代入求
即可得结果.
【详解】因为
，
由题意可知：
，整理可得
，解得
，
则
，可得
，
所以
时降解效率为
.
【变式训练3-1·变考法】我国在2020 年9 月22 日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030 年前实现
碳达峰，争取在2060 年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进
行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与
处理量x（单位：吨）
之间的函数关系可近似表示为
，
当处理量x 等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ）
A．120
B．200
C．240
D．400
【答案】D
【分析】先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分
和
分析讨论求出其最小值即可
【详解】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为
，
当
时，
，
当
时，取得最小值240，
当
时，
，
当且仅当
，即
时取等号，此时取得最小值200，
综上，当每月得理量为400 吨时，每吨的平均处理成本最低为200 元，
故选：D
【变式训练3-2·变题型】2025 年被称为“智能体元年”，基于AI 大模型的智能体技术迎来规模化应用与
产业变革.某科技AI 研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，
模型的综合性能评分
（满分100 分）和有效训练时长（单位：百GPU 小时）的关系分为两个阶段.通
过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：
.已知初始综合性能
评分
，且函数图象是连续不断的.
(1)求常数和
的值；
(2)已知大模型的标准化训练效率定义为
，
，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准
化训练效率最高？
【答案】(1)
，
(2)5.
【分析】（1）由
，建立方程解得，由函数图象连续建立方程解得
；
（2）由（1）知函数
，分别用基本不等式和二次函数的性质求出分段函数的最大值，然后取得函数
在定义域上的最大值，即可得到结论.
【详解】（1）∵
，即
，
∵函数图象是连续不断的，
∴
，
解得
.
（2）由（1）知
，
则
，
当
时，
，当且仅当
，即
时取等号.
当
，即
时，
，
由二次函数的性质可知，当
，即
时，函数
取最大值，
∴
，
∵
，即
，
∴训练时长
（百GPU 小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高.
【变式训练3-3·变题型】（25-26 高二下·山东枣庄·阶段检测）某企业生产一种必要的生活物资，且单笔订
单最少预定生产10 吨物资，已知生产一批物资所需要的固定成本为5 千元，每生产x 吨物资另需流动成本
千元，当生产量小于20 吨时，
，当生产量不小于20 吨时，
．该企业为了提高企业的诚信度，赢得良好的社会效益，将每吨物资的售价定为
25 千元．已知生产的物资能全部售出．
(1)写出总利润
（千元）关于生产量x（吨）的函数解析式（注：总利润=总收入
流动成本
固定成
本）；
(2)当生产量为多少时，总利润最小？此时总利润是多少？（参考数据：
）
【答案】(1)
(2)生产量为12 吨时，总利润最小为56 千元
【分析】（1）根据给定的函数关系式，及利润的计算公式即可求解，
（2）根据二次函数、对数函数的单调性求最小值，比较大小即可求解.
【详解】（1）由已知可得
，又
，
当
时，
，
当
时，
，
故
；
（2）当
时，
，
．
当
时，
，易知函数单调递增，
故
．
因为
，所以当生产量为12 吨时，总利润最小，此时总利润为56 千元．
题型4 指数函数模型应用
例4-1【新情境】（2026·湖南长沙·模拟预测）某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质
含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知
的质量
随时间（年）的指数衰减规律是：
（其中
为
的初始质量）．则当
的质量衰减为最初的
时，所经过的时间约为（参考数据：
，
）（ ）
A．
年
B．
年
C．
年
D．
年
【答案】D
【详解】已知衰减公式
，当
的质量衰减为最初的
时，满足：
，即
，两边取对数得：
，
则
，即
．
故选：D
例4-2【新思维】（2026·北京西城·二模）某工厂2023 年的年产值为a，这一年工厂制定10 年规划，欲通
过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%，以期2033 年的年产值达到2023 年的
4 倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025 年的工厂年产值恰好达到
规划中2026 年的既定目标，如果从2026 年起未来8 年（含2026 年）的年平均增长率与前2 年实际年平均
增长率相同，那么2033 年工厂的年产值为（ ）
A．6a
B．8a
C．9a
D．12a
【答案】B
【分析】根据给定信息，利用年增长率的意义，结合指数运算求解.
【详解】设原规划年平均增长率为
，由2023 年的年产值为a，10 年后（2033 年）产值为
，
得
，即
，设实际年平均增长率为
，
由2025 年的工厂年产值恰好达到规划中2026 年的既定目标，得
，
即
，因此2033 年工厂的实际年产值为
.
【变式训练4-1】（2026·河南·模拟预测）一化工厂产生的废气中含二氧化硫的浓度为
，经过分钟净
化后，废气中二氧化硫的浓度为
，并满足
.根据环保要求，当废气中二氧化硫的浓度降
至
时，达到排放标准，则该化工厂的废气达到排放标准需要至少净化（参考数据：
，
，
）（ ）
A．136 分钟
B．140 分钟
C．142 分钟
D．150 分钟
【答案】C
【详解】依题意，
时，
，则0.9=0.05+ λ，解得λ =0.85，所以y =0.05+0.85e
- t
50，
当
时，可得0.1=0.05+0.85e
- t
50，所以e
- t
50 = 1
17
，所以- t
50 =ln 1
17 =-ln17，
故t =50×ln17≈50×2.833=141.65，故浓度降至
需要至少142 分钟.
【变式训练4-2】某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增.已知该企业2025 年1 月投入该新产品的
研发经费为20 万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%，记2025 年1 月为
第1 个月，第
个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40 万元，则
的最小值是（ ）
（参考数据：
，
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】表示出第
个月投入的研发经费为
万元，根据题意列不等式，并根据指数函数和
对数的运算性质求出
的取值范围，即可得解.
【详解】由题意可得
，则
，所以
，
所以
，
则
，又因为
，所以
的最小值为5.
故选：C.
【变式训练4-3】（25-26 高三下·四川成都·开学考试）（多选）某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量
变化，使用公式：
来研究种群数量的变化趋势，其中
为最终预测数量，
为初始数
量，k 为种群数量的年增长率，n 为预测的年数，则（ ）
A．当
，则这期间种群数呈下降趋势
B．当
，则这期间种群数呈下降趋势
C．若初始数量
，年增长率为
，则2 年后预测种群数量约为1061
D．若初始数量
，年增长率为
，则2 年后预测种群数量约为2991
【答案】AC
【分析】根据给定的信息，结合指数函数单调性逐项求解判断.
【详解】对于A，当
时，
，
随
的增大而减小，又
，
因此这期间种群数呈下降趋势，A 正确；
对于B，当
时，
，
随
的增大而增大，又
，
因此这期间种群数呈上升趋势，B 错误；
对于C，
，即2 年后预测种群数量约为1061，C 正确；
对于D，
，即2 年后预测种群数量约为2881，D 错误.
故选：AC
【变式训练4-4】（2026·四川成都·模拟预测）2021 年，郑州大学考古科学队在荥阳官庄遗址发现了一处
大型青铜铸造作坊.利用碳14 测年确认是世界上最古老的铸币作坊.已知样本中碳14 的质量N 随时间t（单
位：年）的衰变规律满足
（
表示碳14 原有的质量）.经过测定，官庄遗址青铜布币一同
出土的有机物样本中碳14 的质量约是原来的
至
，据此推测青铜布币生产的时期距今约（ ）年
（按区间的中点进行估计，近似到十年）?（参考数据：
）
A．1880 年
B．2580 年
C．3550 年
D．4150 年
【答案】B
【分析】根据题意得
，解不等式得
，再结合区间的中点进行估计，
近似到十年即可求解.
【详解】根据题意，
，即
，
所以
，即
，
所以
，即
，
所以区间的中点为
，近似到十年为2580 年.
【变式训练4-5·变模型】现有两个函数模型如下，模型一：如果
是碳14 的初始质量，那么经过年后，
碳14 的质量为
；模型二：马尔萨斯自然状态下人口增长模型
，其中表示经过的
时间，
表示
时的人口数，是常数（是自然对数的底）.则下列说法错误的是（ ）
A．经过5730 年，碳14 的质量变为初始质量的一半
B．碳14 的年衰减率与初始质量有关
C．设
，碳14 的第
年，第
年，第
年的衰减量分别为
，
，
，则
D．以上两个模型都可以归结为模型“
”（其中
为自变量，
，
为常数，是自然对数的
底）
【答案】B
【分析】选项A，计算出
；选项B，求出年衰减率为
，与初始质量无关；选项C，
计算出
；选项D，两个模型均可变形得到
的形式，D 正确.
【详解】对于A，模型一中，当
时，
，
即碳14 的质量变为初始质量的一半，故A 正确；
对于B，年衰减率由模型决定，与初始质量无关.
模型一可改写为
，1 年后，
，
年衰减率为
，是常数，故B 错误；
对于C，第
年衰减量
，
同理
，
，所以
，故C 正确；
对于D，模型一可转化为
，模型二为
，均符合
形式，故D 正确.
故选：B.
题型5 对数函数模型应用
例5-1（2026·湖南长沙·阶段检测）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般地，
如果强度为I 的声音对应的等级为LdB，则有
．已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强
度的等级约为52dB，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的
等级约为（ ）
（参考数据：
）
A．49dB
B．46dB
C．26dB
D．13dB
【答案】A
【分析】设原强度
、新强度
,代入分贝公式拆分对数，利用已知
和
计算,得结
果
.
【详解】设原来的噪音强度为
，对应的等级
.
改善后的噪音强度为
，对应的等级为
.
根据公式
，代入
得：
.
计算
：
.
将
，
代入：
.
例5-2 被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：
，其中C 为最大数据传输速率，
单位为
；W 为信道带宽，单位为
；
为信噪比.香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.当
，
时，最大数据传输速率记为
；当
，
时，最大数据传输速率记为
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】D
【解析】根据题意，将
，
代入可得
；
将
，代入可得
；
所以可知
.
故选：D
【变式训练5-1·变考法】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速
（单位：
）可以表示为
，其中
表示鱼的耗氧量的单位数.假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀
速直线运动，乙在甲正前方18m 处，9s 后甲正好追上乙，则甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值为（
）
A．3
B．9
C．27
D．81
【答案】D
【分析】由题意列出方程，根据对数的运算性质，计算即可得答案.
【详解】设甲的速度为
，耗氧量的单位数为
，乙的速度为
，耗氧量的单位数为
，
由题意得
，则
，
所以
，解得
.
故选：D
【变式训练5-2·变考法】（2026·河南南阳·模拟预测）（多选）在物理学中，声音的强弱叫做响度，单位
为宋（sone），响度级为响度的相对量，它反映了人耳依据声压和频率对声音做出的主观响度感受，单位
为方（phon），实验发现，响度级LN 与响度
的关系式为
，则（ ）（参考数
据：
）
A．响度级每增加10 方，响度约增加一倍B．响度级为40 方，响度为1 宋
C．当响度为2 宋时，响度级约为45 方
D．当响度为8 宋时，响度级约为70 方
【答案】ABD
【分析】根据给定的函数模型，结合对数运算性质逐项求解判断.
【详解】对于A，响度级增加10 方对应的响度为
，则
，
因此
，即
，则响度级每增加10 方，响度约增加一倍，A 正确；
对于B，当
时，
，则
，B 正确；
对于C，当
时，
，解得
，C 错误；
对于D，当
时，
，解得
，D 正确.
故选：ABD
【变式训练5-3·变考法】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）（多选）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅
来测定，一般采用里氏震级标准.里氏震级的计算公式为
（其中常数
是距震中100 公里处接
收到的0 级地震的地震波的最大振幅，
是指我们关注的这次地震在距震中100 公里处接收到的地震波
的最大振幅）.地震的能量
（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量.已知
，其中
为地震震级.下列说法正确的是（ ）
A．若地震震级
增加1 级，则最大振幅
增加到原来的10 倍
B．若地震震级
增加2 级，则放出的能量
增加到原来的20 倍
C．若最大振幅
增加到原来的10 倍，则放出的能量
增加到原来的
倍
D．若最大振幅
增加到原来的100 倍，则放出的能量
也增加到原来的100 倍
【答案】AC
【分析】本题首先要读懂公式，然后根据题意合理代入数据进行对数运算对选项进行一一检验即可得到答
案.
【详解】设
为地震震级
加1 级的地震震级，新的地震的能量
，新的最大振幅为
，
设
为地震震级
加2 级的地震震级，新的地震的能量
，
因为
，所以
，故A 正确；
因为
，
所以
，所以B 错误；
因为
，
所以
，
所以C 正确；
因为
，
所以
，
所以D 错误.
故选：AC.
【变式训练5-4·变考法】（2026·山东德州·模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准
确率提升倍数
与训练数据量
（单位：
）的关系式为
，其中
为常数.当训练数据量为
时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数
达到135 时，模型在识别复杂图象时能达到
极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（ ）（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题设条件，将
代入关系式
可求出
的值，再利用对数的运算即可求解.
【详解】当
时，
，即
.
当
时，
，即
，
则
，即
.
因为
，
所以ln x ≈2×2.6
0.4
=13.令
，则ln x =nln10≈2.3n，
所以n≈13
2.3 ≈5.7，则x ≈10
5.7.
故选：D.
方法技巧 指数(对数)函数模型的应用技巧
(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指
数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率、细胞分裂有关的问
题都属于指数函数模型；对数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越慢的一类函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的
图象求解最值问题，必要时可借助导数．
题型6 幂函数模型应用
例6-1 异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，
某类动物的新陈代谢率
与其体重
满足
，其中
和
为正常数，该类动物某一个体在生长发育过
程中，其体重增长到初始状态的16 倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8 倍，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】初始状态设为
，变化后为
，根据
，
的关系代入后可求解．
【详解】设初始状态为
，则
，
，
又
，
，即
，
，
，
，
，
．
故选：D．
例6-2 在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：
）与管道半
径（单位：
）的四次方成正比．若气体在半径为
的管道中，流量为
，气体在半径为
的管道中，流量大于
且小于
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，当
，
时，求出
的值，再由
可求出
的取值
范围.
【详解】根据题意，设
，由题意可得
，解得
，故
，
当
时，
，解得
，
故选：D.
【变式训练6-1】某市持续扩大绿色生态空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从2020 年的
增长到2023 年的
.设
年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为.则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据年平均增长率的意义列方程即可.
【详解】根据题意列方程：
.
故选：C
【变式训练6-2】某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存
在的关系为
（α 为常数），其中x 不超过5 万元．已知去年投入广告费用为3 万元时，药品利润为
27 万元，若今年广告费用投入5 万元，预计今年药品利润为（ ）
A．115 万元
B．120 万元
C．125 万元
D．130 万元
【答案】C
【分析】根据已知代入求解得出解析式，再计算求解.
【详解】由已知投入广告费用为3 万元，药品利润为27 万元，代入
中，得
，解得
，
故函数解析式为
，所以当
时，
．
故选：C.
题型7 函数模型的选择
例7-1【新思维】某体育用品商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2 万元时，其纯利
润
（单位：万元）随销售收入
（单位：万元）的变化情况如下表所示：
(万元)
2
3
5
(万元)
(1)根据表中数据，分别用模型
（
且
）与
建立
关于
的函数解
析式；
(2)已知当
时，
，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由.（参考数据：
）
【答案】(1)
，
；
(2)模型
（
且
）更合适，理由见解析；
【分析】（1）将表格中的数据代入两模型解方程组可求得函数解析式；
（2）将自变量
代入两模型计算求得
，得出与
更接近的模型即可.
【详解】（1）对于模型
（
且
），
将表格中数据代入可得
，解得
；
所以
；对于模型
，将表格中数据代入可得
，
解得
；所以
；
（2）当
时，模型
对应的
；
模型
对应的
，
当
时，显然
，
所以模型
更合理.
【变式训练7-1·变考法】为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10 年的生长规律，统计显示，生
长4 年的树高为
米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t（年）与树高y（米）之间的关系．
请你据此判断，在下列函数模型：①
；②
；③
；④
中（其中a 为
正的常数），生长年数与树高的关系拟合最好的是_______（填写序号），估计该树生长8 年后的树高为
_______米．
【答案】②，
【分析】根据散点图的走势，由基本常见初等函数模型判断①不合适，再代值可得；
【详解】由散点图的走势，知模型①③不合适．
曲线过点
，则后三个模型的解析式分别为②
；③
；④
，当
时，
代入④中，得
，与图不符，易知拟合最好的是②，将
代入②式，得
（米）．
故答案为：②；
【变式训练7-2·变考法】（25-26 高三上·上海黄浦·期中）研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实
验表明，用
的水泡制，待茶水温度降至
时，饮用口感最佳.某中学利用课余时间开设了活动探
究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔
测
量一次茶水温度得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
时间分钟
0
1
2
3
4
5
水温摄氏度
10
0
91
82.9
设茶水温度从
经过x 分钟后温度变为
，现给出以下三种函数模型：①
；②
，
；③
，
(1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3 组数据求出该解析式；
(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间精确到
，（参考数据：
，
）；
(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.
【答案】(1)模型②，
且
(2)
(3)
【分析】（1）根据表格数据判断函数的单调性及增长率，根据一次函数、指对数函数图象性质确定模型，
再结合数据求解析式；
（2）令
，利用指数与对数关系及对数运算性质求结果；
（3）根据指数函数性质求函数的值域，即可确定进行实验时的室温．
【详解】（1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合，
选模型②，则
，
即
，可得
，
所以
且
；
（2）令
，
则
，
所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为
；
（3）由
，即
，所以进行实验时的室温约为
题型8 构造函数模型解决实际问题
例8-1【新情境】（2026·浙江绍兴·模拟预测）
年某新能源车企搭载AI 智能续航系统，汽车匀速行驶
时，剩余续航里程
与行驶总时间
满足函数关系
．该车先匀速行驶
，之后进入拥
堵路段，系统切换能耗模式，剩余续航按
衰减（
为匀速
后的剩余续航，为拥堵行驶时
间）．当剩余续航降至
时，汽车从出发到此刻的总行驶时长约为（ ）（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
，再令
，从而可得所求时间.
【详解】因为
为匀速
后的剩余续航，所以
，
令
，即-0.3t -0.24 = ln 1
4 ，
，故t ≈3.82；
当剩余续航降至
时，汽车从出发到此刻的总行驶时长约为
.
例8-2【新思维】某学校运动会宣传单采用如下方式排版：在矩形版面
中设计两个相同形状的矩形
栏目，每个栏目的面积为
，在其上下各留
的空白，左右各留
的空白，而两个矩形栏目中间
留
的空白. 如图所示，设
的长为
，整个矩形版面
的面积为
.
(1)试用
的代数式表示
；
(2)当
为何值时，整个矩形版面的面积最小？（结果精确到
）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用
表示
，相乘即可得到结果；
（2）利用基本不等式取等条件可求得结果.
【详解】（1）
，
，
.
（2）
（当且仅当
，即
时取等号），
当
时，整个版面的面积最小.
【变式训练8-1·变考法】某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药
小时后每毫升血液中的
含药量
（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少
于4 毫克时治疗疾病有效，则12 小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（ ）
A．4 小时
B．5 小时
C．6 小时
D．7 小时
【答案】A
【解析】当
时，则
，
当
时，设函数为
，
将
，
代入可得
，解得
，所以
，所以
，
要使
，则
或
，解得
或
，综上所述：
，
所以有效所持续的时长为
个小时．故选：A．
【变式训练8-2·变考法】新加坡摩天观景轮又名飞行者摩天轮（如图示），其总高度165 米，直径150 米，
匀速旋转一圈所需时间为40 分钟．已知摩天轮上一点
距离地面的高度
关于时间的函数表达式为
，
．而点
的起始位置在摩天轮的最低点处．请写出高度
（米）关于时间
（分钟）的函数解析式________．
【答案】
【分析】先根据摩天轮的总高度和直径求出
和
的值，再根据旋转一圈所需时间求出
的值，最后根据
起始位置求出
的值，进而得到函数解析式.
【详解】已知摩天轮直径为150 米，那么振幅
为半径，即
米.
因为摩天轮总高度165 米，摩天轮最低点距离地面的高度为总高度减去直径，即
米，摩天轮
中心距离地面的高度为
米，所以
米.
已知摩天轮匀速旋转一圈所需时间为40 分钟，根据周期
的定义，这里
分钟.
由三角函数周期公式可得
. 将
代入上式，解得
.
因为点
的起始位置在摩天轮的最低点处，当
时，
取最小值.
对于函数
，当
时，
取最小值.
把
，
，
代入
得
，化简可得
.
又因为
，所以
.
得到高度
关于时间的函数解析式为
.
故答案为：
.
【变式训练8-3·变题型】已知甲、乙两地的距离是100km，按交通法规规定，甲、乙两地之间的公路车速
应限制在0～120km/h， 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x
（千米/小时）的函数解析式可以表示为：
.
(1)当汽车以40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
【答案】(1)
(2)
；
【分析】（1）将
代入
，得
，最后得到从甲地到乙地的耗油量即可.
（2）设从甲地到乙地耗油为
，结合题意得到
，再结合导数研究该函数的单
调性即可求解.
【详解】（1）将
代入
，得
，
所以从甲地到乙地要耗油
升.
（2）设从甲地到乙地耗油为
，则
，
化简得
，
而
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
则当
时，
取得最小值，此时
，
即当汽车速度为
千米每小时时，从甲地到乙地耗油最少，最少为
升.
真题溯源·考向感知
——溯源真
，感知高考考向
题逻辑
1．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要的时间
（单位：h），其中k 为常数．在此条件下，已知训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间
增加（ ）
A．2h
B．4h
C．20h
D．40h
【答案】B
【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解.
【详解】设当N 取
个单位、
个单位、
个单位时所需时间分别为
,
由题意，
，
，
，
因为
，所以
，
所以
，
所以当训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间增加4 小时.
故选：B.
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，
定义声压级
，其中常数
是听觉下限阈值，
是实际声压．下表为不同声源的声压
级：
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车
处测得实际声压分别为
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据题意可知
，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：
，
对于选项A：可得
，
因为
，则
，即
，
所以
且
，可得
，故A 正确；
对于选项B：可得
，
因为
，则
，即
，
所以
且
，可得
，
当且仅当
时，等号成立，故B 错误；
对于选项C：因为
，即
，
可得
，即
，故C 正确；
对于选项D：由选项A 可知：
，
且
，则
，
即
，可得
，且
，所以
，故D 正确；
故选：ACD.
课本典例·高考素材
——立足
本典例，挖掘高考素材
课
1.某植物研究员在研究某种植物1 到5 年内的植株高度时，将得到的数据用下图直观表示.现要根据这些数
据用一个函数模型来描述这种植物在1 到5 年内的生长规律，则下列函数模型中符合要求的是( )
A.
（
，
且
） B.
（
，
且
）
C.
D.
【答案】B
【详解】由题图可知，植株高度增长越来越缓慢，故选择对数函数模型，
故选：B.
2．下表是拉力
（单位：N）与弹簧伸长长度
（单位：cm）的相关数据：
描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图象，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式．
【答案】
.
【详解】如图，结合表中数据绘出函数图象：
结合函数图象选择一次函数建立函数模型，
设函数解析式为
，
取点
、
代入函数解析式中，
得
，解得
，
，
故函数解析式为
，经检验满足题意.
3．要建造一个容积为
，深为6 m 的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95 元/
，池底的造价为
135 元/
，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价控制在7 万元以内（精确到0.1 m）？
【答案】长度应该在
内
【详解】设水池的长为xm，宽为ym；总造价为
元；
则
，故
；
；
则
；
解得，
；
故水池的长在6.4 m 到31.3 m 时，才能使水池的总造价控制在
万元以内．
4．人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从
级别跃升到
乃至
级别，曾经的研究结果表明，
2008 年全球产生的数据量为0.49 ZB，2009 年的数据量为0.8 ZB，2010 年增长到1.2 ZB，2011 年的数量
更是高达1.82 ZB.
（1）为了较好地描述2008 年起全球产生的数据量与时间x（单位：年）的关系，根据上述数据信息，从
函数
和
中选择一个，并求出解析式.
（2）根据（1）中所求函数模型，估计 2018 年全球所产生的数据量，并与所公布数据比较，你有何看法？
【答案】
【详解】（1）设
年分别对应第年，第
年，第
年，第
年，由已知列表如
下：
画出散点图如下：
由散点图知，4 个点在一条曲线上，应选择函数
，
将数据
代入得：
，解得：
，
.
（2）2018 为第11 年，即
，代入
得
，
实际中，随着科技发展，数据增长速度可能比模型预测的更快，因为大数据时代下，互联网、物联网
等技术的发展，数据产生的渠道和速度都在不断加快，所以这个模型可能在一定程度上低估了数据量的增
长，但在没有更精准数据和复杂模型的情况下，指数函数能较好地体现数据量的增长趋势.
5．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表.
身高/
cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
平均体
重/kg
6.1
3
7.9
0
9.9
9
12.1
5
15.0
2
17.5
0
20.9
2
26.8
6
31.1
1
38.8
5
47.2
5
55.0
5
（1）根据表中提供的数据建立恰当的函数模型，使它能近似地反映这个地区未成年男性体重y（单位：
kg）与身高x（单位：cm）的函数关系？并写出这个函数的解析式.
（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2 倍为偏胖，低于0.8 倍为偏瘦，那么该地一名身高为
175cm，体重为78kg 的在校男生的体重是否正常？
【答案】（1）
；（2）这个男生偏胖.
【详解】（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图，
根据点的分布特征，可考虑以
作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.
取其中的两组数据
，
，代入
得：
用计算器算得
，
.
这样，我们就得到一个函数模型：
.
将已知数据代入上述函数关系式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程
度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.
（2）将
代入
，得
，由计算器算得
.
由于
，所以，这个男生偏胖.
6．从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量
（单位：L）与速度
（单
位：
）（
）的下列数据：
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种模型供选择：
.
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式；
（2）从甲地到乙地，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）画出散点图如图
由图知，应选择函数
，
将
代入函数解析式得：
，解得：
，
.
（2）从甲地到乙地共需
小时，设总耗油量为yL，
则
，
当
时，y 取最小值，
从甲地到乙地，这辆车应以
的速度行驶才能使总耗油量最少.
