文档文本内容
专题01 求函数的值域或最值方法总结
目录导航
01 知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系
02 考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点
▶基础梳理・自主夯基
考点01 利用函数的性质求函数的值域（最值）
考点02 分式型函数的最值问题
考点03 换元法求最值
▶高阶思维・探究拓展
难点解读01 数形结合求函数的值域
03 素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养
▶考点聚焦・解法深研
题型01 利用函数性质求函数最值
题型02 利用对勾函数求分式型函数的最值
题型03 三角换元求函数的最值
题型04 利用韦达定理求函数的值域
▶重难攻坚・考法深研
重难点01 数形结合求函数最值
04 优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用
知识脑图·核心脉络搭建
考点深研·知能分层突破
考点01 利用函数的性质求函数的值域（最值）
1、函数的单调性直接决定了函数在区间上的增减趋势，从而可以快速找到最大值和最小值；奇偶性则可
以将定义域对称区间的值域问题转化为半区间问题，简化计算。两者结合使用，尤其适用于复合函数或非
基本初等函数。
2、基本步骤
（1）确定函数的定义域，判断其是否具有奇偶性或者对称性
（2）分析函数在定义域或者子区间的单调性（利用基本函数的单调性或者导数来判断）
（3）分别求出各单调区间的值域，合并后得到函数在整个定义域上的值域。
【新题对点练】（2026·广西崇左·一模）函数
的值域为______.
【答案】
【详解】因为
，所以
，所以
，故
.
考点02 分式型函数的最值问题
分式函数常见的形式有：
一次分式：y = ax +b
cx +d
二次分式：y = a x
2+bx +c
dx +e
或y =
ax +b
c x
2+dx +e
或y = a x
2+bx +c
d x
2+ex + f
分式函数的值域常通过分离常数、配凑成对勾函数或判别式法来求解。
1、分离常数法:通过恒等变形，将分式函数化为“常数 + 简单分式”的形式，利用反比例函数（或更一
般的有理函数）的性质求值域。对于一次分式y = ax +b
cx +d ，即可以通过分离常数法来处理。
2、配凑成对勾函数
对于二次比一次型y = a x
2+bx +c
dx +e
，可以将式子分离后再配凑成对勾函数的形式，注意定义域问题。
而对于一次比二次型y =
ax +b
c x
2+dx +e ，可以先按照二次比一次型来处理，然后再取倒数。
对于二次比二次型y = a x
2+bx +c
d x
2+ex + f
，则先分离常数。（1）若将二次比二次的函数分离常数后，变成了
“常数+常数/二次”，则直接对分母的二次进行配方，找其最值，从而可以求得分式型函数的最值。
（2）若将二次比二次的函数分离常数后，变成了“常数+一次/二次”，则可以将其中的“一次/二次”的
倒数进行分离配凑成对勾函数求最值。
3、判别式法求解
对于形如y = a x
2+bx +c
d x
2+ex + f
（分子分母至少有一个为二次的）的函数，则可以将其化为关于x的二次方程
(dy -a) x
2+(ey -b) x + fy -c =0
关于方程有实数解，则它的判别式Δ≥0且满足分母不为零的条件，从而得到关于y的不等式，解出y的范
围即为值域。
判别式法求值域，要注意以下三个问题： ①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无
意义，都应从值域中去掉该值；②定义域是否属于
；③闭区间的边界值也要考查达到该值时的x 是否存
在；④分子、分母必须是既约分式（不可约分）．
【新题对点练】（2026·湖北·二模）已知函数
，则该函数的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
令
则
，则原函数的值域等价于函数
的值域，
时，
恒成立，即
单调递增，
当
时，
，
时，
，
所以值域为
.
考点03 换元法求最值
1、观察已知函数，若变量中有互相关联的部分，可化为一致形式，则可引入新元整体代换，等到新的函
数。如二次/一次或一次/二次的函数中，可以将一次化成新元t，有利于化简。又或者带根式的，可将根
式化成新元t。在换元的问题中，一定不要忘了新元的范围。
2、三角换元：函数中若含有❑√a
2- x
2,❑√a
2+ x
2这样的结构，可转化为三角函数asinθ ,acosθ的形式。
【新题对点练】（25-26 高三上湖北省直辖县级单位期中）函数
的最大值是
_______.
【答案】
【分析】令
，从而将问题转化成求二次函数
在
上的最大值，利用二次函
数的性质，即可求解.
【详解】由
，得到
，所以函数
的定义域为
，
令
，则
，所以
，对称轴为
，其图象开口向下，
所以当
时，
取到最大值，最大值为
，
故答案为：
.
难点解读01 数形结合求函数的值域
当函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式、直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，
往往会更加简单．
许多函数并非直接给出图像，但可以通过恒等变形转化为具有明确几何意义的表达式
（1）y =
❑√x
2+ px +q或y =
❑√(x -a)
2+( y -b)
2，可以转成两点间的距离
（2）y = f (x)-m
g(x)-n ，其中(f ( x), g( x))满足某种曲线方程（如圆、椭圆、直线）
（3） y =∣x -a∣+∣x -b∣表示数轴上点x到a和b的距离之和
（4）把二次函数与抛物线结合起来
难点破解（25-26 高三全国一轮复习）求函数
的值域．
【答案】
【详解】将原函数视为定点
到动点
的斜率，
又知动点
,
满足单位圆的方程，
从而问题就转化为求点
到单位圆连线的斜率问题，由相切时取得最值，
解得
．
素养进阶·答题技法突破
题型01 利用函数性质求函数最值
利用函数性质求最值，核心就是单调性定端点（单调则最值在边界），奇偶性减半域（对称区间只需看
一半），有界性直接得（如三角函数、指数函数的值域）。结合定义域，灵活套用即可。
【典例1】（2026河北保定一模）已知函数
在区间
上的值域为
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【分析】依题意构造函数
，利用函数的奇偶性定义判断其为奇函数，即得函数
的图象
关于点
对称，结合题意即可求得答案.
【详解】由题意，
，
,
令函数
，
则
，
所以
为奇函数，图象关于
对称，故
的图象关于点
对称，
因函数
在对称区间
上的值域为
，故
．
【典例2】（2026·云南昆明·二模）已知函数
，则
的最大值与最小值之差为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】根据分段函数结合指数函数单调性计算得出最值即可求解.
【详解】函数
，
因为
单调递增，所以
；
因为
单调递减，所以
；
所以当
时，
；当
时，
；
则
的最大值与最小值之差为
.
【变式1】（2026·江西上饶·二模）若函数
的定义域为
，则此函数的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据定义域确定
的范围，再结合反比例型函数得到值域即可．
【详解】函数
的定义域为
，
则
或
，
当
时，
，
当
时，
，
综上，此函数的值域为
．
【变式2】（2026·广东·模拟预测）已知函数
在
上最大值为，且
最小值为，则
_____．
【答案】
【分析】结合函数
是奇函数，得到满足关系式
，可知
图象关
于点
中心对称，由对称性知
，故只需求
的值即可.
【详解】由题意，函数
的图象在
连续不断，
由区间
关于原点对称，且对任意
，
都有
，
故
，
所以函数
的图象关于点
中心对称，
由对称性可知，函数
的图象在
内的最大值点与最小值点关于
中心对称，
故
，所以
故答案为：
.
题型02 利用对勾函数求分式型函数的最值
利用对勾函数求分式最值，关键是将分式通过分离常数或换元，化为t + k
t 的形式（k >0），然后根据t
的范围，直接写出最值。
【典例1】（2026·河南开封·模拟预测）设
，则
的最小值为_____________．
【答案】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】因为
，则
，
所以
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立.
故当
时，
的最小值为
.
【典例2】（2026 高三全国专题练习）函数
的值域是______．
【答案】
【分析】根据已知函数的性质，运用换元法化简不等式，结合的值域构造不等式，解不等式求函数的值
域．
【详解】令
，则
，原函数化为：
，
整理得
即
，当
时显然不合题意；
当
时，
，
，即
，等价于
，解得
，
原函数的值域为
.
【变式1】（2026 高三全国专题练习）求函数
的值域.
【答案】
【分析】令
，则
，利用函数的单调性求解．
【详解】令
，
，
因为
，由对勾函数的单调性知，所以
，
则
，
故函数
的值域为：
【变式2】（2026 高三全国专题练习）求函数
的值域.
【答案】
【分析】令
，
，令
，
，得
，利用函数的单调性求
解.
【详解】令
，
令
，
，
得
故函数
的值域为：
题型03 三角换元求函数的最值
三角换元求最值，适用于含❑√a
2- x
2、❑√a
2+ x
2等结构：设x =asinθ 或x =acosθ，将原函数化为三角
函数，利用其有界性求得最值。
【典例1】（25-26 高三上重庆阶段检测）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用
与
的平方和为定值，采用换元法，将原函数的值域转化为三角函数的值域问题，
对三角函数式进行变形化简后，求出三角函数的值域，得到本题答案.
【详解】
，
设
，
,
，
即函数
的值域为
，
故选：C
【典例2】（25-26 高三上江苏镇江阶段检测）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先求出函数的定义域，令
，将两边平方，求出
取值范围，再由
，即可求出
的取值范围.
【详解】令
，则
，解得
，
所以函数的定义域为
，
则
，令
，
因为
，所以
，
所以
则
，所以
，
显然
，所以
，即该函数的值域为
.
故选：D
【变式1】（25-26 高三全国一轮复习）函数
的值域为________．
【答案】
【分析】法一：利用三角换元法求解，设
，则
转化为
，设
，则
转化为
，利用二次函数的图像求值域；法二：设
，
，则
转化为
，利用二次函数的图形求解.
【详解】法一：因为
，
，
则
，
由
得到
，
由
，
则
，则
，
设
，
，
则
转化为
，对称轴为
，
由
，
，
，
故值域为
．
法二：注意到
，设
，
，
先分析t 的范围，
，
时的极限，
则
转化为
，
由
，
，
，故值域为
．
故答案为：
.
【变式2】（25-26 高三下重庆渝中阶段检测）函数
的值域是_______．
【答案】
【分析】换元令
，
，可知
表示点
与定点
连线的斜率，
且点
的轨迹为
圆，根据图象结合直线与圆的位置关系运算求解.
【详解】因为
，且
，
，
令
，
，则
，
可知
表示点
与定点
连线的斜率，且点
的轨迹为
圆，
注意到
，
，
三点共线，此时斜率
，
若直线
与圆相切，显然此时斜率存在，且小于0，
设直线
，即
，
则
，解得
或
（舍去），
可得
，所以函数
的值域是
.
题型04 利用韦达定理求函数的值域
利用韦达定理求值域，通常是将函数转化为关于x的二次方程，通过判别式Δ≥0得到y的不等式，解出
值域。韦达定理可用于检验根的存在性（如和积关系），但核心仍是二次方程有实根的条件。注意定义
域限制（如分母不为零）需单独验证。
【典例1】（25-26 高三全国一轮复习）求下列函数的值域：
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将函数化为
，利用基本不等式即可求解；
（2）将函数化为
，先求出
的范围即可求出函数的值域.
【详解】（1）因为
，所以
，所以
，当
且仅当
时取等号，所以函数的值域为
.
（2）由
，得
，
由
，得
，
所以
，
所以函数的值域为
.
【典例2】（25-26 高三全国一轮复习）已知函数
的值域为
，求
，
的值．
【答案】
【分析】去分母，并整理成关于
的一元二次方程的形式，当
时，根据一元二次方程有实数根的
条件列式，并结合一元二次不等式和一元二次方程的关系列方程组求解，并验证
时也符合题意，
从而可得最终结果.
【详解】将式子变形为
；
当
时，
；即
；
所以1，9 是方程
的两个根，代入得：
；解得
；
将
代入，当
时，方程化为
，有实数解
，故
在值域内，符合题意.
综上，
．
【变式1】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的值域是
，则
______，
______．
【答案】
3
【分析】首先将函数变形为
，这个方程组有解，则判别式大于0，再由韦达定理即可求
的结果.
【详解】将函数变形为
．
当
时，这个关于x 的方程有解，
则
，即
．
由题设知
，
是方程
的两个根，
根据韦达定理，得
，
，
解得
，
．
当
时，
，
也满足题意．
故答案为：
【变式2】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的值域是
，求实数m，n
的值．
【答案】
，
或
，
【分析】将函数的值域问题转化为一元二次方程有解问题进行求解即可.
【详解】由
可得，
，即
，
此方程一定有解，则
，即
，
因为函数
的值域是
，
所以不等式
的解集为
，
所以
和
是方程
的两根，
所以
，解得
或
.
重难点01 数形结合求函数最值
数形结合求最值，核心是赋予函数几何意义（如斜率、距离、截距），画出图形后利用几何直观找最值
点（如切线、端点、对称点）。关键在于准确转化并注意定义域对应的图形范围。
【典例1】（2025 高三全国竞赛）函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】变形函数解析式得到
，问题转换成点
到点
和
轴的距
离之和，即可求解.
【详解】将
变形可得
，
设
，则
的轨迹方程为
，设
，
则
表示抛物线
上的点到点
和
轴的距离之和，
过
点作
轴于
，过
点作
轴于
，交抛物线
于点
，
故
，
所以
，
故选：B.
【典例2】（25-26 高三上广西崇左期末）已知函数
的值域是
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】利用数形结合，把分式看成动点到定点的斜率，然后通过代数法来求切线斜率，即可得到函数值
域.
【详解】因为
，且
，所以函数
的定义域为
．
设
，
，则
是直线
的斜率．
点
是半圆
上的动点．如图，
设点
，则
．
设切线
的方程为
，即
．
由圆心
到切线
的距离
，解得
（舍去）或
．
由图可知
，即
的值域为
，
则
．
故选：A.
【变式1】（2026安徽合肥模拟预测）已知函数
，则
的最小值为
______．
【答案】4
【分析】构造函数
，通过配方，把问题转换成
到直线
和点
的距离
之和的
倍，即可求解.
【详解】构造函数
，
因为
恒成立，所以
，
则函数
可表示点
到直线
和点
的距离之和的
倍.
构造抛物线
，过点
作直线
的垂线
，垂足为
，交抛物线于两点，如图，
此时直线
的方程为：
，即
，
联立方程得
，易得交点分别为
，
于是当点
重合于交点
或
时，
取得最小值
.
从而
的最小值为4．
【变式2】（2025 高三全国竞赛）函数
的最小值为_____.
【答案】3
【分析】过对函数解析式配方，将问题转换成抛物线
上的点
到直线
的距离与点
的距离之和，即可求解.
【详解】
其几何意义为抛物线
上的点
到直线
的距离与点
的距离之和.
过点
向
作垂线，垂足为
，
如图，
，等号成立时
三点共线.
所以当
时，函数
的最小值为3.
故答案为：3
优题精练·专题实战通关
1．（25-26 高三上河北期末）下列函数中，值域为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据指数函数的单调性判断A 选项；分离常数后根据反比例函数的单调性判断B 选项；配方后根
据对数函数的单调性判断C 选项；利用余弦的倍角公式展开后将式子配方，然后结合二次函数性质判断D
选项.
【详解】对于A，因为
，所以
，所以
，即
的值域为
；
故A 错误；
对于B，
，因为
，所以
，所以
，所以
，即
的值域为
，故B 正确；
对于C，因为
，所以
，即
的值域为
，故C 错误；
对于D，
，因为
，所以
，即
的值域为
，故D 错误.
故选：B.
2．（2025 高三全国专题练习）函数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．7
D．3
【答案】B
【分析】根据题意，令
进行三角换元化简，根据正弦型函数的值域求解即可.
【详解】原函数可得
.
由
，
令
，
，
可得
.
因为
，所以
，
即
，
所以函数的最小值为
.
故选：B.
3．（2025 高三全国专题练习）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解方程，用
表示
，解得
的范围，即为值域.
【详解】设
，则
，
两边同时平方得
，即
，
当
时，
不成立，所以
，所以
，
所以
即
整理得
，即
，
解得
或
，
故选：B．
4．（多选）（2026山东枣庄一模）已知函数
，则（ ）
A．
为奇函数
B．
的值域是
C．
有极值
D．存在实数
，
，使得
在
上的值域为
【答案】ABD
【分析】根据函数奇偶性的定义判断A；先化简
，进而结合指数函数的性质求解判断B；
先判断函数
的单调性，即可判断C；若
在
上的值域为
，可得
与
在
上有两个交点，进而结合图象判断D.
【详解】对于A，由
，
，
则
，
所以
为奇函数，故A 正确；
对于B，由
，
而
，则
，即
，
则
，即
，
所以
的值域是
，故B 正确；
对于C，由B 知，
，
因为函数
在
上单调递增，且
，
所以函数
在
上单调递减，
则
在
上单调递增，无极值，故C 错误；
对于D，由C 知，函数
在
上单调递增，
若
在
上的值域为
，
则
，
所以方程
在
上有两个不相等的实根，
则
与
在
上有两个交点，
结合
为奇函数，在
上单调递增，且
的值域是
，
且
，
，
可作出函数
与
的大致图象如下：
由图可知
与
在
上有两个交点，
因此存在实数
，
，使得
在
上的值域为
，故D 正确.
故选：ABD
5．（2026 高三全国专题练习）（
1）若函数
在
上的值域是
，则实数a 的值为
______．
（2）函数
的最小值为______．
（3）函数
的最大值为______．
【答案】
【分析】（1）利用函数在给定区间单调递增的性质，由区间端点对应值域端点列方程组，求解参数
的值；
（2）通过配凑分式结构变形函数，运用基本不等式求函数最小值并确定取等条件；
（3）换元将根式函数转化为关于的函数，借助对勾函数单调性求出最值，进而得到原函数最大值.
【详解】（1）因为函数
在区间
上是增函数，值域为
.
所以
，
，即
，解得
．
（2）
.
当且仅当
，即
时，
．
（3）令
，则
，所以
，所以
.
设
，则
在
单调递增.
所以
，所以
（
时取等号），即
的最大值为
．
6．（25-26 高三上江苏镇江开学考试）已知函数
，则
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先利用导数来判断单调性，进而求出最值可得答案.
【详解】因为
，所以
的定义域为
.
，
令
，即
，得
，
当
时，
，则
单调递增；
当
时，
，则
单调递减；
所以
时
取得最大值，即
，
又
，即最小值为
.
所以
的值域为
.
故选：C
7．（2025 高三全国专题练习）函数
的值域为______.
【答案】
【分析】先求出函数的定义域为：
,得
,再由
在
上是单
增函数进行求解即可.
【详解】依题意，因为
，得
，
所以函数的定义域为：
，
得
，
得
而
因为
在
上都是单增函数，
所以
在
上是单增函数，
故
在
上是单调递增函数，
得
，
综上知，函数
的值域为
.
故答案为:
8．（2026山西忻州模拟预测）若函数
的最小值为4，则实数
的所有取值
之和为__________.
【答案】4
【分析】根据多个绝对值和的最小值在绝对值零点的中位数位置取得的性质，按
、
、
三种情况分类讨论，分别求出函数最小值并令其等于4，解出符合条件的
后计算所有
的取值之和.
【详解】
表示数轴上动点
到定点、、
的距离之和，
对于奇数个绝对值相加，距离和的最小值在中间点（中位数）处取得，
分情况讨论：
当
时，三个点排序为
，最小距离和为
，
令
，解得
；
当
时，三个点排序为
，最小距离和
，不合题意，舍去；
当
时，三个点排序为
，最小距离和为
，
令
，解得
；
的所有取值为
和，取值之和为
.
9．（25-26 高三全国一轮复习）求函数
的值域.
【答案】
【分析】
表示过点
的直线与单位圆有交点时直线的斜率，利用直线与圆的位置关系列式即可
求出答案.
【详解】可联想直线中已知两点求直线的斜率的公式
，
如下图所示，
表示过点
的直线与单位圆有交点时直线的斜率，
令直线方程为
，原点到直线的距离为
，
故
，
所以函数
的值域为
.
10．（2025 高三全国专题练习）求函数
的最大值和最小值.
【答案】最大值
，最小值为
.
【分析】利用
，
换元，结合切化弦以及倍角公式化简得出
即可求出最
值.
【详解】
，
令
，
，
则
，
，
则当
或
，即
或
时，
取得最大值
，
当
或
，即
或
时，
取得最小值为
.
