文档文本内容
第07 讲 抛物线及其性质
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................4
知能解码.........................................................................................................................................4
知识点1 抛物线的定义.......................................................................................................4
知识点2 抛物线的标准方程与几何性质...........................................................................4
题型破译................................................................................................................................................5
题型1 抛物线的定义与标准方程.......................................................................................5
【方法技巧】焦点与准线
题型2 抛物线的焦点坐标及准线方程...............................................................................6
【方法技巧】焦点与准线相反
题型3 抛物线的轨迹方程...................................................................................................6
【方法技巧】到点与到线的距离相等
题型4 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
...........................................7
题型5 焦半径问题...............................................................................................................7
题型6 抛物线的几何性质
............................................................................................8
题型7 抛物线中三角形，四边形的面积问题
.............................................................9
题型8 抛物线的实际应用.................................................................................................10
04
题
真
溯源·考向
知
感
........................................................................................................................11
05 课本典例·
考
高
素材........................................................................................................................12
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
1.掌握抛物线的定义、
几何图形、标准方程
2.掌握抛物线的简单几
何性质( 范围 、对称
性、顶点、离心率)
3.了解抛物线的简单应
用
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷，第10
题，6 分
全国二卷，第6
题，5 分
天津卷，第9
题，5 分
北京卷，第11 题，5 分
天津卷，第12 题，5 分
新课标II 卷，第10
题，6 分
新课标I 卷，第22 题，12
分
新课标
卷，第
Ⅱ
10 题，5
分
全国乙卷（文数），第13
题，5 分
北京卷，第6 题，4 分
考情分析：
从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，其中标准方程和几何性质考查比较频繁．抛物线是
圆雉曲线的重要内容，新高考主要考查抛物线的定义、方程、焦点、准线及其几何性质的应用.
复习目标：
1.理解、掌握抛物线的概念，能够求解抛物线的标准方程；
2.能掌握抛物线的几何性质；
3.具备数形结合的思想意识，会借助几何图形，解决直线与抛物线的位置关系问题；
4.会解抛物线的弦长，与面积等问题.
知识点1 抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作 .点F
叫作抛物线的焦点，直线l 叫作抛物线的 .
(2)集合语言表示
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M 到直线l 的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.
自主检测（多选）已知抛物线
的焦点为F，准线为l，O 为坐标原点，点
在抛物线C 上，
直线
分别与l 交于A，B，直线
与抛物线C 交于另一点N，则（ ）
A．F 的坐标为
B．
C．
D．
知识点2 抛物线的标准方程与几何性质
自主检
测
（2025
·海南
海口·
模拟预
测）如
图，设
抛物线
的焦点
为F，
不经过
焦点的
直线上
有三个
不同的
点A，
B，C，
其中点
A，B
在该抛
物线上，
点C 在
y 轴上，
若
标准
方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
图象
顶点
(0,0)
(0,0)
轴
对称轴y=0
对称轴x=0
焦点
准线
离心率
e =1
e=1
开口
开口向右
开口向左
开口向上
开口向下
焦半径
范围
x≥0
x≤0
y≥0
y≤0
，
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．4
题型1 抛物线的定义与标准方程
例1-1 已知抛物线
上的点
到焦点
的距离为4，则点
到
轴的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
例1-2（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等边三角形的一个顶点位于抛物线
的焦点，另外两个顶
点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧
（1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置：
（2）根据题目条件列出P 的方程
（3）解方程求出P，即得标准方程
【变式训练1-1】已知抛物线
的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P 作
且垂足为Q，若
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2】抛物线
上与焦点的距离等于3 的点的坐标是 ．
题型2 抛物线的焦点坐标及准线方程
例2-1 抛物线
的准线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
例2-2（多选）已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线
上，若
，O 为坐标原
点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的坐标为
【变式训练2-1】（多选）已知抛物线
的焦点为F，A，B 是抛物线上两动点，下列说法正确的有
（ ）
A．抛物线的焦点坐标为
B．若
，则线段AB 的中点到
轴的距离为3
C．以线段
为直径的圆与
轴相切
D．以
为圆心，线段
的长为半径的圆与准线相切
【变式训练2-2·变考法】（2025·江苏徐州·模拟预测）已知抛物线
的焦点为
，
在C 上，
则
．
【变式训练2-3·变载体】已知
是抛物线
的焦点，M 是C 上一点，
的延长线交
轴于点
N，若M 为
的中点，则
.
题型3 抛物线的轨迹方程
例3-1 已知动点
到点
的距离比它到直线
的距离大1，则动点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-2 已知曲线
上任一点
与点
的距离比它到
轴的距离大
．
(1)求曲线
的方程；
(2)求过定点
且与曲线
只有一个公共点的直线的方程．
方法技巧
（1）关于坐标轴对称的点；
（2）标记为F 的点；
（3）圆心；
（4）题上提到的定点等等．
当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．
【变式训练3-1】若点P 到点
的距离比它到直线
的距离小2，则点P 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】在平面直角坐标系
中，点
到点
的距离比点
到直线
的距离小
，记动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线
的方程；
(2)已知直线过点
且与曲线
交于
两点，求
的值.
题型4 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
例4-1 已知P 是抛物线
上的一个动点，那么点P 到直线
的距离与到该抛物线准线距离之和
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例4-2 已知
是抛物线
上的一个动点，则
到
的距离与
到准线的距离之和的最小值为
.
方法技巧
（1）抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，
（2）把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握抛物
“
线的定义及其性质，
”
（3）若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解．
【变式训练4-1】（2025·海南儋州·模拟预测）已知
，
，P 为抛物线
上一动点，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．5
【变式训练4-2·变载体】已知抛物线
的焦点为
，定点
，若对抛物线
上任一动点
，
都有
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
题型5 焦半径问题
例5-1 已知
为坐标原点，
为抛物线
的焦点，点
在
上，且
，
则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
例5-2 已知O 为坐标原点，F 是抛物线C：
的焦点，A，B 是C 上位于x 轴异侧的两点，且
，
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧
若
为抛物线
的焦点弦，
，
，则有以下结论：
（1）
．
（2）
．
（3）焦点弦长公式1：
，
，当
时，焦点弦取最小值
，即所
有焦点弦中通径最短，其长度为
．
焦点弦长公式2：
（
为直线
与对称轴的夹角）．
（4）
的面积公式：
（
为直线
与对称轴的夹角）．
【变式训练5-1】设抛物线
的焦点为F，准线为l，P 为抛物线上一点，
，A 为垂足，如果直
线
的斜率为
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式训练5-2】（2025·云南·模拟预测）已知点
在抛物线C：
上，则A 到C 的焦点的距离
为 ．
【变式训练5-3】设
为抛物线
：
的焦点，点
为
上一点，过
作
轴的垂线，垂足为
，若
，则
．
题型6 抛物线的几何性质
例6-1 已知抛物线
：
与圆
：
（
）交于
，
两点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．1
例6-2 已知抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选一个条件，使得抛物线开口向
右，并根据所选条件写出一个抛物线的标准方程.①焦点
；②经过点
.你所选的条件是
，得到的一个抛物线标准方程是 .
方法技巧
已知
、
是过抛物线
焦点
的弦，
是
的中点，是抛物线的准线，
，
为垂足．
x
y
B
F
A
C
D
N
M
O
（1）以
为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y 轴相切；
（2）
，
（3）
；
（4）设
，
为垂足，则
、
、
三点在一条直线上
【变式训练6-1】（多选）已知抛物线
的焦点为
，顶点为
，过点
作直线，交抛物线
于
，
两点，点
在
轴上方，分别过点
，
作直线
的垂线，垂足分别为
，
，则下列说法
正确的是（ ）
A．直线
是抛物线
的准线
B．若直线的斜率为2，则
C．
面积的最小值为4
D．
的最小值为18
【变式训练6-2】）已知抛物线
的焦点为
，
为
上的一点，过
作
的准线的垂线，垂足为
，
，则直线
的方程为（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
题型7 抛物线中三角形、四边形的面积问题
例7-1 已知点
在抛物线C：
上，F 为抛物线的焦点，则
（O 为坐标原点）的面积
是（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
例7-2 已知抛物线C：y
2=2 px（p>0）的焦点为F，直线l 与C 相交于A、B 两点，与y 轴相交于点E．
已知|AF|=5，|BF|=3，若△AEF的面积是△BEF面积的2 倍，则抛物线C 的方程为（ ）
A．y
2=2 x
B．y
2= 4 x
C．y
2=6 x
D．y
2=8 x
方法技巧
利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从
而计算其面积或面积之比．
【变式训练7-1】已知点 M 在曲线
上，过M 作圆
的切线，切点分别为A，B，
则四边形MACB 的面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．3
D．9
【变式训练7-2】已知抛物线C：y²=8x 的焦点为F，准线为l，过点F 的直线交C 于P，Q 两点，
于
H，若
，O 为坐标原点，则
与
的面积之比为（ ）
A．8
B．4
C．3
D．2
【变式训练7-3】设F为抛物线y
2= 4 x的焦点，A ,B ,C为该抛物线上不同的三点，且⃗FA +⃗FB+⃗FC =⃗0,O
为坐标原点，若△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2、S3，则S1
2+ S2
2+ S3
2=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
题型8 抛物线的实际应用
例8-1 有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 米时，水面宽4 米．则水位上涨1 米后，水面宽为（ ）
A．
米
B．2 米
C．
米
D．4 米
例8-2（2025·海南海口·一模）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860 年他奉拿破仑三世之命，
研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广
泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到
大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m
的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（ ）
A．0.25
B．0.5
C．1
D．2
【变式训练8-1】如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面
，水面宽
，根据图中坐
标系，这条抛物线的方程为 ．
【变式训练8-2·变考法】某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方
向运行的轨迹方程为
，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为
对称轴，
为顶点的抛物线的一部分（从点C 到点B）．已知观测点A 的坐标为
，当航天器与
点A 距离为4 时，指挥中心向航天器发出变轨指令．
(1)求航天器变轨时点C 的坐标；
(2)求航天器降落点B 与观测点A 之间的距离．
1．（2023·北京·高考真题）已知抛物线
的焦点为
，点
在
上．若
到直线
的距离
为5，则
（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
2．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线
的焦点为
点A 在C 上，过A 作
的准线的
垂线，垂足为B，若直线BF 的方程为
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）已知抛物线
的焦点为F，过F 的一条直线交C 于A，B
两点，过A 作直线
的垂线，垂足为D，过F 且与直线
垂直的直线交于点E，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）抛物线C：
的准线为l，P 为C 上的动点，过P 作
的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l 与
相切
B．当P，A，B 三点共线时，
C．当
时，
D．满足
的点
有且仅有2 个
5．（2024·北京·高考真题）抛物线
的焦点坐标为 ．
6．（2024·上海·高考真题）已知抛物线
上有一点
到准线的距离为9，那么点
到
轴的距离为
．
7．（2023·上海·高考真题）曲线
，第一象限内点A 在Γ 上，A 的纵坐标是a．
(1)若A 到准线距离为3，求a；
(2)若a＝4，B 在x 轴上，AB 中点在
上，求点B 坐标和坐标原点O 到AB 距离；
(3)直线
，令P 是第一象限Γ 上异于A 的一点，直线PA 交l 于Q，H 是P 在l 上的投影，若点A 满
足对于任意
“
P 都有
，求
”
a 的取值范围．
1.在同一坐标系中画出下列抛物线：
（1）
（2）
；
（3）
．
再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x 的系数之间的关系．
2.已知F 是抛物线
的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N．若M 为FN 的中点，求
．
3.已知探照灯的轴截面是抛物线
（如图），平行于x 轴的光线照射到抛物线上的点
，反射光
线经过抛物线的焦点后又照射到抛物线上的Q 点．试确定点Q 的坐标．
4.某种汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线的一段，灯口直径为197mm，反光曲面的顶点到灯口
的距离是69mm．由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平
行光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡（精确到1mm）？
5.一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射
入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图，已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为
1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.
6.已知平面直角坐标系中，动点M 到
的距离比M 到x 轴的距离大2，求M 的轨迹方程，并在平面
直角坐标系中作出轨迹曲线．
