文档文本内容
专题01 立体几何初步
题型1 空间几何体的结构特征
解决与空间几何体结构特征有关的问题的技巧
(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种几何体的概念，要善于通过举反例
对概念进行辨析，即要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可．
(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意正确利用轴截面中
各元素的关系．
(3)因为棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为
锥”的解题策略．
1．（24-25 高三下·江苏盐城·期中）下列关于空间几何体的论述，正确的是（ ）
A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线
D．圆台的轴截面不可能为直角梯形
2．（2025 高三·全国·专题练习）以
为六条棱长的四面体个数为 ．
3．（2025 高三·全国·专题练习）若
沿各边中点连线翻折后恰为三棱锥，则
一定是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．不确定
题型2 直观图
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段的位置，注意“三变”与“三不变”．
(2)平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系是S 直观图＝S 原图形．
4．（2025·陕西西安·二模）如图，四边形
的斜二测画法的直观图为等腰梯形
，已知
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．四边形
的面积为
D．四边形
的周长为
5．（2025·四川成都·模拟预测）用斜二测画法画出的水平放置的平面图形
的直观图为如图所示的
，已知
是边长为2 的等边三角形，则顶点
到
轴的距离是 .
6．（24-25 高三下·重庆·阶段练习）已知正三棱锥的体积为
，其底面三角形的斜二测直观图面积为
，
则三棱锥的高为（ ）
A．2
B．
C．1
D．
题型3 几何体表面距离最短问题
解决空间几何体表面距离最短问题,需通过展开，把问题转化为平面两点间线段最短问题．
多面体表面展开图可以有不同的形状，要观察并想象立体图形与表面展开图的关系．
7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）在长方体
中，
，且点
满足
，点
分别在直线
和平面
上，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·江苏泰州·二模）在三棱锥
中，底面
为斜边
的等腰直角三角形，顶点S
在底面
上的射影为
的中点．若
，
为线段
上的一个动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·重庆·模拟预测）已知圆锥的高为
，底面直径
的长为
，那么从点A 出发沿该圆锥
的表面到点B 的最短路径长为
．
10．（2025·浙江温州·三模）已知圆台上下底面半径分别为1，2，母线长为2，则圆台的体积等于 ；
为下底面圆周上一定点，一只蚂蚁从点
出发，绕着圆台的侧面爬行一周又回到点
，则爬行的最短距
离为 ．
题型4 空间几何体的表面积
空间几何体的侧面积和表面积
(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长
与对应侧面展开图中边的关系．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
11．（2025·北京·模拟预测）攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、
四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构.如图
所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四
棱台的组合体.已知正四棱台侧棱、下底的长度（单位：dm）分别为4，6，侧面与底面所成二面角的正切
值为
，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2025·海南海口·模拟预测）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2 倍，那么该圆锥的表面积与圆
锥的内切球表面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知一个等腰梯形的下底边长是上底边长的3 倍，两腰与下底边所成角
为
，面积为
．若该等腰梯形是一个圆台的轴截面，则该圆台的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2025·河北石家庄·模拟预测）已知正三棱台的下底面边长为
，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角
为
，则该三棱台的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型5 空间几何体的体积
求空间几何体的体积的常用方法
公式法
规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解
割补法
把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者补成规则的几何体，再求
解
等体
积法
通过选择合适的底面来求几何体的体积，特别是三棱锥的体积(即利用
三棱锥的任一个面均可作为三棱锥的底面，进行等体积变换)
15．（2025·北京西城·模拟预测）有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．
已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2025·湖南邵阳·模拟预测）在正方体
中，E，F，G 分别是
，
，
的中点，
过E，F，G 三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2025·宁夏吴忠·二模）已知矩形
中，
，
，以
所在直线为旋转轴，将矩形
旋转一周形成一个几何体
，则
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知高为
的圆锥的底面半径是圆柱底面半径的两倍，圆柱的高为圆
锥高的两倍，且圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2025·四川成都·模拟预测）已知正四棱台的上、下底面面积分别为4 和16，侧棱长为
，则该正四
棱台的体积为（ ）
A．
B．
C．56
D．
题型6 几何体的外接球
①长（正）方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．②可以补
成长方体的一些特殊三棱锥如下,上面讲到的“共斜边的直角三角形所成的三棱锥”也可算作
其中一种，据此可确定球心.
图形特征三棱锥的三条侧棱两两
互相垂直
三棱锥的四个面均是直
角三角形
三棱锥的对棱两两
相等
图示
③确定多面体的外接球球心的方法:寻找几何体中一个面的外接圆圆心O1（正三角形的外心为
中心，直角三角形的外心为斜边的中点，一般三角形可用正弦定理确定外心），过点O1作该
平面的垂线，则球心在垂线上，球的半径可用勾股定理求得,如图所示.
20．（2025·福建龙岩·二模）已知正四棱台
的上，下底面边长分别为
和
．若该棱
台的体积为
，则该棱台的外接球表面积为（ ）.
A．
B．
C．
D．
21．（2025·四川成都·三模）在圆台
中，圆
的半径是圆
半径的2 倍，且点
为该圆台外接球球
心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（）
A．
B．
C．
D．
22．（2025·黑龙江·二模）在四棱锥
中，侧面
底面ABCD，侧面SAD 是正三角形，底面
ABCD 是边长为
的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ）
A．5π
B．10π
C．28π
D．56π
23．（2025·河北保定·一模）已知三棱锥
中，
平面
，
，
，
，
则三棱锥
的外接球表面积（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（24-25 高三上·湖南常德·阶段练习）如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
为
的中点，P 为
上的动点，则三棱锥
的外接球表面积的最小值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型7 几何体的内切球
求几何体内切球的方法主要有两种.①等体积法：内切球的球心到多面体各个面的距离均相
等，故可用等体积法，由V=1
3 Sr，得r=3V
S
（V为多面体的体积，S为多面体的表面积，r为
内切球的半径）.②轴截面法：适用于对称几何体，作出轴截面，利用相似三角形以及勾股
定理求解.
25．（2025·重庆·三模）棱长为
的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一
个小球，则这样一个小球的体积最大为（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（2025·广西北海·模拟预测）已知一个正四棱锥的底面边长为
，内切球的体积为
，则这个正四
棱锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．16
27．（24-25 高三上·江苏南京·开学考试）已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为4 的扇形，则此圆
锥内切球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型8 与球有关的截面问题
巧用直角三角形解决截面圆问题的步骤
(1)确定球心O 和截面圆的圆心O′．
(2)探求球的半径R 和截面圆的半径r．
(3)利用OO′2＋r2＝R2计算相关量．
28．（2025·江西上饶·二模）如图，球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面
的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，球缺的体积公式是
．已知正方体
棱长为1，则该正方体与以
为球心，
为半径的球的公共部分的体积为 ．
29．（2025·云南·一模）已知球
的半径为
，圆
的半径为，且圆
是球
的一个截面，若圆
的面
积与球
的表面积之比为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
30．（2025·河北秦皇岛·三模）已知正方体
的各顶点都在球
的表面上，若球
的表面积
为
，则平面
截球
所得的截面面积为 ．
题型9 点共线、点（线）共面、线共点问题
共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内(或证两平面
重合)．
(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证
明这些点都在同一条特定直线上．
(3)证明线共点的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
31．（2025·安徽合肥·二模）若空间中三条不同的直线
，
，满足
，
，则
是
，
，
共面的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
32．【多选】（24-25 高三下·江苏镇江·阶段练习）如图，在长方体
中，
，
分别为
，
的中点，
，
分别为
，
的中点，则（ ）
A．四点
，
，
，
在同一平面内
B．三条直线
，
，
有公共点
C．直线
与直线
相交
D．直线
上存在点
使
，
，
三点共线
33．【多选】（2025·广东惠州·模拟预测）如图，在长方体
中，
，
分别为
，
的中点，
，
分别为
，
的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．四点
，
，
，
在同一平面内
B．三条直线
，
，
有公共点
C．直线
与直线
不是异面直线
D．直线
上存在点
使
，
，
三点共线
题型10 空间两直线位置关系的判定
空间中两直线位置关系的判定方法
34．（2025·山东济南·三模）如图，下列正方体中，M，N，P，Q 分别为所在棱的中点，则在这四个正方
体中，直线MN 和PQ 为异面直线的是（ ）
A．
B．
C．
D．
35．（2025·上海·模拟预测）如图，
是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是
（ ）．
A．
和
；B．
和
；
C．
和
；
D．
和
．
36．（25-26 高三上·江苏镇江·开学考试）在正方体
中，点
满足
，
则（ ）
A．
与
一定是异面直线
B．
与
一定是异面直线
C．
D．
平面
题型11 异面直线所成的角
异面直线所成角的求法
方法
解读
平移法
将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有
的平行线或者作平行线， 形成三角形求解
补形法
在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线
相应的位置，形成三角形求解
37．（2025·江苏南京·三模）在直三棱柱
中，所有棱长都相等，
，
，
分别是棱
，
，
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
38．（2025·云南红河·三模）在四棱锥
中，底面
为矩形，
平面
，
为
的中
点，
，若四棱锥
的外接球半径为2，则
与
所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
39．（2025·广西南宁·二模）已知圆柱的轴截面是边长为2 的正方形，
与
分别为该圆柱的上、下底
面的一条直径，若从点
出发绕圆柱的侧面到点
的最小距离为
，则直线
与直线
所成的角
为（ ）
A．
B．
C．
D．
40．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，三棱柱
的所有棱长都为
，且
，
、
、
分别为
、
、
的中点，则异面直线
和
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型12 空间几何体的交线与截面问题
1.空间几何体的截面作图的常用方法
(1)平行线法．用平行线法解决截面问题的关键是：截面与几何体的两个平行平面相交，或
者截面有一条直线与截面上某点所在的几何体的某一个表面平行．
(2)延长线法．用延长线法解决截面问题的关键是：截面上至少有两个点在一个几何体的一
个表面上，那么这两点的连线一定在截面内．
2.作交线的两种方法
(1)利用基本事实3 作交线．
(2)利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交
线．
41．（2025·广东湛江·二模）已知正方体
的棱长为
，以顶点A 为球心，
为半径的球
的球面与正方体的表面的交线总长为（ ）
A．
B．
C．
D．
42．（2025·青海海东·二模）如图，在正方体
中，
，
，
分别是棱
，
的
中点，则正方体
被平面
所截得的截面周长是（ ）
A．
B．
C．
D．
43．（2025·全国·模拟预测）正方体
的棱长为4，点M 在棱
上，平面ACM 把正方体
分成两个几何体，其中一个几何体的体积为14，则平面ACM 截正方体
所得的截面周长为（ ）
A．
B．
C．
D．15
44．（2025·内蒙古包头·模拟预测）如图，正方体
的棱长为2，
分别是棱
的
中点，点
是底面
内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．不存在点
，使得
平面
B．过
三点的平面截正方体所得截面图形是五边形
C．三棱锥
的体积为4
D．三棱锥
的外接球表面积为
题型13 与线、面平行相关命题的判定
(1) 判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理；
(2) 结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．
45．（2025·四川成都·模拟预测）已知
是两条不同的直线，
是三个不同的平面，则下列结论正
确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
46．（2025·安徽合肥·模拟预测）设
是两条不重合的直线，
是三个不重合的平面，则下列命题
中错误的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
47．（2025·北京·三模）已知平面
，直线
，则下面结论正确的是（ ）
A．若
，则
；
B．若
，则
；·
C．若
，则
；
D．若
，则
；
题型14 直线与平面平行的证明
(1)判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点)．
②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面
确定交线．
48．（2025·四川成都·一模）如图，在四棱台
中，下底面是边长为
的正方形，侧棱
与底面垂直，且
.
(1)证明：
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角的大小.
49．（2025·海南·模拟预测）如图，在三棱台
中，
底面
，
与
都是
等腰直角三角形，
，
、
分别为
、
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求异面直线
与
夹角的余弦值．
50．（2025·山西晋城·模拟预测）如图，在四棱柱
中，底面
为平行四边形，点
是线段
上的一个动点，
、
分别是
、
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)若四棱柱
的体积为
，求三棱锥
的体积
的值.
51．（2025·山东青岛·三模）如图，已知底面
是正三角形，
平面
，
平面
，
．
(1)若
，
是
中点，证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值．
题型15 直线与平面平行的性质
1．线面平行的性质定理是证明两条直线平行的常用方法．
2．在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，应严格按照定理成立的条件规范书写
步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相
交，这时才有直线与交线平行．
3．线面平行的判定定理和性质定理使用的区别：若结论中有a∥α，则要用判定定理，
在α 内找与a 平行的直线；若条件中有a∥α，则要用性质定理，找(或作)过a 且与α 相交的
平面．
52．（2025·北京大兴·三模）如图，矩形
，平面
平面
，
，平面ADF 与棱BE 交于点
．
(1)求证：
；
(2)求直线CF 与平面ADF 夹角的正弦值．
53．（2025·湖南长沙·三模）在直三棱柱
中，
，
，
，
，
，
(1)若
平面
，求
的值；
(2)若二面角
与二面角
的大小相等，求
的值．
54．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
为直角梯
形，且
，
，
，
为
上一点．
(1)若
，
，且
平面
，求
的值；
(2)若点
不与
和
重合，且二面角
的余弦值为
，求直线
与平面
所成角的大小．
题型16 平面与平面平行的证明
证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的定义．
(2)利用面面平行的判定定理．
(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．
(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相
交直线．
55．（2025·上海杨浦·三模）如图，在四棱锥
中，
平面ABCD，
，
，点
E，F，G 分别为PD，AB，AC 的中点.
(1)求证：平面
平面PBC；
(2)若
，
（i）求点F 到平面AEG 的距离.
（ii）画出四边形ABCD 的斜二测直观图，并求斜二测直观图面积
56．（2025·安徽·模拟预测）如图1，E，F，G，H 分别是正方形
各边中点，将
分别沿
折起，使得
所在平面与底面
均垂直（如图2），连接
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
所成二面角的正切值．
57．（2025·四川德阳·三模）如图，四边形
是矩形，
平面
，
，
，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若平面
与棱
交于点
，求平面
与平面
所成角的正弦值.
题型17 平面与平面平行的性质
面面平行条件的应用
（1）两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行；
（2）两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.
提醒 利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线.
58．（2025·北京·模拟预测）在如图所示的多面体中，
，四边形
为矩形，
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)
，平面
平面
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
59．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在斜三棱柱
中，侧面
底面
，侧棱
与底面
成
的角，
，底面
是边长为2 的正三角形，其重心为
，
是线段
上一点，
且
平面
.
(1)求
的值；
(2)求平面
与底面
所成的二面角的正切值.
60．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在四棱锥
中，
底面
，
．
(1)设
分别为
的中点，
为
的重心，证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
61．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在正方体
中，已知
分别为棱
，
，
，
的中点．求证：
(1)平面
平面
；
(2)平面
平面
．
题型18 平行关系的综合应用
三种平行关系的转化
提醒：解答探索性问题的基本策略是先假设，再证明．
62．（24-25 高三下·河南驻马店·开学考试）如图所示，在这个正方体中，棱长为2，E、F 分别为所在棱的
中点，点
在棱
上，且满足
.
(1)若
，求证：
平面
；
(2)若点
在线段
上，且满足
平面
，且
的取值范围为
，求
的取值范围.
63．（24-25 高三下·广东汕头·期中）如图，四棱锥
中，
平面
，底面
是正方
形，
，
为
中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
平面
；
(3)设平面
平面
，求证：
平面
．
题型19 与线、面垂直相关命题的判定
此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除．
64．（2025·天津·二模）已知
为两条不同的直线，
为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
C．
，
D．
，
65．（2025·重庆·二模）已知
是两条不重合的直线，
是两个不重合的平面，则下列说法
正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
66．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知直线
、
与平面
、
、
，则能使
的充分不必要条件是
（ ）
A．
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
题型20 证明线线垂直
67．（2025·广东·模拟预测）如图，四边形
为正方形，
为正三角形，平面
平面
是线段
的中点.
(1)证明：
；
(2)若
，
，
，
，
在同一个球面上，设该球面的球心为
，求直线
与平面
所成角的正
弦值.
68．（2025·全国·模拟预测）如图所示，平面四边形
中，
，
，
，
，
，点
满足
．将
沿
翻折至
，使得
．
(1)证明：
；
(2)求直线
与平面
所成角的余弦值．
69．（2025·全国·模拟预测）如图所示，在五棱锥
中，
，
，
，
，
．
(1)证明：
；
(2)证明：
平面
；
(3)求平面
与平面
夹角的正弦值．
70．（2025·安徽·模拟预测）如图，在四棱台
中，
平面
，
，
.
(1)求证：
；
(2)若三棱锥
的外接球表面积为
，求平面
与平面
夹角的余弦值.
题型21 证明线面垂直
判定线面垂直的四种方法
71．（2025·全国·模拟预测）在平行四边形
中（图1），
，
为
的中点，将等边
沿
折起，连接
，且
（图2）．
(1)求证：
平面
；
(2)
为线段
上的动点（不含端点），
能否与平面
平行？说明理由；
(3)求直线
与平面
所成角的正弦值．
72．（2025·全国·模拟预测）如图所示，在菱形
中，
，
，
分别为
的
中点，
，
，将
沿
翻折，使
到
处，
．
(1)证明：
平面
；
(2)求
与平面
所成角的正弦值．
73．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在四棱锥
中，
为矩形，且
，
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)若
（N 在S 的左侧），设三棱锥
体积为
，四棱锥
体积为
，且
.
求平面SNC 与平面ABN 所成夹角的正弦值.
74．（23-24 高三下·湖南岳阳·期末）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为梯形，且
，
，等边三角形PCD 所在的平面垂直于底面ABCD，
．
(1)求证：
面
．
(2)若直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值为
，求二面角P-AB-D 的余弦值．
题型22 证明面面垂直
法1：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问
题转化为证明平面角为直角问题；
法2：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问
题转化为证明线线垂直加以解决。
75．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，
，
，侧
面
为等边三角形，平面
平面
，E 为PB 中点．
(1)证明：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值．
76．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)若点
在侧棱
上，
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
77．（2025·海南三亚·一模）在多面体
中，
为平行四边形，
平面
，
为
的中点.
(1)证明：平面
平面
；
(2)已知多面体
的体积为
，求
与平面
所成角的正弦值.
78．（2025·河北邢台·三模）如图，在斜三棱柱
中，
，
，点
在底面
上的投影为
的中点
，点
满足
.
(1)当
时，证明：平面
平面
；
(2)已知
，若平面
与平面
夹角的余弦值为
，求
的值.
题型23 面面垂直的性质定理
面面垂直性质的应用
(1)在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．首先在一个平面内作交线的
垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
易错点：性质定理运用时要注意“线在面内”．
(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面(不能直接作
为证明依据)．
79．（2025·江西新余·模拟预测）在多面体ABCDE 中，平面
平面
为等边三角形，四边形ABCD 为平行四边形，M，N 分别为AD，BE 的中点.
(1)求证：
；
(2)求直线MN 与平面ACE 所成角的正弦值.
80．（2025·全国·模拟预测）如图，四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，
，平面
平面
.且
是以
为直角顶点的等腰直角三角形.
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的正弦值.
81．（2025·河北·模拟预测）如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
是边长为
的
等边三角形，
，且
，点E 是线段
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)点F 满足
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
题型24 垂直关系的综合应用
三种垂直关系的转化
线线垂直⥫======⥬线面垂直⥫======⥬面面垂直
82．（24-25 高三下·辽宁辽阳·期末）如图，在正三棱柱
中，
分别为
的中点，
.
(1)证明：
；
(2)证明：平面
平面
；
(3)求点
到平面
的距离.
83．（24-25 高三下·吉林长春·期末）如图，在三棱柱
中，
，平
面
平面
，平面
平面
．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
．
题型25 平行、垂直关系的综合应用
垂直与平行的综合应用问题，一般要进行线线、线面、面面间关系的转化．线面平行
与垂直关系的相互转化路线图：
提醒：要清楚每个转化路线所依据的定理或结论．
84．（24-25 高三下·山东威海·期末）如图，在三棱锥
中，侧面
是边长为
的等边三角形，
，
、
分别为
、
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)证明：平面
平面
；
(3)若
，二面角
的大小为
，求
．
85．（24-25 高三下·广东江门·期末）如图，在三棱锥
中，
，
底面
，M，N
分别是
，
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：平面
平面
．
86．（24-25 高三下·江苏南通·阶段练习）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
是
正方形，
分别是
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求证：平面
平面
.
87．（24-25 高三下·辽宁锦州·期末）如图，直三棱柱
中，
，若G，F
分别是
，
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：平面
平面
；
(3)设M 是
中点，求直线
与平面
所成角的正弦值．
88．（24-25 高三下·四川成都·期末）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
，
为棱
上一点，且
．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：平面
平面
；
(3)求直线
与平面
所成角的正切值．
题型26 空间几何体中的探索性问题
1、立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题的主要类型
①探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么.
②探索结论，即在给定的条件下，探索命题的结论是什么.
2、对命题条件探索的三种方法：
①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明.
②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性.
③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件.
3、对命题结论探索的方法首先假设结论成立，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过
推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.
89．（2025·四川南充·三模）如图，在等腰梯形
中，
，
，E 是
的中
点，
，将
沿着
翻折成
.
(1)求证：
平面
；
(2)若平面
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)在线段
上是否存在点P，使得
平面
，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
90．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在多面体
中，四边形
与四边形
均为等腰梯
形，且
，
，
为
的中点．
(1)求证：平面
平面
．
(2)已知
，
，
，点
是线段
上的动点．
（ⅰ）判断是否存在一点
，使得
与
垂直？若存在，求出点
的位置；若不存在，请说明理由．
（ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值．
91．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形CDEF 为正方形，
，
AD=AE=BC=BF=3，EF=2AB=4．
(1)设平面ADE∩平面BCF=l，证明：
；
(2)直线DE 上是否存在点G，使得DE⊥平面 ABG？若存在，确定点G 的位置并说明理由；若不存在，请
说明理由；
(3)若
，λ [0,1]
∈
，求平面BFG 与平面DEA 夹角的余弦的取值范围．
题型27 求直线与平面所成的角
求斜线与平面所成角的步骤
1．定义法求线面所成角
(1)一作：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过
垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中的已知量有关，才能
便于计算．
(2)二证：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
(3)三求：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
2．距离法求线面所成的角(一般在不好作线面角的时候使用)
(1)求斜线上一点到面的距离；
(2)求斜线段长；
(3)求线与平面所成角的正弦值．
92．（24-25 高三下·广东东莞·期末）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为2 的正方形，点
分别是
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的大小．
93．（24-25 高三下·甘肃临夏·期末）如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，
，
为等边三角形，平面
平面
，
．
(1)设
分别为
的中点，求证：
平面
；
(2)求证：
平面
；
(3)求直线
与平面
所成角的正弦值．
94．（24-25 高三下·福建漳州·期末）如图，在三棱台
中，
平面ABC，
，
．
(1)求三棱台
的体积；
(2)证明：平面
平面
；
(3)求
与平面
所成角的正弦值．
题型28 求二面角
综合法求二面角的方法
1．定义法：步骤是“一作、二证、三求”．
(1)一作：作出二面角的平面角．
(2)二证：证明所作的平面角满足定义，即为所求二面角的平面角．
(3)三求：将作出的角放在三角形中，计算出平面角的大小．
注：作二面角的平面角的方法．
①定义法：分别在两个半平面内向棱作垂线，垂足为同一点，两垂线的夹角即为二面
角的平面角．
②垂面法：作垂直于棱的一个垂面，这个平面与两个半平面分别有一条交线，两条交
线所成的角即为二面角的平面角．
③三垂线法：过一个半平面内的一点A 作另一个半平面的一条垂线，过垂足B 作棱的
垂线，记垂足为C，连接AC，则∠ACB 或其补角即为二面角的平面角．
2．射影面积法：若二面角一个面上的几何图形的面积为S，其在另一个面上的投影的
面积为S′，则二面角α 的余弦值满足cosα＝(客观题)．
95．（24-25 高三下·四川泸州·期末）如图，已知平面
平面ABCD，四边形ABCD 是正方形，
，点E，F，M 分别是BC，PB，AD 的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
平面
；
(3)求二面角
的余弦值．
96．（24-25 高三下·安徽合肥·期末）如图，在四棱锥
中，
底面
，
是
的中点，
点
在棱
上，且
，四边形
为正方形，
．
(1)证明：
；
(2)求点
到平面
的距离；
(3)求二面角
的余弦值．
97．（24-25 高三下·辽宁辽阳·期末）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，
是线段
上一点，且
.
(1)证明：
平面
；
(2)若
是正三角形，
，求二面角
的余弦值.
题型29 求空间距离
综合法求空间距离的策略
1．求距离的方法：
(1)定义：
①一找：找出点到平面的距离；②二证：证明线面垂直；③三求：利用三角形求解．
(2)体积法：转换顶点，等体积变形．
(3)平面分线段比与线段对应端点到平面的距离比相等．
2．点面距离、线面距离、面面距离都转化为点面距离．
98．（24-25 高三下·天津·期末）如图，在棱长为4 的正方体
中，E 为棱BC 的中点，F 为
棱
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的平面角的正弦值；
(3)求点
到面
的距离.
99．（24-25 高三下·辽宁丹东·期末）如图，三棱柱
的所有棱长均为2，
为等边三角形.
(1)求证：
平面
；
(2)求点
到平面
的距离；
(3)求二面角
的正弦值.
100．（24-25 高三下·北京房山·期末）如图，在直三棱柱
中，
，
，
，E，F 分别是
，
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
平面BCE；
(3)求点B 到平面ACE 的距离.
