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第二章 平面解析几何
教学目标
1、直线与方程
①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两
点的直线斜率的计算公式。
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式
及一般式）。
⑤能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。
⑥探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间
的距离。
2、圆与方程
①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方
程。
②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
③能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。
3、圆锥曲线与方程
①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作
用。
②经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性
质。
③了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。
④通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。
⑤了解椭圆、抛物线的简单应用
教学重难点
教学重点：①直线的五种形式②圆的方程③椭圆，双曲线，抛物线方程
教学难点：①直线五种形式的相互转化②直线与圆的性质③直线与圆锥曲线的性质
知识点01 直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交
点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α 叫做直线的倾斜角.
倾斜角α ∈[0,180°),α=90° 斜率不存在.
（2）直线的斜率：k= y2−y1
x2−x1
( x1≠x2), k=tan α ．两点坐标为
、
.
【即学即练】经过点
作直线l，若直线l 与连接
，
两点的线段总有公共点，求直线l
的斜率k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
，-1）
）
D．[1，+
【答案】A
【分析】先求得
，再利用数形结合法求解.
【详解】
，
如图所示：
由图知：若直线l 与连接
，
两点的线段总有公共点，
则直线l 的斜率k 的取值范围是
，
故选：A
知识点02 直线的五种形式
（1）点斜式：y−y1=k( x−x1) (直线过点P1( x1, y1)，且斜率为
)．
注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x=x0．
（2）斜截式：y=kx +b (b 为直线在y 轴上的截距).
（3）两点式：
y−y1
y2−y1
= x−x1
x2−x1 (
，
).
注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；
② 方程形式为：( x2−x1)( y−y1)−( y2−y1)( x−x1)=0时，方程可以表示任意直线．
（4）截距式：x
a + y
b =1 （a,b分别为x 轴y 轴上的截距，且a≠0,b≠0）．
注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原
点的直线．
（5）一般式：Ax +By +C=0 (其中A、B 不同时为0)．
一般式化为斜截式：y=−A
B x−C
B ，即，直线的斜率：k=−A
B ．
注：（1）已知直线纵截距
，常设其方程为
或
．
已知直线横截距
，常设其方程为
(直线斜率k 存在时，
为k 的倒数)或
．
已知直线过点
，常设其方程为
或
．
（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直
线一般不重合．
【即学即练】已知直线：
绕点
逆时针旋转
得到直线
，则
的斜截式方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出直线的倾斜角，再根据旋转角度求出直线
的倾斜角，进而得到直线
的斜率，再根据直线
所过的点求出直线方程．
【详解】直线
，其斜率
，设其倾斜角为
，则
，又因为倾斜角
，所以
．
直线绕点
逆时针旋转
，则直线
的倾斜角
．
直线
的斜率
．
又因为直线
过点
，所以直线
的斜截式方程为
．
故选：B．
知识点03 两条直线的平行与垂直
（1）若
，
，有
① l1//l2⇔k1=k2,b1≠b2； ②
.
（2）若l1: A1 x+B1 y+C1=0，l2: A2 x+B2 y+C2=0，有
① l1//l2⇔A1B2=A2B1
A
且
1C2≠A2C1； ② l1⊥l2⇔A1 A2+B1B2=0．
【即学即练】已知直线
，
，其中
为实数．
(1)当
时，求
的值；
(2)当
时，求过直线
的交点，且垂直于直线
的直线方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两直线平行，列出关于m 的方程，即可求得答案；
（2）解方程组求出直线
的交点，再根据直线的垂直关系，利用直线的点斜式，即可求得答案.
【详解】（1）由
得
，解得
，经检验，
符合题意,
故
；
（2）当
时，
，联立
，解得
，
即直线
的交点为
，
又直线
的斜率为
，
故过直线
的交点，且垂直于直线
的直线方程为
，即
．
知识点04 平面两点的距离公式
（1）已知两点坐标
、
，则两点间距离P1P2=√( x1−x2)2+( y1−y2)2．
（2）x 轴上两点间距离：|AB|=|xB−x A|．
（3）线段
P1P2
的中点是
M ( x0, y0)
，则{x0=
x1+x2
2
¿¿¿¿ ．
【即学即练】过点
的直线的斜率为
，则
（ ）
A．10
B．
C．
D．180
【答案】B
【分析】由斜率公式求得
，再根据两点之间距离公式计算即可．
【详解】由题意得，
，解得
，
所以
，所以
，
故选：B．
知识点05 点到直线的距离公式
点P(x0, y0)到直线l ：Ax +By +C=0
的距离：d=|Ax 0+By 0+C|
√A2+B2
．
【即学即练】点
到直线
的距离为
【答案】
/
【分析】应用点线距离公式求距离即可.
【详解】由点线距离公式知，点
到直线
的距离为
.
故答案为：
知识点06 两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax +By +C1=0，l2：Ax +By +C2=0的距离：d=|C1−C2|
√A2+B2 ．
【即学即练】到直线
的距离为1 的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】D
【分析】设出直线方程，根据点到直线距离公式得到方程，求出答案.
【详解】设所求直线方程为
．由题意知
，解得
或
，
即所求直线方程为
或
．
故选：D．
由几何知识得，
，
，
在Rt
中，
，
由勾股定理得，
，即
，解得
，
故选：B.
知识点07 直线系方程
（1）平行直线系方程：
① 直线
中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．
② 与直线
平行的直线可表示为
．
③ 过点
与直线
平行的直线可表示为：
．
（2）垂直直线系方程：
① 与直线
垂直的直线可表示为
．
② 过点
与直线
垂直的直线可表示为：
．
（3）定点直线系方程：
① 经过定点
的直线系方程为
(除直线
),其中
是待定的
系数．
② 经过定点
的直线系方程为
,其中
是待定的系数．
（4）共点直线系方程：经过两直线l1：A1 x+B1 y+C1=0，l2：A2 x+B2 y+C2=0交点的直线系
方程为A1 x+B1 y+C1+λ( A2 x+B2 y+C2)=0 (除开
)，其中λ 是待定的系数．
【即学即练】求经过直线
与
的交点，且过点
的直线方程.
【答案】
【分析】联立方程可求交点，结合条件即求；或设直线交点系方程，利用条件即求.
【详解】解法一：联立直线方程，解方程组
得
，
由两点式得所求直线的方程为
，
即
.
解法二：易知直线
不符合所求方程，设所求直线方程为
，
将点
的坐标代入，得
，
解得
，
故所求直线方程为
，整理得
.
知识点08 圆的弦长
（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，
则：“半弦长2 +弦心距2 =半径2 ”——( l
2 )2+d2=r2；
（2 ）代数法：设l 的斜率为k ，l 与圆交点分别为A( x1, y1)，B( x2, y2)，则
|AB |=√1+k2|x A−xB|=√
1+ 1
k2|y A−yB|
（其中|x1−x2|,|y1−y2|的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或x ，利用韦达定理求解）
【即学即练】设直线
与圆
相交于
两点，且
，则
为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】B
【分析】作出图象，求出
和
的长，利用勾股定理即可求出
的值.
【详解】由题意，
在
中，
在
中，
，半径为
，
直线与圆相交于
两点，且
，
设
中点为C，连接
，
，
知识点09 圆锥曲线的定义
1、椭圆的定义：平面内一个动点P 到两个定点F1、F2的距离之和等于常数
(|PF 1|+|PF 2|=2a>|F1F2|)，
这个动点P 的轨迹叫椭圆. 这两个定点（
,
）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（
）叫作椭圆的焦
距.
2、定义:一般地,我们把平面内与两个定点
,
的距离的差的绝对值等于非零常数(小于
)的点的
轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
3、抛物线的定义：平面内与一个定点
和一条定直线（其中定点
不在定直线上）的距离相等的点的
轨迹叫做抛物线，定点
叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
【即学即练】已知动点
满足
，则动点M 的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】设
，分析可知动点M 的轨迹是以
为焦点的椭圆，进而可得
和方程.
【详解】设
，
因为
，可得
，
可知动点M 的轨迹是以
为焦点的椭圆，
且
，则
，
所以动点M 的轨迹方程是
.
故答案为：
.
知识点10 圆锥曲线的性质
焦点的位置
焦点在
轴上
焦点在
轴上
图形
标准方程
（
）
（
）
范围
，
，
顶点
，
，
，
轴长
短轴长＝
，长轴长＝
焦点
焦距
对称性
对称轴：
轴、
轴 对称中心：原点
离心率
，
标准方程
（
）
（
）
图形
性质
范围
或
或
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
，
,
渐近线
离心率
，
，
a，b，c 间的关系
设
，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
方程
y 2=2px （
）
y
2=−2px （
）
x 2=2 py
（
）
x
2=−2py （
）
图形
焦点
F( p
2 ,0)
F(−p
2 ,0)
F(0, p
2 )
F(0,−p
2 )
准线
x=−p
2
x= p
2
y=−p
2
y= p
2
【即学即练】（多选）已知椭圆
的一个焦点为
为
上一动点，则（ ）
A．
的短轴长为7
B．
的最大值为
C．
的长轴长为6
D．
的离心率为
【答案】CD
【分析】根据椭圆的几何性质可分别判断ACD，再利用椭圆性质即可判断B 选项，进而得出结果.
【详解】由标准方程
可知，
，
，
所以
，
，
．
所以短轴长为
，长轴长为
，即选项C 正确，A 错误；
离心率
，即D 正确；
由椭圆性质得
， 故选项B 错误.
故选：CD.
知识点11 弦长公式
直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于
，
两点，则
【即学即练】过双曲线
右焦点的直线交双曲线于
两点，若
，则这样的直线有
条．
【答案】4
【分析】根据题意，分直线斜率不存在与存在时，设
，
，联立得
，利用弦长公式得到
，再根据方程求解即可.
【详解】由题知双曲线右焦点
，
当直线斜率不存在时，
，此时
，不符合题意；
当直线斜率存在时，设
，
，
，
，
，
则
或
，
综上，这样的直线有4 条.
故答案为：4.
题型01 直线的倾斜角与斜率
【典例1】直线
与过
两点的线段不相交， 则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【分析】先判断直线
过定点
，分别求得
和
的斜率，结合图形，由题意只需使直
线
的斜率
满足：
或
，求解即得参数a 的取值范围.
【详解】因直线
经过定点
，
则直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，
由图知，要使直线
与过
两点的线段不相交，
则直线
的斜率
满足：
或
，
解得
或
，即实数a 的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式1】已知直线的斜率为
，若直线
的倾斜角是的两倍，则
的斜率为 ．
【答案】
【分析】由直线斜率和倾斜角的关系得到直线的倾斜角，再由二倍角正切公式得到直线
的斜率.
【详解】设直线的斜率为
，倾斜角为
，直线
的斜率为
，倾斜角为
，
则
，因为
，所以
．
所以
的斜率为
.
故答案为：
.
【变式2】过点
的直线倾斜角
，那么
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先根据倾斜角的取值范围确定直线
斜率的取值范围，在利用
表示斜率，解不等式即可.
【详解】因为直线
倾斜角的取值范围为
，
所以直线
斜率
的取值范围为：
或
.
又
，由
；由
.
所以
.
故答案为：
【变式3】已知点
，直线
与线段
的延长线相交，求实数
的取值范
围．
【答案】
．
【分析】根据给定条件，利用公式求出
，结合
的取值情况求出范围.
【详解】设直线
与线段
的延长线相交于点
，
由
，得
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
【变式4】已知点
，直线
与线段
相交，求实数
的取值范围．
【答案】
．
【分析】根据给定条件，利用公式求出
，结合
的取值情况求出范围.
【详解】设直线
与线段
相交于点
，
当P 不与
重合时，由
，得
，解得
或
，
当直线过点
时，
，即
；当直线过点
时，
，即
，
所以实数
的取值范围是
.
题型02 直线方程
【典例1】直线过
且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 .
【答案】
或
【分析】可用截距式设直线方程，代入点即可得到答案（注意讨论截距等于0 的情况）.
【详解】设直线的截距为a，
情况一：截距非零（
)
此时直线方程为截距式：
，代入点
：
因此直线方程为：
；
情况二：截距为零（
)
此时直线过原点，设方程为：
，
代入点
：
，
因此直线方程为
.
故答案为：
或
.
【变式1】过点
且与直线
斜率相等的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据直线的点斜式方程得到直线方程.
【详解】直线斜率为2 且过点
，由点斜式方程得
．
故选：A．
【变式2】已知直线的方程为
，则与垂直，且过点
的直线方程是 ．
【答案】
【分析】根据直线系方程的性质，两直线垂直的条件求解.
【详解】过点
且与直线
（其中
不全为零）垂直的直线方程可以写成
．
由题意，过点
和垂直的直线可写作
，即
.
故答案为：
【变式3】直线m 过点
且法向量
，则直线m 的点法向式方程为 .
【答案】
【分析】根据直线所过的点及法向量写出点法式方程即可.
【详解】由题设，直线m 的点法向式方程为
.
故答案为：
【变式4】求经过点
，且满足下列条件的直线的方程：
(1)经过点
；
(2)与直线
平行．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式即可求得答案；
（2）由两直线平行可设直线方程，求出参数，即得答案.
【详解】（1）由题意可得直线斜率为
，
故直线方程为
，即
；
（2）由题意可设直线方程为
，
，结合直线经过点
，
可得
，则直线方程为
.
题型03 两条直线平行于垂直
【典例1】已知直线
和
，
(1)若与
平行，求m 的值；
(2)若与
垂直，求m 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意利用两条直线平行的性质，求出m 的值；
（2）由题意利用两条直线垂直的性质，求出m 的值．
【详解】（1）若与
平行，则
，解得：
或
，
当
时，直线
和
，与
平行；
当
时，直线
和
，与
重合.
综上：
.
（2）当
时，即
时，与
垂直，
即
时，与
垂直.
【变式1】若
，直线
，直线
，则“
”的充分不必要条件
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题可得
的充要条件，据此可得答案.
【详解】因
，则
或
.
当
，
，
，两直线平行，满足题意；
当
，
，
，满足题意.
则
的充要条件为
或
.
则“
”的充分不必要条件可以是
，也可以是
.
故选：A
【变式2】“
”是“直线
与直线
相互平行”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【分析】根据直线平行的条件建立方程求出
，再检验即可得解.
【详解】若直线
与直线
相互平行，
则
，即
，解得
或
，
当
时，直线
与直线
相互平行，符合题意；
当
时，直线
即
，
直线
，两直线重合，不符合题意；
所以“
”是“直线
与直线
相互平行”的充要条件.
故选：C
【变式3】已知直线
，
，若
，则实数
．
【答案】
或
【分析】由直线的一般式方程及两条直线垂直的条件可列出方程，解方程得到
的值.
【详解】因为直线
，所以
，解得
或
．
故答案为：
或
【变式4】已知直线
，
，分别求满足下列条件的
的值：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用一般式方程两条直线平行的条件可得答案；
（2）利用一般式方程两条直线垂直的条件可得答案．
【详解】（1）因为
，所以
，解得
，
所以当
时，
；
（2）因为
，所以
，解得
，
所以当
时，
．
题型04 直线中的对称问题
【典例1】一束光线从点
出发经
轴反射后与圆
相切，求入射光线和反射光
线所在直线的方程．
【答案】入射光线所在直线方程为
或
，
反射光线所在直线方程为
或
．
【分析】根据入射光线反射光线所过点设出其所在直线的点斜式方程，再根据入射光线反射光线所在直线
与圆
及其关于
轴对称圆的位置关系求出斜率即可.
【详解】圆
关于
轴的对称圆的方程为
，
设入射光线所在直线方程为：
，
由题知对称圆的圆心
到这条直线的距离为
即
，
整理得：
，解得：
或
，
故所求入射光线所在的直线方程为：
或
，
即
或
；
设反射光线所在直线的方程为：
，
由题知圆
的圆心
到这条直线的距离为
即
，
整理得：
，解得：
或
，
故所求反射光线所在的直线方程为：
或
，
即
或
.
【变式1】点
关于直线
的对称点为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设点
关于直线
的对称点为
，列出方程组，即可求解.
【详解】设点
关于直线
的对称点为
，
则满足
，解得
，即
.
故选：C.
【变式2】已知点
关于直线对称的点为
，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分析可知，直线为线段
的垂直平分线，求出线段
的垂直平分线方程，即为所求.
【详解】由题意可知，直线为线段
的垂直平分线，且
，
所以直线的斜率为
，
又因为线段
的中点为
，所以直线的方程为
，
整理可得
.
故选：C.
【变式3】已知一束光线通过点
，经直线
反射．如果反射光线通过点
，则
反射光线所在直线的方程是 ．
【答案】
【分析】先求出
关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点
和对称点，从而
得到反射光线所在直线方程.
【详解】设点
关于直线的对称点为
，则
，
解得
，故
.
由于反射光线所在直线经过点
和
，
所以反射光线所在直线的方程为
，即
.
故答案为：
.
【变式4】直线
关于直线
对称的直线方程 .（用一般式方程表
示）.
【答案】
【分析】联立方程组求出两直线交点坐标，在直线任取一点，设出其关于
对称点坐标，由垂直斜率的
关系和中点坐标建立方程组，求得对称点坐标，由两点坐标求得对称直线方程.
【详解】联立
，得
，则两直线的交点为
，
在直线
上取点
，设其关于
的对称点为
，
则
，得
，则
.
故直线
关于直线
的对称直线为
，
又
，所以直线
，即
.
故答案为：
.
题型05 圆的方程
【典例1】求满足下列条件的曲线的标准方程：
(1)过三点
、
、
的圆；
(2)过两点
、
的椭圆．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）设出圆的一般方程，根据题意列方程组求出参数，然后化为标准方程即可；
（2）设椭圆方程为
，根据题意列方程组求出参数可得.
【详解】（1）设圆的方程为
，
由题可得
，解得
，
所以圆的一般方程为
，
化为标准方程得
.
（2）设椭圆方程为
，
由题可得
，解得
，
所以所求椭圆标准方程为
.
【变式1】
的三个顶点分别是
，
，
，求
的外接圆的标准方程．
【答案】
【分析】设圆的标准方程，将3 个点的坐标代入圆的标准方程，建立方程组，解出a，b，r 即可.
【详解】设所求的方程是
．①
因为
，
，
三点都在圆上，分别代入方程①．
得
即
三式两两相减，整理得
解得
代入
，得
．
所以
的外接圆的标准方程是
．
【变式2】（1）求过三点
的圆的一般方程；
（2）求过两点
和
，且圆心在x 轴上的圆的标准方程．
【答案】（1）
；（2）
【分析】（1）设圆的方程，代入三个点坐标，解得圆方程.
（2）由圆的性质求出圆心坐标，从而得出圆的半径，写出圆的方程.
【详解】（1）设圆的一般方程为
，
由题将三点代入得：
解得
，
所以所求圆的一般方程为
；
（2）由题，设圆心为
，
，
，
即
，
，
∴圆的标准方程为
【变式3】求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是
，且过点
；
(2)圆心在
轴上，半径为5，且过点
；
(3)求过两点
和
，圆心在
轴上的圆的标准方程．
【答案】(1)
(2)
或
(3)
【分析】（1）利用两点距离公式可先求半径，再写标准方程即可；
（2）利用点的特征结合半径可先求圆心坐标，再写标准方程即可；
（3）设圆心坐标，利用到C、D 距离相等计算求得圆心坐标，再写标准方程即可.
【详解】（1）由题意可知：
，
圆的标准方程为
；
（2）设圆心为
，
则
，
或
，
圆心为
或
，
又
，
圆的标准方程为
或
；
（3）设圆心为
，
，
，
即
，
，
，
圆的标准方程为
．
【变式4】（1）已知圆
圆心在直线
上，且过点
，
.求圆
的标准方程；
（2）圆M 经过三点：
，
，
．求圆M 的方程．
【答案】（1）
；（2）
【分析】（1）设出圆心坐标，利用
建立方程解出即可；
（2）待定系数法设出圆的一般方程，建立方程组解出即可.
【详解】（1）因为圆
圆心在直线
上，
则设
，
又因为过点
，
，
所以
,
即
，
解得
，
所以圆心坐标为
，半径为
，
故圆
的标准方程为
.
（2）设圆
的方程为
，
依题得
,
解得
,
所以圆M 的方程的方程为
.
题型06 直线与圆的位置关系
【典例1】若直线
与圆
相离，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据圆心到直线的距离大于半径求解.
【详解】圆C 的圆心为
，半径
，
到直线
的距离
，解得
，
又
，所以
.
故选：B.
【变式1】直线
与圆
的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交且直线过圆心
D．相交但直线不过圆心
【答案】C
【分析】先计算圆心到直线的距离，通过比较圆心到直线的距离
和圆半径的大小关系，若距离等于半
径则相切，小于半径则相交，大于则相离，同时，若圆心坐标满足直线方程，则直线过圆心.
【详解】圆
的圆心为
，
圆心
到直线的距离为：
，
所以直线
过圆心，
所以直线与圆相交且过圆心．
故选：C.
【变式2】设直线
，圆
，则与圆C（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．以上都有可能
【答案】C
【分析】根据点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系.
【详解】圆
的圆心为
，半径
，
则圆心C 到直线l 的距离
，
故直线与圆C 相离．
故选：C.
【变式3】直线
和圆
的位置关系为（ ）
A．相交
B．相离
C．相切
D．相交且过圆心
【答案】A
【分析】根据圆心到直线的距离与半径比较即可求解.
【详解】
的圆心和半径分别为
，
则圆心到直线
的距离为
，
故直线与圆相交但不经过圆心，
故选：A
【变式4】已知直线
与圆
有公共点，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式，列出不等式，求解即可.
【详解】由题可知，直线与圆有交点，故圆心
到直线
的距离
，小于等于半径，
即
，故
，也即
，解得
，则
的最小值为
.
故选：C.
题型07 圆与圆的位置关系
【典例1】已知圆
，圆
，则圆
与圆
的位置关系
是（ ）
A．相交
B．内含
C．内切
D．外切
【答案】B
【分析】根据圆心距与两半径之间的关系判断即得.
【详解】由
得
，
故
的圆心为
，半径为
，
由
得
，
故
的圆心为
，半径为
，
圆心距为
，因
，
故圆
与圆
的位置关系是内含，
故选：B
【变式1】圆
与圆
的位置关系是（ ）
A．内切
B．外离
C．外切
D．内含
【答案】A
【分析】先写出圆的圆心及半径，再根据圆心间距离和半径的关系判断圆与圆的位置关系.
【详解】圆O 与圆M 的半径分别为1，4，圆心坐标分别为
，
则
，故圆O 与圆M 的位置关系是内切.
故选：A.
【变式2】圆
与圆
的位置关系是（ ）
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出圆心距即可判断.
【详解】圆
的圆心
，半径
，
圆
，即
，圆心
，半径
，
则
，所以两圆外切.
故选：C.
【变式3】已知圆
：
，
：
，则两圆的位置关系为（ ）
A．相交
B．外切
C．内切
D．内含
【答案】A
【分析】求出两圆半径及圆心距，再判断两圆的位置.
【详解】圆
：
的圆心
，半径
，圆
：
圆心
，半径
，
而
，所以两圆相交.
故选：A
【变式4】圆
：
与圆
：
的位置关系是（ ）
A．外切
B．内切
C．相离
D．相交
【答案】D
【分析】由两圆的圆心距及半径的关系求解即可得解.
【详解】对于圆
的方程
，
所以圆
的圆心坐标为
，半径
.
对于圆
的方程
，
所以圆
的圆心坐标为
，半径
.
计算两圆心之间的距离
两圆半径之和
.同时
.
则
.所以两圆的位置关系是相交.
故选:D．
题型08 圆锥曲线的定义
【典例1】一动圆
过定点
，且与已知圆
：
外切，则动圆圆心
的轨迹方程是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合图象利用双曲线的定义判断动圆圆心
的轨迹，然后再求方程即可.
【详解】
圆
与圆
外切，如图，
，即
，
，
由双曲线的定义，点
的轨迹是以
为焦点，
为实轴长的双曲线的左支，其中
，
，
．
故所求轨方程为：
．
故选：C．
【变式1】已知点P 是
：
上的动点，点
，
的垂直平分线交
于点M，则
点M 的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
，结合椭圆的定义可求出结果.
【详解】解：
：
的圆心C 为
，半径
，
点
，
，又
的垂直平分线交
于点M，
，
的轨迹是以
为焦点，长轴长为3 的椭圆，
，
，
，
，
，
点M 的轨迹方程是
故选：
【变式2】已知动点
到点
的距离与它到点
的距离之差等于6，则点
的轨迹方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用双曲线的定义求解即可.
【详解】由双曲线的定义可知，点
的轨迹是以
，
为焦点的双曲线的上支，
且
，
，
所以其轨迹方程为
，
故选:C．
【变式3】在平面直角坐标系
中，已知圆
（圆心为
），点
，点
在圆
上运动，设线段
的垂直平分线和直线
的交点为
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由条件结合垂直平分线的性质可得
，结合椭圆的定义判断曲线的轨迹形状，
由此确定曲线方程.
【详解】圆
：
的圆心
，半径
.
由于
，
所以
在圆
内，
，
根据垂直平分线的性质可知
，
所以
，
所以
点的轨迹是椭圆，
设该椭圆方程为
，设椭圆的半焦距为，
则
，
，
所以
，
，
，
所以点
的轨迹方程是
.
故选：B.
【变式4】在平面内，到定点
的距离比到定直线
的距离大1 的动点
的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】先根据已知条件将动点
到定点与定直线的距离关系进行转化，再依据抛物线定义确定其轨迹方
程．
【详解】由已知可得动点
满足到定点
的距离等于到定直线
的距离，
由抛物线定义知动点
的轨迹方程为焦点在x 轴上的抛物线，且焦点为
，则
，
.因此轨迹
方程为：
．
故答案为：
.
题型09 离心率问题
【典例1】已知
、
分别为椭圆
的左、右焦点，
为右顶点，
、
为上、下顶点，若
在线段
上存在
（不含端点），使得
，则椭圆
的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求得线段
的方程为
，在线段
上取一点
，由已知可得
关于
的方程，在
时有实根，根据二次方程根的分布可得出关于
、
、的不等式组，由此可解
得的取值范围．
【详解】由已知，点
，
，
，
，
，
则线段
的方程为
，则
，
在线段
上取一点
，
，
，
所以
，
由
，得
，
因为
，所以
，
从而
，整理得
，即
，
即
，即
，
结合
，解得
．
故选：B．
【变式1】已知椭圆
：
，
是椭圆
上的点，
，
是椭圆
的左右焦
点，若
恒成立，则椭圆
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设出点的坐标，根据向量的坐标法列得不等式，变形后求得离心率的取值.
【详解】设
，则
，
，
，
，
因为
，所以
，又
，
所以
时，
取得最大值
，
恒成立，则
，变形得
，
又
，故解得
.
故选：D.
【变式2】已知双曲线
：
（
，
）的左、右焦点分别为
，
，点
在
上，满足
，直线
与
轴交于点
，且
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，由向量关系得
，由双曲线定义得
，然后根据三角
形相似比例相等求出
，在
中，由勾股定理列方程得
，从而
，解方程即可求解.
【详解】设双曲线
的半焦距为
，如图：
设
，则由
得
，
由双曲线的定义，得
，
又
，
，
所以
∽
，所以
，即
，解得
，
则
，
，
在
中，由勾股定理得
，
即
，化简得
，
则
，而
，解得
.
故选：B
【变式3】已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
，
，
为
上一点，
为坐标原
点，且线段
的垂直平分线过焦点
，若
，则
的离心率为 ．
【答案】
/
【分析】首先根据椭圆性质和已知条件确定线段长度
，
，然后利用向量关系
和已知条件求出
，进而在
中利用余弦定理建立等式
，
最后化简等式并求解离心率
.
【详解】如图所示，设
，由已知得
，则有
．
因为
为线段
的中点，所以
，则由
，可知
，即
，则
．
在
中，由余弦定理得
，则
，整理得
．
故椭圆
的离心率
．
故答案为：
.
【变式4】设
，
分别为具有公共焦点
，
的椭圆和双曲线的离心率，
为椭圆与双曲线的一个公共
点，
，
，则
．
【答案】
/
【分析】抓住焦点三角形的性质，利用椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理和离心率公式求解．
【详解】设
，
，椭圆的长半轴长为
，双曲线的实半轴长为
，半焦距均为，
由椭圆和双曲线的定义可知
，可得
①，
在
中，由余弦定理可知
，
将方程组①代入上式得
，则
，
又因为
，所以
．
故答案为：
．
题型10 双曲线渐近线问题
【典例1】已知
是椭圆
与双曲线
的公共焦点，
是
的公共点，若
，则
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由
的方程，确定
的坐标，设
，根据题意
，得到
，求出
点坐标，代入双曲线方程，再由
，即可求出结果.
【详解】因为
，
是椭圆
：
与双曲线
的公共焦点，所以
，设点
，
由
，不妨取正即
，
代入双曲线方程得：
，又
，即
，即
的渐近线方程为
.
故选：C．
【变式1】已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，过点
和
的直线
与双曲线在第一象限交于点P，若
的面积是
的3 倍，则C 的渐近线斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由直线
的方程和
得P 点坐标，再由P 点在C 上求出
即可由渐近线的定义
得解.
【详解】设
，因为
，
，所以直线
的方程为
，
又
，所以
，得
，
又点P 在直线
上，所以
，则
，所以
,
所以
，解得
，故所求渐近线斜率为
.
故选：C
【变式2】已知焦点在y 轴上的双曲线
的两条渐近线互相垂直，则m＝（ ）
A．1
B．
C．－4
D．1 或－4
【答案】C
【分析】根据双曲线的标准方程与渐近线方程即可求解.
【详解】因为双曲线
的焦点在y 轴上，
所以
，
，所以
，即
.
又双曲线的两条渐近线互相垂直，所以
，
即
，解得
或
（舍）.
故选：C.
【变式3】在双曲线
中，离心率
，则两条渐近线夹角
的取值范围是
．
【答案】
【分析】由离心率范围得两条渐近线倾斜角范围，即可求得答案.
【详解】因为
，所以
，解得
设双曲线渐近线
的倾斜角为
，则
，解得
；
设双曲线渐近线
的倾斜角为
，则
，解得
；
当
最小时，
，此时
最大，为
，此时两条渐近线的夹角最大为
，
当
最大时，
，此时
最小，为
，此时两条渐近线的夹角最小为
，
所以两条渐近线的夹角
.
故答案为：
【变式4】双曲线
的渐近线方程是 .
【答案】
【分析】由双曲线的标准方程直接求解渐近线.
【详解】因为双曲线
所以渐近线方程为
，
故答案为：
.
题型11 焦点三角形问题
【典例1】已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，点
在
上，若
的角平分线交
轴
于点
，且
，则
的周长为（ ）
A．24
B．22
C．20
D．18
【答案】D
【分析】不妨设
，
，
，根据面积关系和双曲线的定义可求
，即可求
解.
【详解】由题意
，则
，
不妨设
，
，
，设
到
轴的距离为，
因为
为
的角平分线，则
，
所以
，所以
，所以
，
又
，所以
，
所以
的周长为
.
故选：D
【变式1】设
分别为椭圆
的两个焦点，
是椭圆上一点，
的周长为
，且
，则
的面积为（ ）
A．3
B．
C．4
D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的性质得到
，结合
求得
，由
余弦定理求
的值，得到三角形面积.
【详解】由椭圆的性质可得
，
又∵
，∴
，又
，所以
，
，由余弦定理可得
，即
，
∴
，C 选项正确；
故选：C
【变式2】椭圆
的左右焦点为
，经过
的直线与椭圆C 相交于A，B．若
的
周长为8，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】D
【分析】由题意
的周长
，可得
，结合
，即得解.
【详解】由题意
的周长
，
解得
，故
.
故选：D
【变式3】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，点
在
上，点
在
轴上，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用椭圆的几何定义，及直角三角形勾股定理和余弦定理即可求解.
【详解】
由椭圆对称性质可设：
，根据
，可得
，
再由椭圆的定义可知：
，可得
，
又由
，可得：
，
即：
，整理得：
，
解得
，所以有
,
再由余弦定理得：
，
（由于是直角三角形，此时也可以由初中的余弦函数直接可得：
）
故选：A.
【变式4】如图，已知双曲线
的实轴长为4，左、右焦点分别为
，
，过
的直
线交双曲线的右支于点
，
，
，则
的面积为（ ）
A．16
B．
C．32
D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义确定
的长，再由定义可得
，由
得
为等腰直
角三角形，从而可求得
的面积.
【详解】由双曲线
的实轴长为4，得
，
所以
，
又
，所以
，
因为
，所以
，
又
，所以
，
又
，所以
为等腰直角三角形，
由
，得
，
所以
的面积为
.
故选：A.
题型12 椭圆、双曲线中线段和、差最值
【典例1】已知F 是椭圆E：
的右焦点，P 是椭圆E 上一点，Q 是圆C：
上一点，则
的最小值为 ，此时直线PQ 的斜率为
.
【答案】
1
【分析】利用椭圆定义将
转化为
，结合图形可解.
【详解】如图，由题可知，圆C 的圆心坐标为（
，2
），半径为1，设椭圆E 的左焦点为
.
椭圆中，
，
，则
，当F1、
P，Q，C 四点共线时，等号成立，此时直线PQ 的斜率为
.
故答案为：
，1
【变式1】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点P 为椭圆上一点，点
，则
的最小值为 ．
【答案】1
【分析】根据给定条件结合椭圆的定义即可计算作答.
【详解】依题意，椭圆
的左焦点
，右焦点
，点P 为椭圆上一点，点A 在此椭圆
外，
由椭圆的定义得
，因此，
，当且仅当点P 是线段
与椭圆的交点时取“=”，
所以
的最小值为1.
故答案为：1
【变式2】已知点
，且F 是椭圆
的左焦点，P 是椭圆上任意一点，则
的最小值
是 .
【答案】3
【分析】由椭圆的定义，求
的最小值可化为
的最小值，根据三点共线即可求解.
【详解】由椭圆
可知，
，
设椭圆的右焦点为
，则
，如图，
所以
，
即当
在
的延长线上时，取得最小值.
故答案为：3
【变式3】已知
是双曲线
上的点，
为双曲线的右焦点，点
的坐标为
，则
的
最小值是 ．
【答案】
/
【分析】根据已知求出
的值.结合图象可知点
应在双曲线的右支上，根据双曲线的定义可得
.结合图象，以及两点间的距离公式，即可得出答案.
【详解】由已知可得，
，
，
所以，
，
，
.
如图，设双曲线左焦点为
，
因为点
在双曲线右支内部，要使
最小，则点
应在双曲线的右支上.
根据双曲线的定义可得，
，
所以，
.
所以，
.
由图象可知，当
三点共线且如图示位置时，
有最小值
.
又
，所以
，
所以，
有最小值
，
即
有最小值
.
故答案为：
.
【变式4】P 为双曲线
右支上一点，M，N 分别是圆
和
上的点，
则
的最大值为 .
【答案】5
【分析】由题意及圆的性质知
，
，结合双曲线定义求
最大值.
【详解】双曲线的两个焦点
，
分别为两圆的圆心，
两圆的半径分别为
，
，易知
，
，
故
的最大值为
.
故答案为：5
题型13 直线与圆锥曲线的位置关系
【典例1】若直线
与双曲线
有且只有一个交点，则实数
的值是 ．
【答案】
【分析】由直线恒过定点
，直线不可能与双曲线相切，只能直线平行与渐近线.
【详解】由于直线恒过定点
，所以直线不可能与双曲线相切．要满足有且只有一个交点，直线必须
平行于双曲线的渐近线，渐近线方程为
，所以
，
解得
故答案为：
【变式1】若对任意的实数
，直线
与椭圆
恒有公共点，则实数
的取值范围为
.
【答案】
【分析】求出直线
所过定点的坐标，分析可知，定点在椭圆上或椭圆内，由此可得出关于实数
的不等式组，解之即可.
【详解】直线方程可化为
，则该直线过定点
，
因为直线
与椭圆
恒有公共点，则点
在椭圆上或椭圆内，
所以
，解得
且
.
因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式2】若直线
与椭圆
有两个不同的交点，则m 的范围是 ．
【答案】
【分析】联立直线与椭圆方程，根据
可得m 的范围.
【详解】由
得，
，
∵直线
与椭圆
有两个不同的交点，
∴
，解得
，
∴m 的范围是
.
故答案为：
.
【变式3】双曲线
与直线
的公共点个数 ；
【答案】0 或1
【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得已知直线与之重合或平行，即得结论.
【详解】由
，可得双曲线的渐近线方程为：
，
对于 直线
，当
时，直线与渐近线重合，两者无交点；
当
时，因此时直线
与双曲线渐近线平行，故只有一个公共点.
综上可得，双曲线
与直线
的公共点个数为0 或1.
故答案为：0 或1.
【变式4】已知直线
与双曲线
没有公共点，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】联立方程，消
得
，再由题设条件即可求出结果.
【详解】联立
可得
，由题意可知，关于x 的方程
无实数解，
则
，解得
，
故答案为：
．
题型14 圆锥曲线中弦长问题
【典例1】已知抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合，双曲线
的渐近线
方程为
．
(1)求抛物线
的标准方程和双曲线
的标准方程．
(2)斜率为2 的直线与抛物线
交于
两点，与
轴交于点
，若
，求
．
【答案】(1)
，
；
(2)
.
【分析】（1）由双曲线渐近线方程求出
，进而求出其右焦点即可得解.
（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，借助共线向量求出点
的坐标即可.
【详解】（1）依题意，双曲线渐近线方程为：
，于是
，解得
，
因此双曲线
的标准方程为：
，其右焦点为
，则
，解得
，
所以抛物线
的标准方程为
，双曲线
的标准方程为
.
（2）设的方程为：
，则
，
由
消去
得：
，则
，
，
由
，得
，则
，满足
，
因此
，
，
，
所以
．
【变式1】已知椭圆
经过点
，且离心率为
.
(1)求
的方程；
(2)若直线
与
交于点
，
，求
.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用给定的点及离心率，列出方程组并求解即可.
（2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求得答案.
【详解】（1）由椭圆
经过点
，且离心率为
，得
，解得
，
，
所以C 的方程为
.
（2）设
，
，由
消去
得
，
则
，
，
所以
.
【变式2】已知双曲线
的离心率为
，点
是双曲线的一个顶点.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线右焦点
作倾斜角为60°的直线，该直线与双曲线交于不同的两点A，B，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率、
、焦点坐标求出
可得答案；
（2）设直线的方程为
，与双曲线方程联立，结合韦达定理利用可得答案.
【详解】（1）由题可得
，解得
，
所以双曲线的方程为
；
（2）因为双曲线
的右焦点
的坐标为
，
所以经过双曲线右焦点
且倾斜角为
的直线的方程为
，
联立
，得
，
设
，
，则
，
，
所以
.
【变式3】已知过抛物线
的焦点F 的直线交抛物线
于
两点，当直线垂直于
轴
时，
.
(1)求抛物线
的方程：
(2)若
，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
，或
【分析】（1）由题意求出焦点坐标，进而可得
点坐标，代入抛物线方程可得答案；
（2）设直线方程为
，与抛物线方程联立，结合韦达定理求出弦长可得答案.
【详解】（1）由题意，
，
，（或
）
所以
，解得
，
（舍去），
所以抛物线
的方程为
：
（2）由（1）
，
，设
，
由题意知直线的斜率存在，
设其方程为
，与抛物线方程联立
，
可得
，所以
，
，解得
，
所以直线的方程为
，
即
，或
.
【变式4】已知双曲线
过点
，给出以下2 个条件：
①离心率为2，②与双曲线
有相同的渐近线．
(1)选一个条件，求出双曲线的方程．
(2)直线l 与直线
平行，l 被C 截得的弦长为
，求直线l 的方程．
【答案】(1)
(2)
或
．
【分析】（1）若选①，即可得到方程组，解得
、
，即可求出双曲线方程；
若选②，设双曲线方程为
，将点的坐标代入方程，即可求出
，从而得解；
（2）由题意设直线的方程为
，与双曲线方程联立，由判别式大于0 求得
的范围，再由根
与系数的关系结合弦长公式求解
，则直线的方程可求．
【详解】（1）解：若选①，则
，解得
，
所以双曲线
的方程为
；
若选②，设双曲线方程为
，依题意可得
，即
，
所以双曲线
的方程为
；
（2）解：由题意设直线的方程为
，
联立
，得
．
由
，解得
或
．
设交
于
，
，
则
，
，
，
解得
．
直线的方程为
或
．
题型15 圆锥曲线中三角形（四边形）面积问题
【典例1】已知
为坐标原点，
是圆
上一点，且
，线段
的垂直
平分线交线段
于点
，设动点
的轨迹为曲线
，且曲线
与直线
相切．
(1)求
的方程；
(2)过点
且斜率为
的直线与曲线
交于
两点，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先确定圆心A 及半径，由垂直平分线的性质结合椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系计算
即可；
（2）设直线
方程，联立椭圆方程，由韦达定理、弦长公式、点到直线的距离及基本不等式计算即可.
【详解】（1）由题意可知圆
，
所以圆心
，半径
，
因为
，线段
的垂直平分线交线段
于点
，所以
，
又
，所以
，
即点
的轨迹是以点
为左、右焦点的椭圆，所以曲线
．
因为曲线
与直线
相切，故
，
解得
，所以
的方程为
．
（2）由题意得直线
，由
，得
，
令
，
所以
，即
或
．
设
，则
，
所以
，
令
，则
，
则
，
当且仅当
即
时，等号成立，
所以
面积的最大值为
．
【变式1】已知椭圆
的右焦点为
，直线
.
(1)若
到直线的距离为
，求
；
(2)若直线与椭圆
交于
两点，且
的面积为
，求
；
【答案】(1)8
(2)2
【分析】（1）根据
到
的距离为
求解；
（2）将直线与椭圆
联立，求得
，
及O 到直线的距离
，根据面积为
求得
值.
【详解】（1）因为
，所以右焦点为
，
又因为
，所以
到直线的距离
，解得
；
（2）设
，由
得
，
所以
，即
，且
，
所以
，
又因为O 到直线的距离为
，
所以
的面积为
，
解得
满足
，所以
；
【变式2】已知双曲线
的离心率为e，点A 的坐标是
，O 为坐标原点.
(1)若双曲线E 的离心率
，求实数m 的取值范围；
(2)当
时，设过点A 的直线与双曲线的左支交于P，Q 两个不同的点，线段
的中点为M 点，求
的面积
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由离心率公式得出
，进而解得实数m 的取值范围；
（2）先得出双曲线E 的方程，再联立直线和双曲线方程，利用韦达定理得出
，再由
的范
围得出
的取值范围.
【详解】（1）
，
，
，解得
（2）由（1）可知，
，双曲线E 的方程为
设
，过点A 的直线方程为
由
可得
，
由
，解得
故
【变式3】已知双曲线
的一条渐近线方程是
，焦距为4.
(1)求双曲线
的方程；
(2)直线过双曲线的右焦点与双曲线的右支交于A，B 两点，与
轴交于
点，O 为坐标原点，若
，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题知
，
，进而结合
求解即可得答案；
（2）由题设直线的方程为
，
，
，
，
进而与双曲线方程联立，结合题意得
且
，进而根据韦达定理，结合弦长公式，距离公
式，面积公式得
，再还原求解即可得答案.
【详解】（1）解：因为双曲线
的一条渐近线方程是
，
所以
，即
因为焦距为4，所以
，即
因为
，
所以
，
所以双曲线
的方程为
（2）解：由题知双曲线的右焦点为
，
故设直线的方程为
，
则联立方程
得
，
设
，
，
所以
，
因为直线与双曲线的右支交于A，B 两点，
所以
，即
且
，
所以
，解得：
且
因为直线与
轴交于
点，所以
，
因为
，所以
所以
，
点
到直线的方程为
距离为
，
所以
面积为
，
令
，则
，
所以
，
因为
在
是单调递减函数，
所以
，
所以
.
所以
面积的取值范围为
【变式4】已知抛物线
：
经过点
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)设直线
与
的交点为
，
，直线
与
倾斜角互补.
（i）求
的值；
（ii）若
，求
面积的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）
.
【分析】（1）把
点坐标代入抛物线方程，可求
的值.
（2）（i）把直线方程代入抛物线方程，消去
，得到关于
的一元二次方程，利用一元二次方程根与系
数的关系，得到
和
，把直线
与
倾斜角互补，转化成
,可求
的值；（ii）先求弦
长
，再求
到直线
的距离，可表示出
的面积，再结合基本不等式可求面积的最大值.
【详解】（1）由题意可知，
，所以
，
所以 抛物线
的方程为
.
（2）（i）如图：
设
，将直线
的方程代入
得：
，所以
，
因为直线
与
倾斜角互补，
所以
，
即
，
所以
，
即
，所以
.
（ii）由（i）可知
，所以
，
则
，
因为
，所以
，即
，
又点
到直线
的距离为
，
所以
，
因为
，
所以
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
面积最大值为
.
题型16 圆锥曲线中定点、定值、定值线问题
【典例1】已知椭圆C:
(a>b>0)的左、右焦点分别为
，椭圆C 的离心率为
，点P 是椭圆
C 上一动点，且
的最大值为2.
(1)求椭圆C 的方程.
(2)过点
的直线交椭圆C 于E，F 两点，判断
是否为定值?若为定值，求出该定值;若
不为定值，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
为定值3，理由见解析.
【分析】（1）根据基本不等式求出
，根据离心率和
，求出
，得到椭圆方程；
（2）分直线EF 的斜率为零和不为零两种情况，当斜率不存在时，可直接进行求解，得到
，当斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，计算出
，可得结论.
【详解】（1）因为离心率为
，所以
，
又椭圆定义知
，
由基本不等式可得
，
当且仅当
时，等号成立，
故
，所以
，
所以
，
故椭圆C 的方程为
.
（2）当直线EF 的斜率为零时，则点E，F 为椭圆长轴的端点，
则
当直线EF 不与x 轴重合时，设直线EF 的方程为
，设点
，
联立
，消去x 得
，
恒成立，
由韦达定理得
，
，
故
.
综上所述，
为定值3.
【变式1】已知动点
到点
的距离与它到直线
的距离
的比值为
，设动点
形成的轨迹为
曲线
.
（1）求曲统
的方程；
（2）过点
的直线与
交于
，
两点，已知点
，直线
分别与直线
，
交于
，
两点，线段
的中点
是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.
【答案】（1）
；（2）存在，
.
【分析】（1）设
，根据题意列方程
，化简可得结果；
（2）设直线的方程为
，即
，设
，
，
，求出
，
，根据
为
的中点得
，联立
，根据韦达定理得到
和
，代入化简得
，点
都在定直线
上.
【详解】（1）设
，由题意得
，
整理化简得
，
所以曲线
的方程为
.
（2）设直线的方程为
，即
，
设
，
，
，
所以直线
的方程为
，所以
，
同理
，
所以
，
即
，
联立
，消去
并整理得
，
所以
，
，
代入得
，
∴
，
所以点
都在定直线
上.
【点睛】本题考查了求动点的轨迹方程，考查了直线与椭圆的交点问题，考查了椭圆中的定直线问题，考
查了运算求解能力，属于中档题.
【变式2】已知双曲线
：
的离心率为
，点
在双曲线
上．过
的左焦点
F 作直线交
的左支于A、B 两点．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若
，试问：是否存在直线，使得点M 在以
为直径的圆上?请说明理由．
(3)点
，直线
交直线
于点
．设直线
、
的斜率分别
、
，求证：
为定值．
【答案】(1)
；
(2)不存在，理由见解析；
(3)证明见解析
【分析】(1)根据题意列式求
，进而可得双曲线方程；
(2)设
，联立方程，利用韦达定理判断
是否为零即可；
(3)用
两点坐标表示出直线
，得点
坐标，表示出
，结合韦达定理，证明
为定值．
【详解】（1）由双曲线
的离心率为
，且
在双曲线
上，
可得
，解得
，∴双曲线的方程为
．
（2）双曲线
的左焦点为
，
当直线的斜率为0 时，此时直线为
，与双曲线
左支只有一个交点，舍去；
当直线的斜率不为0 时，设
，
联立方程组
，消
得
，易得
，
设
，则
，可得
，
∵
，
则
，
即
，可得
与
不垂直，
∴不存在直线，使得点
在以
为直径的圆上．
（3）由直线
，得
，
∴
，又
，
∴
，
∵
，∴
，且
，
∴
，即
为定值．
【变式3】已知双曲线
的中心为坐标原点，左、右顶点分别为
，
，虚轴长为6．
(1)求双曲线
的方程；
(2)过点
的直线与
的右支交于
，
两点，若直线
与
交于点
．证明：点
在定直线
上；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由
直接求出双曲线方程即可；
（2）设直线
方程和设
，直曲联立表示出韦达定理，利用点
在双曲线上代入化简
表示出直线
方程，联立两方程化简即可；
【详解】（1）设双曲线的标准方程为
，
依题意有
，
所以双曲线方程为
.
（2）
(i)证明:设直线
方程为:
，设
，
联立方程
，消去
得:
，
，
，
是双曲线
上的点，
，
直线
，同理直线
，
联立方程得
，
解得
，故点
在定直线
上.
【变式4】已知抛物线
的焦点为
，
为抛物线上一点，且
，直线
与
抛物线交于另一点
，点
在抛物线的准线上，且
轴.
(1)求抛物线的方程；
(2)若线段
中点的纵坐标为
，求直线
的方程；
(3)求证：直线
过定点，并求该定点坐标.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析，
【分析】（1）由
可得
，进而可得；
（2）设
方程为
，联立
，可得
，进而可得；
（3）设
，可得直线
方程为
，由
，
，可得
，进而可得.
【详解】（1）由抛物线的定义知：
，
所以
，解得
，所以抛物线的方程为
.
（2）
由（1）知，
，因为
的斜率不为
，设
方程为
，
，
联立
，得
，
所以
，
又由
，得
，所以
方程为
，即
.
（3）由（2）知：
，
因为
，所以
方程为
，
即：
，又因为
，
所以
，
故直线
方程为
，
所以直线
经过
点.
题型17 圆锥曲线中向量问题
【典例1】椭圆
的离心率为
，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若直线与椭圆
相交于
，
两点，与
轴相交于
点，若存在实数
，使得
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合椭圆垂直于长轴的弦长公式进行求解即可；
（2）根据直线是否存在斜率，结合平面向量的坐标运算公式、一元二次方程根与系数关系分类讨论进行
求解即可.
【详解】（1）因为该椭圆的离心率为
，所以有
，
在方程
中，令
，解得
，
因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，
所以有
，由
可得：
，
所以椭圆的方程为
；
（2）当直线不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意；
当直线存在斜率时，设为
，所以直线的方程设为
，
于是有
，
因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有
，
化简，得
，
设
，于是有
，
因为
，
所以
，
代入
中，得
，
于是有
，
化简，得
，代入
中，得
.
【点睛】关键点睛：本题的关键是由向量等式
得到
.
【变式1】已知椭圆
的离心率为
，短轴的一个顶点到椭圆C 的一个焦点的距离
为2.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设直线
交椭圆
于
，
两点，O 为坐标原点，若
，求
直线的方程.
【答案】(1)
(2)
或
.
【分析】（1）由椭圆的性质得出椭圆C 的标准方程；
（2）联立直线和椭圆方程，由韦达定理结合
得出直线的方程.
【详解】（1）∵短轴的一个顶点到椭圆C 的一个焦点的距离为2，∴
，
又椭圆C 的离心率为
，∴
，故
，
∴
，
∴椭圆C 的标准方程为
.
（2）联立
，整理得
，
∴
，
，
故
，
∵
，∴
，
解得
，满足
，
∴直线的方程为
或
.
【变式2】已知双曲线
的离心率为2，焦点到一条渐近线的距离为
．
(1)求双曲线
的方程．
(2)若过双曲线的左焦点
的直线交双曲线于
，
两点，交
轴于
，设
．试判断
是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
【答案】(1)
(2)
为定值
【分析】（1）利用点到直线的距离公式及双曲线的离心率公式即可求解；
（2）根据已知条件利用点斜式设出直线的方程，利用向量的线性运算，将直线方程与双曲线方程联立方
程组，再利用韦达定理即可求解.
【详解】（1）不妨取双曲线的一条渐近线方程为
，右焦点为
，
因为焦点
到一条渐近线
的距离为
，
所以
解得
.
又
，且
，解得
.
所以双曲线
的方程为
.
（2）由（1）可知左焦点
.
由题意可知，直线的斜率存在，且不等于
.如图所示
设直线的方程为
则
.
因为
，
所以
可得
由
，消去
整理得
所以
所以
为定值
.
【变式3】已知抛物线
的焦点为
，直线与抛物线交于
两点
(1)设直线的方程为
，求线段
的长
(2)设直线经过点
，若以线段
为直径的圆经过点
，求直线的方程
(3)设
，若存在经过点
的直线，使得在抛物线上存在一点
，满足
，求的取
值范围
【答案】(1)
(2)
或
(3)
【分析】（1）直线方程与抛物线方程联立，结合抛物线焦点弦长公式可求得结果；
（2）设
，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，根据
可构造方程求得结果；
（3）设
，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，根据
可建立等量关系，得
到
，由此可得的范围.
【详解】（1）由抛物线方程知：
，则直线
过焦点
，
设
，
由
得：
，
，
.
（2）由题意知：直线斜率不为零，可设
，
，
由
得：
，则
，解得：
；
，
，
，
，
，
，
解得：
（满足
），
直线得方程为：
或
.
（3）
由题意知：直线斜率不为零，可设
，
，
，
，
，
；
由
得：
，则
，即
，
，
，
，
由
得：
，
即
，
，
，
，
，即的取值范围为
.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，本题求解参数范围的关键是能够将已知条
件中的向量运算转化为坐标运算的形式，从而将所求变量表示为另一变量的函数的形式，利用函数值域来
求得参数范围.
【变式4】已知抛物线
的焦点为F，抛物线上一点
到F 的距离为3，
(1)求抛物线C 的方程和点A 的坐标；
(2)设过点
且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于不同的两点M，N．若
，
求斜率
k 的取值范围．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据题意求出p，得抛物线方程，代入点即可得解；
（2）设直线
，联立抛物线方程得出根与系数的关系，得出
的范围，
再根据
，求取值范围即可.
【详解】（1）由题意知
，得
，
所以抛物线C 的方程为
．
将点
代入
，得
，
所以点A 的坐标为
．
（2）直线
与抛物线
联立，消去y 得
，
，解得
或
．
设
，则有
，
则
，即
，又
．
所以
，则
因为
，设
，则
，
因为
，则
所以
因为
或
，所以k 的取值范围是
1．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化
为几何问题加以解决，如：
可以转化为平面上点
与点
的距离．结合上述
观点，可得
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】将
转化成
到点
的距离与到点
的距离之差，再结合
和两点间的距离公式进行求解．
【详解】由所求的式子的形式想到距离之差，
，
可转化成
轴上一点
到点
的距离与到点
的距离之差，
则
（当且仅当
三点共线时取等号），
所以
的最大值为
．
故选：B.
2．在等腰
中，
是边
上异于
的一点，光线从点
出发，经
发射后又回
到原点
（如图）．若光线
经过
的重心，则
等于（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】D
【分析】建立直角坐标系，设点P 的坐标，可得P 关于直线BC 的对称点
的坐标，和P 关于y 轴的对称
点
的坐标，由
四点共线可得直线的方程，由于光线
经过
的重心，代入可得关于a 的
方程，解得P 的坐标，即可求解
.
【详解】以
为坐标原点，建立如图直角坐标系，
可得
，故直线BC 的方程为
，
则
的重心为
，即
，
设
,其中
，则点P 关于直线BC 的对称点
，
满足
，解得
，即
，
易得P 关于y 轴的对称点
，由光的反射原理可知
四点共线，
直线
的斜率为
，故直线
的方程为
，
由于直线
过
重心
，代入得
，
化简得
或
（舍去），故
，所以
.
故选：D
3．若圆
：
上有四个不同的点到直线
的距离为3，则的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】把圆的一般方程化为标准方程，确定圆心与半径，要使得圆上有四个不同的点到直线距离为3，
将问题转化为圆心到直线的距离小于3 即可．
【详解】圆
，
故圆心为
，半径为6．
设圆心
到直线
的距离为
，
要使圆上有四个不同的点到直线
的距离为3，
则与直线平行且距离为3 的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点，
所以
，得
，即
，
解得
，
故选：C．
4．把直线
按向量
平移后，恰与
相切，则实数
的值为
（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】先利用变换得出新的直线方程，再利用
计算即可.
【详解】直线按向量
平移后得
，即
，
化简为
，
则点
到直线
的距离
，
解得
或
.
故选：C
5．已知圆
的圆心为
，且经过点
，过点
作圆
的两条切线PA，PB，切点分别为A，
B，则直线AB 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意求得其中一个切点的坐标，并求出
的斜率即可求解.
【详解】由题意，圆
的半径为
圆
的标准方程为
．
当斜率不存在时，过点
的直线为
，与圆
相切于点
．
由圆的切线的性质可知，
，
直线AB 的方程为
，即
．
故选：A.
6．如图，已知
，
，
是圆
上任意一点，点
关于点
的对称点为
，线
段
的垂直平分线与直线
相交于点
，记点
的轨迹为曲线
，若点
在曲线
上，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】根据题意得
且
，则
，根据双曲线定义
得点
的轨迹是以
为焦点的双曲线，求出其方程即可得解.
【详解】如图，连接
，由题意可得
，且
为
的中点，
又
为
的中点，所以
且
．
连接
，因为点
关于点
的对称点为
，
线段
的垂直平分线与直线
相交于点
，
由垂直平分线的性质可得
，
所以
，
所以点
的轨迹是以
为焦点的双曲线，
，
，
所以
，所以曲线
的方程为
，
令
可得
，即
．
7．已知直线过点
，且与直线
及
轴围成等腰三角形，则的方程为（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】A
【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案.
【详解】如图，设
，直线
过
和
.
①当直线为
时，直线、直线
与
轴围成的三角形是
，不是等腰三角形，所以
直线的斜率存在．
②当直线的斜率为负时，设
关于
轴的对称点为
，当直线过
两点时，
是
等腰三角形，
又
，所以
为等边三角形，满足题意，因为
，所以此时直线的方程为
．
③当直线的斜率为正时，设直线与
轴负半轴相交于点
，则
，由直线AB 的斜率为
，倾斜
角为
，可得
，
所以直线
，也即直线的斜率为
，对应方程为
．
综上，直线的方程为
或
．
故选：A.
8．已知直线
与圆
交于不同的两点
，
是坐标原点，且有
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】取
中点为
，根据已知条件求得
的范围，利用点到直线距离公式将其转化为关于
的不
等式，求解得到
的取值范围.
【详解】如图，设
的中点为
，连接OC，则
．
∵
，∴
，
∴
．又
（弦心距d、半径r 和弦长
的一半构成直角三角形），
∴
，即
．
又∵直线
与圆
交于不同的两点A，B，
∴
，故
，则
．
∵
，∴
．
故选：B.
9．（多选）设抛物线
的焦点为
为
上一动点，
为定点，则下列结论正确的是
（ ）
A．准线方程是
B．
的最小值为4
C．
的最大值为5
D．以线段
为直径的圆与
轴相切
【答案】ABD
【分析】根据抛物线方程写出准线判断A，根据抛物线定义及三角形三边长关系判断B、C，写出
的中
点坐标，根据其横坐标与
关系即可判断D.
【详解】A（√）由抛物线
，知其焦点为
，准线方程为
．
B（√）如图所示，过
作
准线于点
，则
，
故
，
当且仅当
，
，
共线时（即图中
），
最小，
最小值为
到准线的距离4.
C（×）由
，当且仅当
共线时取等号，故
的最大值为
．
D（√）由
，知
的中点坐标为
，而
，故
，所以以
线段
为直径的圆与
轴相切．
故选：ABD
10．（多选）设A，B 两点的坐标分别为
，直线AM，BM 相交于点
，且它们的斜率之积为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的轨迹方程为
B．
的轨迹与椭圆
共焦点
C．
的轨迹的渐近线与圆
相离
D．过
能作4 条直线与
的轨迹有且只有一个公共点
【答案】BC
【分析】对A，设点
，根据条件列式求出轨迹方程可判断；对B，由点
的轨迹方程求出焦
点坐标可判断；对C，点
的轨迹方程求出渐近线，法一：利用几何法求得圆心到直线的距离可判断，法
二：由代数法，将直线方程代入圆的方程得到
的方程，利用判别式可判断；对D，点
在
轴上，
过点
的直线与点
的轨迹只有一个公共点，只有两条切线，其中与渐近线平行的直线过点
不合题
意.
【详解】直观解题
选
项
正
误
原因
A
×
设点
，则
，
所以
，化简得
，
所以点
的轨迹方程为
．
B
√
由A 选项，知点
的轨迹的焦点为
，
与椭圆
共焦点．
C
√
法一：点
的轨迹对应曲线
的渐近线为
，
圆
的圆心
到渐近线
的距离
．
又圆
的半径为
，
所以渐近线与圆
相离；
法二：将
代入圆的方程，可得
，
整理得
，所以
，
所以方程无解，故渐近线与圆
相离．
D
×
点
在
轴上，
，则
，
所以直线AN，NB 与渐近线平行，但点A，B 不在点
的轨迹上，
故过点
只能作点
轨迹的两条切线，如图所示，
故过
只能作2 条直线与
的轨迹有且只有一个公共点．
故选：BC.
11．设
，
为椭圆
的左、右焦点，且
，若椭圆上存在点
使得
，则椭圆的离心率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】令
，由椭圆的定义及已知得
，问题化为
在
上存在零点，得到椭圆参数的齐次式求离心率范围.
【详解】令
，则
，即
，且
，
由
，则
，可得
，
所以
在
上存在零点，
又
开口向上且对称轴为
，则
，
所以
，可得
，即
.
故答案为：
12．已知实数
，
满足
，则
的最小值是 ．
【答案】
【分析】解法1：求出圆心和半径，
，其中
可看作圆上的点
到直线
的距离，数形结合得到圆上的点
到直线
的距离的最小值为
，得到答案；
解法2：先得到
，所以
，令
，
，得到
，由三角函数有界性得到最值.
【详解】解法1：因为
，所以
，
即圆心为
，半径为
，因为
，
可看作圆上的点
到直线
的距离，如图，
所以圆上的点
到直线
的距离的最小值为
圆心
到直线
的距离
减去半径，即
，
因为
，
所以圆上的点
到直线
的距离的最小值为
，
所以
的最小值为
．
解法2：因为
，所以
，
即圆心为
，半径为
，
其中
，且
到直线
的距离为
，
故
，所以
，
令
，
，
则
，其中
为辅助角，
当
时，
最小值为
．
故答案为：
13．已知定点
，点
为圆
上的动点，
为
的中点．
(1)求
的轨迹方程；
(2)若过定点
的直线与
的轨迹交于
两点，且
，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）设
点的坐标为
，表达出点
的坐标，将其代入
中，整理可得
的
轨迹方程；
（2）考虑直线的斜率不存在和斜率存在两种情况，由点到直线距离和弦长公式进行求解，得到答案.
【详解】（1）设
点的坐标为
，则点
的坐标为
，
点
为圆
上的动点，
，化简得
，
故
的轨迹方程为
．
（2）圆
的圆心坐标为
，半径
，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为
，
此时圆心到直线
的距离是
，所以
，满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
，
化简得
，
因为
，所以圆心到直线的距离
，
由圆心到直线的距离公式得
，
所以
，即
，平方得
，
整理得
，解得
，故直线的方程为
，即
．
综上，直线的方程为
或
．
14．已知双曲线
的左、右焦点分别为
为双曲线右支上一点（
不在
轴
上）．
(1)若
，求
的面积；
(2)若该双曲线与椭圆
有共同的焦点且过点
，求
内切圆圆心的横坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设
，
，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得
，再由
求解，（也可以用二级结论
，其中
求解）；
（2）由双曲线的定义和圆的切线长定理，得到内切圆圆心的横坐标为a，再根据该双曲线与椭圆
有共同的焦点，且过点
求解.
【详解】（1）设
，
，由双曲线的定义可得
，
在
中，由余弦定理，得
，
可得
，则
的面积
．
（可用二级结论验证：若
为双曲线的两个焦点，
为双曲线上一点，则双曲线焦点三角形
的面
积
，其中
，此题中
，则
）．
（2）如图所示，
，
，
设内切圆与
轴的切点为
与内切圆的切点分别为
．
由双曲线的定义可得
，由圆的切线长定理知，
，
故
，即
．
设内切圆圆心的横坐标为
，则点
的横坐标为
，故
，可得
．
由该双曲线与椭圆
有共同的焦点
，且过点
，
可得
，
，
解得
，
，
可得
内切圆圆心的横坐标为
．
15．已知圆
，直线
．
(1)若从点
发出的光线经过直线
反射，反射光线恰好平分圆
的圆周，求反射光线的一般
方程．
(2)若点
在直线上运动，
，求
的最小值．
(3)设
，若点
是圆
上任意一点，试问：在平面上是否存在定点
，使得
？若存在，
求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
．
(2)20．
(3)存在，
【分析】（1）由恰好平分圆
的圆周，得经过圆心
，求点
关于直线
的对称点
，求出直
线CN 即为．
（2）由题意设点
的坐标为
，根据两点间距离公式写出
的表达式，进而利用二次函
数性质可得最小值．
（3）假设存在点
满足条件，设出点
的坐标，由
，利用两点间距离公式建立恒等式并化
简，由点
在圆
上，利用恒等式建立有关点
坐标的方程组，求解即可检验假设是否成立．
【详解】（1）因为恰好平分圆
的圆周，所以经过圆心
，
设点
关于直线
的对称点为
，
则直线MN 与直线
垂直，且线段MN 的中点在
上，
即
解得
所以
．
直线CN 即为直线，且
，
所以直线的方程为
，即
．
（2）由点
在直线
上，可设
，
则
，
所以当
时，
取得最小值20．
（3）假设存在定点
，对任意的
都有
，
即
，
化简得
．
又
满足
，即
，
即
，
所以
解得
所以在平面上存在点
，使得
.
