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第三章 函数 单元题型大总结
教学目标
（1）理解函数的概念和表示方法，并能应用函数的概念解决一些问题；
（2）掌握函数单调性的概念，会用符号语言表达单调性、最值，能用定义证明简单
函数的单调性并会简单应用；
（3）了解函数奇偶性的概念和几何意义，并能解决具体问题；
教学重难点
教学重点：
（1）进一步理解函数概念，使用函数的单调性解决问题.
（2）巩固函数奇偶性的概念，能运用函数的奇偶性解决具体的问题.
（3）巩固函数零点的概念，能运用函数的图象解决函数零点的问题.
三、教学难点：
理解函数概念，函数性质的应用
知识点01 函数的概念
一般地，给定两个非空实数集
与
，以及对应关系
，如果对于集合
中的每一个实数
，在集
合
中都有 的实数
与
对应，则称
为定义在集合
上的一个函数，记作 ，
，其中
称为 ，
称为 ，自变量取值的范围(即数集
)称为这个函数的
，所有函数值组成的集合
,称为函数的 ．
【即学即练】已知集合
，根据函数定义，下列给出四个对应法则，能构成从
到
的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 求函数解析式
1、待定系数法：若已知 （如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法．
2、换元法：主要用于解决已知
这类复合函数的解析式，求函数
的解析式的问题，在使用
换元法时特别注意，换元必换范围.
3、配凑法：由已知条件
，可将
改写成关于
的表达式，
4、方程组（消去）法：主要解决已知
与
、
、
……的方程，求
解析
式。
【即学即练】（1）已知
是一次函数，且满足
，求
的解析式．
（2）若对任意实数x，均有
，求
的解析式．
知识点03 函数图象
1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）
①
②
③
④
注：左右平移只能单独一个
加或者减，注意当
前系数不为1,需将系数提取到外面.
2、函数图象的对称变换
①
的图象
的图象；
②
的图象
的图象；
③
的图象
的图象；
3、函数图象的翻折变换（绝对值变换）
①
的图象
的图象；
（口诀；以
轴为界，保留
轴上方的图象；将
轴下方的图象翻折到
轴上方）
②
的图象
的图象.
（口诀；以
轴为界，去掉
轴左侧的图象，保留
轴右侧的图象；将
轴右侧图象翻折到
轴左侧；本
质是个偶函数）
知识点04 函数单调性
1.1 增函数
一般地，设函数
的定义域为
，区间
，如果
，当 时，都有
，那么就称函数
在区间
上 .（如图：图象从左到右是上升的）
特别地，当函数
在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function).
1.2 减函数
一般地，设函数
的定义域为
，区间
，如果
，当 时，都有
，那么就称函数
在区间
上是 .（如图：图象从左到右是下降的）
特别地，当函数
在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function).
【即学即练】已知函数
的图像过点
．
(1)求实数m 的值；
(2)判断
在区间
上的单调性，并用定义证明；
知识点05 函数单调性性质
（1）函数
在给定区间
上的单调性与
在给定区间
上的单调性相反；
（2）函数
在给定区间
上的单调性与
的单调性相同；
（3）
和
的公共定义区间
，有如下结论；
增
增
增
不确定
增
减
不确定
增
减
减
减
不确定
减
增
不确定
减
【即学即练】已知函数
是
上的减函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点06 函数的最大（小）值
1、最大值：对于函数
，其定义域为
，如果存在实数
满足：
①
，都有
②
，使得
那么称
是函数
的最大值；
2、最小值：对于函数
，其定义域为
，如果存在实数
满足：
①
，都有
②
，使得
那么称
是函数
的最小值；
【即学即练】（多选）定义一种运算
.设
（为常
数），且
，则使函数
最大值为4 的值可以是（ ）
A．-2
B．6
C．4
D．-4
知识点07 函数奇偶性
1.1 偶函数：一般地，设函数
的定义域为
，如果
，都有
，且 ，那么函数
就叫做 .
1.2 奇函数：一般地，设函数
的定义域为
，如果
，都有
，且 ，那么函数
就叫做 .
1.3 性质法判断函数奇偶性：
，
在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
【即学即练】（多选）已知
是定义在R 上的奇函数，当
时，
，则（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
D．当
时，
知识点08 对称性
1、轴对称：
设函数
的定义域为
，且
是
的对称轴，则有：
①
；
②
③
2、点对称
设函数
的定义域为
，且
是
的对称中心，则有：
①
；
②
③
3、拓展：
①若
，则
关于
对称；
②若
，则
关于
对称；
【即学即练】我们知道，函数
的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数
为
奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数
的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数.，则:（1）函数
图象的对称中心 ;（2）类比上述推广结
论，“函数
的图象关于
轴成轴对称图形的充要条件为 为偶函数
知识点09 一元二次不等式与对应函数、方程
一元二次方程ax 2+bx +c=0（a≠0）的实数根也称为函数y=ax 2+bx +c（a≠0）的零点.
当a>0 时，一元二次方程ax 2+bx +c=0 的实数根、二次函数y=ax 2+bx +c 的零点之间的关系如下表
所示：
Δ=b2−4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
ax 2+bx +c=0
的实数根
x1,2=−b±√b2−4ac
2a
（其中x1<x2）
x1=x2=−b
2a
方程无实数根
y=ax 2+bx +c
的图象
y=ax 2+bx +c
的零点
x1,2=−b±√b2−4ac
2a
x1=x2=−b
2a
函数无零点
ax 2+bx +c>0
的解集
{x|x≠−b
2a }
ax 2+bx +c<0
的解集
知识点10 函数零点存在性定理
1、函数零点存在定理
如果函数y=f ( x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么函数y=f ( x)
在区间(a,b)内 ，即存在 ，使得f ( x0)=0 ，这个
也就是方程f ( x)=0 的解.
说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的;②f (a)f (b)<0 .两个条件缺一
不可.
【即学即练】函数
在区间
上的零点必定在区间（ ）
A．
内
B．
内
C．
内
D．
内
知识点11 对勾函数
1、对钩函数（一般模型）：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函
数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：
（
，
）的函数；
①定义域：
；
②
是奇函数，图象关于原点对称；
③
在
，
上单调递减；在
，
上单调递增；
④当
时，
；当
时，
；
2、（高频考试模型）特别的，对钩函数的简易形式：
（
）其图象如图：
①定义域：
；
②
（
）是 ，图象关于 对称；
③
在 上单调递减；在 上单调递增；
④当
时，
；当
时，
题型01 求函数的定义域
【典例1】若函数
的定义域为
，则函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（1）若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 ；
（2）若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 ．
【变式4】函数
的定义域为 ．
题型02 求函数的值域
【典例1】已知
，若函数
的值域为
，则
的取值范围是 ．
【变式1】若函数
的值域为
，则函数
的值域为 ．
【变式2】已知函数
的值域是
，则
，
．
【变式3】若函数
的定义域和值域都为
，则
的值是 ．
【变式4】求下列函数的值域.
（1）
，
（2）
，
（3）
题型03 求函数解析式
【典例1】回答下面问题
(1)已知
，求
；
(2)已知函数
是一次函数，若
，求
.
(3)已知
，求
的解析式；
(4)已知
是一次函数，且满足
，求
的解析式.
【变式1】（1）已知
是二次函数，且
，
，求
的解析式；
（2）已知函数
的定义域为（0，＋∞），且
，求
的解析式．
【变式2】（1）已知
，求
的解析式；
（2）已知
是一次函数，且满足
，求
的解析式．
【变式3】解答下列问题：
(1)已知
是一次函数，且满足
，求
的解析式；
(2)已知
满足
，求
的解析式．
题型04 分段函数
【典例1】已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知函数
，则方程
的解的个数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【变式2】已知函数
，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【变式3】函数
则
的定义域为 ．
【变式4】已知函数
，则不等式
的x 的解集是 ．
题型05 函数单调性
【典例1】画出函数
的图象，根据图象写出函数
的单调减区间 .
【变式1】已知
是定义在
上的奇函数，若当
时，
，则不等
式
0 的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】函数
的单调减区间是 ．
【变式3】若函数
在区间
上不单调，则
的取值范围是 ．
【变式4】已知函数
，其中
.
(1)当
时，若
，求函数
的最小值；
(2)当
时，若
，判断并证明函数
的单调性.
题型06 函数奇偶性
【典例1】已知函数
.
(1)判断
在
上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
(2)求
在
上的值域；
(3)求解关于
的不等式
.
【变式1】已知
分别为奇函数、偶函数，且
，则
．
【变式2】已知单调函数
满足
，且
，定义域为
．
(1)求证：
为奇函数；
(2)若
，求
的取值范围．
【变式3】已知函数
为偶函数．
(1)求
的值；
(2)若函数
，且
恒成立，求
的取值范围．
【变式4】已知函数
对任意实数x，y，均有
，
，且存在非
零常数c，使
.
(1)求
的值；
(2)判断
的奇偶性并证明；
(3)求证
是周期函数，并求出
的一个周期.
题型07 单调性和奇偶性综合
【典例1】设定义域为
的函数
满足：①对于任意
，都有
；②当
时，
；③
.
(1)判断
的奇偶性；
(2)判断
在
上的单调性并证明；
(3)求
在
上的值域.
【变式1】已知函数
.
(1)判断并证明函数
的奇偶性；
(2)判断并证明函数
在区间
上的单调性；
(3)解关于的不等式：
.
【变式2】已知函数
是定义域在
上的奇函数，且
.
(1)求a，b 的值；
(2)用定义法证明函数
在
上单调递增；
(3)解不等式
.
【变式3】定义在
上的函数
满足
，
，且
时，
．
(1)判断并证明
的奇偶性；
(2)求关于t 的不等式
的解集．
【变式4】已知函数
满足
，
.
(1)求
，
的值；
(2)判断
的奇偶性；
(3)求不等式
的解集.
题型08 函数与方程（小题）
【典例1】设
表示实数
中的最小值，若函数
，函数
有六个不同的零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知函数
若关于
的方程
有4 个不相等的实数
根，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】若函数
在
上恰有一个零点，则（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【变式3】若不等式
的解集为
，则函数
的零点为（ ）
A．
和
B．
和
C．2 和
D．
和
【变式4】在数学中，对于满足一定条件的连续函数
，存在实数
，使得
，我们就称该函
数为“不动点”函数，实数
为该函数的不动点.已知函数
在区间
上恰有两
个不同的不动点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型09 函数与方程（大题）
【典例1】已知函数
是定义在
上的偶函数，当
时，
的图象如图
所示（小正方形的边长为1 个单位长度）.
(1)试将上图补充完整并指出
的单调递减区间；
(2)若函数
有2 个零点，求a 的取值范围；
(3)求
的解析式.
【变式1】研究方程
的根的个数．
【变式2】已知函数
，对于任意的
，都有
，当
时，
．
(1)求
的值；
(2)判断
的奇偶性和单调性；
(3)设函数
，若方程
有2 个不同的解，求m 的取值范围．
【变式3】已知函数
的图像是由两支组成的双曲线，
(1)当
，作出函数图像；
(2)是否存在实数
，使该函数在区间
上是严格减函数，并且函数值恒为负？若存在，求出实数
的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)若直线
与双曲线的一支有两个不同的交点，求实数
的取值范围．
【变式4】已知函数
是定义在
上的偶函数，且当
时，
.
(1)求函数
的解析式；
(2)画出函数
的图象，并结合图象讨论方程
的解的个数
题型10 函数模型及其应用
【典例1】某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2 月1 日起的300 天内，西红柿的市场售价
与上市时间之间的关系用图甲的折线表示，西红柿的种植成本与上市时间之间的关系用图乙的抛物线段表
示．
(1)写出图甲表示的市场售价与上市时间的函数关系式
和图乙表示的种植成本与上市时间的函数关
系式
；
(2)若设定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市的西红柿纯收益最大？
（注：市场售价和种植成本的单位：元／
，时间单位：天）
【变式1】已知某车厘子收购市场在过去的30 天内对车厘子的日收购量
（单位：百斤）与第
天之
间的函数关系为①
；②
；③
这三种函数模型中的一
个，且部分数据如下表：
（天）
6
10
22
28
（百斤）
46
50
58
52
(1)请确定
的解析式，并说明理由；
(2)若第
天平均每斤车厘子的收购价格为
（单位：元），且
（
，且
），
记过去30 天内第
天该市场收购车厘子的资金总额为
（单位：百元），求
的最小值．
【变式2】某工厂某种产品的年固定成本为250 万元，每生产
千件，需另投入的成本为
.当年产量不
足80 千件时，
（万元）；当年产量不小于80 千件时，
（万元）.
每件商品的售价为0.05 万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润
（万元）关于年产量
（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
【变式3】已知某线路运行的地铁发车时间间隔（单位：分钟）满足：
．经测算，该地铁每班
平均载客人次
（单位：人次）与发车时间间隔满足：
．
(1)计算
的值，并说明其的实际意义；
(2)若该线路每分钟的净收益为
（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路
每分钟的净收益最大？并求最大净收益．
【变式4】2024 年8 月12 日，为期16 天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随
处可见.这个盛夏，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向世界展示了中国向“新”而行的活
力，让人们在享受比赛的同时，感受到中国发展的脉搏.巴黎奥组委的数据显示，本届奥运会
的吉祥物
产自中国.据调查，国内某公司出售一款巴黎奥运会吉祥物，需要固定投入300 万元费用.假设购进该款产品
全部售出.若以80 元的单价出售，可售出15 万件，且每降价1 元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超
过30 万件，则经销商按照每件30 元成本收费；若购进30 万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式
进行销售，此时利润
（万元）与销量
（万件）的关系为
.
(1)当购进产品数量为10 万件时，利润是多少？
(2)写出利润
万元关于购进产品数量
（万件）的函数解析式？（利润
销售收入-成本）
(3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
1．函数
在
上的最小值是（ ）
A．4
B．
C．
D．5
2．已知
，则函数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
的最大值为
，最小值为
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
4．函数
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
既非奇函数也非偶函数
D．
既是奇函数也是偶函数
5．已知函数
在区间
上的最大值为5，则
（ ）
A．2
B．3
C．15
D．3 或15
6．若函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
，
（
），若
，
，使得
，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知定义在
上的函数
满足
，且在区间
上单调递增，则满足
的
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选）已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
在
单调递增
D．
是偶函数
10．定义
且
．则下列关于函数
的四个结论，正确的是（ ）
A．函数
的定义域为
，值域为
B．函数
是偶函数且在
上是增函数
C．对任意的
，都有
（k 为常数且
）成立
D．函数
有2 个不同零点
11．若函数
存在最小值，则m 的最大值为 ．
12．已知函数
，若
，则实数的取值范围为 ．
13．已知函数
的定义域为
，值域为
，求
的范围．
14．设
是定义在
上的函数，且对一切
均有
，当
时，
．
(1)求当
时，函数
的解析式；
(2)求当
时，函数
的解析式．
15．对于函数
，若在定义域内存在实数
，满足
，则称
为“局部反比例对称函
数”．
(1)用定义证明函数
在
为单调递增函数；
(2)已知函数
，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由；
(3)若
是定义在区间
上的“局部反比例对称函数”，求实数
的取值范围．
16．已知函数
的图象关于点
成中心对称图形的充要条件是
是奇函数，给定
函数
．
(1)求函数
图象的对称中心；
(2)判断
在区间
上的单调性（只写出结论即可）；
(3)已知函数
的图象关于点
对称，且当
时，
，若对任意
，总存
在
，使得
，求实数
的取值范围．
