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第一章 集合与常用逻辑用语（高效培优单元测试·强化卷）
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由集合的并集运算定义即可.
【详解】由集合的并集运算得
．
故选：D
2．命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由命题的否定求解即可.
【详解】命题“
”的否定是“
”.
故选：B.
3．已知集合
，且
，则
等于（ ）
A．－3 或－1
B．-3
C．1
D．3
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系列式求解，再代入检验即可.
【详解】因为集合
，且
，
则
或
，所以
或
；
当
时，
不合题意舍；
当
时，
符合题意；
故选：B.
4．已知集合
，若
，则
（ ）
A．2
B．0
C．0 或2
D．1 或2
【答案】C
【分析】根据包含关系，讨论
、
并结合集合的性质求参数值.
【详解】当
，则
，此时
，满足；
当
，则
，此时
，满足；
所以
或
.
故选：C
5．已知集合
，
，则
（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】B
【分析】由
求解即可.
【详解】因为
，
，所以
，
所以
或
，
故选：
.
6．已知集合
，
.若“
”是“
”的充分不必要条件，则
m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分集合
是否为空集讨论即可，当
时，由集合间的包含关系求出；
【详解】由“
”是“
”的充分不必要条件，则
是
的真子集，
当
时，
，解得
；
当
时，
，前两个等号不能同时取得，解得
，
综上m 的取值范围是
，
故选：A.
7．已知
为
的两个非空真子集，若
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意得到集合
的关系，作出集合的
图，由图对各个选项进行判断.
【详解】因为
，所以
，如图：
对于选项A，由题意知
是
的真子集，故
，故A 不正确；
对于选项B，由
是
的真子集且
都不是空集知，
，
，故B 正确；
对于选项C，由
是
的真子集知，
，故C 不正确．
对于选项D，由
是
的真子集，故
，故D 不正确．
故选：B
8．设
是一个集合，
是一个以
的某些子集为元素的集合，且满足：（1）
属于
属于
；（2）
中任意多个元素的并集属于
；（3）
中任意多个元素的交集属于
；则称
是集合
上的一个拓扑.已
知集合
，对于下面给出的四个集合
：
①
；
②
③
；
④
其中是集合
上的拓扑的集合
的序号是（ ）
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
【答案】C
【分析】利用定义结合集合间的基本关系与运算计算即可.
【详解】①
故①不是集合X 上的拓扑的集合
；
③
，
故③不是集合X 上的拓扑的集合
；
对于选项②④
满足：（1）X 属于
，
属于
；
（2）
中任意多个元素的并集属于
；（3）
中任意多个元素的交集属于
，
综上得，是集合X 上的拓扑的集合
的序号是②④
故选：C
【点睛】思路点睛：新定义问题关键在于理解题意，将问题转化为集合间的基本关系即可.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．若
的充分不必要条件是
，则实数m 的值可以是（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】ABC
【分析】根据充分不必要条件，可得集合的包含关系，建立不等式，可得答案.
【详解】由题意可得
，则
，解得
，
易知
.
故选：ABC.
10．已知集合
恰有两个子集，则
的值可能为（ ）
A．
B．
C．4
D．
【答案】AC
【分析】集合恰有两个子集，则集合有1 个元素，问题转化为方程组有一个的实数解即可.
【详解】由
，可得
由题可知
中只有一个元素.
当
时，解得
，此时
，符合题意；
当
时，即
，则
或
是方程
的解.
当
是方程
的解时，解得
，此时
，符合题意；
当
是方程
的解时，无解.故
或4.
故选：AC.
11．已知“
”为假命题，则实数
的值可以是（ ）
A．0
B．
C．
D．1
【答案】AB
【分析】由题意可得
为真命题，分
和
两种情况讨论即可得解.
【详解】由题意，命题
的否定为
为真命题，
当
时，
恒成立，
当
时，
，解得
，
综上所述，
.
故选：AB.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．集合
的真子集的个数是 .
【答案】
【分析】根据题意确定集合中元素的个数，即可得到真子集的个数.
【详解】由题意得，
为
的正因数，
故
，
所以此集合的真子集个数为
.
故答案为：
.
13．某高校举行校运会中，某专业一个班共有40 名同学参加，有20 人参加田径比赛，24 人参加了球类比
赛，15 人参加趣味球比赛，同时参加田径和球类比赛的有8 人，同时参加田径和和趣味球比赛的有5 人，
有2 人同时参加三项比赛，只参加趣味球比赛一项的有 人.
【答案】
【分析】根据韦恩图计算可得到答案.
【详解】如图所示，设只参加趣味球比赛的为
人，
可得
，解得
，
故答案为：
14．设
为非空实数集满足：对任意给定的
（
、
可以相同），都有
，
则称
为封闭集．关于封闭集有下列结论：
①集合
为封闭集； ②集合
为封闭集；
③若集合
为封闭集，则
为封闭集；
④若集合
为封闭集，则一定有
；
⑤若集合
为封闭集，则
为封闭集．
其中正确结论的序号是 ．
【答案】②④⑤
【分析】本题主要涉及封闭集的定义概念，通过对每个结论逐一根据封闭集的定义进行判断来求解.
【详解】对于集合
，取
，
，则
，不满足封闭集的定义，
所以①错误.
对于集合
，设
，
，
.
，因为
，所以
.
，因为
，所以
.
，因为
，所以
.满足封闭集的定义，所以②正确.
令
，
，都是封闭集.
中，取
（
），
（
），
，不满足封闭集的定义，所以③错误.
因为对任意
，有
，所以若集合
为封闭集，则一定有
，所以④正确.
因为
，
为封闭集，设
，则
且
.
因为
是封闭集，所以
，
，
.
因为
是封闭集，所以
，
，
.
所以
，
，
，满足封闭集的定义，所以⑤正确.
故答案为：②④⑤.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知全集
，
，
(1)求
，
(2)求
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）求出集合
、
，再求
，
；
（2）求出
、
，再求
．
【详解】（1）
，
，
所以
.
因为
，所以
；
（2）因为
，
，
所以
．
16．（1）已知
，求实数
的值；
（2）已知
，求实数
，
的值.
【答案】（1）
；（2）
或
【分析】（1）利用
，再分
，
，
三种情况讨
论，利用集合的性质，即可求解；
（2）利用集合相等的条件，建立方程组，即可求解.
【详解】（1）若
时，解得
，此时
，
，不满足集合的互异
性，所以
，
若
时，解得
或
，当
时，
，
，所以
满足题意，
当
时，
，
，不满足集合的互异性，所以
，
若
，解得
（舍）或
（舍），
综上，实数
的值为
.
（2）因为
，则
或
，
由
，解得
，由
，解得
，
经检验，
和
均符合题意，
综上，
或
.
17．在①
②“
”是“
”的充分条件，③
，这三个条件中任选一个，补充到
本题第（2）问的横线处，并求解，已知
.
(1)当
时，求
；
(2)若______，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出
，利用交集概念求出答案；
（2）选①②，得到
，进而得到不等式，求出
；选③，需满足
或
，求
出答案.
【详解】（1）当
时，
，
又因为
，
所以
；
（2）若选①，
，则
，
显然
，要满足
，则
，解得
，
故
的取值范围是
；
若选②，“
”是“
”的充分条件，则
，
显然
，要满足
，则
，解得
，
故
的取值范围是
；
若选③，
，显然
，
需满足
或
，解得
或
，
故
的取值范围是
或
18．已知集合
，集合B 满足
．
(1)判断
，
，
，
中的哪些元素属于B；
(2)证明：若
，
，则
；
(3)证明：若
，则
．
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于
即可；
（2）先证明若
，
，则
，即可得到
，从而得证；
（3）依题意可得
，从而求出
，再说明
即可.
【详解】（1）因为
，所以
；
因为
，所以
；
因为
没有倒数，所以
；
因为
，所以
；
综上可得
，
.
（2）先证明：若
，
，则
；
设
，
，
为整数，
所以
，
由于
，
都是整数，所以
，
当
，
时，
，
，所以
，所以
；
（3）因为
，
所以
，
所以
，
都是整数，
所以
为整数，
所以
，
假如
，则
，则
应为的倍数，
设
为整数，若
，则
不是的倍数；
若
，则
不是的倍数；
若
，则
不是的倍数；
所以
，即
.
19．已知集合
，
，记
，
.
(1)求集合S，T；
(2)对于只含有四个正整数
，
，
，
的集合P，若
的最小值是k，则称集合P 是“k 阶积
差四元集”.
（ⅰ）若
，求“1 阶积差四元集”C，且满足
；
（ⅱ）若
，是否存在“2 阶积差四元集”M，N，使得
？若存在，求出所有集合M，N；若
不存在，说明理由.
【答案】(1)
，
.
(2)存在
，
，或
，
，
，
，
或
，
.
【分析】（1）根据交集及并集得出集合；
（2）（ⅰ）先由
得出
，再分类讨论求解；（ⅱ）先由
，得出
和
一定是同奇数或同偶数，最后分类讨论得出集合.
【详解】（1）因为
，解得
，又
，所以
，
所以
，
.
（2）（ⅰ）因为
，
若
，则
，不满足题意；
若
，则
，满足题意；
若
，则
，不满足题意；
若
，则
，不满足题意；
若
，则
，不满足题意；
综上，
.
（ⅱ）假设存在“2 阶积差四元集”M，N，
因为
，其必要条件是存在
，所以
和
一定是同奇数或同偶数，则
①若
，
，则M，N 均不合题意；
②若
，
，其中m，n，p，q 是奇数，
则
，即
.
当
时，得
（舍），或
（舍）；
当
时，得
，或
（舍），此时
，
，
且M，N 均符合
；
当
时，得
，或
（舍），此时
，
，N 不合题意；
当
时，得
，或
（舍），此时
，
，N 不合题意；
③若
，
，其中m，n，p，q 是奇数，则
，即
，此时m，
n 无解；
④若
，
，其中m，n，p，q 是奇数，则
，即
当
时，得
（舍），或
（舍）；
当
时，得
，或
（舍），此时
，
，且M，N 均符合
；
当
时，得
，或
（舍），此时
，
，N 不合题意；
当
时，得
（舍），或
（舍）；
所以此时
，
或
，
，
同理
，
或
，
，也满足题意.
综上，存在
，
，或
，
，
，或
，
.
