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第三章 排列、组合与二项式定理（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．
的展开式中
的系数为（ ）
A．10
B．15
C．20
D．25
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题
【分析】先把两项相乘化简，再应用二项式展开式的通项公式结合组合数的计算求解.
【详解】
的展开式中含
的项为
，
所以
的系数为15.
故选：B.
2．哈尔滨市开展支教活动，我校有甲，乙，丙等六名教师被随机地分到
四个不同的中学，且每
个中学至少分到一名教师，共有多少种不同分法（ ）
A．1080
B．1560
C．2640
D．3960
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】排列组合综合、分组分配问题
【分析】根据分类加法计数原理和部分平均分组计数方法计算即得.
【详解】依题意，可分为两类情况：第一类，将六名教师按照
分配到
四个不同的中学，
有
种分法；
第二类，将六名教师按照
分配到
四个不同的中学，有
种分法.
故由分类加法计数原理，共有
种不同分法.
故选：B.
3．
的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（ ）
A．60
B．
C．15
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求二项展开式的第k 项、二项式的系数和
【分析】根据二项式系数和的性质，求出参数；根据二项式展开式，求出指定项即可.
【详解】由题可知
，解得
，
则二项式展开式通项公式为
，
令
，解得
，所以常数项为
.
故选：A.
4．如图是第14 届国际数学教育大会的会标，会标中“ICME－14”的下方展示的是八卦中的四卦——3，
7，4，4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制数是
，正是
会议最初计划召开的年份，那么八进制数
换算成十进制数，换算后十进制数的末尾数字是（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】二项展开式的应用、不同进制数的互化
【分析】先将八进制数
换算成十进制数得
，进而得
，利用二项式定理即可
求解.
【详解】由进位制的换算方法可知，八进制数
换算成十进制数为
．
根据二项式定理，可得
，
因为
是10 的倍数，
所以换算后十进制数的末尾数字为
的末尾数字，由
，
可得末尾数字为3．
故选：B．
5．某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有1，2，3，4 四个区域，现有6 种不同的花卉可供选择，要
求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉.若从所有种植方案中任意选一种，则这种方案
中花坛区域1 和区域3 种植的是同一种花卉的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题、实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的
概率
【分析】分别求出区域1 与区域3 种同种花卉和不同花卉的方案种数，根据古典概率的公式求解.
【详解】当区域1 与区域3 种植同一种花卉时，该花坛种植方案共有
种；
当区域1 与区域3 不种植同一种花卉时，该花坛种植方案共有
种．
故该花坛区域1 和区域3 种植的是同一种花卉的概率为
.
故选：B.
6．关于
的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．第
项的二项式系数最大
B．当
时，
被除的余数为
C．展开式中存在常数项
D．展开式中存在连续三项的系数成等差数列
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】组合数方程和不等式、二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数、整除和余数问题
【分析】利用二项式系数的单调性可判断A 选项；利用二项展开式可判断B 选项；利用二项展开式通项可
判断C 选项；假设
、
、
成等差数列，利用等差中项的性质结合组合数公式求
出
的值，可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，
的展开式有
项，其中第项的二项式系数最大，A 错；
对于B 选项，当
时，
，
因为
能被整除，故
被整除的余数为，B 错；
对于C 选项，
的展开式通项为
，
由
得
，故展开式中不存在常数项，C 错；
对于D 选项，由C 选项可知，展开式中每一项的系数都为其二项式系数，
不妨设
、
、
成等差数列，
所以
，即
，
整理得
，解得
或
，合乎题意，D 对.
故选：D.
7．衡水湖国际马拉松赛是经国家体育总局批准的国际性马拉松赛事，自2012 年起每年9 月份举行一届．
竞赛项目分为全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松．甲、乙、丙等5 名马拉松爱好者均计划参加衡水湖
国际马拉松赛，若甲和乙均参加迷你马拉松，且每人只参加一个竞赛项目，这5 名马拉松爱好者的竞赛项
目涵盖了三个竞赛项目，则不同的参赛方案有（ ）
A．6 种
B．12 种
C．24 种
D．18 种
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】排列组合综合、分组分配问题
【分析】根据参加迷你马拉松的情况进行分两类进行讨论，只有甲和乙参加迷你马拉松和有3 人参加迷你
马拉松，分别求出方案数，再相加即可．
【详解】若只有甲和乙参加迷你马拉松，则剩下的3 人按1，2 分成2 组，
所以有
种参赛方案；
若有3 人参加迷你马拉松，则从剩下的3 人中选1 人参加迷你马拉松，
再将剩余的2 人按1，1 分成2 组，所以有
种参赛方案．
故不同的参赛方案共有
种，
故选：B．
8．杭州“六小龙”企业(宇树科技、深度求索、游戏科学、群核科技、强脑科技、云深处科技)在科技领域
大放异彩.现从这6 家企业中选出4 家，分别派往A、B、C、D 四个不同的科技交流活动进行成果展示，且
必须同时满足条件：①宇树科技和深度求索中至少有一家被选中；②若宇树科技被选中，则必须去A 活动，
若深度求索被选中，则不能去D 活动.则不同的安排方式种数是（ ）
A．96
B．120
C．240
D．336
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】元素（位置）有限制的排列问题
【分析】分选中宇树科技，不选中深度求索、选中深度求索，不选中宇树科技、宇树科技和深度求索都选
中，三种情况分别求解即可.
【详解】若选中宇树科技，不选中深度求索，共有
种安排方式；
若选中深度求索，不选中宇树科技，共有
种安排方式；
若宇树科技和深度求索都选中，共有
种安排方式，
所以不同的安排方式种数是
.
故选：B.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、
“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2 门课程学习，共有30 种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240 种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72 种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504 种排法
【答案】BD
【难度】0.65
【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题、实际问题中的组合
计数问题
【分析】根据题意，由分步、分类计数原理和排列数与组合数公式，分别判断各选项即可.
【详解】对于A，某学生从中选2 门课程学习，共有
种选法，故A 错误；
对于B，课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有
种排法，故B 正确；
对于C，课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有
种排法，故C 错误；
对于D，课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，分两种情况：
若课程“礼”排在最后一周，有
种排法，
若课程“礼”不排在最后一周，有
种排法，
共有
种排法，故D 正确.
故选：BD.
10．已知函数
，则（ ）
A．
B．
C．
的个位数是9
D．
【答案】BD
【难度】0.65
【知识点】二项展开式的应用、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和
【分析】赋值法求系数和判断A、B；由
，结合展开式通项得个位数由
决定，
即可判断C；由
并应用二项式定理求对应项系数判断D.
【详解】由题设，令
，则
，A 错；
令
，则
，
所以
，即
，B 对；
由
，展开式通项为
，
显然个位数由
决定，即个位数是1，C 错；
由
，
展开式通项为
，
，
当
时，
，即
， D 对.
故选：BD
11．如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉所著的《详解
九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（ ）
A．第2026 行的第1013 个数最大
B．第8 行所有数之和为256
C．
D．记第20，21 行数的最大值分别为a，b，则
【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】二项式系数的增减性和最值、二项式的系数和
【分析】根据二项式系数的性质判断.
【详解】A 错，因为第2026 行的第
个数是
，由组合数性质可知，
为
的最大值，
所以第2026 行的第1014 个数最大；
B 对，由二项式系数的性质知，第n 行各数的和为
，所以第8 行所有数之和为
；
C 对，因为
；
D 错，第20 行数的最大值为
，第21 行数的最大值为
，
所以
．
故选：BC.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．
展开式中各项系数的和为64，则
展开式中的常数项为 ．
【答案】4
【难度】0.65
【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、三项展开式的系数问题
【分析】通过赋值求得
，再根据
展开式中常数项的产生，结合组合数的计算即可求得结
果.
【详解】由题意，取
，可得
，解得
，
则
即
，其展开式中的常数项可由两种形式的项构成：
① 3 个括号全部选常数项1，可得这样的常数项为1；
② 2 个括号选
的项且1 个括号选
的项，可得这样的常数项为
.
综上可得，
展开式中的常数项为
.
故答案为：4.
13．如图，从1 开始出发，一次移动是指从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右
下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1 移动到9，1→2→3→5→7→8→9 就是一条移动路线．
从1 移动到数字
的不同路线条数记为
，从1 移动到9 的事件中（每条移动路线都是等可能
的），经过数字
的概率记为
，则
，
．
【答案】 5
【难度】0.65
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、计算古典概型问题的概率
【分析】根据题意分析可知：
，进而求出相应的
的值，结合古典概型求
，
【详解】由题意得：
，若移动到数字
，则由数字
或数字
移动一次得到，则
，
据此即可得到
，
，又因为从
到共有
三条路径可走，
故从1 到9 经过6 的路径共有
，故
,
故答案为： ，
14．如图，现要对某公园的4 个区域进行绿化，有5 种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区
域不能用同一种颜色的花卉，共有 种不同的绿化方案（用数字作答）.
【答案】180
【难度】0.85
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题
【分析】利用分步乘法原理求解即可
【详解】如图：
A
B
D
C
从A 开始摆放花卉，A 有5 种颜色花卉摆放方法，
B 有4 种颜色花卉摆放方法，C 有3 种颜色花卉摆放方法；
由D 区与B，C 花卉颜色不一样，与A 区花卉颜色可以同色也可以不同色，
则D 有3 种颜色花卉摆放方法.
故共有
种涂色方法.
故答案为：180
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知二项式
的展开式中各项的二项式系数之和为32．
(1)求
；
(2)求展开式的系数和；
(3)求展开式中
的系数；
(4)求展开式的第四项．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式的第k 项、二项式的系数和、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和
【分析】（1）二项式定理所有二项式系数和为
代入即可；
（2）令
即可求得所有系数的和；
（3）写出二项式的通项，可求得；（4）根据第三小问的通项即可求得.
【详解】（1）因为二项式
的展开式中各项的二项式系数之和为32，即
，所以
.
（2）令
，
，所以展开式的系数和为
.
（3）二项式
展开式的通项为：
，令
，解得
，所以当
时，
，所以展开式中
的系数为
.
（4）令
，
，所以展开式的第四项为
.
16．从分别写有0，1，2，3，4，5，6 的7 张卡片中，任取4 张，组成没有重复数字的四位数，计算：
(1)这个四位数是偶数的概率；
(2)这个四位数能被9 整除的概率；
(3)这个四位数比4510 大的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】排列组合综合、元素（位置）有限制的排列问题、计算古典概型问题的概率
【分析】（1）分个位是不是0 讨论，结合古典概型概率计算公式求解.
（2）先弄清能被9 整除的数字组合，再求能被9 整除的数的个数，结合古典概型概率计算公式求解.
（3）分情况讨论，先求比4510 大的四位数的个数，结合古典概型概率计算公式求解.
【详解】（1）组成的所有四位数共有
（个）．
当这个四位数是偶数时：
①若个位数字是0，则有
（个）；
②若个位数字不是0，则有
（个）．
所以共有
（个）．
故组成的四位数为偶数的概率为
．
（2）能被9 整除的数，其各个数位上的数字之和能被9 整除.
数字组合为：
，
，
，
，
此时共有这样的四位数
（个）．
故能组成被9 整除的四位数的概率为
．
（3）对比4510 大的四位数进行分类：
①当千位是4，百位是5 时，有
（个）；
②当千位是4，百位是6 时，有
（个）；
③当千位大于4 时，有
（个）．
所以共有
（个）．
故组成的四位数比4510 大的概率为
．
17．（1）求满足等式
的所有正整数
；
（2）已知正整数
满足
，求正整数
的值.
【答案】（1）3 或7
（2）
【难度】0.65
【知识点】排列数的计算、组合数的计算
【分析】（1）利用组合数的性质求解即可；
（2）根据排列数的公式计算即可.
【详解】（1）因为
，所以
或
，
解得：
或
（2）因为
，所以
，
，
解得：
18．电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4 名男生和3 名女生相约
一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．
(1)女生互不相邻的坐法有多少种？
(2)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
【答案】(1)1440
(2)960
【难度】0.65
【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题
【分析】（1）采用插空法即可求解.
（2）利用插空法结合捆绑法可求解.
【详解】（1）先将4 个男生排好，有
种排法，
再在这4 个男生之间及两头的5 个空挡中插入3 个女生有
种方法，
故符合条件的排法共有
(种).
（2）先排甲、乙、丙以外的其他4 人，有
种排法，
由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有
种排法，
最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4 人的5 个空挡中有
种排法，
故符合条件的排法共有
(种).
19．某校高二年级安排6 名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞
赛.
(1)若三科竞赛均有2 人报名参加，有多少种不同的报名方法？
(2)若4 人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1 人报名参加，有多少种不同的报名方法？
(3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？
【答案】(1)90
(2)30
(3)540
【难度】0.65
【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题、分组分配问题
【分析】（1）利用分步乘法计数原理、组合计数问题列式计算.
（2）利用组合计数问题、排列计数问题列式计算.
（3）将学生人数按
分组，财利用排列组合综合问题列式计算.
【详解】（1）若三科竞赛均有2 人报名参加，则报名方法有
种.
（2）若4 人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1 人报名参加，则报名方法有
种.
（3）由题可得报名人数的分配方案可以是，
，或，，
或
，
，
.
若三科竞赛的报名人数为，
，，则报名方法有
种；
若三科竞赛的报名人数为，，
，则报名方法有
种；
若三科竞赛的报名人数为
，
，
，则报名方法有
种.
所以三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有
种.
