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第三章 函数（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．下列曲线中，
不是
函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义逐项分析即可判断.
【详解】对于A，对于变量
的每一个值，变量
不是唯一的值与它对应，故y 不是x 的函数，符合题意；
对于B，对于变量
的每一个值，变量
都有唯一的值与它对应，故y 是x 的函数，不符合题意；
对于C，对于变量
的每一个值，变量
都有唯一的值与它对应，故y 是x 的函数，不符合题意；
对于D，对于变量
的每一个值，变量
都有唯一的值与它对应，故y 是x 的函数，不符合题意；
故选：A.
2．下列函数中，与函数
是同一个函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据同一函数定义可知两函数定义域相同、化简后的解析式相同，逐个选项判断即可.
【详解】函数
的定义域为
，对应关系为
的定义域为
，但对应关系不同，A 错误；
，且定义域为
，因为定义域与对应关系均相同，所以为同一函数，B 正确；
的定义域为
，C 错误；
的定义域为
，即
或
，D 错误．
故选：B.
3．已知函数
对任意x，
都满足
，且
，则
（ ）．
A．8
B．10
C．12
D．14
【答案】C
【分析】令
可求出
，令
、
可求出
.
【详解】令
，则
，
令
，
，则
．
故选：C
4．已知
为奇函数，则
（ ）
A．
B．2
C．0
D．1
【答案】A
【分析】根据奇函数定义结合函数定义域计算求解.
【详解】函数
是奇函数，且
，
都在定义域内，
所以
且
，
所以
且
，
所以
，所以
.
故选：A.
5．若函数
是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合一次函数和二次函数的单调性即可求得.
【详解】由题意可知，
在
上单调递增，则
，即
，
在
上单调递增，则
，
又
是R 上的单调递增函数，则
，即
，
综上可得，实数a 的取值范围是
.
故选：C
6．已知定义在
上的偶函数
在
上单调递增，且
，则不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性及单调性可分别作出函数
、
的图象，结合图象即可求解不等式
.
【详解】由
为
上的偶函数可知
的图象关于y 轴对称，且
，
而函数
的图象为
的图象向左平移2 个单位得到的，
作出
与
的示意图如图所示，
结合图象可知
时，
的函数值互为相反数，
故
的解集为
．
故选：C.
7．若对
，有
，若
有最大值和最小值，则
的最大值与最小值之和是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】B
【分析】令
，由
可得
为奇函数，再给
赋值可得
，
从而可得
，设
在
上的最大值为
，最小值为
，进而分别证得
和
，从而
，所以得到
的最大值与最小值之和为6.
【详解】函数
的定义域由
决定，为
.
令
，则
，
，即
为奇函数，
令
，可得
，令
，则
，可得
，
因此，
.
设
在
上的最大值为
，最小值为
，则存在
使得
.
由
，及
，可得
，即
.
又存在
使得
，由
，及
，可得
，即
.
综上，函数
的最大值与最小值之和为6.
故选：B．
8．若定义在
上的函数
，且
，
，函数
在区间
上的所有零点为
，则
等于（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【分析】根据函数
的周期性作出函数的图象，再作出
的图象，利用方程与函数之间的关系转化
为两个函数交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．
【详解】因为
，且当
时，
关于
对称，
所以
的函数图象在
上关于点
对称，
又
，所以
的周期
，
因此
的图象关于点
对称，
又
的图象关于点
对称，
所以
在
上的所有零点两两关于点
对称，
作出
与
的函数图象如图所示：
由图象可知
与
在区间
上有8 个交点，
所以
.
故选：D.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．若不等式
对于一切
恒成立，则
的值可能是（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】将不等式
转化为
,求
的最大值即可.
【详解】将不等式
转化为
, 令
，
则
在
取最小值，在
单调递减，所以在
时，
单调递减，
即
单调递增，所以
最大值为
，所以
.
故选：ABC
10．已知函数
的定义域为
，且
，则（ ）
A．
B．
的值域为
C．
的定义域为
D．
的值域为
【答案】BC
【分析】法一：利用配凑法求得
的解析式，法二，利用换元法求得
的解析式判断A；利用解析
式求值域判断B；求复合函数的定义域和值域判断选项CD.
【详解】对于A，法一：依题意，
，
则
，
，故A 错误；
法二：设
，则
，且
，则
，
所以
，
，故A 错误；
对于B，当
时，
，当且仅当
时取等号，
因此
的值域为
，故B 正确；
对于C，在
中，令
，解得
，
因此
的定义域为
，故C 正确；
对于D，显然
，
，于是
，
因此
的值域为
，故D 错误．
故选：BC.
11．已知定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数，则
（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
是周期为3 的周期函数
D．
【答案】BCD
【分析】由
可判断A，由
，得到
，可判断C，由
和
可判断B，由周期性，奇偶性可判断D.
【详解】对于A，
，所以
不是奇函数，错误；
对于B：因为
为奇函数，
所以
，
由
，可得：
，
所以
，即
，
所以
，偶函数，正确；
对于C：由
，
可得
，所以
是周期为3 的周期函数，正确；
对于D，
，
所以
，
由周期性可得：
故选：BCD
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知函数
是奇函数，则实数
．
【答案】2
【分析】根据奇函数的性质有
求参数，注意验证即可得.
【详解】由题设
，可得
，即函数定义域为
，
由函数为奇函数，则
，故
，
所以
，满足题设.
所以
.
故答案为：2
13．若函数
的定义域为
，则实数
取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意知
恒成立，再求解即可.
【详解】函数
的定义域为
，则
恒成立，
当
时显然不成立；
当
时，则
恒成立，
当
时，
，解得
.
综上所述：实数
取值范围是
.
故答案为：
.
14．
上方程
的解的个数为 ．（
表示不大于
的最大整数）
【答案】4
【分析】应用函数的新定义结合一元二次不等式的解法计算求解即可.
【详解】 由
得
，所以
，
因为
，所以
得
，解得
或
此时
可能取值为1，2，10，11，12，
分别代入计算可得
，
经检验
不符合题意，故方程的解有4 个．
故答案为：4.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知函数
是定义在
上的奇函数．
(1)求
的表达式；
(2)判断
在区间
上的单调性，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)单调递增，证明见解析．
【分析】（1）由题知区间需对称，则
，结合
，即可求解，注意需检验；
（2）由题易得函数
在
上单调递增，再利用定义法证明单调性即可.
【详解】（1）因为函数
是定义在
上的奇函数，
所以
且
，所以
，
，则
，
此时
恒成立，
故
.
（2）
在
上单调递增．
证明如下：
任取
，
，
而
，
，所以
，故
在
上单调递增．
16．汕头体育中心为粤东目前规模最大、标准最高的体育场馆，其中体育场可容纳22000 名观众．体育场
按要求建造了隔热层，隔热层使用年限为30 年．已知隔热层的建造成本是5 万元/厘米，设每年的能源消
耗费用为
（万元），隔热层厚度为
（厘米），两者满足关系式：
（
，
为常数）．
若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6 万元． 30 年的总维修费用为30 万元．记为30 年的总费用．
（总费用=隔热层的建造成本费用+使用30 年的能源消耗费用+30 年的总维修费用）
(1)求30 年的总费用关于
的函数表达式；
(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，30 年的总费用最小，并求出最小值．
【答案】(1)
(2)隔热层修建5 厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为85 万元
【分析】（1）根据题意可知当无隔热层时（
），每年能消耗费用
万元，得出
，从
而得出
，再根据题给的总费用公式得出关于
的函数表达式；
（2）根据关于
的函数表达式，利用基本不等式
求其最小值.
【详解】（1）依题意，当无隔热层时（
），每年能消耗费用
万元，即
，可得
，
故
，
所以
，
即的表达式为
；
（2）
，
当且仅当
，即当
时取得最小值，
所以隔热层修建5 厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为85 万元．
17．已知
，
，
．
(1)若
的解集为
或
，求不等式
的解集；
(2)若函数
在
上有不同的零点
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意得到
，然后解绝对值不等式即可；
（2）当
易知结果，当
时，分情况进行讨论计算即可.
【详解】（1）由题可知：
的解集为
或
，
所以
分别为方程
的两个实数根，则
，
由
，则
，
所以
，
所以不等式
的解集为
（2）
，
当
时，
在
的图象始终在
轴上方，不符合题意；
当
时，函数
在
有两个不同的零点，所以满足：
，
当
，即
时，函数在
有一个零点，
在
有一个零点，
则
.
综上所述：
18．已知函数
，
，若存在
，使得
，则称
为函数
的不动点；已知函
数
，
．若存在
，使得
，则称
为函数
的稳定点．
(1)证明：函数不动点一定是函数的稳定点．
(2)已知函数
，
（ⅰ）当
时，求函数
的不动点和稳定点;
（ⅱ）若函数
在区间
上存在2 个不动点，求实数
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ）不动点为
，
，稳定点为0，
，
，
；（ⅱ）
【分析】（1）根据函数的不动点和稳定点的定义易得；
（2）（ⅰ）由
解方程即得函数的不动点，再由
解方程即得函数的稳定点；（ⅱ）将
函数
在区间
上存在2 个不动点转化为方程
在
上有2 个不等实根，
采用数形结合的方法，列出不等式组求解即得.
【详解】（1）设
是函数
的一个不动点，则有
．
所以
，
故函数不动点一定是函数的稳定点．
（2）（ⅰ）
时，
，
由
，得
，即
，
解得
，或
，
所以
时，函数
的不动点为
，
．
又因为
时，
，
由
，得
，
即
，分解因式可得：
，
所以
或
或
或
，
故
时，函数
的稳定点为0，
，
和
．
（ⅱ）由
，得
，
令
，
，
依题意，方程
在
有2 个不等实根，
，
，
解得
，故实数a 的取值范围是
．
19．已知函数
(1)当
时，解不等式
；
(2)若任意
，都有
成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，使得不等式
成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)R．
(2)
(3)
．
【分析】（1）利用作差法计算可得
，即可求解；
（2）由题意可得
在
恒成立.法一：根据一元二次不等式恒成立问题计算即可求解；
法二：利用分离参数法可得
，结合基本不等式求出
即可；
（3）由题意可知
，结合二次函数的图象与性质分别求出
，建立不
等式，解之即可求解.
【详解】（1）当
时，
，
所以
，即
，
所以
的解集为R．
（2）若对任意
，都有
成立，即
在
恒成立，
解法一：设
，对称轴
，
由题意，只须
，
①当
即
时，
在
上单调递增，
所以
，符合题意，所以
；
②当
即
时，
在
上单调递减，在
单调递增，
所以
，解得
且
，
所以
．
综上，
．
解法二：不等式可化为
，即
，
设
，
由题意，只须
，
当且仅当
即
时等号成立，则
，
所以
，即
．
（3）若对任意
，存在
，使得不等式
成立，
即只需满足
，
，对称轴
在
上递减，在
上递增，
所以
；
，对称轴
，
①
即
时，
在
递增，
所以
恒成立；
②
即
时，
在
递减，在
递增，
，
所以
，故
；
③
即
时，
在
递减，
，
所以
，解得
.
综上：
．
