文档文本内容
第三章 函数 单元题型大总结
教学目标
（1）理解函数的概念和表示方法，并能应用函数的概念解决一些问题；
（2）掌握函数单调性的概念，会用符号语言表达单调性、最值，能用定义证明简单
函数的单调性并会简单应用；
（3）了解函数奇偶性的概念和几何意义，并能解决具体问题；
教学重难点
教学重点：
（1）进一步理解函数概念，使用函数的单调性解决问题.
（2）巩固函数奇偶性的概念，能运用函数的奇偶性解决具体的问题.
（3）巩固函数零点的概念，能运用函数的图象解决函数零点的问题.
三、教学难点：
理解函数概念，函数性质的应用
知识点01 函数的概念
一般地，给定两个非空实数集
与
，以及对应关系
，如果对于集合
中的每一个实数
，在集
合
中都有唯一确定的实数
与
对应，则称
为定义在集合
上的一个函数，记作
，
，其中
称为自变量，
称为因变
量
，自变量取值的范围(即数集
)称为这个函数的定义域，所有函数值
组成的集合
,称为函数的值域．
【即学即练】已知集合
，根据函数定义，下列给出四个对应法则，能构成从
到
的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义确定正确答案.
【详解】A 选项，对于
，
，
，所以A 选项错误.
B 选项，对于
，
，所以B 选项错误.
C 选项，对于
，
，所以C 选项错误.
D 选项，对于
，集合
中任意一个元素，在集合
中都有唯一确定的数对应，
所以能构成从
到
的函数.
故选：D
知识点02 求函数解析式
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法．
2、换元法：主要用于解决已知
这类复合函数的解析式，求函数
的解析式的问题，在使用
换元法时特别注意，换元必换范围.
3、配凑法：由已知条件
，可将
改写成关于
的表达式，
4、方程组（消去）法：主要解决已知
与
、
、
……的方程，求
解析
式。
【即学即练】（1）已知
是一次函数，且满足
，求
的解析式．
（2）若对任意实数x，均有
，求
的解析式．
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）设
，利用待定系数法求解即可；
（2）构造关于
方程组求解即可.
【详解】（1）因为
是一次函数，所以设
，
，
又因为
，
所以
，整理得
，
故
，解得
，
所以
.
（2）因为
①，
所以
②，
由①
②得：
，
解得：
.
知识点03 函数图象
1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）
①
②
③
④
注：左右平移只能单独一个
加或者减，注意当
前系数不为1,需将系数提取到外面.
2、函数图象的对称变换
①
的图象
的图象；
②
的图象
的图象；
③
的图象
的图象；
3、函数图象的翻折变换（绝对值变换）
①
的图象
的图象；
（口诀；以
轴为界，保留
轴上方的图象；将
轴下方的图象翻折到
轴上方）
②
的图象
的图象.
（口诀；以
轴为界，去掉
轴左侧的图象，保留
轴右侧的图象；将
轴右侧图象翻折到
轴左侧；本
质是个偶函数）
知识点04 函数单调性
1.1 增函数
一般地，设函数
的定义域为
，区间
，如果
，当
时，都有
，
那么就称函数
在区间
上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）
特别地，当函数
在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function).
1.2 减函数
一般地，设函数
的定义域为
，区间
，如果
，当
时，都有
，
那么就称函数
在区间
上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）
特别地，当函数
在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function).
【即学即练】已知函数
的图像过点
．
(1)求实数m 的值；
(2)判断
在区间
上的单调性，并用定义证明；
【答案】(1)
(2)
在区间
上单调递增，证明见解析
【分析】（1）将
代入解析式，得到m 的值；
（2）利用定义法证明函数单调性步骤：取值，作差，判号，下结论.
【详解】（1）将点
代入函数
中，可得
，解得
．
（2）单调递增，证明如下．
由（1）可得
，
任取
，则
，因为
，
则
，
，
，即
，
所以
，即
，
所以
在区间
上单调递增．
知识点05 函数单调性性质
（1）函数
在给定区间
上的单调性与
在给定区间
上的单调性相反；
（2）函数
在给定区间
上的单调性与
的单调性相同；
（3）
和
的公共定义区间
，有如下结论；
增
增
增
不确定
增
减
不确定
增
减
减
减
不确定
减
增
不确定
减
【即学即练】已知函数
是
上的减函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的定义和判定方法，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数
是
上的减函数，则满足
，
解得
，即实数
的取值范围为
.
故选：C.
知识点06 函数的最大（小）值
1、最大值：对于函数
，其定义域为
，如果存在实数
满足：
①
，都有
②
，使得
那么称
是函数
的最大值；
2、最小值：对于函数
，其定义域为
，如果存在实数
满足：
①
，都有
②
，使得
那么称
是函数
的最小值；
【即学即练】（多选）定义一种运算
.设
（为常
数），且
，则使函数
最大值为4 的值可以是（ ）
A．-2
B．6
C．4
D．-4
【答案】AC
【解析】根据定义，先计算
在
，
上的最大值，然后利用条件函数
最大值为4，
确定的取值即可．
【详解】
在
，
上的最大值为5，
所以由
，解得
或
，
所以
时，
，
所以要使函数
最大值为4，则根据定义可知，
当
时，即
时，
，此时解得
，符合题意；
当
时，即
时，
，此时解得
，符合题意；
故
或4，
故选：AC
知识点07 函数奇偶性
1.1 偶函数：一般地，设函数
的定义域为
，如果
，都有
，且
，那么
函数
就叫做偶函数.
1.2 奇函数：一般地，设函数
的定义域为
，如果
，都有
，且
，那么
函数
就叫做奇
函数
.
1.3 性质法判断函数奇偶性：
，
在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
【即学即练】（多选）已知
是定义在R 上的奇函数，当
时，
，则（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
D．当
时，
【答案】AD
【分析】AB 选项，由奇函数得到
，
，进而得到
，得到
为偶函
数，B 错误；C 选项，
；D 选项，由函数的奇偶性结合
时的解析式，求出答案.
【详解】AB 选项，因为
是定义在R 上的奇函数，
根据奇函数性质可知，
，A 正确；
的定义域为R，由于
，
则
，
即
为偶函数，B 错误；
C 选项，当
时，
，则
，
故
，C 错误；
D 选项，当
时，
，则
，
所以
，D 正确．
故选：AD．
知识点08 对称性
1、轴对称：
设函数
的定义域为
，且
是
的对称轴，则有：
①
；
②
③
2、点对称
设函数
的定义域为
，且
是
的对称中心，则有：
①
；
②
③
3、拓展：
①若
，则
关于
对称；
②若
，则
关于
对称；
【即学即练】我们知道，函数
的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数
为
奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数
的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数.，则:（1）函数
图象的对称中心 ;（2）类比上述推广结
论，“函数
的图象关于
轴成轴对称图形的充要条件为 为偶函数
【答案】
【分析】通过变形，得出
，构造函数
，利用奇偶性的定义证明
为奇函
数，结合题设即可求解；将“函数
的图象关于点
成中心对称图形”；利用偶函数的性质，
即可求解.
【详解】
，则
，
设
，易知
的定义域为
，又
，
为奇函数.
的图象关于点
对称.
即
的图象的对称中心是点
.
函数
的图象关于直线
轴成轴对称图形的充要条件是函数
为偶函数.
故答案为：
；
.
知识点09 一元二次不等式与对应函数、方程
一元二次方程ax 2+bx +c=0（a≠0）的实数根也称为函数y=ax 2+bx +c（a≠0）的零点.
当a>0 时，一元二次方程ax 2+bx +c=0 的实数根、二次函数y=ax 2+bx +c 的零点之间的关系如下表
所示：
Δ=b2−4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
ax 2+bx +c=0
的实数根
x1,2=−b±√b2−4ac
2a
（其中x1<x2）
x1=x2=−b
2a
方程无实数根
y=ax 2+bx +c
的图象
y=ax 2+bx +c
的零点
x1,2=−b±√b2−4ac
2a
x1=x2=−b
2a
函数无零点
ax 2+bx +c>0
的解集
{x|x≠−b
2a }
ax 2+bx +c<0
的解集
知识点10 函数零点存在性定理
1、函数零点存在定理
如果函数y=f ( x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0，那么函数
y=f ( x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在x0∈(a,b)，使得f ( x0)=0 ，这个
也就是方程
f ( x)=0 的解.
说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的;②f (a)f (b)<0 .两个条件缺一
不可.
【即学即练】函数
在区间
上的零点必定在区间（ ）
A．
内
B．
内
C．
内
D．
内
【答案】D
【解析】利用零点存在性定理即可得出选项.
【详解】∵
，
且
，∴零点在
内．
又
，∴零点在区间
内．
又
，∴零点在区间
内．
故选：D
【点睛】本题考查了零点存在性定理的应用，需理解零点存在性定理，属于基础题.
知识点11 对勾函数
1、对钩函数（一般模型）：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函
数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：
（
，
）的函数；
①定义域：
；
②
是奇函数，图象关于原点对称；
③
在
，
上单调递减；在
，
上单调递增；
④当
时，
；当
时，
；
2、（高频考试模型）特别的，对钩函数的简易形式：
（
）其图象如图：
①定义域：
；
②
（
）是奇函数，图象关于原点对称；
③
在
，
上单调递减；在
，
上单调递增；
④当
时，
；当
时，
题型01 求函数的定义域
【典例1】若函数
的定义域为
，则函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
的定义域列出不等式求解即可.
【详解】因为
的定义域为
，
所以
，所以
，
所以
的定义域为
，又要满足
，
所以
的定义域是
，
故选：B
【变式1】函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意得到
，再解不等式组即可.
【详解】由题知：
且
.
故选：B
【变式2】已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知得
的定义域为
，结合
解析式及根式性质求其定义域.
【详解】由题设，对于
有
，则
，即
的定义域为
，
所以，对于
有
，
所以
的定义域为
.
故选：B
【变式3】（1）若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 ；
（2）若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 ．
【答案】
【分析】（1）由
的定义域可得到
，进而求解即可得到
的定义域；
（2）设
，先根据
的定义域求得
的定义域，进而即可求出
的定义域．
【详解】（1）设
．
因为
的定义域为
，
所以要使
有意义，必须
，解得
，
所以
的定义域为
，即
的定义域为
．
（2）设
，考察函数
．
因为
的定义域为
，
所以
，得
，
所以
的定义域为
．
设
，要使
有意义，
必须
，解得
．
故
的定义域为
．
故答案为：
；
．
【变式4】函数
的定义域为 ．
【答案】
或
．
【分析】根据偶次方根被开方数大于等于零，分母不为零，零次方底数非零即可求解.
【详解】 由题知，
，即
，
解得
，
故函数的定义域为
或
．
故答案为：
或
．
题型02 求函数的值域
【典例1】已知
，若函数
的值域为
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出函数
值域包含
的
范围即可.
【详解】由函数
的值域为
，得函数
值域包含
，
则
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
【变式1】若函数
的值域为
，则函数
的值域为 ．
【答案】
【分析】依题意可得
，再根据二次函数的性质计算可得.
【详解】解：依题意要使
的值域为
，必有
．于是
，
所以
，则
的值域为
．
故答案为：
【变式2】已知函数
的值域是
，则
，
．
【答案】
3
【分析】首先将函数变形为
，这个方程组有解，则判别式大于0，再由韦达定理即可求
的结果.
【详解】将函数变形为
．
当
时，这个关于x 的方程有解，
则
，即
．
由题设知
，
是方程
的两个根，
根据韦达定理，得
，
，
解得
，
．
当
时，
，
也满足题意．
故答案为：
【变式3】若函数
的定义域和值域都为
，则
的值是 ．
【答案】
【分析】根据
为一次函数列式计算即可.
【详解】由题意知
为一次函数，则
所以
.
故答案为：
.
【变式4】求下列函数的值域.
（1）
，
（2）
，
（3）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
.
【分析】（1）分别代入
的值，求函数的值域；（2）首先判断函数的对称轴和开口，再求函数的值域；
（3）首先换元
，转化为关于的二次函数求值域.
【详解】（1）
，
，
，
所以函数的值域是
；
（2）
，
，
函数对称轴是
，开口向下，所以函数的最大值是
，函数的最小值是
，
所以函数的值域是
；
（3）设
，
，
所以
，
所以函数的值域是
题型03 求函数解析式
【典例1】回答下面问题
(1)已知
，求
；
(2)已知函数
是一次函数，若
，求
.
(3)已知
，求
的解析式；
(4)已知
是一次函数，且满足
，求
的解析式.
【答案】(1)
(2)
或
(3)
(4)
【分析】（1）根据配凑法或换元法求解即可；
（2）设
，再代入求解即可；
（3）令
换元求解即可；
（4）设
，再代入
求解即可.
【详解】（1）方法一 （配凑法）：∵
，
∴
．
方法二 （换元法）：令
，则
，
∴
，
即
．
（2）设
，
则
．
又
，∴
，
，解得
或
，
∴
或
．
（3）令
，则
，
，
因为
，
所以
，
所以
；
（4）由题可设
，则
，
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
.
【变式1】（1）已知
是二次函数，且
，
，求
的解析式；
（2）已知函数
的定义域为（0，＋∞），且
，求
的解析式．
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）用
代替x，利用代入法进行求解即可.
【详解】（1）设
，
因为
，所以有
，
因为
，所以有
，
所以
，解得
．
所以
；
（2）在
中，
用
代替x，得
，
将
代入
中，
可求得
．
【变式2】（1）已知
，求
的解析式；
（2）已知
是一次函数，且满足
，求
的解析式．
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）令
，利用换元法即可求解；
（2）利用待定系数法，根据已知条件列方程组求解即可.
【详解】（1）令
，则
，
，
因为
，
所以
，
所以
；
（2）由题可设
，则
，
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
.
【变式3】解答下列问题：
(1)已知
是一次函数，且满足
，求
的解析式；
(2)已知
满足
，求
的解析式．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】(1) 设
，代入已知条件得
，列出不等式组求解即
可；
(2) 用- 代替，消去
即可.
【详解】（1）解：设
，
则
，
所以
，
解得
，
所以
；
（2）解：因为
，①
用- 代替，得
，②
由①×3-②×2 得
，
所以
.
题型04 分段函数
【典例1】已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分
和
两种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解.
【详解】由题意可得
或
，
解得
，
所以不等式
的解集为
.
故选：A
【变式1】已知函数
，则方程
的解的个数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【分析】先解关于
的方程得
或
，再结合函数图象，即可判断.
【详解】由方程
可解得
或
，结合函数
的图象，可得方程的解有6
个.
故选：B.
【变式2】已知函数
，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】B
【分析】根据分段函数的解析式结合已知条件，求得参数
，再求函数值即可.
【详解】由
，
是减函数，可知当
时，
，
所以
，则
，
由
，得
，解得
，
所以
.
故选：B.
【变式3】函数
则
的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据题意，结合分段函数的性质，即可求解.
【详解】由函数
，可得函数
的定义域为
，
所以函数
的定义域为
.
故答案为：
.
【变式4】已知函数
，则不等式
的x 的解集是 ．
【答案】
【分析】由函数的解析式或图象可得函数单调递增，不等式转化为
，进而求解出结果.
【详解】画出函数
的图象如图所示：
所以函数
在
上为增函数，
由
得
，即
，解得
.
故答案为：
.
题型05 函数单调性
【典例1】画出函数
的图象，根据图象写出函数
的单调减区间 .
【答案】
【分析】作出函数
的图象，结合图形即可求解.
【详解】
，
作出函数
的图象，如图所示，
由图象可知函数的单调递减区间是
.
故答案为：
.
【变式1】已知
是定义在
上的奇函数，若当
时，
，则不等
式
0 的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据单调性和奇偶性的定义列不等式组求解即可.
【详解】由当
时
得
在
单调递增，
因为
是定义在
上的奇函数，所以
在
上也单调递增，故
在
上单调递增，
由
得
，
所以
，解得
，
故原不等式的解集为
，
故选：A
【变式2】函数
的单调减区间是 ．
【答案】
【分析】首先求函数的定义域，再求函数
的单调递减区间，最后求交集，即可求解.
【详解】由
，得：
或
，
所以函数的定义域为
，
函数
的单调递减区间是
，
再和定义域求交集得
.
故答案为：
【变式3】若函数
在区间
上不单调，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将函数
化成分段函数的形式，判断单调性即可得解.
【详解】因为函数
，
所以该函数在
上单调递减，在
上单调递增，
又
在区间
上不单调，所以
，
故
的取值范围是
．
故答案为：
.
【变式4】已知函数
，其中
.
(1)当
时，若
，求函数
的最小值；
(2)当
时，若
，判断并证明函数
的单调性.
【答案】(1)
(2)单调递减；证明见详解.
【分析】（1）根据基本不等式即可得结果；
（2）利用定义证明单调性即可.
【详解】（1）因为
，则
，
∵
，∴
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
故函数
的最小值为
.
（2）函数
在区间
上单调递减，证明如下：
因为
，则
，且
，则
由
，得
，
，
于是
，即
.
所以，函数
在区间
上单调递减.
题型06 函数奇偶性
【典例1】已知函数
.
(1)判断
在
上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
(2)求
在
上的值域；
(3)求解关于
的不等式
.
【答案】(1)
在区间
上单调递增，证明见解析
(2)
(3)
或
.
【分析】（1）证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论；
（2）由函数单调性求出最值，得到值域；
（3）根据
，
及函数单调性，得到不等式，求出解集.
【详解】（1）
在区间
上单调递增，理由如下：
对于
，
，且
，
则
，
因为
，
，且
，所以
，
，
于是
，即
，故
在区间
上单调递增；
（2）由（1）可知
在
上单调递增，
，
，
所以
在
上的值域为
.
（3）因为
，
，由（1）得
在区间
上单调递增，
故
，即
，
解得
（舍去）或
，
所以
或
.
所以不等式的解集为
或
.
【变式1】已知
分别为奇函数、偶函数，且
，则
．
【答案】
/-6.5
【分析】利用奇函数和偶函数的性质，将原方程中的
替换为
，得到另一个方程，联立解出
和
，再代入计算
的值.
【详解】因为
①，所以
②，
①+②得
，
，所以
，则
，所以
，
所以
．
故答案为：
【变式2】已知单调函数
满足
，且
，定义域为
．
(1)求证：
为奇函数；
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
或
．
【分析】（1）先利用赋值法求得
，再赋值得
，利用奇函数的定义证明即可；
（2）先判断
为单调增函数，然后利用奇函数性质将不等式变为
，最后利用单调性
解不等式即可．
【详解】（1）函数
的定义域为
，
由
，令
，得
，即
．
令
，得
，
即
，所以
为奇函数．
（2）由
为单调函数，知
为单调增函数．
由
得
．
因为
为奇函数，所以
．
因为
为单调增函数，所以
，
即
，解得
或
．
【变式3】已知函数
为偶函数．
(1)求
的值；
(2)若函数
，且
恒成立，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用偶函数的定义
可求答案；
（2）利用定义法判断
的单调性，根据单调性求出
在
的最小值即得答案.
【详解】（1）由
是偶函数得
，
即
，解得
．
（2）由（1）得
，则
，
因为
恒成立，
即
．
当
时，
，
因为
，所以
，
则
，则
，
因此
，即
，
故函数
在区间
上单调递增，
则
，
则原不等式等价于
，解得
，
故
的取值范围是
．
【变式4】已知函数
对任意实数x，y，均有
，
，且存在非
零常数c，使
.
(1)求
的值；
(2)判断
的奇偶性并证明；
(3)求证
是周期函数，并求出
的一个周期.
【答案】(1)1
(2)偶函数，证明见解析
(3)证明见解析，
【分析】（1）令
，可得到答案
（2）令
，可得
，进而判断出单调性
（3）令
，化简得到
，再用
代替
得到
，从而求出周期
【详解】（1）∵任意
均有
，
令
，则
.∵
，∴
.
（2）由题意知定义域为
，关于原点对称
令
，∴
，∴
，∴
为偶函数.
（3）∵
，又
，
∴
，即
，
∴
，
∴
的周期为
.
题型07 单调性和奇偶性综合
【典例1】设定义域为
的函数
满足：①对于任意
，都有
；②当
时，
；③
.
(1)判断
的奇偶性；
(2)判断
在
上的单调性并证明；
(3)求
在
上的值域.
【答案】(1)奇函数
(2)
在
上是减函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）令
，代入①中式子，解得
，再令
，
，解得
，即可判
断奇偶性；
（2）令
，
，
，代入①中式子，结合奇偶性得
，再根据②，即
可判断单调性；
（3）令
，代入①中式子，解得
，令
，
，解得
，根据奇偶性得
，再根
据单调性得
在
上的值域.
【详解】（1）
的定义域为
，关于原点对称，
由①，令
，得
，所以
，
令
，
，得
，即
，
所以
，所以
是奇函数．
（2）对任意
，由①，令
，
，
得
，
由
，结合②，得
，
所以
，即
，
所以
在
上是减函数.
（3）由①，令
，得
，
令
，
，得
，
所以
，且
在
上是减函数，
所以
在
上的值域为
.
【变式1】已知函数
.
(1)判断并证明函数
的奇偶性；
(2)判断并证明函数
在区间
上的单调性；
(3)解关于的不等式：
.
【答案】(1)
是定义在
上的奇函数
(2)
在
上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数奇偶性的判定方法即可；
（2）根据函数的单调性的判断方法即可判断证明；
（3）利用（2）的结论，可将不等式转化为不等式组
，求解即得.
【详解】（1）
是定义在
上的奇函数，证明如下：
依题意，函数的定义域
关于原点对称，
又
，
是定义在
上的奇函数.
（2）
在
上单调递增，理由如下：
任取
，且
，
则
，
，
，
，
且
，
，
，
，即
，
在
上单调递增.
（3）由（2）知，
在
上单调递增，
由
可得，
，解得：
故不等式
的解集为
.
【变式2】已知函数
是定义域在
上的奇函数，且
.
(1)求a，b 的值；
(2)用定义法证明函数
在
上单调递增；
(3)解不等式
.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析；
(3)
.
【分析】（1）由
及
列方程求参数值，注意验证；
（2）根据单调性定义，应用作差法比较大小，即可证；
（3）由奇函数、单调性得
，求解即可.
【详解】（1）由题设
，
，则
，
所以
，则
，满足题设，
所以
；
（2）由（1）
，令
，
则
，
由
，则
，
所以函数
在
上单调递增；
（3）由题设
，
则
，
所以
，即
.
【变式3】定义在
上的函数
满足
，
，且
时，
．
(1)判断并证明
的奇偶性；
(2)求关于t 的不等式
的解集．
【答案】(1)奇函数，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用赋值法整理化简等式，根据奇偶函数的定义，可得答案；
（2）利用函数单调性的定义证明函数的单调性，根据单调性以及题意化简不等式，可得答案.
【详解】（1）令
，可得
，所以
．
令
，可得
，所以
．
又
的定义域为
，图象关于原点对称，故
为奇函数．
（2）任取
，
，且
，则
，
于是
，
因为
，所以
，由题意
，
又
为奇函数，所以
，
所以
，即
，
在
上单调递减．
因为
为奇函数，所以
在
单调递减，所以
在
上单调递减．
由
，可知
．
所以不等式
，
等价于
，
所以
，解得
．所以，原不等式的解集为
．
【变式4】已知函数
满足
，
.
(1)求
，
的值；
(2)判断
的奇偶性；
(3)求不等式
的解集.
【答案】(1)
，
(2)
为偶函数.
(3)
【分析】（1）由已知条件代入数值计算，即可得答案；
（2）根据偶函数的定义即可判断结论；
（3）判断函数的单调性，结合偶函数性质可得不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意
得
，
将
代入
，得到
，解得
.
（2）由（1）可得
，
其定义域为
，关于原点对称，
且
，
故
为偶函数.
（3）当
时，
在
上单调递增，
由复合函数单调性可知
在
上单调递减，且
为偶函数，
故
等价于
，
两边平方可得
，即
，
解得
.
题型08 函数与方程（小题）
【典例1】设
表示实数
中的最小值，若函数
，函数
有六个不同的零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】作函数
的图象，令
，由条件可得
有两个不相等零点
，且
，结合二次函数的图象性质列出不等式组，求解即得参数范围.
【详解】画出
的图象如下：
令
，则函数
至多两个零点
，
而
至多三个根，同理
至多三个根，
要想
有六个不同的零点，
需
有两个不相等零点
，不妨设
，
且
和
均有三个根，且根各不相同，
所以
，又
时，
的值为，
所以
，解得：2<a< 5
2，
故
.
故选：B
【变式1】已知函数
若关于
的方程
有4 个不相等的实数
根，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】并画出图象，设
，要使关于
的方程
恰有4 个不相等的实数根，
等价为方程
有两个不同的根
，且
，列式求解即可.
【详解】∵
，
当
时，
在
上为减函数，
当
时，
即
在
上为增函数，
，
当
时，
在
上为增函数，
作出函数
的图象如图所示：
设
，
当
时，方程
有1 个解，
当
时，方程
有2 个解，
当
时，方程
有2 个解，
当
时，方程
有3 个解，
当
时，方程
有2 个解，
当
时，方程
有1 个解，
当
时，方程
有0 个解，
方程
等价为
，
要使关于
的方程
恰有4 个不相等的实数根，
等价为方程
有两个不同的根
，且当
时，方程
有1 个解，
所以
时，方程
有3 个解，所以
，即得
.
故选：A．
【变式2】若函数
在
上恰有一个零点，则（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】根据函数零点的定义，结合二次函数的图象与性质，分
，
和
，列出不等式，即可
求解．
【详解】由函数
在
上恰有一个零点，
当
时，
，令
，解得
，符合题意，
当
时，由
，要使函数
在
上恰有一个零点，
则
，即
，
解得
，即
，
当
时，
在
上只有一个零点
，符合题意；
当
时，要使函数
在
上恰有一个零点，
则
或
，即
或
，
解得
或
，即
或
，
时，
在
上只有一个零点
，符合题意；
综上，实数
的取值范围为
或
.
故选：C.
【变式3】若不等式
的解集为
，则函数
的零点为（ ）
A．
和
B．
和
C．2 和
D．
和
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根之间的关系求解
，然后根据零点的定义求解即
可.
【详解】因为
的解集为
，
所以方程
的两根分别为
和2，且
，
则
，解得
，
故函数
，
则与
轴的交点坐标为
和
，所以零点为
和.
故选：D.
【变式4】在数学中，对于满足一定条件的连续函数
，存在实数
，使得
，我们就称该函
数为“不动点”函数，实数
为该函数的不动点.已知函数
在区间
上恰有两
个不同的不动点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据不动点的定义列出方程，转化为二次函数零点问题，根据二次函数零点的分布列不等式求解
即可.
【详解】根据题意可得：
在
上恰有两个解，
即
在区间
上恰有两个零点，
所以
或
，
解得
或
.
故选：C.
题型09 函数与方程（大题）
【典例1】已知函数
是定义在
上的偶函数，当
时，
的图象如图
所示（小正方形的边长为1 个单位长度）.
(1)试将上图补充完整并指出
的单调递减区间；
(2)若函数
有2 个零点，求a 的取值范围；
(3)求
的解析式.
【答案】(1)图象见详解；
和
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）根据偶函数图象的对称性，直接画出图象，由图象观察可知图象单调递减区间；
（2）由图象可求出a 的取值范围；
（3）待定系数法求出
时的解析式，利用偶函数性质求出
的解析式.
【详解】（1）因为函数
是定义在
上的偶函数，
所以函数
图象关于
轴对称，图象如下：
由图象可知，
的单调递减区间为
和
.
（2）若函数
有2 个零点，
则函数
与
的图象有2 个交点，
由（1）中图象可知
或
，
所以a 的取值范围为
（3）当
时，由图象可知
过
，
，
，
所以
，解得
，
所以
，
当
时，
，
所以
，
因为函数
是偶函数，所以
，
所以
，
所以
.
【变式1】研究方程
的根的个数．
【答案】答案见解析
【分析】将程
的根的个数可以转化为函数
和函数
交点的个数得到.
【详解】因为
不是方程
的根，所以方程
的根的个数可以转化为函数
和
函数
交点的个数.
作函数
和函数
如下，
如图当函数
和函数
有一部分相切时，得
，所以
，令
，
得
或
（舍去）.
当
时，函数
和函数
有一个交点，方程
有一个根；
当
时，函数
和函数
有两个交点，方程
有两个根；
当
时，函数
和函数
有三个交点，方程
有三个根.
【变式2】已知函数
，对于任意的
，都有
，当
时，
．
(1)求
的值；
(2)判断
的奇偶性和单调性；
(3)设函数
，若方程
有2 个不同的解，求m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
为奇函数；函数
是
上的减函数
(3)
或
．
【分析】（1）在已知等式中令
，可得
；
（2）令
，可得奇偶性，再用单调性的定义证明单调性；
（3）由奇函数性质及已知变形
的形式，然后在
中由
的单调性化简得
，
即
，作出函数
的图象，它与直线
的交点个数得结论．
【详解】（1）令
，代入
得
，所以
．
（2）令
，
代入
，可得
，
所以
，可得函数
为奇函数；
任取
，且
又因为
时，
，且
，所以
，
所以
，即
，所以函数
是
上的减函数．
（3）
，即
所以
，
令
，即
，
因为函数
是
上的减函数，所以
，即
令
作出
的图象如图，结合图象，可得：当
或
时，函数
有2 个零点，
即实数m 的取值范围为
或
．
【变式3】已知函数
的图像是由两支组成的双曲线，
(1)当
，作出函数图像；
(2)是否存在实数
，使该函数在区间
上是严格减函数，并且函数值恒为负？若存在，求出实数
的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)若直线
与双曲线的一支有两个不同的交点，求实数
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)存在，
(3)
【分析】（1）由
直接作图即可；
（2）由函数单调性的概念即可求解；
（3）由一元二次方程根的分布即可求解.
【详解】（1）
（2）函数参数分离为
，
若函数在区间
上是严格减函数，则
，
且
，
即
，解得：
，
所以实数
的取值范围是
；
（3）由题意可知：
在区间
有两个不同的根，或在区间
有两个不同的根，
由
可得
，如果方程有根，由韦达定理可知：
，所以两根不可能同
在区间
上，
所以
应在区间
有两个不同的根，
可得：
，又
，
代入得：
，
解得：
，
所以实数
的取值范围是
【变式4】已知函数
是定义在
上的偶函数，且当
时，
.
(1)求函数
的解析式；
(2)画出函数
的图象，并结合图象讨论方程
的解的个数
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）设
，则
，由此可求
的解析式，结合奇偶性可求
时
的解析式，则
解析式可知；
（2）根据
的解析式作出图象；再根据
的图象交点个数分析方程
的解的个数.
【详解】（1）当
时，
，所以
，
又因为
为偶函数，所以
，
所以
的解析式为
.
（2）
的图象如下图所示：
因为“方程
的解的个数”
“
的图象交点个数”，
在同一平面直角坐标系中作出
的图象如下图所示：
由图象可知，当
时，
的图象无交点，所以方程
无解；
当
或
时，
的图象有
个交点，所以方程
有
个解；
当
时，
的图象有
个交点，所以方程
有
个解；
当
时，
的图象有个交点，所以方程
有个解；
综上所述，当
时，方程
无解；当
或
时，方程
有
个解；
当
时，方程
有
个解；当
时，方程
有个解.
题型10 函数模型及其应用
【典例1】某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2 月1 日起的300 天内，西红柿的市场售价
与上市时间之间的关系用图甲的折线表示，西红柿的种植成本与上市时间之间的关系用图乙的抛物线段表
示．
(1)写出图甲表示的市场售价与上市时间的函数关系式
和图乙表示的种植成本与上市时间的函数关
系式
；
(2)若设定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市的西红柿纯收益最大？
（注：市场售价和种植成本的单位：元／
，时间单位：天）
【答案】(1)
，
(2)第50 天
【分析】（1）根据函数图象设出函数解析式
，然后结合图象中的点可求出参数的值，从而可
求出函数解析式；根据函数图象设出函数解析式
，然后结合图象中的点可求出参数
的值，从而可求出函数解析式；
（2）结合（1）列出纯收益
的解析式，然后求出利润的最大值．
【详解】（1）由已知条件，设
，
当
时，
，
．
当
时，
，
．
故图甲表示的函数关系式为
.
设
，则
，所以
．
所以图乙表示的函数关系式为
，
．
（2）设时刻的纯收益为
，则由题意得
，
即
，
当
时，配方整理得
，
所以当
时，
取得区间
上的最大值100．
当
时，配方整理得
，
所以当
时，
取得区间
上的最大值87.5．
综上，由
可知，
在区间
上可以取得最大值100．
此时
，即从2 月1 日开始的第50 天时，上市的西红柿纯收益最大．
【变式1】已知某车厘子收购市场在过去的30 天内对车厘子的日收购量
（单位：百斤）与第
天之
间的函数关系为①
；②
；③
这三种函数模型中的一
个，且部分数据如下表：
（天）
6
10
22
28
（百斤）
46
50
58
52
(1)请确定
的解析式，并说明理由；
(2)若第
天平均每斤车厘子的收购价格为
（单位：元），且
（
，且
），
记过去30 天内第
天该市场收购车厘子的资金总额为
（单位：百元），求
的最小值．
【答案】(1)
.
(2)
【分析】（1）将表格中的各个数据分别代入3 个函数关系式中，求解，即可得到符合题意的表达式.
（2）计算出
的表达式，再分段讨论利用函数的单调性与基本不等式求出最小值.
【详解】（1）将表格中数据
代入关系①
中，
得到
,此方程无解，舍去；
将表格中数据
代入关系②
中，
得到
,解得
,故方程为
，
经验证，
也符合上式，故函数解析式为
；
由表格数据知，函数应该先增后减，不满足③；
综上所述：
（2）因为
，
，故
，
当
时，
，
因为
，当且仅当
时取等号，
所以
；
当
时，
，
在区间
上单调递减，故
,
因为
，所以
【变式2】某工厂某种产品的年固定成本为250 万元，每生产
千件，需另投入的成本为
.当年产量不
足80 千件时，
（万元）；当年产量不小于80 千件时，
（万元）.
每件商品的售价为0.05 万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润
（万元）关于年产量
（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
【答案】(1)
(2)100 千件，1000 万元
【分析】（1）根据已知条件列出函数解析式；
（2）根据函数解析式分别求分段函数的最值，
时利用二次函数求最值，
时利用基本不等
式求最值即可.
【详解】（1）因为每件商品售价为0.05 万元，
所以
千件商品的销售额为
（万元）.
依题意得当
时，
；
当
时，
.
所以
；
（2）当
时，
当
时，
取得最大值
（万元）.
当
时，
.
当且仅当
，即
时，
取得最大值1000 万元.
由于
，所以当年产量为100 千件时，
该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1000 万元.
【变式3】已知某线路运行的地铁发车时间间隔（单位：分钟）满足：
．经测算，该地铁每班
平均载客人次
（单位：人次）与发车时间间隔满足：
．
(1)计算
的值，并说明其的实际意义；
(2)若该线路每分钟的净收益为
（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路
每分钟的净收益最大？并求最大净收益．
【答案】(1)
，答案见解析
(2)当发车时间间隔为6 分钟时，每分钟的净收益最大，每分钟的净收益最大为120 元
【分析】（1）根据的解析式代入求得
，其意义为间隔时间的载客量.（2）将
的解析式代入即可
求得
的解析式.根据基本不等式性质及函数单调性可求得收益的最大值及取得最大收益时的间隔发车时
间.
【详解】（1）由函数
的解析式可得：
，
其实际意义是：当地铁的发车时间隔为10 分钟时，地铁载客量为1200，这也是地铁的最大载客量；
（2）①当
时，
当且仅当
，即
时，等号成立，
②当
时，
.
当且仅当
时等号成立，
故当发车时间间隔为6 分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的净收益最大为120 元．
【变式4】2024 年8 月12 日，为期16 天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随
处可见.这个盛夏，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向世界展示了中国向“新”而行的活
力，让人们在享受比赛的同时，感受到中国发展的脉搏.巴黎奥组委的数据显示，本届奥运会
的吉祥物
产自中国.据调查，国内某公司出售一款巴黎奥运会吉祥物，需要固定投入300 万元费用.假设购进该款产品
全部售出.若以80 元的单价出售，可售出15 万件，且每降价1 元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超
过30 万件，则经销商按照每件30 元成本收费；若购进30 万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式
进行销售，此时利润
（万元）与销量
（万件）的关系为
.
(1)当购进产品数量为10 万件时，利润是多少？
(2)写出利润
万元关于购进产品数量
（万件）的函数解析式？（利润
销售收入-成本）
(3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
【答案】(1)200（万元）；
(2)
(3)当
（万件）时，利润最大，此时利润是910（万元）
【分析】（1）根据题意和已知条件代入求解即可；
（2）对
进行分类讨论写出
的解析式；
（3）对
分类讨论写出各段函数的最大值进行比较.
【详解】（1）
（万元）.
所以当购进产品数量为10 万件时，利润是200 万元.
（2）当
时，
，
当
时，不妨设降价元，购进产品全部售出，
则
，得到
，
所以
，
当
时，
，
所以
（3）由（2）知，当
时，
，
当
（万件），利润最大，此时利润是450（万元），
当
时，
，
当
（万件），利润最大，此时利润是500（万元），
当
时，
，
当且仅当
，即
，
当
（万件），利润最大，此时利润是910（万元），
因为
，所以当
（万件）时，利润最大，此时利润是910（万元）.
1．函数
在
上的最小值是（ ）
A．4
B．
C．
D．5
【答案】B
【分析】由对勾函数的单调性求解.
【详解】由对勾函数的单调性知,
函数
在
上单调递增，
所以
．
故选：B
2．已知
，则函数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用换元法求出
解析式，根据自变量范围和
单调性，求出
的最大值.
【详解】设
，则
；
则
，
因此
，
所以函数
在
上单调递减，最大值为
．
故选：C
3．已知函数
的最大值为
，最小值为
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】A
【分析】求解函数
的定义域，并对
进行平方，进而判断其单调性，得到最值．
【详解】由题意得函数的定义域满足
，且
，
解得
，则函数
的定义域为
．
由
得
，
则
在区间
内的最大值为
，最小值为
．
易知函数
在区间
内单调递增，在区间
内单调递减，
所以函数
在区间
内单调递增，在区间
内单调递减，
则函数
在
处取得最大值
，即
，
又
，
所以函数
的最小值为6，即
．
所以
．
故选：A
4．函数
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
既非奇函数也非偶函数
D．
既是奇函数也是偶函数
【答案】B
【分析】利用函数奇偶性的定义判断即可.
【详解】函数
的定义域为
，
当
时，
，有
，
；
当
时，
，有
，
；
当
，
，
，
综上所述，对任意的
，
成立，所以函数
为偶函数，
故选：B．
5．已知函数
在区间
上的最大值为5，则
（ ）
A．2
B．3
C．15
D．3 或15
【答案】B
【分析】先将函数
进行分离常数的变形，然后根据反比例函数的性质分析其单调性，再结合函数在给
定区间上的最大值列出关于
的方程，进而求解
的值.
【详解】
．因为
，所以函数
在
上单调递减，所
以函数
在区间
上的最大值为
，解得
．
故选：B.
6．若函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令
，则
，
，利用
单调递增则
单调性相同
的性质，得出
在
上单调递增，且
，分情况讨论得出
的取值范围.
【详解】令
，则
，
.
已知
在
上单调递增，则
在
上单调递增，且
.
若
，则
，此时
在
单调递增，
且
，符合题意.
若
，则
须满足：
即
.
综上，
.
故选：C.
7．已知函数
，
（
），若
，
，使得
，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求两个函数的值域，再根据题意判断两值域间的包含关系解得.
【详解】因为
，对
，有
.
同理
，对
，有
.
由
，
，使得
，得
，得
.
故选：B.
8．已知定义在
上的函数
满足
，且在区间
上单调递增，则满足
的
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由对称性得单调性，然后由单调性、对称性解不等式．
【详解】因为函数
满足
，所以
的图象关于直线
对称，
又
在区间
上单调递增，所以
在区间
上单调递减．
因为
，所以
，即
，
平方后解得
，所以
的取值范围为
．
故选：B．
9．（多选）已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
在
单调递增
D．
是偶函数
【答案】ACD
【分析】利用赋值法判断AB，利用函数单调性和奇偶性的定义判断CD 即可.
【详解】令
，得
，解得
正确；
令
，得
1，即
，解得
，B 错误；
令
，且
，则
，
因为当
时，
，所以
，即
，所以
在
单调递增，C 正确；
令
，则
，由B 项知
1，则
，故
是偶函数，D 正
确；
故选：ACD
10．定义
且
．则下列关于函数
的四个结论，正确的是（ ）
A．函数
的定义域为
，值域为
B．函数
是偶函数且在
上是增函数
C．对任意的
，都有
（k 为常数且
）成立
D．函数
有2 个不同零点
【答案】BCD
【分析】根据题意，先分析
的图象，再得到
的图象及
得图象，进而可得
的相关性质即可判断ABC，对于D 转化为函数交点个数问题即可
求解.
【详解】函数
的图象如图1：
所以
,
的图象,
如图2：
函数
的图象如图3 所示：
所以
,故
，故A 错误，
由图3 可知：
且为偶函数，则
为偶函数，
在
上单调递增；B 正确，
由图3 可知，函数
的周期为1，又
为偶函数，
，
所以
；C 对；
为偶函数，当
时，
有一个零点1，
且
，故
在
上有唯一零点，
结合函数
为偶函数，得
共有2 个不同零点，D 对，
故选：BCD.
11．若函数
存在最小值，则m 的最大值为 ．
【答案】4
【分析】首先得出函数单调性，画出函数图象，进一步根据题意列不等式即可求解.
【详解】因为函数
在
上单调递减，在
上单调递增，所以在R 上的最小值为0．
因为函数
，图象开口向上且对称轴为
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以在R 上的最小值为
．
综上，对于
，当
时，
在
上单调递减，在
，
上单调递增，且
，
则
的大致图象如图所示．
由图可知，若
存在最小值，则
，解得
，故m 的最大值为4．
故答案为：4.
12．已知函数
，若
，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】作出函数
的图象，分析该函数的单调性，结合所求不等式可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】作出函数
的图象如下图所示：
由图可知，
在
上是减函数．
因为
，所以
，即
，
即
，解得
，所以实数的取值范围为
．
故答案为：
．
13．已知函数
的定义域为
，值域为
，求
的范围．
【答案】
【分析】
单调递增，转化为
有两个不同的根，换元令
，转化成图象有两个交
点的问题，结合二次函数图象，得到
的范围.
【详解】因为
单调递增，所以
，
，
故
有两个不同的根
，
令
，
，则
，原方程化为
，
设
，转化为
在
的图象与
的图象有两个交点的问题，
因为
，二次函数
对称轴为
且
，
由图可知，要有两个交点，则
，解得
，即
．
14．设
是定义在
上的函数，且对一切
均有
，当
时，
．
(1)求当
时，函数
的解析式；
(2)求当
时，函数
的解析式．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）当
时，
，根据已知关系式得
，再代入已知解析式即可
得；
（2）根据已知关系式得函数的周期为4，由
时
，利用周期性得
，再由
即可得.
【详解】（1）由于
，则
，即
，
当
时，
，则
；
（2）由
，得
，则
，即函数周期
，
当
时，
，
则
，
因为
，所以
；
15．对于函数
，若在定义域内存在实数
，满足
，则称
为“局部反比例对称函
数”．
(1)用定义证明函数
在
为单调递增函数；
(2)已知函数
，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由；
(3)若
是定义在区间
上的“局部反比例对称函数”，求实数
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
不是“局部反比例对称函数”，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，设
，用作差法证明
；
（2）根据题意，由“局部反比例对称函数”的定义，判断方程
有无实数解即可；
（3）根据题意，由“局部反比例对称函数”的定义，方程
在
有解，令
，将
问题转化为方程
在
上有解，再根据一元二次方程根的分布求解.
【详解】（1）证明：根据题意，
，设
，则
.
则有
，即
，
所以函数
在
为单调递增函数.
（2）根据题意，
不是“局部反比例对称函数”，理由如下：
已知函数
，若
，则
，
即
，所以
，所以方程
无实数解，
即不存在实数
，使
成立，
故
不是“局部反比例对称函数”.
（3）根据题意，
是定义在区间
上的“局部反比例对称函数”，
则方程
，即
在
上有解.
整理得：
.
令
，由
，得
，
所以问题转化为方程
在
上有解.
设函数
，则其图象开口向上，对称轴为
.
分类讨论：
①当
时，只需
，即
，
解得
，所以
；
②当
时，只需
，即
，
解得
，所以
.
综上，实数
的取值范围为
.
16．已知函数
的图象关于点
成中心对称图形的充要条件是
是奇函数，给定
函数
．
(1)求函数
图象的对称中心；
(2)判断
在区间
上的单调性（只写出结论即可）；
(3)已知函数
的图象关于点
对称，且当
时，
，若对任意
，总存
在
，使得
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)函数
在
上单调递增
(3)
【分析】（1）根据题目中中心对称图形的性质结合奇函数的定义列式求解即可；
（2）利用函数单调性的定义判断即可；
（3）根据题意可得函数
在
上的值域为
在
上的值域的子集，原问题转化为
在
上的值域
，根据二次函数的图象和性质结合对称性分类讨论
的单调性，进而求出
在
上的值域列不等式组求解即可.
【详解】（1）方法一：设函数
图象的对称中心为
，
则由题意得
，
即
，
整理得
，
所以
，解得
，
所以
图象的对称中心为
.
方法二：设函数
图象的对称中心为
，
因为
的定义域为
，所以
，
则由题意可知
为奇函数，
设
，
则
，即
，解得
．
则
，经检验
是奇函数，所以
，
所以函数
图象的对称中心为
.
（2）函数
在
上单调递增
证明如下：任取
，
且
，
则
，
因为
，
且
，所以
且
，
所以
，即
，
所以函数
在
上单调递增．
（3）由对任意
，总存在
，使得
，
可得函数
在
上的值域为
在
上的值域的子集，
由（2）知
在
上单调递增，故
在
上的值域为
，
所以原问题转化为
在
上的值域
，
由二次函数的图象和性质可知当
，即
时，
在
上单调递增，
又
，所以函数
的图象恒过对称中心
，
所以
在
上也单调递增，故
在
上单调递增，
又因为
，故
，
因为
，所以
，解得
；
当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
的图象过对称中心
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
，
欲使
，只需
且
，
解得
，又因为
，所以
，
当
，即
时，
在
上单调递减，在
上也单调递减，
所以
在
上单调递减，所以
，
因为
，所以
，解得
，
综上可得，实数
的取值范围是
．
