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第三章 排列、组合与二项式定理（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．二项式
的展开式中常数项为（ ）
A．
B．240
C．15
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求指定项的系数
【分析】写出二项式
的通项公式，令通项公式中
的指数为0，求出的值，将其代入通项的系
数部分，计算得到常数项即可.
【详解】二项式
的展开式的通项公式为
，
令
，得
，所以二项式
的展开式中常数项为
.
故选：B.
2．3 个男同学和3 个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（
）种．
A．36
B．108
C．120
D．144
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题
【分析】分步骤分析，利用排列组合的乘法原理来计算即可．
【详解】总共有3 个男同学，排头必须是男同学，所以排头的选择有
种，
所以排尾只能从剩余2 个男同学选取，有
种，
最后剩余4 人安排在中间4 个位置，有
种，所以一共有
种．
故选：D．
3．
的展开式的第6 项的系数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求指定项的系数
【分析】根据二项展开式的通项公式求解.
【详解】根据二项式展开式的通项公式得，第6 项的系数为：
.
故选：D
4．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3 个班各有2 名同学获奖，现将这6 人站成一排拍照，其中甲班的
2 名同学相邻，且乙班的2 名同学不相邻的站法种数共有（ ）
A．36 种
B．72 种
C．144 种
D．288 种
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题
【分析】甲班的2 名同学相邻，用“捆绑法”，乙班的2 名同学不相邻，用“插空法”，再根据分步乘法
计数原理即可求解.
【详解】第一步，将甲班的2 人捆绑，连同丙班的2 人作全排列，有
种站法；
第二步，将乙班的2 人插入前后4 个空档，有
种站法.
根据分步乘法计数原理，不同的站法共有
种.
故选：C
5．
的展开式中，
的系数为（ ）
A．80
B．40
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题
【分析】利用多项式乘以多项式的规则及分类计数原理可求解.
【详解】个因式，
个因式中取
，个因式中取
，
个因式中取
，
即可得出含
的项，其为
，
故
的系数为
.
故选：D
6．从4 个汉字、10 个数字、3 种颜色中选元素组成3 个标识，每个标识含1 个汉字、1 个数字、1 种颜色，
且同一组内汉字、数字、颜色均不重复.最多可设计不同标识组的数量为（ ）
A．2400
B．3200
C．4320
D．5760
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用
【分析】根据题设，以颜色为序将4 个汉字、10 个数字填入，应用分步乘法求出所有可能标识个数，再由
每3 个标识构成一个标识组求出不同标识组最多个数.
【详解】由题设，3 种颜色（假设为红黄蓝）分别填入3 条标识的颜色栏，如下表，
颜色
汉字
数字
红
*
*
黄
*
*
蓝
*
*
再将4 个汉字、10 个数字安排到上表的3 条标识中，且各条标识间的汉字、数字不重复，
所以，依次填入3 条标识汉字栏、数字栏，有
种，
所以一共可以构成
个标识，而每3 个标识构成一个标识组，
所以不同标识组最多有
个.
故选：D
7．
的展开式中常数项为（ ）
A．120
B．-120
C．180
D．-180
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式的第k 项
【分析】因为
，所以分别求
和
展开
式中的常数项，即可得出结果.
【详解】
展开式的通项为:
，
.
不存在
的值使得
，所以
的展开式中没有常数项；
当且仅当
时，
的展开式可取到常数项，则
的常数项为
.
综上所述：
的展开式中常数项为-180.
故选：D.
8．验证码就是将一串随机产生的数字或符号生成的一幅图片．图片里加上一些干扰像素（防止
），
由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能．很多网站利
用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全．在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由
中的5 个数字随机组成．将中间数字最大，然后向两边递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：
如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7 的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率
【分析】本题可以先确定中间数字的所有可能取值，再分别计算中间数字是7 的情况数以及总的情况数，
最后根据古典概型概率公式
（其中
是
包含的基本事件个数，
是基本事件总数）计算概率.
【详解】根据“钟型验证码”中间数字最大，然后向两边递减，所以中间的数字可能是
．
当中间是4 时，其他4 个数字可以是
，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排
法唯一），所以方法数有
种．
当中间是5 时，其他4 个数字可以是
，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边
（排法唯一），所以方法数有
种．
当中间是6 时，其他4 个数字可以是
，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边
（排法唯一），所以方法数有
种．
当中间是7 时，其他4 个数字可以是
，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右
边（排法唯一），所以方法数有
种．
当中间是8 时，其他4 个数字可以是
，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右
边（排法唯一），所以方法数有
种．
当中间是9 时，其他4 个数字可以是
，8，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排
在右边（排法唯一），所以方法数有
种．
所以该验证码的中间数字是7 的概率为
．
故选：A.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知在
的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．只有第3 项的二项式系数最大
C．
的系数为
D．各项系数之和为
【答案】AC
【难度】0.85
【知识点】二项式系数的增减性和最值、二项式的系数和、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和
【分析】根据二项式系数和得
，结合二项式系数的性质及展开式通项公式判断A、B、C，最后应用赋
值法求各项系数之和判断D.
【详解】由题设
，可得
，A 对；
展开式共有7 项，故只有第4 项的二项式系数最大，B 错误；
展开式通项为
，
，
令
，可得
，则
的系数为
，C 对；
令
，则
，D 错.
故选：AC
10．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261 年所著的《详解九
章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列
关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．2024 行中从左往右第1012 个数与第1014 个数相等
B．
C．记第10 行的第个数为
，则
D．记第
行的第个数为
，则
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】杨辉三角
【分析】对于A，利用
的展开式的二项式系数计算，对于B，利用性质
计算即可；
对于CD，代入
，利用二项式定理计算即可.
【详解】对于A，第2024 行中的数为
的展开式的二项式系数，
则从左往右第1012 个数为
，第1014 个数为
，由于
，故A 正确；
对于B，由
可得
，故B 不正确；
对于C，第
行的第个数为
，
因为
，
所以
，故C 正确；
对于D，第
行的第个数为
，
则
，故D 正确；
故选：ACD
11．2025 海南国际康养产业博览会设有“气候治疗和气候康养产业合作”“食品营养健康”“森林康养产
业发展”“医药大健康企业跨境出海”四大平行论坛．已知某医药公司的4 位人员参与论坛，且每个人只
能选一个论坛，则下列结论正确的有（ ）
A．每个论坛都有人员参与的情况共有24 种
B．有论坛没人参与的情况共有256 种
C．恰有1 个论坛没人参与的情况共有144 种
D．4 人只参与“食品营养健康”“森林康养产业发展”两个论坛的情况有20 种
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题、分组分配问题
【分析】对于A，根据排列数，可得其正误；对于B，利用正难则反的解析思路，可得其正误；对于C，根
据分步乘法原理以及分组分配的解题思想，可得其正误；对于D，根据分类加法原理以及分组分配，可得
其正误.
【详解】对于A，每个论坛都有人员参与的情况数为
，故A 正确；
对于B，
人参加四个论坛，每人只能去一个的总的情况数为
，
则有论坛没人参加的情况数为
，故B 错误；
对于C，恰有1 个论坛没人参与的情况数为
，故C 正确；
对于D，4 人只参与“食品营养健康”“森林康养产业发展”两个论坛的情况数为
，故
D 错误.
故选：AC.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．若
，则
；
.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】奇次项与偶次项的系数和
【分析】利用赋值法直接计算即可.
【详解】令
，则
；
令
，
令
，
两式相减得
，
即
.
故答案为：；
.
13．已知
的展开式中，第5 项与第3 项的二项式系数之比为15：2，展开式中系
数最大项是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求指定项的二项式系数、求系数最大（小）的项
【分析】利用二项式展开式的通项公式，结合已知条件可先求出
，再利用递推不等式组可求出系数
最大项.
【详解】由题意，可得二项式
展开式的通项为
，
因为第5 项与第3 项的二项式系数之比为15：2，可得
，即
，
所以
，则
或
（舍），
设展开式中第
项的系数最大，则
，可得
，
解得
，因为
，所以
，
所以系数最大的项为
．
故答案为：
14．在平面直角坐标系
中，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做整点，从整点
到整点
或
的有向线段叫做一个T 步，从整点A 到整点B 的一条T 路是指由若干个T 步组成的起点为
A、终点为B 的有向折线.则整点
到整点
的T 步的条数为 .（结果用数字表示）
【答案】15
【难度】0.65
【知识点】代数中的组合计数问题
【分析】从整点
到整点
，记为上步，从整点
到整点
，记为下步，结合题
意分析易得整点
到整点
的T 步一共有6 个，且上步有4 个，下步有2 个，进而结合组合知
识求解即可.
【详解】由题意，从整点
到整点
，记为上步，
从整点
到整点
，记为下步，
不管上步还是下步，在一个T 步上横坐标都增加1，
而上步纵坐标增加1，下步纵坐标减少1，
因此整点
到整点
的T 步一共有6 个，
且上步有4 个，下步有2 个，
因此整点
到整点
的T 路的条数为
.
故答案为：15.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（1）求
的值；
（2）解不等式
.
【答案】（1）280；（2）
【难度】0.85
【知识点】排列数的计算、排列数方程和不等式、组合数的计算
【分析】（1）根据排列数以及组合数公式计算，即得答案；
（2）根据排列数公式，解不等式，即得答案.
【详解】（1）
；
（2）由
，得
，
化简得
，解得
.①
又
，所以
.②
由①②及
，得
，
即不等式的解集为
.
16．某医院有内科医生10 名，外科医生6 名，现选派5 名参加新冠肺炎医疗队.
(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
(2)甲乙均不能参加，有多少种选法？
､
(3)甲乙
､
2 人至少有1 人参加，有多少种选法？
(4)医疗队中至少有1 名内科医生和1 名外科医生，有多少种选法？
【答案】(1)364
(2)2002
(3)2366
(4)4110
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题
【分析】（1）从余下人中任选3 人即可；
（2）从余下人中任选5 人即可；
（3）分类讨论甲乙参加人数计算即可；
（4）法一、直接分类讨论内外科参加人数计算即可；法二、间接法，计算只有内科5 人或外科5 人的总数，
用16 人选5 人的方法数减去即可.
【详解】（1）只需从其他14 人中选3 人即可，共有
（种）选法.
（2）只需从其他14 人中选5 人即可，共有
（种）选法.
（3）分两类：甲乙中有
､
1 人参加；甲乙都参加
､
.
则共有
（种）选法.
（4）方法一（直接法）至少有1 名内科医生和1 名外科医生的选法可分4 类：
内科1 人，外科4 人；内科2 人，外科3 人；内科3 人，外科2 人；内科4 人，外科1 人.
所以共有
（种）选法.
方法二（间接法）从无限制条件的选法总数中减去5 名都是内科医生和5 名都是外科医生的选法种数所得
的结果即为所求，即共有
（种）选法.
17．在
的展开式中
(1)含
的项并说明它是展开式中的第几项；
(2)常数项的值和对应的二项式系数；
(3)二项式系数最大的项；
(4)各项二项式系数的和及各项系数的和．
【答案】(1)
，第5 项；
(2)不含常数项；
(3)
，
；
(4)
，
.
【难度】0.65
【知识点】二项式系数的增减性和最值、二项式的系数和、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和
【分析】根据二项展开式的通项公式写出
，（1）令
，（2）令
，（3）根据二项
式系数的性质来求，（4）根据二项式系数和的性质，以及赋值法来求系数和.
【详解】（1）由二项展开式得第
项
，
令
，得
，
则
，为第5 项；
（2）令
，得
，不是整数，则不含常数项；
（3）二项式系数最大为
，
时，
，
时，
，
所以二项式系数最大的项为第4 项
和第5 项
；
（4）二项式系数和为
，
令
，则所有项的系数和为
.
18．若
，其中
.
(1)求
的值；
(2)求
.
【答案】(1)2
(2)
【难度】0.65
【知识点】由项的系数确定参数、奇次项与偶次项的系数和
【分析】（1）写出二项展开式的通项公式，列式即可求得.
（2）利用赋值法，令
代入计算即可求得.
【详解】（1）因为
展开式的通项为
，
所以
，解得
.
（2）因为
，令
，得
，
令
，得
，
所以
.
19．已知
（1）求
的值；
（2）求
的值.
【答案】（1）
；（2）
.
【难度】0.4
【知识点】裂项相消法求和、二项展开式各项的系数和、二项式定理与数列求和
【解析】（1）根据已知条件，令
，求得
，令
，即可求得
的值；
（2）由二项式定理可得
，求得
，由
，进而求得
，即可
求得答案.
【详解】（1）
——①.
在①中，令
，得
.
在①中，令
，得
，
.
（2）
由二项式定理可得
，
，1，2，
，2020.
，
.
，
.
【点睛】本题解题关键是掌握组合数计算方法和根据二项式定理求各项系数和步骤，考查了分析能力和计
算能力，属于难题.
